三角形分割成等腰三角形的条件和分法-精选.

三角形分割成等腰三角形的条件和分法

制作人：陈预立林大中谢恒基

放学回家的路上，走进小区，小区内有一个三角形小花坛。现在工匠们想把它分割成两个三角形的花坛，使之可以种上不同的花。

这时我想到了数学课本中的探究活动中，有着类似的图形题。题中欲要将一个三角形，分割成两个等腰三角形。如图：

(1) 原三角形有一个角是另一个角的3倍；

(2) 原三角形有一个角是另一个角的3倍；

(3) 原三角形是一个直角三角形。

一、直角三角形是否可分割？

因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三

角形斜边上的中线一定分这个直角三角形为两个等腰三角

形。

已知：在直角三角形ABC中, ∠C=90，问：△ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗?

结论1：直角三角形是可分割的。直角三角形斜边上的中线

为分割线。一般直角三角形的直角顶点只有这样一种分法。

特别地，如果直角三角形中有一个锐角为22.5°（或有一个

锐角为67.5°），则还有另外一种分法如图：

二、一般三角形是否可分割？

我们先讨论如果经过三角形的一个顶点把一个三角形分成两

个等腰三角形时，三角形中的角之间存在怎样的关系。三角

形的和为180°，设其中一角未知，根据角的倍数关系可以

得出

1. 设角倍数为2倍

设角B为a°，角C为2a°，则第三个角为（180-3a）°。

则180-3a大于0，得a°小于60°。

分割角C时不难发现，若a大于45°，三角形无法以两倍角的方式分割

所以，a>45°时，此题无解

若a大于45°，则如图分割角A,得角BAP等于a，根据三角形外角等于不相邻两内角之和，则角APC等于2a

所以，a小于45°时，此题有解，分割第三角。

2.设角倍数为3倍

设角A为a°，角B为3a°，则第三个角为（180-4a）°

3.如果是等边三角形是否可分割？

由于不知道于是我们便从网上搜索了下资料，结果如下：

对顶点（直角三角形斜边上的中线为斜边一半）设等边三角形ABC，D、E、F、分别是AB、BC、AC边上的中点。（1）连DF、DE、EF、则三角形ADF、BDE、FEC、DEF是四个全等三角形。（2）连DE、EF、AE、则三角形BDE、FEC、ADE、AFE是两组等腰三角形。（3）连DF、EF、BF、则三角形ADF、FEC、BEF、BDF是两组等腰三角形。其实（2）和（3）的方法是一样的，真真的第三种方法，让我再好好想想，想出来后再补充，祝好，再见。这道题我考虑了好久,我认为只有（1）和（2）两种解法，（3）和（4）实际上就是（2）的翻版。如果把这道题延伸开去，设角A=45度，AB=AC，这个等腰三角形倒是有第三种方法可以分成四个等腰三角形：（一）取AC的中点E，以E为圆心，EA为半径作弧交AB於D，连DE、DC、则三角形ADE和CDE是二个全等的等腰直角三角形，（二）以D 为圆心，DB为半径在DC上截取F，连BF，则三角形BDF是一个较小的直角等腰三角形，三角形BFC是一个顶角为135度的等腰三角形

一个三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件：

（1）原三角形一个角是另一个角的2倍；（分第三个角，且第三个角需要大于45°。）

（2）原三角形一个角是另一个角的3倍；（分三倍角）

（3）原三角形是直角三角形。（分直角）

经过这次探究，我们发现三角形的分割，也体验到数学的乐趣，与无处不在的存在

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