勾股定理的应用讲解与例题

1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离

长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．

谈重点 长方体表面上两点间最短距离

因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．

【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．

你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？

解：如图②，在Rt △ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.

由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.

又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ， ∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52

＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．

【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

解：蚂蚁由A 点沿长方体的表面爬行到C 1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：

如图①，在Rt△ABC1中，

AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.

故AC1＝5.

如图②，在Rt△ACC1中，

AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.

如图③，在Rt△AB1C1中，

AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.

∵25＜29＜37，

∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.

点技巧巧展长方体

求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．

2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离

圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．

【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30πcm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多

少路程才能捕捉到小昆虫？

解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路

线．

在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.

由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，

∴AB＝50π cm.

∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．

谈重点圆柱体两点间的最短距离

本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．

3．生活中两点间的最短距离

用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．

【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图

②)．

解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.

在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，

∴AB2＝52＋122＝132，

∴AB＝13 dm.

故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.

4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题

利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．

解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：

(1)把立体图形展成平面图形；

(2)确定点的位置； (3)确定直角三角形；

(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．

【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.

解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12

底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，

垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12

×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt △MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.

答案：34

5．勾股定理与方程相结合的应用

方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．

【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，

在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝

AC 2＋BC 2＝10 cm. 于是BE ＝10－6＝4 cm.

在Rt △BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3.

故CD 的长为3 cm.