复合函数求导

( x + 1)3 x 1 1 1 2 ∴ y′ = + 1 2 x x + 1 3( x 1) x + 4 ( x + 4) e
六、参数形式的函数的求导公式
x = (t ) 定义4.4.2 若参数方程 间的函数关系， 定义 确定 x 与 y 间的函数关系， (t y = Ψ (t ) 称此为 参数形式的函数 参数形式的函数. x = 2t t = x 例如 消去参数 t 2 2 y = t
例4.4.9 解:
设 y = x sin x ( x > 0), 求y′.
ln y = sin x ln x
等式两边取对数得
上式两边对x 上式两边对 求导得 1 1 y′ = cos x ln x + sin x y x
1 ∴ y′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x (cos x ln x + ) =x x ( x + 1)3 x 1 例4.4.10 设 y = , 求y ′ . 2 x ( x + 4) e 解: 等式两边取对数得 1 ln y = ln( x + 1) + ln( x 1) 2 ln( x + 4) x 3 上式两边对 x求导得 y′ 1 1 2 = + 1 y x + 1 3( x 1) x + 4
= f ′( u0 ) g ′( x0 ).
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 注意:初等函数的导数仍为初等函数 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例4.4.4 解:
求函数 y = f n [ n (sin x n )] 的导数 . y′ = nf n1[ n (sin x n )] f ′[ n (sin x n )]
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
x
( x )′ = x 1 (cos x )′ = sin x (cot x )′ = csc 2 x (csc x )′ = csc x cot x
(e x )′ = e x 1 (ln x )′ = x
(arcsin x )′ = (arctan x )′ =
1 1 x2 1 1+ x
2
(arccos x )′ = (arc cot x )′ =
1 1 x2 1 1 + x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、 函数的和
= 可导， 设 u= u(x),v=v(x)可导，则
(1) ( u ± v )′ = u′ ± v ′,
( 2) (cu)′ = cu′ (c是常数 , )
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = = cos x = dx du dx u sin x
例4.4.2 解:
求函数 y =
y′ = e
sin
1 sin e x
的导数 .
1 x
1 1 x (sin )′
x
1 x
=e
sin
1 1 cos ( )′ x x
=
1 x
2
sin
e
1 cos . x
例4.4.3
求函数 y = ln
x2 + 1
3
x2
( x > 2) 的导数 .
1 1 2 Q y = ln( x + 1) ln( x 2), 解: 2 3 x 1 1 1 1 ′= 2 ∴y 2x = 2 2 x +1 3( x 2) x + 1 3( x 2)
e xy ( xdy + ydx ) + y 2 xd ( x ) + x 2dy = 0
(e xy + x ) xdy + ( e xy + 2 x ) ydx = 0
dy (e xy + 2 x ) y ∴ = xy dx (e + x ) x
例4.4.8 设曲线 C 的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy ，
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 或利用 一阶微分的形式不变性对方程两边求微分. 一阶微分的形式不变性对方程两边求微分 例4.4.7 求由方程 e xy + x 2 y 1 = 0 确定的隐函数 y = y( x ) 的导数. 的导数 解: 法一、 的函数) 法一、方程两边对 x 求导 (注: y 看成 x 的函数 注
[ f ( g ( x ))]′x = x 0 = f ′( u0 ) g ′( x0 ) = f ′( g ( x0 )) g ′( x0 )
证明： 证明：由 y = f (u) 在 u0 = g ( x0 )可导也即可微
y = f ' ( u0 )u + o( u)
即
f ( u0 + u) f ( u0 ) = f ' ( u0 )u + o( u)
= 1.
3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y = x 即 y = x, 2 2
显然通过原点. 显然通过原点
五、对数求导法
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数
v( x ) 适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x ) 的情形 . 适用范围:
(
)
也可以直接求微分 dy = Ψ ′( t )dt
dx = ′( t )dt
两边相除， 两边相除，得
π x = a( t sin t ) 处的切线方程. 例4.4.11 求摆线 在 t = 处的切线方程 2 y = a (1 cos t ) dy a sin t sin t dy dt 解: = = = a a cos t 1 cos t dx dx dt π sin dy 2 = 1. ∴ π = π dx t = 2 1 cos 2
x 2 x2 y = t2 = ( ) = 2 4 x ∴ y′ = 2
问题: 问题
消参困难或无法消参的如何求导？ 消参困难或无法消参的如何求导？ 设 中， (t )和 Ψ (t ) 在(α , β )
x = (t ) α ≤ t ≤ β 在方程 y = Ψ (t )
上可导, 上可导 (t )在 (α , β ) 上严格单调且 ′( t ) ≠ 0 ， x 由反函数求导法则， 由反函数求导法则， = (t ) 在 (α , β )上存在反函数 ′ 1 1 －1 t = ( x )，且成立 ( x ) = ， 从而 y = Ψ [ 1 ( x )]. ′( t ) 由复合函数求导法则: 由复合函数求导法则 dy dy dy dt 1 dy dt ′( t ) = =Ψ = 即 dx dt dx ′( t ) dx dx dt
3 3 的切线方程， 求过 C 上点 ( , ) 的切线方程，并证明曲线 C 在该点 2 2
的法线通过原点. 的法线通过原点 解:
2 2 方程两边对x 方程两边对 求导, 3 x + 3 y y′ = 3 y + 3 xy′
∴ y′
33 ( , ) 22
=
y x2 y x
2
33 ( , ) 22
令 u = g ( x0 + x ) g ( x 0 ) 则
u0 + u = g( x0 + x )
f ( g ( x0 + x )) f ( g ( x0 )) u o( u ) ′( u0 ) = f + x x x u 可导， 又由u = g ( x ) 在 x0 可导，因此 lim = g ′( x 0 ) x → 0 x o( u) o( u) u lim = lim =0 而 x → 0 x x → 0 u x f ( g( x0 + x )) f ( g ( x0 )) 于是 [ f ( g ( x ))]′x = x 0 = lim x → 0 x
解:
dy = e ax cos bx d (bx ) + sin bx e ax d ( ax ) = e ax cos bx b dx + sin bx e ax ( a ) dx = e ax (b cos bx a sin bxe )dx
四、隐函数的导数
定义4.4.1 由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的函数 y = y( x ) 定义 称为隐函数。 称为隐函数。 y = f ( x ) 形式称为显函数 . F ( x, y) = 0 y = f ( x ) 问题: 问题 隐函数的显化
二、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式 常数和基本初等函数的导数公式
(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x
(tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x
(a )′ = a x ln a 1 (log a x )′ = x ln a
结论： 是自变量还是中间变量， 结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数 y = f (x) 的微分形式总是 dy = f ′( x)dx . 例4.4.5 解: 设 y = sin( 2 x + 1) ,求dy . 求
Q y = sin u
u = 2x + 1
∴ dy = cos udu = cos( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = cos( 2 x + 1)2dx = 2 cos( 2 x + 1)dx 例4.4.6 设 y = e ax sin bx ，求 dy .
dy 是自变量时， （1）若x 是自变量时， = f ′( x )dx ）
是中间变量时， （2）若x是中间变量时，即是另一变量 t 的可微函数 ） 是中间变量时 x = (t ) 则 dy = f ′( x ) ′( t )dt .
Q ′( t )dt = dx
∴ dy = f ′( x )dx
第四节
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复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
u u′v uv ′ (4) ( )′ = . 2 v v
( 3) ( uv )′ = u′v + uv ′,
3.复合函数的求导法则 复合函数的求导法则
设y = f ( u), 而u = ( x )则复合函数 y = f [ ( x )]的
dy dy du 导数为 = 或 dx du dx
y′( x ) = f ′( u) ′( x ).
e xy ( xy )′ + ( x 2 y )′ = 0
′ e xy ( y + xy′ ) + 2 xy + x 2 y′ = 0 ∴ y = (e xy + x ) x
(e xy + 2 x ) y
法二、 法二、方程两边同时求微分
d (e xy ) + d ( x 2 y ) = 0
e xy d ( xy ) + yd ( x 2 ) + x 2dy = 0