第三章1 线性系统的时域分析方法(3.12)(1)
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数字信号处理线性系统的时域分析法
(1)稳定必要条件
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
线性系统的时域分析法
得:
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
[sinβ
cosω d t+cosβ
sinω dt]
稳态分量
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
sin(ω
d
t+β
)
瞬态分量
第三节 二阶系统的时域分析
2. ζ=0 无/零阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1
C注(意s)=：(sd2+=2ζωnωnn2s2+-ω1n2
状态到最终状态的响应过程。
（2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，
系统输出量的表现方式。
第一节 系统时间响应的性能指标
四、动态性能与稳态性能 （1）动态性能
定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过程随时间t的变化状况的指标。
动态性能指标如下图：
第一节 系统时间响应的性能指标
)
•
1 s
=±ωj n
当= (s2ω+dωn2n2 )1• s1n
=
d
将s1 -不(s复2+存ωs n在2 )
单位阶跃响应曲线 c(t) ζ=0
单位阶跃响应: 1
c(t)=1-cosω nt
0
t
无阻尼振荡频率
第三节 二阶系统的时域分析
3.ζ=1 临界阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1=-ωn
f
(
t
)
=
t
.
1(
t
)
=
t
0
t 0 t<0
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] = F ( s ) = t
0
第3章线性系统的时域分析法自动控制原理课件
不同而有一簇, 见教材P.87图3-10. h() 1, 下面由
h(t) 1
1
1 2
e nt sin( n
12t )
根据动态性能指标的定义, 推导各项动态性能指标的计
算公式.
(1) 延迟时间 td : 由定义, 令 h(td ) 0.5 , 代入上式
ntd
1
ln
2sin(
1 2 tn d cos1 ) 1 2
(4) 脉冲信号(脉冲函数) 先看下面图型:
r (t )
具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,
R
0
其数学表达式为:
0 t 0
t
r(t)
R
0
0t t
由图可见, 脉动信号 的面积为R. 当脉动
信号的宽度 0
时, 其高度为 , 但
面积乃为R. 把宽度 0时的矩型脉动信号定义为脉
冲信号, 而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度.
尼, 0 1叫欠阻尼, 下面主要讨论欠阻尼时的动态
性能,欠阻尼时系统的两个极点为:
s1,2 n j数, d n 1 2 叫阻尼
振荡角频率,两个极点在s平面上的分布如下图所示, 图中
j
n
d n 1 2
cos , sin 1 2 ,
3-1 系统时间响应的性能指标
一﹑典型输入信号
工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种:
(1) 阶跃信号(阶跃函数) 其数学表达式和图形为:
0 t 0 r(t) R t 0
r(t) R
0
t
上式中R为常数, 当t=0时, r(0)不定, 且r(0 ) R, r(0) 0
当R=1时, 称为单位阶跃信号, 记为1(t).
第三章 线性系统的时域分析法1PPT课件
3.1 典型输入信号
控制系统的性能评价分为动态性能指标和稳态性能 指标两类。为了了解系统的时间响应，必须了解输入信 号的解析表达式。
然而，在一般情况下，控制系统的外加信号是随机 的无法预先确定，为了对各种控制系统的性能进行比较， 就要有一个共同的基础，因此需要选择若干典型信号作 为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响 应。
自动控制原理
AUTOMATIC CONTROL
主讲：黄国宏
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本章概述
分析和设计控制系统的首要工作就是确定系统的数学 模型，获得系统的数学模型后就可以采用不同的方法去 分析系统的性能。
本章主要研究线性系统动态性能和稳态性能分析的时 域方法。
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的 方法，它通过拉斯反变换求出系统输出量的表达式，具 有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信 息。
控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。例
如RC电路:
i(t) R
微分方程为:
ur (t)
RCddcu(tt)uc(t)ur(t)
C uc (t)
•
TC(t)C(t)r(t)
a 电路图
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压， T=RC为时间常数。
结构图 ：
当初始条件为零时，其传递函数为
因为dr(t)/dt=R, 所以斜坡函数代表匀速变化的信号。
例如：等速跟踪信号
3. 加速度函数
加速度函数的时域表达式为
r(t)
Rt 2
t0
r(t) 2
0
t0
0
t
式中，R为常数。当R＝1时, 称r(t)=t2/2为单位加速度 函数。因为d2r(t)/dt2=R, 所以加速度函数代表匀加速变 化的信号。
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
第3章线性系统的时域分析法
3）无超调；稳态误差ess=0 。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
根据各性能指标的定义，一阶系统的性能指标为：
（1）延迟时间： td 0.69T
（2）上升时间： tr 2.20T
（3）调节时间：
3T， 5% ts 4T， 2%
（4）响应曲线呈单调上升，无超调，无振荡。
因此峰值时间 t p、超调量 %和振荡次数N都不存在。
0<t<ts时间内，单位阶跃响应穿越其稳态值次数的一 半，定义为振荡次数。
3.1.3 控制系统的性能指标
2 稳态性能指标
当响应时间t>ts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳 态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，它是指当时 间趋于无穷时，系统期望输出与实际输出之间的差值。即
ess
lim
t
e(t)
出值的对应关系为
t T , c(T ) 0.632
c(t) 初始斜率为1/T
t 2T , c(2T ) 0.865
1
t 3T , c(3T ) 0.950
0.865 0.95 0.982
t 4T , c(4T ) 0.982
0.632 h(t)=1-e-t/T
t ,
c() 1
0
T 2T 3T 4T
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
当系统的输入信号为单位阶跃函数时，即 r(t)， 1(t)
R(s)=1/s 时：
c(t) L1[
1
1] L1[1
1
t
] 1e T
Ts 1 s
s s 1
T
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶单位阶跃响应具有如下特点:
（1）可以用时间常数T度量系统输出量的数值，T与输
第三章线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法3.1 知识框架3.2 重难点控制系统的性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标，在确定系统的数学模型后，便可以⽤⼏种不同的⽅法去分析控制系统给的动态性能和稳态性能，在经典控制理论中，经常使⽤时域分析法、根轨迹分析法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。
所谓时域分析法，是指控制系统在⼀定的输⼊信号作⽤下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
时域分析法是⼀种直接在时间域中对系统进⾏分析的⽅法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
由于控制系统的传递函数和微分⽅程之间具有确定的关系，因此在系统初始条件为零时，常常利⽤传递函数来研究控制系统的特性。
3.2.1 典型输⼊信号名称时域表达式复域表达式单位阶跃函数 1(),0t t ≥ 1s 单位斜坡函数 ,0t t ≥21s 单位加速度函数 21,02t t ≥ 31s 单位脉冲函数 (),0t t δ≥1 正弦函数sin A t ω22A ωω1) ⼆阶系统的时域分析；动态响应指标的求取；由动态响应指标确定⼀、⼆阶系统模型参数 2) 系统型别，开环放⼤增益，静态误差增益，根轨迹增益 3) 主导极点、附加闭环零、极点的概念，⾼阶系统简化为⼆阶系统 4) 劳斯稳定性判据；稳态误差5) 系统参数变化对系统稳定性、动态性能、稳定性的影响3.2.2 系统的时域性能指标(1) ⼀般认为，阶跃输⼊对系统来说是最严峻的⼯作状态。
描述稳态的系统在单位阶跃函数作⽤下，动态过程随时间t 的变化情况的指标，称为动态性能指标。
为了便于分析和⽐较，假定系统在单位阶跃输⼊信号作⽤前处于静⽌状态，⽽且输出量及其各阶倒数均等于零。
对⼤多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。
如图：延迟时间d t ：响应曲线第⼀次到达其终值⼀般所需的时间上升时间r t ：指响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从第⼀次上升到终值所需的时间。
线性系统的时域分析方法
第三章线性系统的时域分析方法教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、二阶系统的时域分析方法。
教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。
教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。
本章知识结构图：系统结构图闭环传递函数一阶标准式二阶标准式特征方程稳定性、稳定域代数判据误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益公式静态误差系数第九讲3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。
（1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。
（2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。
系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点（1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准） （3）稳定性（稳） 二、动态性能及稳态性能1、动态过程（过渡过程）：在典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。
（衰减、发散、等幅振荡）2、稳态过程：在典型信号作用下，当t → ∞ 系统输出量表现的方式。
表征输出量最终复现输入量的程度。
（稳态误差描述）3、动态稳态性能指标图3-1温度控制系统原理图（1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。
（2）峰值时间tp ：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。
（3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。
（稳）（3-1）%100)(()(%⨯∞∞-=h h t h p ）δ（4）调节时间ts ：输出响应到达并保持在稳态值h(∞)±5%误差带内所用的最短时间。
（快）（5）稳态误差ess ：若时间t - ∞，系统理想输出值与实际输出值的偏差，即ess=输出理想值-实际输出值。
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可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升
越快，响应过程的快速性也越好。
自动20控13-制10-2原4 理
自动控制原理2010年9月
19
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
持初始响应的变化速度
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e-
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
不变，则当t=T时，输出
量就能达到稳态值。
t
实际上，响应曲线的斜
0
T 2T 3T 4T 5T
图 3-4指 数 响 应 曲 线
率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值
的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。
s
C (s)
=
1 .1 Ts + 1 s
=
1 s
−
s
1 +1
T
对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
−t
C (t ) = 1 − e T (t ≥ 0) (3-2)
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自动控制原理2010年9月
17
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
自动20控13-制10-2原4 理
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13
3.2 一阶系统的时域分析
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统, 典
型闭环控制一阶系统如图3-3所示.其中 1 是积分环
节，T为它的时间常数。
Ts
R(s)
1
C(s)
-
Ts
3-3 一阶系统的结构图
自动20控13-制10-2原4 理
自动控制原理2010年9月
号
1 （单位）脉冲函数（Impulse function） δ (t) , t = 0
正弦函数（Simusoidal function）Asinwt ，当输入作用具有周期性变化时。 Aω
自动20控13-制10-2原4 理
s 自2 动+控ω制原2 理2010年9月
3
3.1.1 典型输入信号
U(t)
1 t2 2
的系统，也可以定义为从0第一
0.1 h(∞)
0 tr
次上升到终值所需的时间。上升
t 时间越短，响应速度越快 。
tp ts
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
3峰值时间 t p
响应超过其终值达到第一个峰 值所需要的时间。
自动20控13-制10-2原4 理
t
1
δ(t)
0
自动20控13-制10-2原4 理
1(t)
•Asin（ωt）
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t
4
3.1.1 典型输入信号
在分析系统时究竟采用哪种典型的输入信号？
1）取决于系统常见的工作状态
2）在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统 的典型输入信号
恒值控制系统: 温度、水位、压力等调节系统以及工作状态突 然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃 函数作为典型输入信号。 随动控制系统：斜坡函数 宇宙飞船控制系统:加速度函数 控制系统的输入量是冲击输入量时：脉冲函数 当系统的输入具有周期性变化时：正弦函数
对上式进行拉氏变换，求得单位脉冲响应为
=
s
1 T
+
1 T
C (t) =
1
e
−
t
（T t≥0
(3-3)
C(t)
T）
1
由此可见，系统的单位脉冲响 应就是系统闭环传递函数的拉 氏逆变换。一阶系统的单位脉
T 1 0.368T
斜率
−
1 T2
C(t)
冲响应曲线如图3-5所示。
t
T
2T 3T
图3-5 一阶系统的脉冲响应
稳态过程 是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋近于无穷 时，系统输出量的表现方式，表征系统输出量最终复现输入
量的程度。——稳态响应 Steady_state Response
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6
3.1.2 动态性能和稳态性能
• 在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如 达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳
小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢。
自动20控13-制10-2原4 理
自动控制原理2010上年页9月 下页
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3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 Unit-impulse response of first-order systems
r(t) = δ(t), R(s)=1,
C(S) = 1 Ts + 1
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11
3.1.2 动态性能和稳态性能
t r 或 t p 评价系统的响应速度；
t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
σ% 评价系统的阻尼程度。
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3.1.2 动态性能和稳态性能
（2）稳态性能
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能 指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速 度函数作用下进行测定或计算。若t趋于 无穷时，系统的输出量不等于输入量或输 入量的确定函数，则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的 一种度量。
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16
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程， 可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。
设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏 变换为 R ( s ) = 1 ,则输出的拉氏变换为：
式，黄色框中为频域表达式）
1
（单位）阶跃函数（Step function）
1(t) , t ≥ 0
s
典 型 输 入 信
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 t , t ≥ 0 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线
1 s2
1t2 , t ≥ 0 2
1 s3
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10
h(t)
Mp超 调 量
1 h(∞) 0.9 h(∞)
td
0.5 h(∞)
0.1 h(∞)
0 tr tp ts
3.1.2 动态性能和稳态性能
允许误差
0.02或 0.05
t
4调节时间 t s ：
响应曲线达到并永远保
持在一个允许误差范 围内，所需的最短时 间。用稳态值的百分 数（通常取5%或 2%）作误差范围。
对应的微分方程为：
T dc (t ) + c(t ) = r (t ) d (t)
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15
3.2 一阶系统的时域分析
在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求 解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号 作用下的输出响应。
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2
3.1.1 典型输入信号
在大多数情况下， 实际系统的输入信号不可知性,为了便于分 析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较， 需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
典型输入信号：指根据系统常遇到的输入信号形 式，在数学描
述上加以理想化的一些基本输入函数。（白色框中为时域表达
14
3.2 一阶系统的时域分析
系统的传递函数为：Φ ( s ) = C ( s ) = 1 R ( s ) Ts + 1
（3－1）
可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而T也是闭环系统的惯 性时间常数。系统输入、输出之间的关系为：
C ( s ) = Φ ( s ).R ( s ) = 1 R ( s ) Ts + 1
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3.1.2 动态过程和稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都可由 动态过程和稳态过程两部分组成。
动态过程 又称为瞬态过程和过渡过程，是指系统在典型输入信 号作用下，系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际 控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统输出量不可能完 全复现输入量的变化。动态过程通常表现为衰减、发散或等幅 振荡。——瞬时响应Transient Response
响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-4所示。
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18
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
图3-4中指数响应曲线的初
1
始（t=0时）斜率为 T . 因此，如果系统保
3.1.2 动态性能和稳态性能
h(t)
Mp超 调 量
允许误差
1延迟时间 t d ：
（Delay Time）响应曲线第一次达 到稳态值的一半所需的时间。
1 h(∞) 0.9 h(∞)
td
0.5 h(∞)