线性系统的时域分析法简
线性系统的时域 分析法
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
线性系统时域响应分析
线性系统时域响应分析一、引言在电子工程领域中，线性系统是经常遇到的一种问题。
线性系统是指系统的输出与输入是线性相关的，系统的数学模型具有线性特性。
线性系统的时域响应分析是对这种系统在时间维度上的响应进行研究，是解决线性系统问题的关键步骤之一。
二、线性系统线性系统指的是系统的输入和输出之间存在线性关系。
这里的线性关系是指一个输入量的变化会导致输出量相应地变化，且变化量之间存在比例关系。
比如一个系统的输出是输入的两倍，那么当输入增加1个单位时，输出就会增加2个单位。
所以，线性系统的数学模型可以表示为：y(t) = Ax(t)其中，y(t)表示系统的输出信号，x(t)表示系统的输入信号，A 表示系统的传递函数。
三、时域响应时域响应指的是系统的输出随时间的变化关系。
在时域响应分析中，我们通常关注系统对于一段特定的输入信号的输出情况。
可以通过求解系统的微分方程或使用传递函数来计算系统的时域响应。
对于输入信号为f(t)的线性时不变系统来说，其输出信号为y(t) = f(t) * h(t)其中h(t)表示系统的单位冲激响应。
单位冲激响应是一个理论概念，是指系统对于一个短暂的、极其强烈的输入信号的响应。
可以通过测量系统对一个单位冲激信号的响应来得到单位冲激响应。
四、分析方法时域响应分析的目的是推导出系统对于特定输入信号的输出。
两种常用的分析方法是微分方程求解和传递函数求解。
微分方程求解：可以根据系统的微分方程求解输出信号，此方法适用于任何类型的输入信号，并且计算量较小，但是有时难以求解系统的微分方程。
传递函数求解：可以将系统的微分方程转换成传递函数，然后通过传递函数来计算输出信号。
传递函数方法比微分方程方法更简便，可以更好地分析系统的性能，但是需要知道系统的传递函数才能使用。
五、小结时域响应分析是解决线性系统问题的关键步骤之一。
在分析过程中，我们需要理解线性系统的基本特性，包括线性关系和时不变性。
我们还需要了解系统的微分方程和传递函数，以便通过这些工具来求解系统的时域响应。
第三章 线性系统的时域分析法(第三四五讲)
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e
1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
线性系统的时域分析法和误差计算
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。
h(t)C脉冲 (t)T1eTt
0.135/T
0.05/T
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
时域分析法， 根轨迹法， 频率法 非线性系统：描述函数法，相平面法
采样系统： Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
０T
0.95 0.982
响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样
2T 3T 4T
的响应称为非周期响应。 t 无振荡
c(t)
1.0 0.865
t
c( t)1eT
0t
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量
0.632
系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，
最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也
最大；无差跟踪
线性系统的时域分析实验报告
线性系统的时域分析实验报告线性系统的时域分析实验报告引言：线性系统是控制理论中的重要概念，它在工程领域中有广泛的应用。
时域分析是研究线性系统的一种方法，通过对系统输入和输出的时域信号进行观察和分析，可以得到系统的动态特性。
本实验旨在通过对线性系统进行时域分析，探究系统的稳定性、阶数和频率响应等特性。
实验一：稳定性分析稳定性是线性系统的基本性质之一，它描述了系统对于不同输入的响应是否趋于有界。
在本实验中，我们选取了一个简单的一阶系统进行稳定性分析。
首先，我们搭建了一个一阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一个单位阶跃信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后稳定在一个有限的值上，没有出现发散的情况。
因此，我们可以判断该系统是稳定的。
实验二：阶数分析阶数是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统的动态响应所需的最小延迟时间。
在本实验中，我们选取了一个二阶系统进行阶数分析。
我们搭建了一个二阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s^2+2s+1)。
然后，我们输入了一个正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后才稳定下来。
通过进一步分析，我们发现系统的输出波形具有两个振荡周期，这表明系统是一个二阶系统。
实验三：频率响应分析频率响应是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统对于不同频率输入信号的响应情况。
在本实验中，我们选取了一个低通滤波器进行频率响应分析。
我们搭建了一个低通滤波器，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一系列不同频率的正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，随着输入信号频率的增加，系统的输出幅值逐渐减小，表明系统对高频信号有较强的抑制作用。
这一结果与低通滤波器的特性相吻合。
结论：通过以上实验，我们对线性系统的时域分析方法有了更深入的了解。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e ：∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=s p t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts T s T Ks K s K s Ks -=+=+=+=+=Φλ:)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c tTTc eT t c tT 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-st T s e t h05.095.011=-=-st T e305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s∙==Φ===时 11 () ()1()ata s a C s h t e s s a ss a∙===-+=-+--时例1 已知系统结构图如右 其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH HH H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为atet h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
线性系统的时域分析
close all;clear all; a=[1 1;0 1]; b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; t=20:0.1:30; impulse(a,b,c,d,1,t)
[Y,X]=impulse(sys,iu,t)
close all;clear all; close all;clear all; a=[1 1;0 1]; a=[1 1;0 1]; b=[0 1;1 0]; b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; d=[0 1;1 0]; close all;clear all; %t=0:0.1:30; a=[1 1;0 1]; [y,x,t]=impulse(a,b,c,d,1,20) b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; t=20:0.1:30; impulse(a,b,c,d,1,t) impulse(a,b,c,d,20)?
求任意输入信号时系统的响应 [Y,X]=lsim(sys1,u,t)
格式1 格式1：lsim(sys1,u,t)
格式2 格式2：lsim(sys2,u,t,x0) [Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0) 说明： 为输入信号.t为等间隔时间向量. .t为等间隔时间向量 说明： u为输入信号.t为等间隔时间向量. sys1为 )或 )模型 模型。 sys1为tf( )或zpk( )模型。 sys2为 )模型 其中x0 模型。 x0为初始条件 sys2为ss( )模型。其中x0为初始条件
频 域 响 应 频域分析法是利用系统开环的奈氏图、波特图、尼氏图分析系 频域分析法是利用系统开环的奈氏图、 波特图、 统的性能，如系统的稳态性能、动态性能、稳定性。 统的性能，如系统的稳态性能、动态性能、稳定性。 系统稳定的充要条件： 如果开环系统有P 系统稳定的充要条件 ： 如果开环系统有 P 个极点在右半平面相 应于频率ω ∞→+∞变化时 开环频率特性G(jω)H(jω) 变化时， G(jω)H(jω)曲线逆 应于频率ω从-∞→+∞变化时，开环频率特性G(jω)H(jω)曲线逆 时针方向环绕（ 点的次数N 时针方向环绕（－1，j0）点的次数N等于右半根平面内的开环系统 的极点数P，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。 的极点数P 那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。 求连续系统的Nyquist Nyquist曲线 1 nyquist 求连续系统的Nyquist曲线 格式1 格式1：nyquist(sys) [re,im,w]=nyquist(sys) 格式2 格式2：nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys,w) 格式3 格式3：nyquist(sys,iu,w) [re,im,w]=nyquist(sys,iu w) 中任一种模型。 说明： sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型 说明： sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。w设定频率范围 省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist曲 绘制Nyquist 省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist 曲 对于带有返回参数的将不绘制 曲线,返回参数 绘制曲线 返回参数re im为 线 。 对于带有返回参数的将不 绘制 曲线 返回参数 re im 为 开环 G(jw)), G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw) 在各频率点的实部和虚部即 G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw)), im=Im(G(jw)) G(jw)). im=Im(G(jw)).
线性系统的时域分析法简剖析
0
8
K
20
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当 x2 时，进行平移变换：
s s) 1
D(s)
s3
s
2s)012
s2
100 s
100K
0
D(s) ) (s) 1)3 40 (s) 1)2 100(s) 1) 100K 0
s) 3 37 s) 2 23 s) (100K 61) 0
闭环特征方程： D(s) s3 7s2 14s K 0
劳斯表：
系统稳定充要条件：
s3 1 14
s2 7 K
s1 98 - K 0 7
s0 K
K 0 (98 K)
/
7
0
0
K
98
系统临界稳定时：
K 98
系统不稳定稳定时：
K 98
2）要求闭环极点全部位于s=-1左侧，则有新变量
s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1 为变量的特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系 数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。
推论： 1）第一列符号改变次数 = 系统特征方程含有正实部 根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。
2、劳思表定义
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
自动控制原理_线性系统时域响应分析
自动控制原理_线性系统时域响应分析1.线性系统时域响应概念线性系统是指其输入与输出之间存在线性关系的系统。
时域响应是指系统在时域上对不同输入信号的响应情况。
时域响应可以用系统的微分方程表示，也可以通过系统的冲激响应来表示。
2.常见的线性系统时域响应方法2.1零状态响应零状态响应是指系统在无初始条件下对输入信号的响应。
常用的分析方法有拉氏变换和复频域分析法。
拉氏变换法可以将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数。
复频域分析法通过将时间域信号变换到复频域，进而进行频域分析。
2.2零输入响应零输入响应是指系统在只有初始条件而没有输入信号的情况下的响应。
常用分析方法有状态方程法和拉氏变换法。
状态方程法将系统表示为一组一阶微分方程的形式，通过求解状态方程可以得到系统的零输入响应。
拉氏变换法可以将初始条件转化为代数方程进行求解。
2.3总响应总响应是指系统在有输入信号和初始条件的情况下的响应。
常用分析方法有零输入响应法和零状态响应法。
零输入响应法通过去除输入信号的影响，只考虑系统的初始条件来求解系统的响应。
零状态响应法则相反，通过去除初始条件的影响，只考虑输入信号来求解系统的响应。
最后，将两者相加得到系统的总响应。
3.线性系统时域响应的应用线性系统时域响应的分析方法可以应用于各种实际工程问题中。
例如，可以通过时域响应分析来评估系统的稳定性、性能和抗干扰能力。
此外，时域响应分析也可以用于设计控制器和参数优化。
通过对系统的时域响应进行分析和改进，可以使得系统更加可靠、稳定和高效。
4.总结线性系统时域响应分析是自动控制原理中的重要内容，可以应用于各种实际工程问题中。
本文介绍了线性系统时域响应的概念、方法和应用。
时域响应的分析方法包括零状态响应、零输入响应和总响应分析，分别适用于不同的问题和要求。
了解和掌握线性系统时域响应分析方法对于设计和优化控制系统具有重要意义。
线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标•稳→基本要求 •准→稳态要求↓ss e ：•快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=sp t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts Ts T K s K s K s K s -=+=+=+=+=Φλ :)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c t TTc e T t c t T 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-s t Ts et h05.095.011=-=-s t Te305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s •==Φ===时11() ()1()at a s a C s h t e s s a s s a•===-+=-+--时例1已知系统结构图如右其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH H H H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为at e t h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
天津大学812自动控制原理线性系统的时域分析方法概要
系统响应为稳态值为 1的无超调单调上升曲线。
（ 3）ξ>1 （过阻尼情况）
h(t) ? 1 ? e ? t / T1 ? e ?t /T2 T2 / T1 ? 1 T1 / T2 ? 1
系统响应为稳态值为 1的无超调单调上升曲线。
（4）ξ=0 （零阻尼情况） h(t)=1-cosω nt
?
响应特点 ：为单调下降曲线，响应幅度为1/τ，
初始变化率为
1 ?2
， tS=3τ。
第六页，编辑于星期一：四点 三十五分。
三、一阶系统的单位斜坡响应
C (s) ?
1
? 1 ? ? ? ?2
s 2 (?s ? 1) s 2 s ?s ? 1
有 h(t) ? t ? ? ? ?e ? t /?
e(t ) ? ? ? ?e ? t /?
1
?? 2 TM K
标准形式
系统的闭环极点：
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
第九页，编辑于星期一：四点 三十五分。
闭环极点分布规律：
-1<ξ<0
ξ <-1
ξ=0
ξ =1
0< ξ<1
ξ >1
第十页，编辑于星期一：四点 三十五分。
二、二阶系统的单位阶跃响应
系统闭环极点的性质与 ξ有关
一、二阶系统的数学模型
二阶系统可用如下框图表示，开环传函为惯性环节与积分环节的串联。
R -
K
C
s(TM s ? 1)
R -
?
2
n
C
s(s ? 2?? n )
系统的闭环传递函数为二阶系统，
线性系统时域分析
线性系统时域分析一、简述线性系统时域分析，简单来说就是研究线性系统在时间变化下的表现。
你可能会觉得，这听起来有点抽象，但其实它在我们日常生活中无处不在。
想象一下你调节家里的水龙头，水流的强弱、温度的变化其实就是一个线性系统在时间上的表现。
这就是我们研究这个领域的初衷——理解现实世界中的变化。
1. 介绍线性系统时域分析的重要性及其应用领域线性系统时域分析，听起来好像很高大上，但其实它在我们生活中无处不在。
你知道吗它就像是给电子世界的“大脑”做体检。
咱们先来聊聊它的重要性吧，想象一下当你用手机播放音乐时，音质是否清晰、流畅，很大程度上就依赖于这背后的线性系统时域分析。
再如汽车的安全系统、家电的控制电路，都需要线性系统来保证稳定可靠的工作状态。
咱们生活中的许多电子设备，离开了线性系统时域分析，可能就无法正常运行了。
那么线性系统时域分析到底应用在哪些领域呢？简单来说凡是涉及到电子信号传输、控制的地方，几乎都有它的身影。
比如通信领域，手机信号、网络信号的传输都离不开它。
还有自动化控制领域，机器的运行、调整都需要线性系统来保证精准控制。
再比如音频处理、图像处理等领域，也需要线性系统来确保信号的完整性和质量。
可以说线性系统时域分析是电子技术中不可或缺的一环，它的影响无处不在，咱们的生活都离不开它呢！2. 概述线性系统时域分析的基本概念和主要任务线性系统时域分析，听起来好像很复杂，但其实它是研究线性系统对输入信号响应的一种方法。
简单来说就是看看系统对输入的反应是怎样的，这里的“时域”，就是时间的领域，我们关心的是随着时间的推移，系统是如何响应的。
那么咱们就一起了解下这个分析的基本概念以及主要任务吧。
首先它的基本概念就是要理解一个线性系统是如何接受输入并产生输出的。
就像是你在给音响输入音乐，音响就会放出声音一样。
这里的音响系统，就是一个线性系统。
我们要探究的是，不同的输入会得到什么样的输出。
接下来主要任务是什么呢？我们要分析线性系统的特性，看看它是如何对不同的输入做出反应的。
时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
特殊情况：
（[劳处斯1理）阵办劳列法思中]阵：的某用其一很他行小项第的。一正若项数第系一数代次为替零零零（，的即而那其一）余项与系，其数然上不后项全据或为此下零计项。算的出
符号相反，计作一次符号变化。
[例]：s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1 s3 2 2 0
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
s(s 1)(2s 1)
系统特征方程为 2s3 3s2 (1 0.5K )s K 0
E (s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)G2 (s)H (s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K (0.5s
1)
R(s)
1 s2
E(s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K(0.5s
线性系统的时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统稳定性分析
稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首 要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环 境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作 用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如 何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制 理论的基本任务之一。
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闭环特征方程： D(s) s3 7s2 14s K 0
劳斯表：
系统稳定充要条件：
s3 1 14
s2 7 K
s1 98 - K 0 7
s0 K
K 0 (98 K)
/
7
0
0
K
98
系统临界稳定时：
K 98
系统不稳定稳定时：
K 98
2）要求闭环极点全部位于s=-1左侧，则有新变量
s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1 为变量的特征方程为：
sn a0 a2 a4 s n1 a1 a3 a5 s n2 b1 b2 b3 s n3 c1 c2 c3 sn4 d1 d2 d 3
s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
b1
a1a2
a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
c1
b1a3
a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
s5
1
5
6 解决方法：
s4
1
由全0行的上一行元素构
5
6 成辅助方程F(s)=0，并
s3 0 4 0 10 0 对其求导后，用所得系数
s2 5/2
6
代替全0行的元素。
s1 2/ 5
例如：F(s) s4 5s2 6 0
s0
6
求导得: F(s) 4s3 10s1 0
s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1
D(s) s4 s3 3s2 3s 2 0 各项系数均为正数
s4
1
3 2 解决方法：
s3
1
3 0 ①用无穷小正数代替零
s2 0( ) 2
后继续运算。
s1
3 2
0
②给系统增加一个稳定根。
s0
2
系统不稳定：有两个正实部根
• 特殊情况2：某一行元素全为零
D(s) s5 s4 5s3 5s2 6s 6 0 各项系数均为正数
4、劳斯判据的应用
例1： R(s)
K
C(s)
s(s 2 7s 14)
分析：1）K与系统稳定性的关系？
2）如果要使闭环极点全部位于s=-1垂线左 侧，问K值范围？（系统相对稳定性）
解：1）系统闭环传递函数为：
C(s)
K
K
R(s) s(s3 7s 14) K s3 7s2 14s K
第三章 线性系统的时域分析法
本章主要内容: 3.I 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
➢ 时间域：c(t) ➢ 复数域：G(s) ➢ 频率域：G(jw)
时域分析法
在时间域内研究控制系统性能的方法,它是通 过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的 时间响应，然后根据响应的表达式和响应曲线分析 系统的动态性能和稳态性能。
劳思判据判定稳定性： D(s) s4 2s3 3s2 4s 5 0
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2 2314 1 2510 5 0
2
2
符号改变
s1 1 4 2 5 6 1 0 2 0 0 0
1
s0
5
1 0
符0号改变
系统不稳定，且有两个正实部根
3、劳思(routh)判据的特殊情况
• 特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零
当 x2 时，进行平移变换：
s s) 1
D(s)
s3
s
2s)012
s2
100 s
100K
0
D(s) ) (s) 1)3 40 (s) 1)2 100(s) 1) 100K 0
s) 3 37 s) 2 23 s) (100K 61) 0
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系 数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。
推论： 1）第一列符号改变次数 = 系统特征方程含有正实部 根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。
2、劳思表定义
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
劳斯表出现全零行:
系统在s平面有对称分布的根：
①大小相等符号相反的实根
j
0
②共轭虚根
j
③对称于实轴的两对共轭复根
j
0
0
• 特殊情况3：多行元素全为零
Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根， 则系统不稳定。
参看：《现代控制系统》第八版 Richard C.Dorf Robert H.Bishop著
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
8
K
20
例2：
可见： 根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
系统稳定性只与内部特性有关，与输入无关
2、线性系统稳定的充要条件
系统特征方程的所有根都在S左半平面内
注意：稳定性与零点无关
3、判别稳定性的方法
1）求根法 2）代数判据（Routh） 3）根轨迹法 4）Nyquist判据 5）李雅普诺夫直接法
二、 代数判据--劳思稳定判据
1、判据描述：若线性系统的特征方程表示为：
D1(s) (s1 1)3 7(s1 1)2 14(s1 1) K 0 劳斯表： s13 4s12 3s1 K - 8 0
s13
1
3
s12
4
K -8
s11
12 - K 8 4
0
s10 K - 8
0
全部极点位于s=-1左侧， 即新系统稳定充要条件：
K -8 0 12 K 8
解.
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs 100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1
2000x 100K 20x
0
s0
100K
x0 K 20x
K0
(2)当 x2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。