三线性时不变系统的时域分析
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应用实例 1. 连续时间 LTI 系统的单位冲激响应和单位阶跃响应 单位冲激响应 h(t) 是描述连续时间 LTI 系统的重要函数，为此 MATLAB 的
35
3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
control system 工具箱专门提供了impulse函数。只要提供描述系统的微分方 程的系数 ak 和 bk，或者说，系统传递函数 H(s) 或频率响应 H( jω)，
解 本例题的单位冲激响应的解析解为 h(t) = e−t (cos 2t + 2 sin 2t) u (t)。在 MATLAB 中运行以下的脚本
a=[1 2 5]; % Denominators. 2 b=[1 5]; % Numerators.
sys=tf(b,a); % Define a transfer function object. 4 t=0:0.01:10;
a=[1 0.4 -0.12]; % Denominators. 2 b=[1 2]; % Numerators.
N=15; %Number of samples.
36
实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
Amplitude
1.5 1
0.5 0
−0.5 0
1.5 1
0.5 0 0
Impulse Response
相关 MATLAB 函数
MATLAB 的 control system 和 signal processing 等工具箱中提供了一系列的函 数可用来计算 LTI 系统的各种响应。一般来说只需提供微分方程（或差分方程）的 系数（即系统函数），即可得出系统的冲激响应和阶跃响应。如果再提供初始条件 和输入信号，则可得到系统的零输入响应、零状态响应和全响应。这里仅简单列举 相关函数及其功能，更详细的信息请参见 MATLAB 的在线帮助文档。
系统响应的时域解析解法的过程是先求出微分方程（或差分方程）的齐次解， 再根据输入信号的形式确定方程的特解，然后根据初始条件确定解的系数，最后得 到系统的响应。零输入响应和零状态响应需要根据输入信号和初始条件的不同，分 别求解得到。这种计算可能相当繁琐，而且不一定存在解析解，需要通过数值方法 来求解。
1. tf函数：给定 ak 和 bk，构造一个系统函数（或称为传递函数）为
∑n bk sk
H
(s)
=
k=0
∑m ak sk
k=0
的模型；
2. ss函数，给定 A、B、C 和 D，构造一个由
d ω (t) = Aω (t) + Bx (t) dt
y (t) = Cω (t) + Dx (t)
描述的状态空间(state-space)系统模型；
k=0
− k]
(3.5)
根据系统的初始条件和输入信号即可递推地算出 y[n]。这种方法简单直观，且适合 计算机求解，但通常只能求出系统输出序列的值，不能像解析解那样得到系统输出 的数学表达式。
对于3.1式描述的连续时间系统，数值求解的原理是先将微分方程离散化，近 似为相应的差分方程(将 dt 近似为 ∆t)，再求解差分方程，因此其数值求解方法方 法与上述的离散系统的求解方法是类似的。
∑N bk sk
H
(s)
=
k=0
∑M ak sk
k=0
即可求出指定时间范围内 h(t) 的数值解并画出其时域波形。类似的函数还 有step函数，可用来计算和绘制单位阶跃响应 s(t)。例如
例 1 描述连续时间系统的微分方程为 y′′ (t) + 2y′ (t) + 5y (t) = x′ (t) + 5x (t)， 计算系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。
2
4
6
Time (seconds)
Step Response
8
10
2
4
6
Time (seconds)
8
10
Amplitude
图 3.2 单位冲激响应和单位阶跃响应
4 subplot(2,1,1); impz(b,a,N); subplot(2,1,2); stepz(b,a,N);
即可求得响应的波形，结果如图3.3所示。 也可根据 y[n] 的表达式，通过递推来得出各个 n 对应的响应。这将留作本实 验的实验内容之一。
数值求解的基本原理
3.2式所描述的离散时间因果 LTI 系统（通常也称为数字滤波器）可分为两个 部分：一部分是自递归(AR, autoregressive)的 IIR 滤波器：
∑n akω [n − k] = x [n] ,
k=0
(3.3)
32
实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
AR 滤波器的当前的输出与之前的输出有关，可递归地求得输出；另一部分是滑动 平均(MA, moving average)的 FIR 滤波器：
31
3.2 实验原理 LTI 系统的时域分析
实验三 线性时不变系统的时域分析
很多信号和系统问题可归结为求解微分方程和差分方程的问题。如连续时间 LTI 系统的输入信号 x(t) 和响应 y(t) 用线性常系数微分方程来描述：
∑n dky (t) ak dtk
Baidu Nhomakorabea
=
∑m dk x (t) bk dtk
,
subplot(2,1,1); impulse(sys,t); 6 subplot(2,1,2); step(sys,t);
即可画出如图3.2所示的单位冲激响应和单位阶跃响应的波形。 如果运行命令
ht=impulse(sys,t); 2 st=step(sys,t);
则可得到单位冲激响应和单位阶跃响应的数值解。
很多线性 LTI 系统的数学模型可以归纳为 n 阶线性常系数微分方程（对于连续 时间系统）和差分方程（对于离散时间系统），或者表示为一阶常微分（差分）方 程组（常称为状态空间模型）。如果已知系统的输入信号和初始状态，我们或许可 以通过解析的方法求解系统的响应。但对于一般的问题，往往不一定存在解析解， 而且即使有解析解，对于高阶系统，求解过程也可能相当繁琐。因此本实验我们将 学习用 MATLAB 对 LTI 系统的时域响应进行数值求解和仿真的方法。
2. 离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 MATLAB 的 signal processing 工具箱中提供了求解离散时间系统（通常称为 数字滤波器）单位脉冲响应的函数impz的和单位阶跃响应的函数stepz。 例 2 已知描述离散时间系统的差分方程为 y [n] + 0.4y [n − 1] − 0.12y [n − 2] = x [n] + 2x [n − 1]，计算系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。 解 运行以下的脚本
图 3.1 Simulink 的 Library Browser 窗口
在“Simulink Library Brower”窗口中，选择新建模型(New model)打开一个 空白模型窗口。用鼠标将所需要的模块拖动到模型窗口中，用连接线将各模块连接 起来，再给定系统的初始状态和输入信号，即可仿真系统执行的过程，得到输出结 果。
3. 用lsim函数求解系统的全响应 control system 工具箱提供的lsim函数可以仿真连续时间和离散时间 LTI 系统 任意输入信号时的时域响应。其调用格式参见 MATLAB 的帮助文档。这里仅 举两例说明其用法。 例 3 已知系统的微分方程为 y′′ (t) + 5y′ (t) + 6y (t) = x′ (t) + 5x (t)，输入信号 为 x (t) = 5 sin t，系统的初始条件为 y(0−) = 27, y′(0−) = −30，求系统的零输 入相应、零状态响应和全响应。 解 由于lsim函数关于初始条件的输入参量是系统状态变量（即直接 II 型结构 框图各个积分器的输出值）的初始值，所以需要将微分方程转换为如3.7所示 的状态空间模型，即一阶常微分方程组的形式（其中系数矩阵 A、B、C 和 D
4. impz函数：给定系统函数，计算离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应；
5. stepz函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
6. filter函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算离散时间 LTI 系统的 响应。
以下的函数可用于构造系统模型，或者不同系统模型之间的转换：
3. ss2tf和tf2ss函数：提供两种系统模型之间的转换。
(3.6) (3.7)
3.2.1 Simulink 建模和仿真
Simulink 是 MathWorks 公司基于 MATLAB 开发的用于多领域建模和仿真的 软件包，常集成于 MATLAB 中与之配合使用。它提供了一个交互式的图形化环境 和可自定义的模块库，可对各种系统，例如通信、控制、信号处理以及图像处理 等系统进行设计、仿真、执行和测试。Simulink 的建模和仿真功能非常强大，在 MathWorks 的网站可找到Simulink 的入门和功能介绍。
1. impulse函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位冲激响应；
2. step函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
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3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
3. lsim函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算连续时间和离散时间 LTI 系统的响应；
3.2 实验原理
线性时不变系统（LTI）对输入信号的响应等于系统的单位冲激响应与输入信 号的卷积。通过卷积可求得 LTI 系统对任意输入信号的响应。如果我们从某一初 始时刻（如 t = 0）开始分析某 LTI 系统，则通过卷积可以求得系统的零状态响应。 因此卷积是 LTI 系统时域分析的基本方法之一。在上一个实验中我们已学习了在 MATLAB 中实现卷积的方法。
k=0
k=0
(3.1)
如果已知输入信号 x(t) 及系统的初始条件 y (0−), y′ (0−), y′′ (0−), · · · , y(n−1) (0−)，可 求出系统的响应。对于离散时间 LTI 系统，其输入信号 x[t] 和系统响应 y[t] 用线性 常系数差分方程表示：
∑n
∑m
aky [n − k] = bk x [n − k]
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
在 MATLAB 中的工具栏点击 Simulink 图标，或在命令行中输入“simulink”， 即可启动 Simulink，显示如3.1所示的“Simulink Library Browser”窗口。从中可 以看到 Simulink 预定义的基本模块库及其子库，如 Continuous, Discrete, ..., Sinks, Sources 等等。其中 Continuous 和 Discrete 分别存放的是对连续和离散信号及系 统进行操作的运算符，如 Derivative（求导）、Integrator（积分器）、Transfer Fcn （传递函数）、State-Space（状态空间）、Difference（差分）、Discrete Filter（离散 滤波器）、Discrete State-Space（离散状态空间）等等；在 Sources 中存放了各种 信号源，如 Clock（时间 t）、Constant（常数）、Sine Wave（正弦波）, Step（阶梯 波）、Signal Generator（信号发生器）等等；在 Sinks 存放的是对信号进行显示和 存储终端，如 Scope（示波器）、XY Graph（显示两变量的函数关系）、To File（存 储到文件）等等。
k=0
k=0
(3.2)
如果已知 x[n] 和 y[k − 1], y[k − 2], · · · , y[k − N]，也可求出 n ≥ k 时 y[n] 的值。
通常我们从某一时刻(t = 0)时刻开始分析某 LTI 系统，系统的响应可表示为零 输入响应和零状态响应两部分之和。零输入响应是指系统初始时刻之后的输入为 零、仅由系统的初始状态引起的系统的输出，零状态响应是指系统的初始状态为 零、仅由系统初始时刻之后的输入引起的系统的输出。
实验三 线性时不变系统的时域分析
3.1 实验目的
1. 学会使用 MATLAB 对线性时不变系统的时域特性进行仿真分析； 2. 熟悉 LTI 系统在典型激励下的响应及特征； 3. 掌握用 MATLAB 函数数值求解系统零输入响应和零状态响应的方法； 4. 学习使用 Simulink 进行系统建模和仿真。
MATLAB 的工具箱已有求解上述问题的函数，因此只需简单的函数调用即可数 值求解系统的各种响应，如冲激响应、阶跃响应、零输入响应和零状态响应等，可 大大简化复杂系统的设计和分析过程。另外 MathWorks 还提供了用于系统建模和 仿真的 Simulink 软件包，配合 MATLAB 使用可省去许多代码的重复编写工作，提 高求解的效率。
∑m y [n] = bkω [n − k] ,
k=0
(3.4)
MA 滤波器的输出是非递归的，只和输入有关，可通过卷积计算。因此3.2式给出的
IIR 滤波器也称为 ARMA 滤波器。一般来说，总是可以将3.2式写为递推的形式：
y [n]
=
1 a0
− ∑n aky [n
k=1
−
k] +
∑m bk x [n
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3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
control system 工具箱专门提供了impulse函数。只要提供描述系统的微分方 程的系数 ak 和 bk，或者说，系统传递函数 H(s) 或频率响应 H( jω)，
解 本例题的单位冲激响应的解析解为 h(t) = e−t (cos 2t + 2 sin 2t) u (t)。在 MATLAB 中运行以下的脚本
a=[1 2 5]; % Denominators. 2 b=[1 5]; % Numerators.
sys=tf(b,a); % Define a transfer function object. 4 t=0:0.01:10;
a=[1 0.4 -0.12]; % Denominators. 2 b=[1 2]; % Numerators.
N=15; %Number of samples.
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
Amplitude
1.5 1
0.5 0
−0.5 0
1.5 1
0.5 0 0
Impulse Response
相关 MATLAB 函数
MATLAB 的 control system 和 signal processing 等工具箱中提供了一系列的函 数可用来计算 LTI 系统的各种响应。一般来说只需提供微分方程（或差分方程）的 系数（即系统函数），即可得出系统的冲激响应和阶跃响应。如果再提供初始条件 和输入信号，则可得到系统的零输入响应、零状态响应和全响应。这里仅简单列举 相关函数及其功能，更详细的信息请参见 MATLAB 的在线帮助文档。
系统响应的时域解析解法的过程是先求出微分方程（或差分方程）的齐次解， 再根据输入信号的形式确定方程的特解，然后根据初始条件确定解的系数，最后得 到系统的响应。零输入响应和零状态响应需要根据输入信号和初始条件的不同，分 别求解得到。这种计算可能相当繁琐，而且不一定存在解析解，需要通过数值方法 来求解。
1. tf函数：给定 ak 和 bk，构造一个系统函数（或称为传递函数）为
∑n bk sk
H
(s)
=
k=0
∑m ak sk
k=0
的模型；
2. ss函数，给定 A、B、C 和 D，构造一个由
d ω (t) = Aω (t) + Bx (t) dt
y (t) = Cω (t) + Dx (t)
描述的状态空间(state-space)系统模型；
k=0
− k]
(3.5)
根据系统的初始条件和输入信号即可递推地算出 y[n]。这种方法简单直观，且适合 计算机求解，但通常只能求出系统输出序列的值，不能像解析解那样得到系统输出 的数学表达式。
对于3.1式描述的连续时间系统，数值求解的原理是先将微分方程离散化，近 似为相应的差分方程(将 dt 近似为 ∆t)，再求解差分方程，因此其数值求解方法方 法与上述的离散系统的求解方法是类似的。
∑N bk sk
H
(s)
=
k=0
∑M ak sk
k=0
即可求出指定时间范围内 h(t) 的数值解并画出其时域波形。类似的函数还 有step函数，可用来计算和绘制单位阶跃响应 s(t)。例如
例 1 描述连续时间系统的微分方程为 y′′ (t) + 2y′ (t) + 5y (t) = x′ (t) + 5x (t)， 计算系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。
2
4
6
Time (seconds)
Step Response
8
10
2
4
6
Time (seconds)
8
10
Amplitude
图 3.2 单位冲激响应和单位阶跃响应
4 subplot(2,1,1); impz(b,a,N); subplot(2,1,2); stepz(b,a,N);
即可求得响应的波形，结果如图3.3所示。 也可根据 y[n] 的表达式，通过递推来得出各个 n 对应的响应。这将留作本实 验的实验内容之一。
数值求解的基本原理
3.2式所描述的离散时间因果 LTI 系统（通常也称为数字滤波器）可分为两个 部分：一部分是自递归(AR, autoregressive)的 IIR 滤波器：
∑n akω [n − k] = x [n] ,
k=0
(3.3)
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
AR 滤波器的当前的输出与之前的输出有关，可递归地求得输出；另一部分是滑动 平均(MA, moving average)的 FIR 滤波器：
31
3.2 实验原理 LTI 系统的时域分析
实验三 线性时不变系统的时域分析
很多信号和系统问题可归结为求解微分方程和差分方程的问题。如连续时间 LTI 系统的输入信号 x(t) 和响应 y(t) 用线性常系数微分方程来描述：
∑n dky (t) ak dtk
Baidu Nhomakorabea
=
∑m dk x (t) bk dtk
,
subplot(2,1,1); impulse(sys,t); 6 subplot(2,1,2); step(sys,t);
即可画出如图3.2所示的单位冲激响应和单位阶跃响应的波形。 如果运行命令
ht=impulse(sys,t); 2 st=step(sys,t);
则可得到单位冲激响应和单位阶跃响应的数值解。
很多线性 LTI 系统的数学模型可以归纳为 n 阶线性常系数微分方程（对于连续 时间系统）和差分方程（对于离散时间系统），或者表示为一阶常微分（差分）方 程组（常称为状态空间模型）。如果已知系统的输入信号和初始状态，我们或许可 以通过解析的方法求解系统的响应。但对于一般的问题，往往不一定存在解析解， 而且即使有解析解，对于高阶系统，求解过程也可能相当繁琐。因此本实验我们将 学习用 MATLAB 对 LTI 系统的时域响应进行数值求解和仿真的方法。
2. 离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 MATLAB 的 signal processing 工具箱中提供了求解离散时间系统（通常称为 数字滤波器）单位脉冲响应的函数impz的和单位阶跃响应的函数stepz。 例 2 已知描述离散时间系统的差分方程为 y [n] + 0.4y [n − 1] − 0.12y [n − 2] = x [n] + 2x [n − 1]，计算系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。 解 运行以下的脚本
图 3.1 Simulink 的 Library Browser 窗口
在“Simulink Library Brower”窗口中，选择新建模型(New model)打开一个 空白模型窗口。用鼠标将所需要的模块拖动到模型窗口中，用连接线将各模块连接 起来，再给定系统的初始状态和输入信号，即可仿真系统执行的过程，得到输出结 果。
3. 用lsim函数求解系统的全响应 control system 工具箱提供的lsim函数可以仿真连续时间和离散时间 LTI 系统 任意输入信号时的时域响应。其调用格式参见 MATLAB 的帮助文档。这里仅 举两例说明其用法。 例 3 已知系统的微分方程为 y′′ (t) + 5y′ (t) + 6y (t) = x′ (t) + 5x (t)，输入信号 为 x (t) = 5 sin t，系统的初始条件为 y(0−) = 27, y′(0−) = −30，求系统的零输 入相应、零状态响应和全响应。 解 由于lsim函数关于初始条件的输入参量是系统状态变量（即直接 II 型结构 框图各个积分器的输出值）的初始值，所以需要将微分方程转换为如3.7所示 的状态空间模型，即一阶常微分方程组的形式（其中系数矩阵 A、B、C 和 D
4. impz函数：给定系统函数，计算离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应；
5. stepz函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
6. filter函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算离散时间 LTI 系统的 响应。
以下的函数可用于构造系统模型，或者不同系统模型之间的转换：
3. ss2tf和tf2ss函数：提供两种系统模型之间的转换。
(3.6) (3.7)
3.2.1 Simulink 建模和仿真
Simulink 是 MathWorks 公司基于 MATLAB 开发的用于多领域建模和仿真的 软件包，常集成于 MATLAB 中与之配合使用。它提供了一个交互式的图形化环境 和可自定义的模块库，可对各种系统，例如通信、控制、信号处理以及图像处理 等系统进行设计、仿真、执行和测试。Simulink 的建模和仿真功能非常强大，在 MathWorks 的网站可找到Simulink 的入门和功能介绍。
1. impulse函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位冲激响应；
2. step函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
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3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
3. lsim函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算连续时间和离散时间 LTI 系统的响应；
3.2 实验原理
线性时不变系统（LTI）对输入信号的响应等于系统的单位冲激响应与输入信 号的卷积。通过卷积可求得 LTI 系统对任意输入信号的响应。如果我们从某一初 始时刻（如 t = 0）开始分析某 LTI 系统，则通过卷积可以求得系统的零状态响应。 因此卷积是 LTI 系统时域分析的基本方法之一。在上一个实验中我们已学习了在 MATLAB 中实现卷积的方法。
k=0
k=0
(3.1)
如果已知输入信号 x(t) 及系统的初始条件 y (0−), y′ (0−), y′′ (0−), · · · , y(n−1) (0−)，可 求出系统的响应。对于离散时间 LTI 系统，其输入信号 x[t] 和系统响应 y[t] 用线性 常系数差分方程表示：
∑n
∑m
aky [n − k] = bk x [n − k]
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
在 MATLAB 中的工具栏点击 Simulink 图标，或在命令行中输入“simulink”， 即可启动 Simulink，显示如3.1所示的“Simulink Library Browser”窗口。从中可 以看到 Simulink 预定义的基本模块库及其子库，如 Continuous, Discrete, ..., Sinks, Sources 等等。其中 Continuous 和 Discrete 分别存放的是对连续和离散信号及系 统进行操作的运算符，如 Derivative（求导）、Integrator（积分器）、Transfer Fcn （传递函数）、State-Space（状态空间）、Difference（差分）、Discrete Filter（离散 滤波器）、Discrete State-Space（离散状态空间）等等；在 Sources 中存放了各种 信号源，如 Clock（时间 t）、Constant（常数）、Sine Wave（正弦波）, Step（阶梯 波）、Signal Generator（信号发生器）等等；在 Sinks 存放的是对信号进行显示和 存储终端，如 Scope（示波器）、XY Graph（显示两变量的函数关系）、To File（存 储到文件）等等。
k=0
k=0
(3.2)
如果已知 x[n] 和 y[k − 1], y[k − 2], · · · , y[k − N]，也可求出 n ≥ k 时 y[n] 的值。
通常我们从某一时刻(t = 0)时刻开始分析某 LTI 系统，系统的响应可表示为零 输入响应和零状态响应两部分之和。零输入响应是指系统初始时刻之后的输入为 零、仅由系统的初始状态引起的系统的输出，零状态响应是指系统的初始状态为 零、仅由系统初始时刻之后的输入引起的系统的输出。
实验三 线性时不变系统的时域分析
3.1 实验目的
1. 学会使用 MATLAB 对线性时不变系统的时域特性进行仿真分析； 2. 熟悉 LTI 系统在典型激励下的响应及特征； 3. 掌握用 MATLAB 函数数值求解系统零输入响应和零状态响应的方法； 4. 学习使用 Simulink 进行系统建模和仿真。
MATLAB 的工具箱已有求解上述问题的函数，因此只需简单的函数调用即可数 值求解系统的各种响应，如冲激响应、阶跃响应、零输入响应和零状态响应等，可 大大简化复杂系统的设计和分析过程。另外 MathWorks 还提供了用于系统建模和 仿真的 Simulink 软件包，配合 MATLAB 使用可省去许多代码的重复编写工作，提 高求解的效率。
∑m y [n] = bkω [n − k] ,
k=0
(3.4)
MA 滤波器的输出是非递归的，只和输入有关，可通过卷积计算。因此3.2式给出的
IIR 滤波器也称为 ARMA 滤波器。一般来说，总是可以将3.2式写为递推的形式：
y [n]
=
1 a0
− ∑n aky [n
k=1
−
k] +
∑m bk x [n