高中数学圆锥曲线重要结论.总结

当 M ( x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF 2 | ex0 a
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N
两点，则 MF⊥ NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.
..
圆锥曲线重要结论
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
F1 PF2
,
PF1 F2
, F1F2 P
sin
，则有
sin sin
c e.
a
5.
x2 若椭圆 a2
y2 b2
1 （a＞b＞ 0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为 L ，则当 0＜ e≤ 2 1 时，可在椭圆上求一点
P，使得 PF1 是 P 到对应准
;.
..
线距离 d 与 PF2 的比例中项 .
x2 11. AB 是椭圆 a 2
y2 b 2 1 的不平行于对称轴的弦，
M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB
b2 a2 ，
;.
..
即 K AB
b2 x0 a2 y0
。
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
。
椭圆
2
2
2
2
1.
x 椭圆 a 2
y b2
1（ a＞ b＞ o）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于
x P1、P2 时 A 1P1 与 A 2 P2 交点的轨迹方程是 a 2
y b2
1.
x2 y2 2. 过椭圆 a2 b 2 1 (a＞0, b＞ 0)上任一点 A(x0, y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
3.
x2 若 P 为双曲线 a 2
y2 b2
1（ a＞ 0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点
,F1, F 2 是焦点 ,
PF1F2
, PF2 F1
ca
，则
ant tco
ca
22
（或 c a tan co t ） .
ca
22
x2 y2 4. 设双曲线 a 2 b 2 1 （ a＞ 0,b＞ 0 ）的两个焦点为
F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△
PF1F2 中，记 F1 PF2
,
PF1F2
, F1F2 P
sin
c
，则有
e.
(sin sin ) a
x2 5. 若双曲线 a 2
y2 b2 1 （a＞ 0,b＞ 0）的左、右焦点分别为
F1、 F2，左准线为 L ，则当 1＜e≤ 2 1 时，可在双曲线上求一点
.
| MN | 2
x2 y2 10. 已知双曲线 a 2 b 2
a2 b2
x0
.
a
x2 11. 设 P 点是双曲线 a 2
1 （ a＞ 0,b＞ 0 ） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段
y2 b2
1 （ a＞ 0,b＞ 0 ）上异于实轴端点的任一点
AB 的垂直平分线与
x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0
F1， F 2，点 P 为双曲线上任意一点
F1PF2 ，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2co t . 2
8.
x2 双曲线 a2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ o）的焦半径公式： ( F1( c,0) , F2(c,0)
当 M ( x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
;.
..
x2 11. AB 是双曲线 a2
y2 b2
1 （ a＞ 0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦，
M (x 0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 K OM K AB
b 2x0 a2 y0
，即
K AB
12.
若 P0( x0, y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1 （ a＞ 0,b＞ 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x2 y 2 6. P 为椭圆 a2 b 2 1 （ a＞ b＞ 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则 2a | AF2 | | PA | | PF1 | 2a | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三
点共线时，等号成立 .
7.
椭圆
(x
x0 )2 a2
( y y0 )2 b2
1. S F1PF2
b2 tan . 2
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点，则 MF
⊥ NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A 1、 A 2 为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥ NF.
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）
x2 5. 若 P0( x0, y0 ) 在双曲线 a 2
y2 b2 1 （ a＞ 0,b＞ 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
1 e2 .(3) S PAB
2a2b2 b2 a 2 cot .
PBA
, BPA
， c、e 分别是椭圆的半焦距
;.
..
x2 y2 13. 已知椭圆 a 2 b2 1（ a＞ b＞ 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x
轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
.
16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
P，使得 PF1 是
P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .
6.
x2 P 为双曲线 a 2
y2 b2
1 （ a＞ 0,b＞ 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为双曲线内一定点，则
| AF2 | 2a | PA | | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点
共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立 .
a2 b2
或
e( 离心率 ).
（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.）
17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 .
椭圆与双曲线的对偶性质 --
双曲线
x2 y2 1. 双曲线 a2 b2 1（ a＞ 0,b＞0）的两个顶点为 A1( a,0) , A2(a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于
P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是
;.
..
x2 a2
y2 b2
1.
x2 y2 2. 过双曲线 a 2 b2 1（ a＞ 0,b＞ o）上任一点 A( x0, y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
（常数） .
B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
F1 PF2
2b2 ，则 (1) | PF1 || PF2 | 1 cos .(2)
S PF1F2
b2 tan . 2
x2 y2
12. 设 A 、B 是椭圆 a 2 b2 1（ a＞ b＞0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，
PAB
,
2ab2 | cos | 离心率，则有 (1) | PA | a2 c2co s2 .(2) tan tan
1 a2
1 b2
;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最小值为
4a 2 b2 b2 a2
;（ 3）
S
OPQ
的最小值是
a 2b 2 b2 a2 .
x2 y2 9. 过双曲线 2 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于
ab
| PF | e
M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则
;.
..
x2 7. 双曲线 a2
y2 b2
1 （ a＞0,b＞ 0）与直线 Ax
By
C
0 有公共点的充要条件是
A2 a2
B 2b 2
C2 .
x2 y2 8. 已知双曲线 a 2 b 2 1 （ b＞ a ＞0）， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ .
（1） 1
1
| OP |2 | OQ |2
a2 b2
10. 已知椭圆 2 2 1 （ a＞b＞ 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 ,0) , 则
x0
.
ab
a
a
x2 y2 11. 设 P 点是椭圆 a2 b 2 1 （ a＞ b＞ 0 ）上异 于长轴端点的任一点
,F1 、 F2 为 其焦点记
x0 x y0 y a2 b2
2
x0 a2
2
y0 b2
.Hale Waihona Puke Baidu
x2 y2
x2 y2
13. 若 P0( x0, y0 ) 在双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0,b＞ 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b 2
x0 x a2
y0 y b2
.
椭圆与双曲线的对偶性质 --
b2 x0 a 2 y0
y0 y b2
x2 y2 7. 椭圆 a 2 b2 1 (a＞ b＞ 0)的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点
F1PF 2
，则椭圆的焦点角形的面积为
2
2
8.
x 椭圆 a 2
y b2
1 （ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：
| MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1( c,0) , F2(c,0) M ( x0, y0 ) ).
1与直线 Ax
By
C
0 有公共点的充要条件是
A2a 2 B 2b2
( Ax 0
By0 C )2 .
x2 y2 8. 已知椭圆 a 2 b2 1 （ a＞ b＞ 0）， O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点，且 OP
1
1
OQ .（ 1） | OP |2 | OQ |2
1 a2
1 b2
; （ 2）|OP|2+|OQ|2
的
4a 2b 2
a 2b 2
最大值为 a 2 b 2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是 a 2 b2 .
x2 y2
| PF | e
9.
过椭圆 a2
b2
1 （ a＞ b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于
M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则
| MN |
.
2
x2 y2
a2 b2
5.
x2 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2
y2 b2
1 上，则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
x2 y2 6. 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 1 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
P1、 P2，则切点弦
P1P2 的直线方程是
x0 x a2
B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 kBC
b2 a2
x0 y0
（常数）
.
x2 y2 3. 若 P 为椭圆 a 2 b2 1 （a＞ b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,
PF1F2
, PF2 F1
ac
，则
tan co t .
ac
22
4.
x2 设 椭 圆 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记
y0 y b2
1.
x2 y2 6. 若 P0( x0, y0 ) 在双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0,b＞ 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为
P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2 双曲线 a 2
y2 b2
1 （ a＞ 0,b ＞ o）的左右焦点分别为