2.3 矩阵的乘法运算

§2.3 矩阵的乘法运算

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一、加、减运算

只有同型矩阵才能相加减，运算方法是将矩阵的对应元素相加减。即：m n p l A B ⨯⨯+的条件：p m =且l n =

二、数乘矩阵

用k 乘遍矩阵中的每一个元素。

注意：区别数乘行列式。

数乘行列式：把常数乘以行列式的某一行（列）。

同样，矩阵想提公因式，必须每一个元素都有公因子。

三、方阵的行列式

用求行列式方法求值。

新授：矩阵的乘法运算

引例：某体育用品厂有一、二、三个车间，第个车间每天要生产篮球和足球。

足球 篮球 单价 单位利润 100200150180120210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

50204515B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 求三个车间一天的总产值和总利润。

用一般知识来算：

总产值（总收入） 利润

10050200451002020015

1505018045150201801512050210451202021015

⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯

把它们看成矩阵A ，B ，C 矩阵是A ，B 相乘得来。

定义：设m l A ⨯是一个m l ⨯矩阵，l n B ⨯是一个l n ⨯矩阵，那末规定矩阵m l A ⨯与矩阵l n B ⨯的乘积是一个m n ⨯矩阵 ()ij C c =，其中 11221s

ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ ()1,2,;1,2,,,i m j n ==

并把此乘积记作.C AB =

说明：

不是所有矩阵都可以相乘的，必须左边矩阵的列数=右边矩阵的行数。m l l n m n A B C ⨯⨯⨯=，它们的积为：左边矩阵的各行与右边矩

阵的各列对应元素积的和。

如：

例2：222224241236C ⨯⨯-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭22

1632816⨯--⎛⎫= ⎪⎝⎭ 123168321601589⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

不存在。 ()312321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

()132231=⨯+⨯+⨯()10.=

例3：设101211300514A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，0341213111

21B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭求积。 解：0341012121113031105141

21C AB ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭

5671026.21710-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 练习：

例4：1111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1111B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，求AB ，BA

解：00,00AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭22,22BA ⎛⎫= ⎪--⎝⎭

.AB BA ≠故 所以，可以看出矩阵的乘法一般不满足交换律。

注：①一般地，.AB BA ≠

只是一般，也有特殊的情况，满足交换律的。

20,02A ⎛⎫= ⎪⎝⎭11,11B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭22,22AB -⎛⎫= ⎪-⎝⎭22,22BA -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

若AB=BA ，称A ，B 为可交换矩阵。（对角，数量，单位）

24,12A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭24,36B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭1632,816AB --⎛⎫= ⎪⎝⎭0000BA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ②两个非零矩阵的积可能是零矩阵。（实数中不可能有的） AB=零矩阵

A ：左零因子，

B ：右零因子。

如：34,68A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭48,68B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭1216912C -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

00,00AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭0000AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，A 是左零因子，它的右零因子不唯一。 AB=AC ，那么是不是有B=C ？不一定

（3）若AB=AC ，不一定有B=C 。

换句话说，乘法一般不满足消去律。其余的结合律，分配律等都可以用，而交换律，消去律不同，说明矩阵相乘，两个矩阵的顺序非常重要。

AB ：B 左乘A ，BA ：B 右乘A 。

矩阵的乘法运算也有乘方，逆等等，下面我们简单介绍一下乘方。 练习：

（4） 乘方

()m A m N +∈，A 是n 阶方阵。

平方，立方可以直接乘，但m 次方就得找一下规律。

0A E =，,m k m k A A A +=().k m mk A A =

().k k k AB A B ≠因为矩阵乘法不满足交换律。

例5：10()1n n N k +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

解：21010101011121k k k k

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 310101*********k k

k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以101011n k nk ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

练习：

小结：

矩阵：矩形的数表。

类型：行，列，零，同型，负，转置，方阵：（三角，对角（数量——单位），对称，反对称）

运算：加减（同型），数乘，乘遍每一个元素。

乘法：.AB BA ≠

若AB=AC ，不一定有B=C 。

().T T T AB B A =().k

k k AB A B ≠ det()det det A B A B +≠+

det()det n n n kA k A =