北师大版必修一第三章对数函数的图像与性质
高中数学北师大版必修一《对数函数》课件
y = Loga x(a>1)
y = Loga x (0<a<1)
图像
定义域
(0，+∞)
值域
R
单调性
增函数
过定点
（1，0）
0<x<1时，y<0 取值范围 x>1时，y>0
(0，+∞) R
减函数 （1，0） 0<x<1时，y>0 x>1时，y<0
名称 一般情势
图像
a>1 0<a<1
定义域 值域 单调性
解1：要使函数有意义：必须x+2 >0, 即x>-2， 所以loga(x+2) 的定义域 是：{x|x >-2}
解2：要使函数有意义：必须4 – x2 >0, 即-2<x＜2， 所以loga（4 – x2） 的定 义域是：(-2,2)
1、求下列函数的定义域。
2、求下列函数的定义域：
（1） y log3 (1 x) (,1)
北师大版 高中数学
对数函数的图像 和性质
（2） y log3 x
（3）y
log 7
1
1 3x
（4）
y
1 log 2
x
[1,)
(, 1) 3
(0,1) (1,)
3、比较大小。
6
（底数相同时找出对应的4对数函数）
解：对于
，如图
在定义域上递减
2
lnx fx =
ln0.5
-10
-5
5
-2
-4
（底数不同时，取特殊中间值）
第（2）题中取0， 第（3）题中取1，
北师大版 高中数学
3.2对数函数y=log2x的图象和性质课件-高一上学期数学北师大版必修第一册
右
________边
当 x>1 时，图象位于 x
>
当 x>1 时，y____0
轴____方；
当 0<x<1 时，
上
<
当 0<x<1 时，y____0
下
图象位于 x 轴____方
y＝log2x 在(0，＋∞)上
上升
图象是________的
增
是________函数
•例4：比较下列各题中两个数的大小：
O
(1,0)
（2）
x
解：从图（1）上可以看出，点P（a,b）与点Q（b,a）
关于直线y=x对称.函数y=log2x与函数y=2x互为反函
数，对应于函数y=log2x图象上的任意一点P（a,b），
P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x图像上，
所以，函数y=log2x的图象与函数y=2x的图象关于直
1.优化设计
2.课本113A：4,5
过定点
性
同正异负
在(0,+∞)上是 增函数
在(0,+∞)上是 减函数
质
当x>1时， y>0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y>0
1.对数函数y=log2x的图象和性质.
2.函数y=f(x)与它的反函数的图像关于直线y=x对称.
作业 ：
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
0.5
•
北师大版高中数学必修一课件-3.5.3对数函数的图像与性质
由 1 x 5 ,所以 在此区间内 ( x2 4 x 5)的最大值为9 所以 0 x 2 4x 5 9从而
log1 ( x2 4x 5) log1 9 2
即值3域为 [2, ) .3
例题解析
(4) y loga ( x2 x)
x
得到 log57<log47, 所以 log56>log47.
5.3 对数函数的图像 与性质
抽象概括
图像
0 <a < 1
y
a>1
y
1
o
x0
1
x
定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点
0<x<1
x>1
x( 0,+) R
单调递减 非奇非偶
(1,0) y>0 y<0
x( 0,+) R
单调递增 非奇非偶
( 1,0 ) y< 0
y>0
抽象概括
y
3
y=log2x
2
1
y=lgx
所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域为
(1,2).
(4)因为 4x-3>0,
x>3/4
log0.5(4x-3)0, 4x-3≤
定义域为 (3/4,1].
例题解析
例 2比较下列各组中两个值的大小:
(1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
解: (1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的
北师大版(2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质 课件(共15张PPT)
注意定义域
∴ x的取值范围是（1，
+ ∞）
【变式】已知a 1,函数f x
求f x
loga x 1
0时x的取值范围.
(0,1)
loga 1 x
环节五：归纳小结，深化目标
思考:本课你学到了哪些知识？
请回忆学习过程，其中提炼了哪些方法？数学思想？
知
识
线
思
想
方
法
线
应
用
线
数形结合
图像
性质
分类讨论
特殊到一般
单
2
关于x轴对称！
由此我们可以得到又一对称规则：
y
f x 与y
f x 图象关于x轴对称
环节二：自主动手，绘出图象
尝试在同一直角坐标系中分别画出y log 2 x、
y log 1 x、y log3 x、y log 1 x的图象
2
3
y
y
log 2 x
y
o
1
log 3 x
x
y
log 1 x
3
y
log 1 x
4.3.2对数函数y
log a x 的图象和性质
学习目标
学习目标
1.掌握对数函数的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求
定义域和值域、确定单调区间等.
3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
环节一：温故知新，导入新课
1.上节我们学过y=log2x的图像，你还能画出它的函数
图象吗？
y
y log 2 x
o
2.结合上节所学内容，你能画y
x
log 1 x的图象吗？
2
y
4.3.3对数函数y=logax的图像和性质课件-高一上学期数学北师大版
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
2.根据图像，类比a>1的情形，总结对数函数y=logax当底数0<a<1时有哪些性质？
图像特征
性质
3y
2 1
O
1 23 456 78
1
2 x 1
x
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
函数图像都在y轴_右__边__ 过点(_1_,0_)__
于是
t0
2 5730
4.09 .
6.68
两边取以2为底的对数,得
t0 5730
log2
4.09 . 6.68
解得
t0
5730 log 2
668 409
5730 0.7077
4055.
所以该木炭已衰减了约4055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学,回答下列问题： （1）对数函数图像和性质有哪些 （2）底数a对函数y=logax的图像有什么影响？
1 e5730r . 2
解得
r ln 2 . 5730
因此14C的衰减规律服从指数型函数
ln2 t
t
C(t) C0e 5730 C0 2 . 5730
学习目标
新课讲授
课堂总结
设发现汉漠拉比王朝字样的木炭时(1950年),该木炭已衰减了t0年.因为放射性
物质的衰减速度与其质量成正比,所以
C(t0 ) 4.09 , C0 6.68
课堂总结
2025年北师大版高中数学必修第一册课件 4.3.3对数函数y=logax的图像和性质(第2课时)
第2课时（☆重点题型全解☆）北师大必修第一册2025年北师大版高中数学必修第一册课件1.函数求值2.奇偶性3.单调性及其应用4.两种特殊的恒成立不等式环节一复习对数函数的图像和性质函数y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图像当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)性质定义域：_____________值域：___________过点_______，即x＝1时，y＝______.x______1时,y＞0;_________时,y＜0.x______1时，y＜0;_________时,y＞0.单调性：在(0，＋∞)上是增函数.单调性：在(0，＋∞)上是减函数.(0，＋∞)R(1,0)0＞＞0＜x＜10＜x＜1环节二对数型函数求值1.对数型函数求值 直接代入1.对数型函数求值 分段代入1.对数型函数求值 求参代入环节二对数型函数求式2.对数型函数求式 待定系数法解析:由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=log a x(a>0,且a≠1,x>0),则2=log a4=log a22=2log a2,即log a2=1,得a=2.故所求函数的解析式为y=log2x. 答案:A2.对数型函数求式 反函数解析:易知函数y=f(x)是函数y=e x的反函数,所以f(x)=ln x.答案:C2.对数型函数求式 抽像关系解析:因为f(x)=log a x(a>0,且a≠1),所以f(xy)=log a(xy).又f(x)+f(y)=log a x+log a y=log a(xy),所以f(xy)=f(x)+f(y).2.对数型函数求式 利用奇偶性解析:设x<0,则-x>0.又x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (-x )=log 2(-x ).又∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∴x<0时,f (x )=-log 2(-x ).答案:D改变自变量中间解析式2.对数型函数求式 利用图像2.对数型函数求式 换元法经典题：换元+赋值环节三对数型函数奇偶性解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.答案:B化简函数前就求定义域，不要化简后求定义域如果不结合定义域化简，从表面看，这是个非奇非偶函数。
4.3.2对数函数y=log2x的图像和性质课件-高一上学期数学北师大版
9y
y = 2x
8
7
6
5 4
3
(0,1)2
1
y log2 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1 (1,0)
-2
-3
学习目标
新课讲授
课堂总结
对函数y=log2x图象上的任意 一点P(a,b),有b=log2a.点P关于直线 y=x的对称点是Q(b,a),而a=2b,即点 Q在函数y=2x的图象上(如图).同样 地,函数y=2x图象上的任意一点,它 关于直线y=x的对称点也在函数 y=log2x的图象上.所以,函数y=log2x 的图象与函数y=2x的图象关于直线 y=x对称.
y
3
2
1
11 42
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9x
–1
–2
–3
学习目标
新课讲授
课堂总结
方法二:由指数函数的图象得到对数函数的图象.
对数函数x=logay和指数函数y=ax所表示的x和y两个变量之间的关系是一
样的,因而函数x=log2y与y=2x的图像一样(如图).
y 2x
y
1
换一种写法 用y表示x
x log2 y
新课讲授
课堂总结
练一练 1.比较下列各题中两个数的大小:
(2)因为函数y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数,且2.7<3.6,所 以log22.7<log23.6,因此-log22.7 > -log23.6.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2. (1)求使不等式log2x>5成立的实数x的集合; (2)已知log2(2x-1)=log2(x2-16),求x的值.
北师大版高中数学高一3.5.3对数函数的图像和性质
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数 越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底 数越小越靠近x轴.
[思考辨析 判断正误] 1.y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.( × )
2. y log1 x2 在(0，＋∞)上为增函数.( × )
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x<log23等价于x<3吗？ 答案 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0， ∴log2x<log23⇔0<x<3.
梳理 一般地，对数不等式的常见类型：
fx＞0可省略， 当 a＞1 时，logaf(x)＞logag(x)⇔gx＞0，
2
解答
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围 例 2 已知函数y log1 (x2 ax a) 在区间(－∞， 2)上是增函数，求实
2
数 a 的取值范围.
解答
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同， 若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单 调区间必须包含于原函数的定义域.
∴11－－a42xx22＝1，即 1－a2x2＝1－4x2 对定义域内任意 x 恒成立，∴a2＝4.
又a≠2，∴a＝－2.
12345
解析 答案
5.函数f(x)＝ln x2的减区间为__(－__∞__，__0_)___.
12345
答案
1.判断函数奇偶性的三个步骤
规律与方法
(1)一看：定义域是否关于原点对称.
函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性.
高中数学北师大版 必修一 对数函数y=logax的图象和性质 课件
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
北师版数学高一北师大版必修一课件3.5.1对数函数的图像与性质
A.(－13，＋∞) C.(－13，13)
B.(－∞，－13) D.(－13，1)
解析 由13－ x＋x＞ 1＞00，， 可得－13＜x＜1.
12345
解析答案
12345
3.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是 ()
解析答案
12345
4.若a＞0，a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图像恒过定点__(_2_,1_)___. 解析 函数图像过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2,1).
解析答案
12345
5.若函数f(x)＝ax－1的反函数的图像过点(4,2)，则a＝___4_____. 解析 ∵f(x)的反函数图像过(4,2)， ∴f(x)的图像过(2,4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.
解析答案
课堂小结 1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝ logax(a＞0，a≠1)这种形式. 2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图像直接产生影响，学会以分类 的观点认识和掌握对数函数的图像和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
得b<a，所以0<b<a<1.
解析答案
例3 函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过的定点( D )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(－2,1)
D.(－1,1)
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2) ＋1的图像过定点(－1,1).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0，a≠1)的图像必过定点的坐 标为__(_0_,_2_) __. 解析 当x＝0时，f(x)＝2，所以函数f(x)的图像必过定点(0,2).
对数函数y=loga x的图象和性质课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样
的木炭，当时测定，其 14 的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧
成的木炭中 14 的衰减速度为6.68个/(g·min)，请估算出汉谟拉比王朝所在
年代.
谢谢聆听！
（2） = log 4 − .
例7 比较下列各题中两个数的大小：
（1）log 2 5.3，log 2 4.7；
（2）log 0.2 7，log 0.2 9；
（3）log 3 ，log 3；
（4）log 3.1，log 5.2（a＞0且a≠1）；
例8 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中，常用 14
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第四章 对数运算与对数函数
第3节 对数函数
4.3对数函数(以a为底的图象和性质)
回顾：y = log2 x与 = log 1 的图像和性质
函
图
数
y = log2 x
2
= log 1
2
像
如果把y = log2 x与 = log 1 的图象画在同一
…
2
1
0
-1
-2
-3
…
这两个函数图
象有什么关系？
y = log2 x
结论一：
y = log x
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称！
1
2
练习：请在坐标系中画出y=log2x、y=log3x、y=log5x
的图象
思考：根据刚才所学知识，
如何画出y=log 1 、y=log 1 、y=log 1 的图象
关于直线 = 对称.
北师大版必修第一册 4.3.3对数函数y=logax的图像和性质(第1课时) 课件(45张)
若0<x<1,则____;
(3)函数y=log2x与函数y=2x的图象
关于直线y=x对称.
课件制作老师：胡琪
y
o -1
1
2 345 6 7
8x
-2
-3 课件制作老师：胡琪
y
-1o 1 -2
-3
2 345 6 7
课件制作老师：胡琪
函数
y = log2 x
y = log 0.5 x
图像
定义域
R+
R+
值域
R
R
单调性
增函数
减函数
过定点
（1，0）
（1，0）
取值范围
0<x<1课时件，制y<作0老师：胡0琪<x<1时，y>0
x>1时，y>0
x>1时，y<0
课件制作老师：胡琪
y y log3 x 2
y log 2 x
1 11
42
0 1 23 4
x
-1
-2
课件制作老师：胡琪
课件制作老师：胡琪
课件制作老师：胡琪
课件制作老师：胡琪
经验二
求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已 学习过的求函数定义域的方法外,对这种函数自身 还有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要 注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有 针对性地解不等式.-----这种类型在第3课时讲
1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
误的画“×”.
(1)若f(x)是对数函数,则f(1)=0.( √？ )
北师大版高中数学必修一课件第三章553对数函数的图像和性质
已知函数 y＝log1(x2－ax＋a)在区间(－∞， 2)上是
2
增函数，求实数 a 的取值范围．
【解】 令 g(x)＝x2－ax＋a，则 g(x)在－∞，a2上是减函
数．∵0<12<1，∴y＝log1u 是减函数，由已知复合函数 y＝log1(x2
2
2
－ax＋a)在区间(－∞， 2)上是增函数，∴只要 g(x)在区间(－∞，
2 ) 上 单 调 递 减 ， 且 g(x)>0 ， ∴ 有
a2≥ 2，
解得 2 2≤a≤2 2＋2，∴实
g（ 2）＝（ 2）2－a· 2＋a≥0，
数 a 的取值范围是[2 2，2 2＋2]．
【方法总结】 关键是把与对数函数有关的复合函数分解成 两个初等函数，重点是求中间函数的单调性．要注意定义域对单 调区间的影响．
a>1
0<a<1
图像
(1)定义域__(_0_，__＋__∞__) _
(2)值域_R_
性质
(3)当 x＝1 时，_y_＝__0，即过定点_(_1_，__0_)
(4)当 x>1 时，_y_>_0_
(5)当 x>1 时，_y_<_0_
当 0<x<1 时，_y_<_0_
当 0<x<1 时，_y_>_0_
(6)在(0，＋∞)上是__增__函__数__ (7)在(0，＋∞)上是__减__函__数__
当 a>1 时，1a<34<a，解得 a>43；
当
0<a<1
时，a<34<1a，解得
3 0<a<4.
∴a 的取值范围
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.3.3.1对数函数的图象和性质(带答案)
第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练知识点一 对数函数的定义域和值域 1．求下列函数的定义域： (1)y ＝1log 2（x －1）；(2)y ＝log 2(16－4x)； (3)y ＝log x －1(3－x )； (4)y ＝1log 0.5（4x －3）.2．(1)求函数y ＝log 13(－x 2＋4x －3)的值域；(2)求函数f (x )＝log 2(2x )·log 2x (12 ≤x ≤2)的最大值和最小值．知识点二 对数函数的图象及应用 3．函数y ＝lg (x ＋1)的图象大致是( )4．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y ＝log 15x ，y ＝log 17x ，y ＝log 5x 的一个是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)5．已知函数y ＝log a (x ＋3)＋1(a >0且a ≠1)，则函数恒过定点( ) A ．(1，0) B ．(－2，0) C ．(0，1) D ．(－2，1) 知识点三 对数函数的单调性及应用6．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b7．函数f (x )＝log 13(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 8．已知f (x )＝log a 1＋x 1－x (a >0，且a ≠1).(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．关键能力综合练1．函数y＝3－x2－log2（x＋1）的定义域是( )A．(－1，3) B．(－1，3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)2．设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则( )A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b3．(易错题)函数y＝log a(x－1)＋log a(x＋1)(a>0且a≠1)的图象必过定点( ) A．(3，0) B．(±2，0)C．(2，0) D．(－2，0)4.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )5．函数f (x )＝log 2(x 2－4x ＋12)的值域为( )A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C ．(－∞，－3) D ．(－∞，－3] 6．函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为( ) A ．[1，2)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 7．函数f (x )＝log 12(2 －|x |)的单调递增区间为________.8．一次函数y ＝mx ＋n (m >0，n >0)的图象经过函数f (x )＝log a (x －1)＋1的定点，则1m＋2n的最小值为________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝log 2(1－x 2). (1)求函数的定义域；(2)请直接写出函数的单调区间，并求出函数在区间[22，1)上的值域．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(4，6)上单调递减 D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称2．(情境命题—学术探究)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0，a ≠1). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的定义域；(2)当a >1时，求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集；(3)当a ＝2时，若不等式f (x )－log 2(1＋2x)>m 对任意实数x ∈[1，3]恒成立，求实数m 的取值范围．第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练1．解析：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2（x －1）≠0， 解得x >1，且x ≠2.故函数y ＝1log 2（x －1）的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x <2. 故函数y ＝log 2(16－4x)的定义域是{x |x <2}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1， 解得1<x <3，且x ≠2.故函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．(4)由log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1.所以原函数的定义域为(34，1). 2．解析：(1)由－x 2＋4x －3>0，解得1<x <3，∴函数的定义域是(1，3). 设u ＝－x 2＋4x －3(1<x <3)，则u ＝－(x －2)2＋1.∵1<x <3，∴0<u ≤1，则y ≥0，即函数的值域是[0，＋∞). (2)f (x )＝log 2(2x )·log 2x ＝(1＋log 2x )·log 2x ＝(log 2x ＋12 )2－14 .∵12≤x ≤2，即－1≤log 2x ≤1， ∴当log 2x ＝－12 时，f (x )取得最小值－14 ；当log 2x ＝1时，f (x )取得最大值2. 3．答案：C解析：由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg (x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)4．答案：B解析：∵log 17 15 <log 17 17 ＝log 1515 ，∴(3)是y ＝log 17x ，(4)是y ＝log 15x ，又y ＝log 15x ＝－log 5x 与y ＝log 5x 关于x 轴对称，∴(1)是y ＝log 5x .故选B. 5．答案：D解析：令x ＋3＝1，解得x ＝－2，y ＝1， 所以函数恒过定点(－2，1).故选D. 6．答案：C解析：由y ＝log 0.7x 是减函数，且0.7<0.8<1得， log 0.70.7>log 0.70.8>log 0.71，即0<a <1； 由y ＝log 1.1x 是增函数，且0.9<1得， log 1.10.9<log 1.11＝0，即b <0； 由y ＝1.1x是增函数，且0.9>0得， 1.10.9>1.10＝1，即c >1. 因此，b <a <c .故选C. 7．答案：A解析：由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，易知函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2).8．解析：(1)由1＋x1－x >0，得－1<x <1，故所求的定义域为(－1，1).(2)①当a >1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x >1, 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x ， 所以0<x <1；②当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x1－x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x .所以－1<x <0，故当a >1时，所求范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求范围为－1<x <0.关键能力综合练1．答案：A解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，log 2（x ＋1）≠2，x ＋1>0， 解得－1<x <3，所以函数的定义域是(－1，3)，故选A. 2．答案：D解析：a ＝log 43<log 44＝1；c ＝log 45>log 44＝1，∵log 53＝lg 3lg 5 ，log 43＝lg 3lg 4 ，lg 5>lg4，∴log 53<log 43，∴b <a <c ，故选D.3．答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋1>0 得x >1，∴y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域为(1，＋∞)，∴y ＝log a (x 2－1)(a >0，且a ≠1，x >1). 令x 2－1＝1，得x 2＝2，又x >1，∴x ＝2 . 当x ＝2 时，y ＝log a [(2 )2－1]＝0，因此y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)的图象必过定点(2 ，0)，故选C. 4．答案：C解析：由题意，根据函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象，可得0<a <1，0<b <1， 根据指数函数y ＝a －x(0<a <1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b 个单位，可得函数g (x )＝a －x－b 的图象只有选项C 符合．故选C.5．答案：A解析：∵x 2－4x ＋12＝(x －2)2＋8≥8，且函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥log 28＝3.6．答案：A解析：对于f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )有⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0 ，解得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的定义域为(0，2)， 又f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )＝log 2[x (2－x )]，对于y ＝x (2－x )＝－x 2＋2x ，其在(0，1)上单调递增，在[1，2)上单调递减， 又y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性的规则：同增异减得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为[1，2).故选A. 7．答案：[0，2 )解析：由2 －|x |>0，得－2 <x <2 ，所以函数f (x )的定义域为(－2 ，2 ). ∵函数u ＝2 －|x |在[0，2 )上为减函数，且函数y ＝log 12u 为减函数，∴函数f (x )的单调递增区间为[0，2 ). 8．答案：8解析：对于函数f (x )＝log a (x －1)＋1，令x －1＝1，∴x ＝2，y ＝1，则该函数图象过定点(2，1)，将(2，1)代入y ＝mx ＋n (m >0，n >0)，得2m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n 且2m ＋n ＝1，即m ＝14 ，n ＝12时取等号．9．解析：(1)由1－x 2>0得定义域为{x |－1<x <1}．(2)令u ＝1－x 2，则u 在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减．又f (u )＝log 2u 单调递增，故f (x )在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减． ∴函数f (x )在[22，1)上为减函数， ∴函数f (x )在[22，1)上的值域为(－∞，－1].核心素养升级练1．答案：BCD解析：因为f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )＝ln [(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)，令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ，二次函数t ＝(x －2)(6－x )的对称轴为直线x ＝4，所以f (x )在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，A 错误，C ，D 正确；当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln (4－2)＋ln (6－4)＝2ln 2，故B 正确．故选BCD.2．解析：(1)当a ＝12 时，f (x )＝log 12 (12x －1)，由12x －1>0，得x <0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0).(2)f (x )＝log a (a x－1)(a >1)的定义域为(0，＋∞)，当x 1>x 2>0时，f (x 1)－f (x 2)＝log a (a a 1－1)－log a (a a 2－1)＝log a a a 1－1a a 2－1>0， 所以函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，由f (x )<f (1)，知⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <1 ，故关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集为{x |0<x <1}．(3)设g (x )＝f (x )－log 2(1＋2x)＝log 22x－12x ＋1，x ∈[1，3]，设t ＝2x－12x ＋1 ＝1－22x ＋1 ，x ∈[1，3].易知t ＝1－22x ＋1 在x ∈[1，3]上单调递增．所以t ∈[13 ，79 ]，故g (x )min ＝log 213.因为m <g (x )对任意x ∈[1，3]恒成立，所以m <g (x )min . 故m 的取值范围是(－∞，log 213 ).。