控制系统的时域分析PPT课件
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自动控制原理课件：线性系统的动态时域分析
２.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近， 则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的系数 Ai 很小）。若某个极 点pi附近没有零点，且距离原点较近，则 Ai 就大，对暂态分量的影响就 大。
22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
１．过阻尼（＞1） 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
２．欠阻尼（ 0 1 ）的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式，便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0，M p 100% 1，M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图，其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ，试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
１．单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
，t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
１．过阻尼（＞1） 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
２．欠阻尼（ 0 1 ）的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式，便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0，M p 100% 1，M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图，其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ，试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
１．单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
，t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
04控制系统的时域分析3
§4-6 系统的误差分析 稳态误差的来源 系统结构不同，输入信号不同，输出稳态值可能 偏离输入值； 外来干扰； 系统中的摩擦、间隙、零件的变形、不灵敏区等 因素。
稳态误差表征了系统的精度及抗干扰的 能力，是系统重要的性能指标之一。
一、误差及稳态误差的概念 （1）误差的定义 比较装置的误差 E ( s) = R( s) − H (s) ⋅ C (s) 系统误差E ' ( s) = R( s) − C ( s)R(s) E ( s) G( s ) C ( s)B(s)H ( s)第二种在实际应用中往往量纲不同，如输入力、 输出位移，无法比较，常用第一种。
(2) 稳态误差E(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)C(s) G(s) = R(s) − H(s) ⋅ R(s) 1 + G(s)H(s) 1 = R(s) 1 + G(s)H(s)−1R(s)E ( s) G( s )C ( s)B(s)H ( s)误差的时间响应 e(t ) = L [ E ( s )] ①瞬态误差：对E(s)进行拉氏反变换得到时间响应 ②稳态误差：当t→∞时,误差的时间响应e(∞)ess = lim e(t ) = lim sE ( s )t →∞ s →0R(s)E ( s) G (s)C ( s)B(s)H ( s)sR ( s ) ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s ) H ( s )从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有 关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。
当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。
二、系统的稳态误差分析(1）影响稳态误差的因素 系统的开环传递函数可写成下面的形式：G (s) H (s) = K Π (τ i s + 1) sλm i =1 n −λΠ(T s + 1)j =1 j, n≥m=k (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) ⋅⋅⋅ (τ m s + 1)sλ(T1s + 1)(T2 s + 1) ⋅⋅⋅ (Tp s + 1)K : 系统的开环增益。
控制系统的时域瞬态响应分析 PPT
单位阶跃响应是以 ω n
1ξ 2 为角频率的衰减振荡，
随着 的减小，其振荡幅值加大。
二阶系统的瞬态响应
临界阻尼(=1)二阶系统的单位阶跃响应：图3-11
x(t) 1 ω n t e ω n t e ω n t (t 0 )
系统无超调。
二阶系统的瞬态响应
过阻尼(>1)二阶系统的单位阶跃响应：图3-12
x(t)tω 2te ωntω 2e ωnt (t0)
n
n
二阶系统的瞬态响应
过阻尼(>1)二阶系统的单位斜坡响应：图3-26
x(t)tω 2 ξn2ξ22 ω 1n ξ 2 ξ2 ξ1 21e (ξξ2 1)ω nt
2ξ212ξ
2
ξ 1e(ξξ21)ωnt
2ωn ξ21
(t0)
二阶系统的斜坡响应
控制系统的典型输入信号
加速度 xi(t函 ) a0 数 2t(t(t00 ))
控制系统的典型输入信号
正弦xi函 (t) 数 as0iw n (t t(t0 )0)
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
控制系统的典型输入信号
脉冲函数
xi(t) tl0i m0ta0 (0t t0) 0 (t 0或t t0)
一阶系统的瞬态响应
一阶惯性环节的单位斜坡响应
xi (t) t
e()=T
x 0(t) t T T t/e T(t 0 )
0
t
当 t = 时，e() = T 时间常数 T 越小，则该环节稳态的误差越小。
一阶系统的瞬态响应
一阶惯性环节的单位脉冲响应
xo(t)
1
T
x0(t)T1et/T(t0)
0
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
第三章-控制系统的时域分析2(第五讲)
s0
10>0
分析:第一列元素变பைடு நூலகம்两次,有两个有正实部的根,不稳定。
第七节 控制系统的稳定性与代数判据
(4)劳斯表计算时零元素的处理 (二)某一行元素全为零时（上两行元素相等或成比例） 处理: 用上一行元素构成辅助多项式并求导，用新多项 式系数替代原为零行元素
例: s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
第八节 控制系统的 稳态误差分析及误差系数
2). 稳定误差的定义和计算
E(s) R(s) G1(s) D(s) G2(s) H(s) Y(s)
B(s)
ess lim e (t ) lim sE ( s )
t s0
e (t ) r (t ) b (t ) e (t ) r (t ) y (t ) 当 H (s) 1
b2 s b1
2
s s pi s 2 k nk s nk
2 i 1 k 1
2
部分分式法：
Y (s) a s
q
j 1
aj s pj
r
k 1
bk ( s k nk ) ck nk 1 k s 2 k nk s nk
1 e
nt
1 nt
n t
负临界阻尼=-1
将各种阻尼下的阶跃响应归纳为：
y (t ) 1 e
0
特征根与单位阶跃响应示意图 s2+2ns+n2=0
y (t ) 1 e
n t
s1,2 = - nn(2-1)
控制系统的时域分析
1
第四章 控制系统的时域分析
4. 3 控制系统的动态特性 一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1．超调量——阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比 的百分数。下式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。
P
c(t P ) c() 100 % c()
2．延迟时间：响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
1
0.632
63.2%
86.5% 95% 98.2% 99.3%
0TLeabharlann 2T3T4T 5T t
这是一条指数曲线，t 0 处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。 而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。
3．峰值时间：对应于最大超调量发生的时间。
4．上升时间：动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需
的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％）
2
5．调整时间（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并保 持与终值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所需要 的时间。一般取±2%或±5%。
c(t) 误差带 ：0.05 或0.02
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
10
R(s)
K s(Ts 1)
C(s)
K
( s ) C( s )
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
令：
2 n
K T
2 n
1 T
则 二阶系统标准式:
( s )
s2
2 n
2
n
s
2 n
第四章 控制系统的时域分析
4. 3 控制系统的动态特性 一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1．超调量——阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比 的百分数。下式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。
P
c(t P ) c() 100 % c()
2．延迟时间：响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
1
0.632
63.2%
86.5% 95% 98.2% 99.3%
0TLeabharlann 2T3T4T 5T t
这是一条指数曲线，t 0 处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。 而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。
3．峰值时间：对应于最大超调量发生的时间。
4．上升时间：动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需
的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％）
2
5．调整时间（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并保 持与终值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所需要 的时间。一般取±2%或±5%。
c(t) 误差带 ：0.05 或0.02
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
10
R(s)
K s(Ts 1)
C(s)
K
( s ) C( s )
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
令：
2 n
K T
2 n
1 T
则 二阶系统标准式:
( s )
s2
2 n
2
n
s
2 n
第三章控制系统的时域分析法11
Routh稳定判据
(4)Routh表中第一列元素都是正数 实部为正数的根的个数等于Routh表的第一列元素符号 改变的次数
由此可知e.g.1的(3)是稳定的。
Routh稳定判据的应用
e.g.3 某系统的特征方程为a3S3+a2S2+a1S+a0=0，判 断系统稳定的充要条件。
解: (1) 必要性：ai＞0，i=0,1,2,3
3.1 引言
➢ 传递函数：建立的数学模型
➢ 性能分析：稳定性、动态性能和稳态性能分析
➢ 分析方法：时域分析法、根轨迹法、频域分析法
➢ 时域分析法：直接在时间域中对系统进行分析， 具有直观，准确的优点，可以提供系统时间响应 的全部信息
适用范围
拉氏变换
系统微分方程(t)
传递函数(S)
稳定性
拉氏变换
输入信号(t)
b2
b3
S n3
c1
c2
c3
S n4 d1
d2
d3
S2
e1
e2
S1
f1
S0
g1
Routh稳定判据
Routh计算表的前两行元素由多项式的系数所组成。 从第三行开始，各行元素按下列公式计算：
an an2
b1
an1 an3 an1
an1 an3
c1
b1 b2 b1
b1 b2
d1
c1 c2 c1
(2) 列Routh表如下 S 4 1 3 2 S3 3 3 S2 2 2 S1 0 S0 0 0
？ (3)
Routh稳定判据的应用
Key:如果Routh表第一列元素出现0，则可以用一个小的
正数 代替它，然后继续计算其他元素
lisha 自控 控制系统时域分析实例PPT课件
2列写原始方程式直流电动机的数学模型感应感应电势电势正比于正比于转速转速t和激磁电流和激磁电流fi产生的磁通量产生的磁通量由于激磁电流是恒定的由于激磁电流是恒定的所以磁通量也恒定所以磁通量也恒定感应电势仅取感应电势仅取决于决于转速转速并可表示为并可表示为
燃气热水器的水温控制 控制指标：响应快，调整时间短
燃气热水器的水温控制
• 数学模型
燃气热水器的水温控制
• 响应曲线
英吉利海峡海底隧道钻机
• 钻机分别从海峡两端向中间推进，并在海峡的中间对接。为了使对接达到必要的精度，施工时使用了一个 激光导引系统以保证钻机的直线方向。
英吉利海峡海底隧道钻机
• 钻机的数学模型如下：
预期 角度 R(s) E(s)
磁盘驱动器
磁盘驱动器
• 硬盘（hard disk)即硬盘驱动器 • 硬盘是计算机中唯一一个精密机械和电子电路混合的器件
• 大多数都采用温切斯特技术而被称之为“温切斯特硬盘”，简称“温盘”。这种技术是由IBM公司位 于美国加州坎贝尔市温切斯特大街的研究所研制的
磁盘驱动器
• 温切斯特硬盘都有如下的技术特点
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec) (sec)
结论：Ka=30时，干扰大；Ka=80时，干扰小
磁盘驱动读取系统 (2)
性能指标 超调量 调节时间 对单位阶跃干扰的最大响应值
电机线圈
G1 ( s)
s
5000 1000
干扰
Td(s)
+
负载
G2 (s)
s(s
1
20)
o (s)
-3
x 10 0
传感器
H(s)=1
Step Response
燃气热水器的水温控制 控制指标：响应快，调整时间短
燃气热水器的水温控制
• 数学模型
燃气热水器的水温控制
• 响应曲线
英吉利海峡海底隧道钻机
• 钻机分别从海峡两端向中间推进，并在海峡的中间对接。为了使对接达到必要的精度，施工时使用了一个 激光导引系统以保证钻机的直线方向。
英吉利海峡海底隧道钻机
• 钻机的数学模型如下：
预期 角度 R(s) E(s)
磁盘驱动器
磁盘驱动器
• 硬盘（hard disk)即硬盘驱动器 • 硬盘是计算机中唯一一个精密机械和电子电路混合的器件
• 大多数都采用温切斯特技术而被称之为“温切斯特硬盘”，简称“温盘”。这种技术是由IBM公司位 于美国加州坎贝尔市温切斯特大街的研究所研制的
磁盘驱动器
• 温切斯特硬盘都有如下的技术特点
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec) (sec)
结论：Ka=30时，干扰大；Ka=80时，干扰小
磁盘驱动读取系统 (2)
性能指标 超调量 调节时间 对单位阶跃干扰的最大响应值
电机线圈
G1 ( s)
s
5000 1000
干扰
Td(s)
+
负载
G2 (s)
s(s
1
20)
o (s)
-3
x 10 0
传感器
H(s)=1
Step Response
第4章连续控制系统的时域分析PPT课件
当r(t)=t时一阶系统的响应称为单位斜坡响应 t
C(s)
11 Ts 1 s 2
1 s2
T s
T s 1
c(t)
T t-T
c(t)
L1[C ( s)]
t
T
T
1
t
Te T
t
0
一阶系统单位斜坡响应
可见其暂态是个单调收敛函数，其稳态始终与 输入相差T。一阶系统跟踪匀速输入信号所带 来的位置误差是不能消除的，只减小T来使其 相对减小。另外，T越小其暂态时间越短。
• 预先规定了一些特殊的实验信号作为系统 的输入信号，然后比较各种系统对这些输 入信号的响应。这样的信号称为典型信号。
• 常用的典型信号有：冲激信号，阶跃信号， 斜坡信号，加速度信号和正弦信号。
冲激信号δ(t)
冲激信号的数学形式为
δ(t) ∞
δ(t)
1
h
(t
)
0
∞
t0 t0
t 0 (a)单位冲激信号
t
0
h
(b)近似冲激信号
其拉氏变换为： L (t) 1
单位冲激响应： C(s) H (s)
阶跃信号
阶跃信号的数学形式为：r(t
)
a o
t0 t0
a为常量
当幅值a=1时称为单位阶跃信号，记为I(t)
r(t)
I(t)
a
1
t
t
0
0
(a)一般阶跃信号
(b)单位阶跃信号
阶跃信号的拉氏变换为：L[aI (t)] a
4.3二阶系统的动态分析
• 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 • 二阶系统动态性能研究具有极为特殊的意义
– 二阶系统在控制工程中应用极为广泛； – 许多高阶系统的性能在条件允许的情况下可
控制系统的时域分析
16
φ(S)的极点
c(t) 的暂态分量
S 单实极点 S m重实极点 S j 共轭复极点
ke t (k1 k2t kmt m1)e t
ke t sin( t )
S j m重共轭复极点
e t k1 sin( t 1) k2t sin( t 2 ) kmtm1 sin( t m )
C (S)R (S) (s)
c ( t ) L 1 C ( S ) L 1 R ( S ) ( S )
✓c(t)的形式与C(S)的极点相对应;
✓输入信号R(S)的极点决定c(t)的稳态分量,响应形式
与输入信号相同或相似；
✓传递函数φ(S)的极点决定c(t) 的暂态分量，稳定的系
统，暂态分量→0。
S0
g1
例:设某系统的特征方程：
D(S) S 4 3S3 3S 2 2S 2 0
列Routh表:
S4
1
3
2
S3
3
S2
3312 7 33
S1 7 2 3 6 4
77
S0
2
2
32 10 2 3
该行同乘以 3 符号改变一次 符号再变一次
◆ 控制系统时域分析要解决的问题: 1.系统从加上输入信号到接近稳态时的响应过程。 (动态响应)
2.t→∞时系统的输出情况;（稳态响应）
◆ 线性定常系统的时域响应 根据系统的微分方程（或传递函数）,以拉氏变换为 数学工具，对给定输入信号求系统的时间响应。再 通过响应评价系统的性能。
1
主要内容
§3－1 典型输入信号和时域性能指标
b3
b1a3 a1b2 b1
c1
b1a5 a1b3 b1
c2
控制系统的时域分析
L-1
1 s3
其中：A
-
[
T +T2 s2 s
1 s3( Ts
- T3 Ts + 1
1 ) s3 ]s=0
1
1 2
t2
- Tt + T 2 - T 2e -t/T
d
1
B ds [ s3(Ts 1 )
s3
]s=0
T
s1,2,3 0
C
1 {
( 3 1 )
d 31 ds 31
[
1 s3( Ts 1 )
=- 1 T
s(Ts
+
1)
(Ts
+
1)
p2
=
-
1 T
=
1
= -T
红河学院自动化系
T
自动控制原理
单位阶跃
慣性
拉氏反变换：
c(t) = L-1 C(s)
=
L-1
1 s
-
s
1 + 1/T
=
1
-
-t
eT
一阶系统没有超调，
c(t)
系统的动态性能指标为 调节时间:
ts = 3T (±5%)
单位阶跃响应曲线
一、时域分析法及其特点
时域分析法——控制系统在一定输入作用下，根 据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬 态过程性能和稳态误差。 特点：
(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、 准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
红河学院自动化系
自动控制原理
二、常用的典型输入信号
红河学院自动化系
自动控制原理 三、线性系统时域性能指标 总要求
第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
时，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信 号对输入信号跟踪（伺服、复现）能力。稳态过程又称稳态 响应，其稳态性能用稳态误差描述。
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t
3.4控制系统的性能指标及时域分析
8例控制器 闭环传递函数 G(s)
R (s) + E (s)
控制器
K1 K1 T0 s 1 T0 K1 G(s) K1 T0 s 1 K1 s K1 1 1 T0 s 1 T0
-
KC
K0 T0 s 1
K1=KC K0
C(s)
其中， 是无量纲的阻尼比，n 是系统的自然频率 系统的传递函数为： 系统特征方程的根为：
s1 , s2 j d n j n 1 2
15
2 Y ( s) n 2 X ( s) s 2 n s 2 n
系统的暂态（动态）
二阶系统暂态
如果系统输入为单位阶跃函数，则零初始条件下系统响应的传递函
数为
2 s n n 1 n C (s) 2 2 2 2 2 2 s( s 2 n s n ) s ( s n ) d ( s n ) d
LT-1
c(t ) L1[C ( s )] 1 e n t (cos d t 1 1 1
三种情况： (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 0 1 对于 0 ，系统是临界稳定的
16
系统的暂态（动态）
二阶系统暂态：0<1
在这种情况下，系统传递函数为：
2 2 n n ( s) 2 2 s 2n n s n jd s n jd
3
时间响应性能指标
时间响应性能指标
• 为了比较不同系统的响应，必须使各系统从
标准化的初始条件开始运动。 • 大多数标准化初始条件是系统静止状态。 • 确定了标准化初始条件后，就可以比较不同 系统的响应特性（如最大偏离量、调节时间
R (s) + E (s)
控制器
K1 K1 T0 s 1 T0 K1 G(s) K1 T0 s 1 K1 s K1 1 1 T0 s 1 T0
-
KC
K0 T0 s 1
K1=KC K0
C(s)
其中， 是无量纲的阻尼比，n 是系统的自然频率 系统的传递函数为： 系统特征方程的根为：
s1 , s2 j d n j n 1 2
15
2 Y ( s) n 2 X ( s) s 2 n s 2 n
系统的暂态（动态）
二阶系统暂态
如果系统输入为单位阶跃函数，则零初始条件下系统响应的传递函
数为
2 s n n 1 n C (s) 2 2 2 2 2 2 s( s 2 n s n ) s ( s n ) d ( s n ) d
LT-1
c(t ) L1[C ( s )] 1 e n t (cos d t 1 1 1
三种情况： (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 0 1 对于 0 ，系统是临界稳定的
16
系统的暂态（动态）
二阶系统暂态：0<1
在这种情况下，系统传递函数为：
2 2 n n ( s) 2 2 s 2n n s n jd s n jd
3
时间响应性能指标
时间响应性能指标
• 为了比较不同系统的响应，必须使各系统从
标准化的初始条件开始运动。 • 大多数标准化初始条件是系统静止状态。 • 确定了标准化初始条件后，就可以比较不同 系统的响应特性（如最大偏离量、调节时间
chap3控制系统的时域分析法2013
ai 0
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F (s) ansn an1sn1a1s a0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
sn
an an2 an4
sn1 an1 an3 an5
sn2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
一、单位阶跃响应：
R(s) 1 s
Y(s) 1 1 T s(Ts 1) s Ts 1
t
y(t) 1 e T
在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随 时间变化曲线为一条指数曲线。
yt
1
0.632
斜率 1 T
y
t
e
t T
0.865 0.950 0.982
0
T 2T 3T 4T
t
响应曲线具有非振荡特征：
t=T, y(t)=0.632;
t=2T, y(t)=0.865;
t=3T, y(t)=0.95;
t=4T, y(t)=0.982;
dy (t )
1 t eT
1
dt
T
t0
T
一阶系统的单位阶跃响应如果以初始 速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰 好为T。
一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其 时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长短 反映了系统过程的快慢。
s
例：系统特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0
判断系统是否有闭环极点在S的右半平面，并验有几个根在
s=-1的右边。 ROUTH’S TABLE：
s3 2 13 s2 10 4ຫໍສະໝຸດ 将s=z-1代入原方程得：
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F (s) ansn an1sn1a1s a0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
sn
an an2 an4
sn1 an1 an3 an5
sn2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
一、单位阶跃响应：
R(s) 1 s
Y(s) 1 1 T s(Ts 1) s Ts 1
t
y(t) 1 e T
在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随 时间变化曲线为一条指数曲线。
yt
1
0.632
斜率 1 T
y
t
e
t T
0.865 0.950 0.982
0
T 2T 3T 4T
t
响应曲线具有非振荡特征：
t=T, y(t)=0.632;
t=2T, y(t)=0.865;
t=3T, y(t)=0.95;
t=4T, y(t)=0.982;
dy (t )
1 t eT
1
dt
T
t0
T
一阶系统的单位阶跃响应如果以初始 速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰 好为T。
一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其 时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长短 反映了系统过程的快慢。
s
例：系统特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0
判断系统是否有闭环极点在S的右半平面，并验有几个根在
s=-1的右边。 ROUTH’S TABLE：
s3 2 13 s2 10 4ຫໍສະໝຸດ 将s=z-1代入原方程得：
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A
R(S)
-
S
t
3
2. 斜坡信号（速度信号）： 0 t <0
r(t)=
At t ≥0
r(t) 0
记为: r(t)=At·1(t)
当A=1，称为单位斜坡信号
R(S)
A S2
-
t
4
3. 抛物线信号（加速度信号）
0 t<0
r(t)=
1 At2 t≥0
2
r(t)
0
t
记为: r(t)1At21(t) 2
-
16
φ(S)的极点
c(t) 的暂态分量
S 单实极点 S m重实极点 S j 共轭复极点
ke t (k1 k2t kmt m1)e t
ke t sin( t )
S j m重共轭复极点
e t k1 sin( t 1) k2t sin( t 2 ) kmtm1 sin( t m )
§3－3 系统的稳态误差
§3－4 一阶系统的时域响应
§3－5 二阶系统的时域响应
§3－6 高阶系统分析
§3－7 利用MATLAB进行-时域分析
2
§3－1 典型输入信号和时域性能指标
一.典型输入信号
1. 阶跃信号（位置信号）
0 t<0 r(t)=
A t ≥0
r(t)
A
0
记为：r(t)=A·1(t)
当A＝1，称为单位阶跃函数。
(s)
C(s) R(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
则系统的特征方程为： a0sn a1sn1 an1s an 0
-
19
劳斯判据
设系统的特征方程为
a0sn a1sn1 an1s an 0
(1) 看特征方程的各项系数是否大于0，若有一个系数小 于 0或等于0，则系统不稳定。
a6 ……
Sn-1
a1
a3
a5 a7 ……
Sn-2
a1a2 a0a3 a1
b1
a1a4 a0a5 a1
b2
a1a6 a0a7 a1
b3
b4
……
Sn-3
b1a3 a1b2 b1
c1
b1a5 a1b3 b1
c2
b1a7 a1b4 b1
c3
.
……
……
……
……
.
S2
e1
e2
S
f1
-
22
◆ 控制系统时域分析要解决的问题： 1.系统从加上输入信号到接近稳态时的响应过程。 (动态响应)
2.t→∞时系统的输出情况；（稳态响应）
◆ 线性定常系统的时域响应
根据系统的微分方程（或传递函数），以拉氏变换为 数学工具，对给定输入信号求系统的时间响应。再通 要内容
§3－1 典型输入信号和时域性能指标 §3－2 控制系统的稳定性分析
S0
g1
例：设某系统的特征方程：
D(S) S 4 3S3 3S 2 2S 2 0
列Routh表：
S4
1
3
2
S3
3
S2
3312 7 33
S1 7 2 3 6 4
77
S0
2
2
32 10 2 3
100%
-
12
④ 调整时间ts（过渡过程时间） 阶跃响应曲线进入允许的误差带△，并不再超出该
误差带的最小时间。
误差带△：一般取稳态值的±5％或±2％。
-
13
2.稳态性能指标 稳态响应过程是时间t→∞时系统的输出状态。
采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋 于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即
当t→∞时，暂态分量→0 时系统稳定。
-
17
线性定常系统稳定的充要条件是： 系统的特征根（闭环极点）位于ｓ的左半平面。
说明
线性系统的稳定性是其本身固有的特性，与外界输 入信号无关。
-
18
三. 劳斯判据
✓作用：判断系统的稳定性； ✓优点：不用求出闭环极点（特征根），就可以判断
出根的分布情况。
设系统的闭环传递函数为：
ess
lim [r(t)
t
c(t)]
-
14
§3－2 控制系统的稳定性分析
一.稳定的概念
稳定 ——系统受到外作用后，经过一段时间， 其被控量可以达到某一稳定状态。
不稳定
被控量振荡发散 受扰动后被控量不能恢复平衡
稳定性是系统的重要特性，同时也是控制原理中的
一个基本概念。
-
15
二. 线性定常系统稳定的充要条件
C (S)R (S) (s)
c ( t ) L 1 C ( S ) L 1 R ( S ) ( S )
✓c(t)的形式与C(S)的极点相对应；
✓输入信号R(S)的极点决定c(t)的稳态分量，响应形式
与输入信号相同或相似；
✓传递函数φ(S)的极点决定c(t) 的暂态分量，稳定的系
统，暂态分量→0。
-
9
① 上升时间tr：
响应曲线从稳态值的10％上升到稳态值的90％所需 的时间。
c(t)
1 0.9
r(t)
0.1
0
t
tr
-
10
② 峰值时间tp： 阶跃响应曲线从零上升到第一个峰值所需的时间。
-
11
③ 最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差再除以稳态值。
M
p
c(t p ) c() c()
b3
b1a3 a1b2 b1
c1
b1a5 a1b3 b1
c2
b1a7 a1b4 b1
c3
a6 …… a7 …… b4
……
……
……
……
……
e1
e2
f1
g1
-
21
(3)若劳斯表第一列全为正，则稳定；若有正有负，则不 稳定，其元素符号改变的次数即为特征根在S右半平面的 个数。
Sn
a0
a2
a4
(2)列劳斯表。
为简化运算，可用一个正数去除或乘某个整行。
-
20
劳斯表
Sn Sn-1
Sn-2
Sn-3 . . . S2 S S0
a0S n a1S n1 a2S n2 an1S an 0
a0
a2
a4
a1
a1a2 a0a3 a1
b1
a3
a1a4 a0a5 a1
b2
a5
a1a6 a0a7 a1
当A=1，称为单位加速度信号
A
R(S) S3
-
5
4.单位冲激信号
(t) 0 t 0
t 0
(t)L1
(t)dt1
δ(t)
0
t
说明
(t)
d 1(t ) d
t 1(t)
d
1 2
t
2
1(t
)
1
1
1
S
-
S
2
1 6
S3
二、系统的时间响应c(t)
C (S)R (S) (s)
c ( t ) L 1 C ( S ) L 1 R ( S ) ( S )
c(t)的形式与C(S)的极点相对应!
-
7
三.时域响应性能指标
1.动态性能指标 动态过程是系统从初始状态到接近稳态的响应过程，
即过渡过程。
动态性能指标通常根据系统的单位阶跃响应曲线来 定义。
-
8
① 上升时间tr： 阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间。