三线性时不变系统的时域分析

系统响应的时域解析解法的过程是先求出微分方程（或差分方程）的齐次解， 再根据输入信号的形式确定方程的特解，然后根据初始条件确定解的系数，最后得 到系统的响应。零输入响应和零状态响应需要根据输入信号和初始条件的不同，分 别求解得到。这种计算可能相当繁琐，而且不一定存在解析解，需要通过数值方法 来求解。
解 本例题的单位冲激响应的解析解为 h(t) = e−t (cos 2t + 2 sin 2t) u (t)。在 MATLAB 中运行以下的脚本
a=[1 2 5]; % Denominators. 2 b=[1 5]; % Numerators.
sys=tf(b,a); % Define a transfer function object. 4 t=0:0.01:10;
3.2 实验原理
线性时不变系统（LTI）对输入信号的响应等于系统的单位冲激响应与输入信 号的卷积。通过卷积可求得 LTI 系统对任意输入信号的响应。如果我们从某一初 始时刻（如 t = 0）开始分析某 LTI 系统，则通过卷积可以求得系统的零状态响应。 因此卷积是 LTI 系统时域分析的基本方法之一。在上一个实验中我们已学习了在 MATLAB 中实现卷积的方法。
实验三 线性时不变系统的时域分析
3.1 实验目的
1. 学会使用 MATLAB 对线性时不变系统的时域特性进行仿真分析； 2. 熟悉 LTI 系统在典型激励下的响应及特征； 3. 掌握用 MATLAB 函数数值求解系统零输入响应和零状态响应的方法； 4. 学习使用 Simulink 进行系统建模和仿真。
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3.2 实验原理 LTI 系统的时域分析
实验三 线性时不变系统的时域分析
很多信号和系统问题可归结为求解微分方程和差分方程的问题。如连续时间 LTI 系统的输入信号 x(t) 和响应 y(t) 用线性常系数微分方程来描述：
∑n dky (t) ak dtk
=
∑m dk x (t) bk dtk
,
3. 用lsim函数求解系统的全响应 control system 工具箱提供的lsim函数可以仿真连续时间和离散时间 LTI 系统 任意输入信号时的时域响应。其调用格式参见 MATLAB 的帮助文档。这里仅 举两例说明其用法。 例 3 已知系统的微分方程为 y′′ (t) + 5y′ (t) + 6y (t) = x′ (t) + 5x (t)，输入信号 为 x (t) = 5 sin t，系统的初始条件为 y(0−) = 27, y′(0−) = −30，求系统的零输 入相应、零状态响应和全响应。 解 由于lsim函数关于初始条件的输入参量是系统状态变量（即直接 II 型结构 框图各个积分器的输出值）的初始值，所以需要将微分方程转换为如3.7所示 的状态空间模型，即一阶常微分方程组的形式（其中系数矩阵 A、B、C 和 D
∑N bk sk
H
(s)
=
k=0
∑M ak sk
k=0
即可求出指定时间范围内 h(t) 的数值解并画出其时域波形。类似的函数还 有step函数，可用来计算和绘制单位阶跃响应 s(t)。例如
例 1 描述连续时间系统的微分方程为 y′′ (t) + 2y′ (t) + 5y (t) = x′ (t) + 5x (t)， 计算系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。
1. tf函数：给定 ak 和 bk，构造一个系统函数（或称为传递函数）为
∑n bk sk
H
(s)
=
k=0
∑m ak sk
k=0
的模型；
2. ss函数，给定 A、B、C 和 D，构造一个由
d ω (t) = Aω (t) + Bx (t) dt
y (t) = Cω (t) + Dx (t)
描述的状态空间(state-space)系统模型；
应用实例 1. 连续时间 LTI 系统的单位冲激响应和单位阶跃响应 单位冲激响应 h(t) 是描述连续时间 LTI 系统的重要函数，为此 MATLAB 的
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3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
control system 工具箱专门提供了impulse函数。只要提供描述系统的微分方 程的系数 ak 和 bk，或者说，系统传递函数 H(s) 或频率响应 H( jω)，
∑m y [n] = bkω [n − k] ,
k=0
(3.4)
MA 滤波器的输出是非递归的，只和输入有关，可通过卷积计算。因此3.2式给出的
IIR 滤波器也称为 ARMA 滤波器。一般来说，总是可以将3.2式写为递推的形式：
y [n]
=
1 a0
− ∑n aky [n
k=1
−
k] +
∑m bk x [n
k=0
k=0
(3.1)
如果已知输入信号 x(t) 及系统的初始条件 y (0−), y′ (0−), y′′ (0−), · · · , y(n−1) (0−)，可 求出系统的响应。对于离散时间 LTI 系统，其输入信号 x[t] 和系统响应 y[t] 用线性 常系数差分方程表示：
∑n
∑m
aky [n − k] = bk x [n − k]
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
在 MATLAB 中的工具栏点击 Simulink 图标，或在命令行中输入“simulink”， 即可启动 Simulink，显示如3.1所示的“Simulink Library Browser”窗口。从中可 以看到 Simulink 预定义的基本模块库及其子库，如 Continuous, Discrete, ..., Sinks, Sources 等等。其中 Continuous 和 Discrete 分别存放的是对连续和离散信号及系 统进行操作的运算符，如 Derivative（求导）、Integrator（积分器）、Transfer Fcn （传递函数）、State-Space（状态空间）、Difference（差分）、Discrete Filter（离散 滤波器）、Discrete State-Space（离散状态空间）等等；在 Sources 中存放了各种 信号源，如 Clock（时间 t）、Constant（常数）、Sine Wave（正弦波）, Step（阶梯 波）、Signal Generator（信号发生器）等等；在 Sinks 存放的是对信号进行显示和 存储终端，如 Scope（示波器）、XY Graph（显示两变量的函数关系）、To File（存 储到文件）等等。
3. ss2tf和tf2ss函数：提供两种系统模型之间的转换。
(3.6) (3.7)
3.2.1 Simulink 建模和仿真
Simulink 是 MathWorks 公司基于 MATLAB 开发的用于多领域建模和仿真的 软件包，常集成于 MATLAB 中与之配合使用。它提供了一个交互式的图形化环境 和可自定义的模块库，可对各种系统，例如通信、控制、信号处理以及图像处理 等系统进行设计、仿真、执行和测试。Simulink 的建模和仿真功能非常强大，在 MathWorks 的网站可找到Simulink 的入门和功能介绍。
k=0
− k]
(3.5)
根据系统的初始条件和输入信号即可递推地算出 y[n]。这种方法简单直观，且适合 计算机求解，但通常只能求出系统输出序列的值，不能像解析解那样得到系统输出 的数学表达式。
对于3.1式描述的连续时间系统，数值求解的原理是先将微分方程离散化，近 似为相应的差分方程(将 dt 近似为 ∆t)，再求解差分方程，因此其数值求解方法方 法与上述的离散系统的求解方法是类似的。
图 3.1 Simulink 的 Library Browser 窗口
在“Simulink Library Brower”窗口中，选择新建模型(New model)打开一个 空白模型窗口。用鼠标将所需要的模块拖动到模型窗口中，用连接线将各模块连接 起来，再给定系统的初始状态和输入信号，即可仿真系统执行的过程，得到输出结 果。
1. impulse函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位冲激响应；
2. step函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
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3.2 实验原理
实验三 线性时不变系统的时域分析
3. lsim函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算连续时间和离散时间 LTI 系统的响应；
数值求解的基本原理
3.2式所描述的离散时间因果 LTI 系统（通常也称为数字滤波器）可分为两个 部分：一部分是自递归(AR, autoregressive)的 IIR 滤波器：
∑n akω [n − k] = x [n] ,
k=0
(3.3)
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实验三 线性时不变系统的时域分析
3.2 实验原理
AR 滤波器的当前的输出与之前的输出有关，可递归地求得输出；另一部分是滑动 平均(MA, moving average)的 FIR 滤波器：
相关 MATLAB 函数
MATLAB 的 control system 和 signal processing 等工具箱中提供了一系列的函 数可用来计算 LTI 系统的各种响应。一般来说只需提供微分方程（或差分方程）的 系数（即系统函数），即可得出系统的冲激响应和阶跃响应。如果再提供初始条件 和输入信号，则可得到系统的零输入响应、零状态响应和全响应。这里仅简单列举 相关函数及其功能，更详细的信息请参见 MATLAB 的在线帮助文档。
4. impz函数：给定系统函数，计算离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应；
5. stepz函数：给定系统函数，计算连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应；
6. filter函数：给定系统函数、初始状态和输入信号，计算离散时间 LTI 系统的 响应。