数学建模论文_SARS传播的数学模型
关于SARS传播和影响的数学模型
关于SARS传播和影响问题的模型摘要本文首先采用Logistic模型、人工神经网络两个方法对SARS疫情公布的数据进行分析挖掘后，建立了不同的传染病模型来对疫情的变化趋势给出预测，从而为预防控制提供了可靠、足够的信息。
然后又考虑到证券市场被视为国民经济的晴雨表，因此在收集医药类、交通运输类等行业的股票价格的基础上，分别使用“事件分析法”、Markov 链建立数学模型对SARS给股市的影响进行分析预测。
在对早期模型进行合理性与实用性评价的基础上，对它的参数确定方法进行改进，消除了对港粤地区经验性数据的依赖，建立的二阶Logistic回归模型能就本地已知数据预测疫情发展趋势，给出预测值并拟合出疫情走势图。
并且该模型的决定系数R2高达99.02%，这表明预测值与实际值无显著性差异，拟合效果很好。
由疫情走势图可推算出发病高峰为4月29日及持续时间，且能体现出预防措施对疫情走势有明显的影响，也即随着预防指数K(t)的增大，累计发病人数N(t)趋于稳定。
因此该模型可为疾病的预防和控制提供有效的信息。
又考虑到本问题是一个动态预测问题，故建立了误差逆传播神经网络模型(BP,Back-Propagation)。
经过理论分析和多次实验确定其为三层结构的BP网络模型，节点数分别为（5，6，5），激励函数为双曲正切函数。
该模型能够根据前五天的累计患者数预测出未来五天的累计患者数。
首先，将已知65个数据分为13组，分别作为网络的输入、输出端输入网络，进行学习。
然后，用训练过的网络预测未知数据，正确率达99.9%以上。
最后，考虑到网络初值对模型灵敏度的影响，提出了初始化的合理建议，并将其与早期模型进行了比较。
在分析SARS对证券市场的影响时，由于这是一个突发事件，缺乏历史数据，所以SARS对股市产生的影响很难用传统的计量模型进行分析，因而采用“事件分析法”对其进行研究：利用一个相对短时期的股票价格的变化情况来分析和衡量该事件的影响程度。
SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文设计
SARS传播的数学模型(轩辕杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合.应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计海外旅游人数在10月以前能恢复正常.最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.1．问题的重述SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响.（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.2．早期模型的分析与评价题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.2.1早期模型简述早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ，平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的围K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是：t k N t N )1()(0+⋅=考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.2.2早期模型合理性评价根据早期模型对疫情的分析与预测，其先将的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天围K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.图1 早期模型计算值与实际值对比图从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记iy 表示第i 天实际累计病例，i yˆ表示第i 天计算累计病例.计算 n i y ye e i i ii ,,2,1,ˆ*Λ=-==σσ 其中，用σˆ作为σ的估计： 2)ˆ(ˆ1--⋅=∑=n yy y n i i i i σ做出标准化残差*i e 的分布图，如图2：图2 早期模型的标准化残差分布图可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.通过以上分析得合理性评价：○1从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.○2尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.○3该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的)N实际代表的是t时刻全社会的累计SARS患者，(t而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！2.3早期模型实用性评价模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：○1该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发展的阶段没有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用围受到限制.○2参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比较高的定值，在疫情高峰期过后，在10天逐步调整K值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，可见该模型未对的实际情况进行充分的考虑.○3参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L的值固定为20，而实际的L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干预过多，实际应用围受到了限制，实用性不强.3． SARS传播过程的分析由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说”.第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR 模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS 的分段微分方程模型，称为SARS 传播的SIR 改进模型.4． SARS 传播的SIR 改进模型4.1模型的假设1．SARS 的持续期不太长，可以忽略在SARS 持续期的城市人口的自然出生率和自然死亡率.2．被SARS 感染后经治疗康复的人群在SARS 流行期不会被再次感染.3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市围研究SARS 疫情的发展过程.4.2模型的符号定义)(t S :易感类人群占城市人口总数的比例.)(t I :传染类人群占城市人口总数的比例.)(t R :排除类人群占城市人口总数的比例.)(t ω:SARS 患者的就诊率患者总数时刻全社会患者数时刻被隔离的SARS SARS t t = λ：单位时间一个传染者与他人的接触率.L ：平均传染期.4.3传播机理分析针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR 的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS 的传播过程.为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS 的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.I 类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S 类成员. R 类：称为排除类或恢复类，R 类成员或者是I 类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I 类成员转化为R 类后，立刻失去传染能力.S(t)、I(t)、R(t)分别表示t 时刻上述3类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有3条基本假设：1A ：人口总数为常数N ，N 足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.2A ：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间一个传染者与他人的接触率为λ，则一个传播者在单位时间与S 类成员的接触率为)(t S λ，因此，单位时间I 类成员与S 类成员的接触总数为)()(t I t S N ⋅⋅λ，这就是单位时间I 类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.3A ：传播者的被控制数正比于传染者的数量)(t NI ，比例系数为v ，v 称为被控制率，则平均传染期为v L /1=.v /λσ=为一个传染者在其传播期与其他成员的接触总数，称为接触数.那么SARS 的传播流程如图3：)()()(t NR t NI t NS vNS NSI 排除类传染类易感类控制传染−−−→−−−−→−⋅⋅λ图3 SARS 传播流程图在这个模型中，排除类)(t NR 就是已确诊SARS 患者累计数，而)](1[t S N -⋅是全社会累计SARS 患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分.4.4模型的建立有了以上的机理分析，建立起针对SARS 的改进SIR 模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥>>=++=-=-=00,01(2) (1)000R I S S R I vI dt dR vI SI dt dI SI dt dS λλ该模型中参数λ和v 在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：○1参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率λ的值.一般认为，λ的数值随着SARS 发展的4个阶段不断变化.在SARS 初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故λ维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使λ得到一定的控制，但效果不明显，此处假设λ呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为λ按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，λ就维持在一个较低值附近.○2参数v 表示传播者的被控制率.v L /1=称为平均传染期，表示一个传播者在被隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS 患者经过传染期L 过后，将隔离治疗或者死亡，从I 类成员变为R 类，失去传播能力.L 与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期L 的长度.因此这里将L 直接抽象为每一时期SARS 患者的就诊率)(t ω的函数.平均传染期L 应随)(t ω的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS 的认识不足，并没有采取有效控制措施， L 的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS 病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS 患者的就诊率)(t ω逐渐增加，而平均传染期L 会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS 病毒平均潜伏期（约7天）定为L 的最小值；在此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L 的值会维持在7天左右.4.5针对疫情求解模型首先采用数学推导的方法，确定参数λ和v ，并证明模型有唯一解.○1确定λ和v 的关系 令v λσ=，方程组中)1()2(÷得：SdS dI σ11+-= 在病情刚开始时，011S dS dI σ+-=，由于)(t S 是单调减少的，且)(t I 最终趋近于0，则当1≤S σ时，)(t I 单调减少趋近于0；当1>S σ时，)(t I 先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于0.容易知道，当1>S σ时，才满足SARS 的传播规律，所以参数λ和v 的取值必须满足这个条件.○2证明模型有唯一解 在初值条件下解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=111000R S I S dS dI σ 得到关系式：)ln(11)(00S S S R t I σ+--= 令∞−→−t ，由○1得 )ln(11000S S S R ∞∞+--=σ 因为0>∞S ，所以令)ln(11)(00S x x R x f σ+--= 则 -∞=−→−)(lim 0x f x ，01)(0000>=--=I S R S f当σ10≤S 时，由于0)(=x f 在),0(0S 围有根，因而在)1,0(σ有根. 当σ10>S 时，因为xx x f σσ-=1)(' 当σ1>x 时，0)('<x f ，所以0)()1(00>=>I S f f σ，因而0)(=x f 在)1,0(σ也有根. 注意到当σ10<<x 时，0)('>x f ，故0)(=x f 在)1,0(σ有唯一根. 所以，∞S 在)1,0(σ有唯一解. ○3划分SARS 传播的4个阶段 由于SARS 的传播经历了4个阶段，所以，要以具体的指标划分这4个阶段.因为在4个阶段中，日发病率)()()(t I t S N t ⋅⋅=λμ是一个区分每个阶段特点的关键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在10（人/天）以下.疫情期的前40天.爆发期：从日发病率10（人/天）到日发病率最大，即0=dtd μ时.疫情期的第40天到第74天. 高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即0=dtdI 时.疫情期的第74天到第79天.衰退期：患者数量最大点以后.疫情期第79天以后.○4确定λ和v 根据最终SARS 患者总数2521人以及人口总数（约14000000人），得19998.01400000025211≈=-=∞S ，所以11>=λσv . 因为平均传染期vL 1=，而L 是SARS 患者就诊率)(t ω的函数，且]19,7[∈L ，所以，这里设计L 函数为：)(17t e L ω-=)(t ω由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<≤=74 t174t 40 )178.340(log 40t 0 0)(10t t ω 而接触率λ与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况确定为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤-<≤=79t 0672.079t 74 33ln 116.074t 40 3400126.040t 0 126.0t t λ确定出所有的参数后，做出各时期累计全社会SARS 患者数和各时期累计确诊SARS 患者数预测图（图4）以及市预测确诊SARS 患者累计和实际确诊SARS 患者累计对比图（图5）.同时得到：SARS 疫情的预测持续时间为106天，预测SARS 患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR 模型程序)图4 市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图图5 市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图5．改进SIR模型的分析与评价5.1合理性评价从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对后期数据预测不准的缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.通过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准确，而且在预测后期病情的时候也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型优于早期模型的方面之一.5.2实用性评价对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：○1早期模型在没有对SARS的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期的确定方法，模型的实际应用围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据日发病率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑了每个阶段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的影响.○2早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者人数，这样的做法不能对防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发现的患者人数，可以对防治工作提供更有用的数据.○3早期模型用参数K代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，未对的实际情况进行充分的考虑.而改进SIR模型用参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个阶段λ的变化情况，给出了λ的函数表达式.○4早期模型用参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期预测值明显偏离实际值的结果.而改进SIR模型中建立了L的分段函数表达式，根据各个阶段的具体影响因素控制L的大小.这样，在后期的预测上，也与实际值相当吻合.综上，改进SIR模型弥补了早期模型的不足，实际应用围得到扩大，实用性强.5.3建立可靠、优良模型的困难要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力的方向.○1缺乏详尽的，反映SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值.本文的模型计算与分析研究，主要依据关于市的SARS疫情通告的数据.这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求.○2需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果.○3需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异性，总结SARS传播与控制的典型地域性模式.6．分析具体措施对SARS传播的影响在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下.改变隔离开始的时间通过对L调整实现，减小L的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对λ调整实现，减小λ的数值就提高了隔离的强度.以的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：分析表1，得出结论：○1在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小.○2在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短.○3综上，累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定.所以，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.7．SARS 对旅游业的影响SARS 的流行会对国民经济带来一定的影响.现在题目提供了市接待海外旅游人数的数据，要求根据这些数据，预测SARS 对市的旅游业所产生的影响.7.1预测正常情况下2003年的旅游人数旅游业随着社会经济的发展，会有一个逐年提高的趋势.如果没有SARS 的流行，那么，海外旅游人数会以一定的规律保持增长的趋势.现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，采用季节性时间序列的半参数回归模型进行预测.一般的半参数回归模型是指：(3) ) (T g Y '∈++=β 其中1),(R R T X P ⨯∈ 为随机向量或设计点列，T 的支撑集为有界闭集，β为1P ⨯的未知参数向量， )( g ⋅是定义于一有界闭集上的未知函数, E 为随机误差,22)E(0, )E(σ=∈=∈(未知),且∈与T X ,相互独立.对季节性时间序列资料),,2,1;,,2,1(l j n i X ij ΛΛ==，其中n 为年份长度,l 为季节长度.根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回归模型(4) )(j ij j g bi X ε++= 其中b 为模型参数, 主要反应时间序列在年度上的增长趋势.)(j g 为未知函数,主要反应时间序列在季节上的效应,22)(,0)(σεε==ij ij E E 且ij ε相互独立.显然模型中不应包含常数项,因为常数项可包含在季节效应中.在对旅游人数的估计时，因为采用了1997～2002年的数据进行参数估计，所以年份长度6=n ，而季节上的效应实际上就是每个月的效应，季节长度12=l .参数估计如下：○1把b 看为已知时)(j g 的最小二乘估计为使∑--iij j g bi X 2))((最小的解，即(5) 21)(ˆ+⋅-=n b X j gj 其中，∑=iij j n X X /，即为所有数据在季节点j 上的均数.显然)(ˆj g也是)(j g 的一个临近估计.○2将（5）代入（4）后b 的最小二乘估计为使∑∑+---ijj ij n bX bi X 2))21((最小的解.作变换21~,~+-=-=n i i X X X j ij ij 则(6)~~~ˆ2∑∑⋅⋅=iij ij il X i b在小样本条件下，误差的总体方差2σ估计为(7) )~ˆ~(11ˆ2112i b X l nl n i lj ij ---=∑∑==σ将海外旅游人数1997～2002年的数据代入式（5）、（6）、（7），得到：⎪⎩⎪⎨⎧==0044.0ˆ8245.1ˆ2σb)4642.12,1642,18,5808.21,7475.20,0808.21 ,0808.16,3975.16,9975.17,2142.17,5142.12,2808.13,5642.4()(ˆ=j g根据这些参数，预测正常情况下2003年的旅游人数(计算程序见附件2：时间序列程序)，结果如表2（单位：万人）： 月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数15.4 17.1 25.3 30.0 30.8 29.2 28.9 33.9 33.6 34.4 31.0 25.31997-2003年旅游人数的变化如图7所示：图7 1997-2003年旅游人数的变化7.2季节性时间序列半参数模型的检验我们利用时间序列模型对1997～2002年的旅游人数进行拟合，再与实际值对照，画出残差图（图8）：。
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sars数学建模获奖论文二．数学模型的分析与建立 2.1 分析与假设将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用 S 表示健康者在人群中的比例。
潜伏期者（已感染，尚未发病）：用 E 表示他们在人群众的比率。
发病期者(已发病者)：用 I 表示病人在人群中的比例。
退出者(死亡者)：用 R 表示退出者在人群中的比例。
2.2 模型的建立 1 ．参数设定 1每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。
q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。
l （流入）流出人口占本地总人口的比率。
1处于潜伏期的病人的日发病率。
P流入人口中带菌者所占的比例。
2 ．控前方程的建立根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：ISdtdS1（1）LE LP E ISdtdE 1 1（2）1/ 3qI EdtdI1（3）qIdtdR（4） 0 0 00, , , E R I S （初值）3 ．参数的确定 1) 1根据医学资料和有关数据推导而得。
2) q 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。
3) l 由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。
可查有关资料。
4) 1根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。
5) P由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。
II 控后模型的建立 1 ．参数设定 2 不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。
q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。
接触病源的人的发病率。
每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。
2 ．控后方程的建立根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：(5)qI GdtdI(6) qIdtdR(7) SdtdS 2 GGGSdtdG 2GSdtd2 (9) 0 0 0 0 0, , , , E R I S （初值）在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题...3/ 3。
sars的传播2003数学建模题目
SARS(严重急性呼吸系统综合征)是一种由SARS冠状病毒引起的传染病，曾在2003年引发全球性的疫情。
在数学建模中，研究SARS的传播规律是一个重要且具有挑战性的课题。
通过数学建模可以更好地理解疫情传播的规律，并为疾病控制和预防提供科学依据。
1. SARS病毒的传播途径SARS病毒主要通过呼吸道飞沫传播，当感染者咳嗽、打喷嚏或说话时，会释放含有病毒的飞沫，健康人在呼吸这些飞沫或接触污染的物体后易受感染。
在数学建模中，需要考虑不同人群之间的接触模式以及感染的概率，这对于评估疫情的传播速度和范围至关重要。
2. SARS病毒的潜伏期和传播特点SARS病毒有较长的潜伏期，患者在潜伏期内可能没有明显症状，但仍然可以传播病毒给他人。
这增加了疫情控制的难度，也需要数学模型来估计患者在潜伏期内的传播能力和传播速度。
3. 数学建模在SARS疫情中的应用数学建模可以帮助我们模拟和预测疫情的传播趋势，包括病毒的传播速度、传播范围以及传播途径。
通过建立传染病传播模型，可以评估不同的干预措施对疫情传播的影响，为政府和卫生部门提供科学依据和决策支持。
总结回顾通过数学建模，我们可以更好地理解SARS疫情传播的规律，评估干预措施的效果，并为未来类似疫情的防控提供经验和启示。
由于SARS 疫情的传播特点复杂多样，数学建模需要考虑到多种因素的影响，是一项具有挑战性和意义重大的工作。
个人观点与理解SARS疫情的发生引起了全球范围内的关注和担忧，数学建模在疫情控制和预防中的应用显得尤为重要。
作为一种强大的工具，数学建模为我们提供了一种全新的视角来认识和理解疫情的传播规律，为疾病防控提供了有力的支持。
希望未来能进一步深入研究传染病传播的数学模型，为应对未知疫情做好充分准备。
在这篇文章中，我从SARS疫情传播的数学建模角度对疫情的传播规律进行了探讨，并共享了个人对于数学建模在疫情防控中的重要性的理解。
希望这篇文章能帮助你更好地理解SARS疫情的传播特点以及数学建模的应用。
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文SARS 传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；严格隔离能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地1/ 2报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足...。
关于SARS病毒传播的数学模型
di ( t) dt
=
ks ( t) i ( t)
s ( t) + i ( t) = N
(4)
i (0) = i0
对 (4) 分离变量可解得
i ( t) = 1+
N
N i0
-
1
e- kNt
(5)
i
(t)
～t
和
di dt
～i
的图形分别如图
2
和图
3
所示
。
·48 ·
由图可知 :i (t)
=
1 2
1 、问题提出 数学模型是指通过抽象和简化 ,使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画 ,以便于人们更深刻地 认识所研究的对象 。它是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具[1] 。文 [ 2 ]研究 了数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用 。文 [ 3 ]研究赛程编排的数学模型 。本文拟对 SARS 病毒 的传播的数学模型建立进行研究 。 对于传染病模型 ,可以在较一般的情况下 ,分析受感染人数的变化规律 。由于人们不可能通过试验 来取得传染病流行的数据 ,实际的传染病流行的观测往往也不完整和不充分 ,通常主要是依据机理分析 的方法来建模 ,利用有关计算机的知识求解 。 SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome) ,即严重急性呼吸道综合症 ,俗称 :非典型肺炎 ,是 21 世纪初 在世界范围内传播的一种疾病 。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济和人民的生活带来了很大的影响 ,我 们从中得到了很多的经验和教训 ,认识到定量地研究传染病的传播的规律 ,为预防和控制传染病蔓延创 造条件的重要性 。 SARS 在爆发初期 ,由于存在潜伏期 ,公众对 SARS 病毒传播速度认识不足 ,感染者迅速增加 ,公众
sars的传播2003数学建模题目
sars的传播2003数学建模题目在2003年，严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndrome，简称SARS）的爆发引起了全球范围内的恐慌。
为了更好地了解SARS的传播特点和控制措施，我们可以应用数学建模的方法来分析SARS的传播规律，并提出相关的应对策略。
1. SARS的传播模型为了探究SARS的传播规律，我们可以采用传染病的基本传播模型——SIR模型。
SIR模型将人群分为三类：易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
根据该模型，我们可以列出如下的微分方程：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S，I和R分别表示易感者、感染者和康复者的数量；β表示传染率；γ表示康复率。
2. 参数估计与模型拟合要对SARS的传播模型进行参数估计和模型拟合，我们需要收集大量的疫情数据。
通过对实际数据进行统计学分析，我们可以获得β和γ的估计值，并将其代入SIR模型方程中进行模型拟合。
通过与实际数据的对比，我们可以评估模型的拟合效果以及参数的准确性。
3. 传播速率和传播方式SARS的传播速率直接影响到其传播范围和传播强度。
在SARS爆发期间，我们可以通过统计病例的增长速率来估计SARS的传播速率。
此外，研究发现，SARS主要通过空气飞沫传播，在密闭环境中飞沫的传播距离较远，因此需要采取相应的防控措施，如戴口罩、保持良好的通风等。
4. 人群的易感性和免疫力SARS的传播过程中，人群的易感性和免疫力起着重要的作用。
通过研究易感者和感染者的流行病学数据，我们可以了解人群的易感性和免疫力对于传播过程的影响。
同时，针对易感者的接种疫苗和提高人群的免疫力也是有效控制SARS传播的策略之一。
5. 社会干预措施的效果评估为了控制SARS的传播，社会干预措施起到了至关重要的作用。
例如，早期的病例隔离、密切接触者的追踪和隔离、社交距离的维持等都可以有效降低SARS的传播风险。
大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测
SARS对经济指标的影响王海燕徐昊天吴德春摘要本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。
为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。
（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。
从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。
（2）SARS对海外旅游业的影响以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。
利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。
（3）SARS对综合服务业总额的影响以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。
因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。
另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。
虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。
关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差§1问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。
2003SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型摘要：我们以传统的微分方程为理论根底，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进展了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。
还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数确实定方法，以及模型的数值解法。
关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合SARS的简介：SARS〔Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎〕是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济开展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经历和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中确实诊者、不可控者、不可控者中转化为病人〔感染〕者。
我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用根本假设：1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。
2. 易感者感病的时机与他接触感病者的时机成正比。
3. 疾病的传染率为常数。
4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。
6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是安康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。
符号说明：S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例R(t) 为移出者在总人口中所占的比例N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例M(t) 为不可控者在总人口中所占的比例k为每个易感染者平均每天感染的有效人数h为移出率〔即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和〕ε为不可控者中转化为病人的日转化率α为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例对问题一的答复：某种函数的形式，引入一些参量因子进展考虑。
SARS传播模型
SARS 传播模型摘 要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS 疫情数据进行了分析处理，把北京地区 SARS 疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。
由于医务人员人群是SARS 病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。
通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS 传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：aa q p p t u q t pu t u C t i )24)(())()(()(2212--+++=-，恢复期模型的解为：)(1)(220t u k k z d C t i -+-=。
从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。
关键词：SARS ，三次样条插值，高次多项式拟合0. 引 言SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。
我们从整个抗击SARS 的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。
1. 问题分析由于SARS 主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS 病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS 病的高发人群，其主要是被住院的病人传染。
而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。
同时临床统计数据表明SARS 病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。
SARS数学建模
SARS 流行趋势的优化模型一．摘要SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。
由于SARS 是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS 传播的影响；又由于SARS 发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数r ，用来表示发病率。
在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic 回归结合各地SARS 发病的疫情资料，用Matlab 软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS 模型，它给出了SARS 流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。
由于参数k 的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS 高峰期的到来时间，可能累计最大发病数。
同时，我们也通过Matlab 语言对北京的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。
另外我们对数据进行出来的到实时病人数和时间的函数关系，用北京地区的数据求出其参数，并作出图像与原始数据进行对比。
当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ 模型。
但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。
在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。
最后，我们分析了Logistic SARS 模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。
一、问题的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型摘要SARS(严重急性呼吸道综合症，，俗称⾮典型肺炎)是21世纪第⼀个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和⼈民⽣活带来了很⼤影响。
为了能定量的研究传染病的传播的规律，⼈们建⽴了各类模型来预测、控制疾病的发⽣发展。
本题中给出了⼀个早期指数模型，它在短期内有⼀定的合理性与实⽤性，认为该模型可以预测疫情发展的⼤致趋势，但是却存在着⽤短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。
基于此，我们考虑应该引进新的参数，建⽴更优的模型。
由于SARS是新发传染病，⼈们对其的有效防治⼿段还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进⼀个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；⼜由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们⼜引⼊了参数r，⽤来表⽰发病率。
在假设所研究地区⼈⼝为理想状态下的⼈群、对该病普遍易感等前提下，我们应⽤Logistic回归结合地区SARS发病的疫情资料，⽤Matlab软件模拟，得到了⼀个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流⾏趋势以及控制措施有效性的定量评估。
由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS⾼峰期的到来时间，可能累计最⼤发病数，在测控和拟合世界上优于早期模型。
同时，我们也通过Matlab语⾔对北京疫情的计算和实际数据进⾏了拟合，进⽽验证了这个模型的可靠性。
应⽤SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进⾏分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病⼈数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间。
本⽂亦分析了海外旅游⼈数受SARS的影响情况，并⽤Matlab语⾔对2003年以前的每个⽉份旅游⼈数与⽉份进⾏数据拟合，进⽽估算出正常情况下2003年的旅游⼈数。
在SARS的影响下，求出每个⽉份⼈数的减少率，拟合出⽉份与减少率的曲线图，从图中可以看出旅游⼈数在9⽉份开始恢复。
2003年全国数学建模优秀论文设计北京SARS的传播研究
小组成员SARS的传播研究摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS的认识，疫情分析及对疫情走势的预测研究也变得尤为重要。
为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对市的SARS传播问题建立数学模型。
关键词： SARS 人群分类微分模型整体拟合1、问题重述1.1问题的背景严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。
主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。
本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。
首发病例，也是全球首例。
于2002年11月出现在，并迅速形成流行态势1.2问题的叙述现阶段SARS的传播正处于高峰期。
由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。
因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析，相关信息（见附件1、2、3）附件1SARS疫情分析及对走势的预测附件2市疫情的数据附件3市接待海外游客人数附件4相关编程1.3问题的提出问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
问题二：建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
大学毕设论文__sars的传播数学建模论文
SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。
得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。
我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。
由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。
于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。
）进一步完善了我们的模型。
本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。
从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。
一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。
而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。
二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。
模型的假设：1 将人群分为三类易感染者人数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。
SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。
根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。
以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。
当λ1 =1.5 和λ2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。
他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。
本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。
关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。
而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。
二、模型的假设1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。
2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。
3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。
数学建模论文-传染病模型)
传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。
利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。
由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评2003年A\C题《SARS的传播》题目、论文、点评考虑自愈的SARS的传播模型李贝本文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类：易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型：微分方程模型和基于Small-world Network的模拟模型。
对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。
模拟模型利用Small-World Network模拟现实中人们之间的接触；借鉴Sznajd模型观念传播的基本思想“考察区域内每个成员如何影响与其有联系的其他成员”，用影响类比传染，从患病者去传染与其有接触的健康人的角度，模拟SARS的传播过程；然后吸收元胞自动机模型同步更新的思想，最终建立了一个患病者传染邻居，且一个成员同时受所有邻居影响的基于Small-World Network的模拟模型。
对此模型，我们讨论了一些主要参数及接种疫苗的影响，最后拟合北京数据，讨论了提前或推迟5天采取措施的影响。
考虑自愈的SARS的传播模型.pdf (341.9 KB)SARS传播的数学原理及预测与控制邹宇庭郑晓练...众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。
我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。
该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminseareh函数模拟得到最优的模型参数。
该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。
继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。
SARS的传播数学建模优秀论文
SARS 的传播模型摘要传染病、战争、饥荒是影响世界人口的三大因素，其中尤其以传染病对人口的影响最为大。
对于问题1，本文结合附件一所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，K 值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。
对于问题2，我们以2003年6月以前的有关数据为资料，根据对SARS 传播的分析，在传统的SIR 传染病模型的基础上对人群作了合理的分类：健康者、患病者和移出者。
其中，移出者指死亡及治愈组成的免疫类。
考虑到3类人群均是关于时间的变量且患病者的数量和采取的控制手段密切相关，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了病人的自由传播源平均每天造成的感染率81.331710λ-=⨯和该病平均每天的治愈率0.0810μ=，病人平均每天的死亡率0.0383δ=，疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例10.2692β=，疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例20.2062β=，可控系数0.9384α=五个参数。
关键词：SARS ；微分方程；SIR 模型一、问题重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
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数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。
通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。
通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。
二、设计教学内容1、生产计划制定 ;2、利润最大化问题 ;3、光纤铺设问题 ;4、大学生的个人花费问题；5、电站建设问题；………26、印花税调整与证券市场；27、学生成绩的综合评定；28、人口问题；（28个中任选1个）三、设计时间2010—2011学年第一学期：第16周共计1周目录摘要 (1)一．问题的提出 (1)二．对早期模型的评价 (2)三．传播模型 (2)四．模型的评价和改进 (11)五．参考文献 (12)附件 (12)SARS传播的数学模型摘要本文针对SARS的传播建立了数学模型。
首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。
模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。
故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。
对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。
考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。
通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。
预测结果与实际情况符合得很好。
另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。
根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。
对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。
通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。
与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。
对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。
最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。
一、问题的提出2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。
作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。
我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
对此，要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：1、对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
2、对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明：(1) 为什么优于附件1中的模型；(2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。
(3) 对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
（附件2提供的数据供参考。
）3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
（附件3提供的数据供参考。
）4、给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
二、对早期模型的评价附件1的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。
在数据拟合方面，该模型中有两个疑点：1、感染期限L的确定。
由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。
但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据 ,通过人为调试来确定L的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。
2、文中认为“K代表某种环境下一个人传染他人的平均概率”。
但从模型的公式中可以看出，参数K的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。
两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。
从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区——广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。
由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到5月8日为止每日新增病例已降至10来例，基本处于后期控制阶段。
而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。
可见在当时，采取这种借鉴是无奈之举。
但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。
如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。
另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。
三、传播模型（一）问题的分析在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，人们对病毒传播速度和危害程度的认识不够，未能及时识别这一传染病的存在。
但当病患数不断增加，政府开始采取应对措施对其进行控制，同时社会舆论加大宣传力度，人们的警觉性提高，病毒的传播速度下降。
因此，我们通常把传染病的传播模式近似分为两个阶段：第一、自由传播阶段（即控前阶段）：在采取切实有效的控制措施之前的一段时间。
第二、控后阶段：介入人为因素之后的一段时间。
由于SARS的传播涉及的因素很多，如潜伏期、人群的迁入迁出，感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。
而且在以上因素中，潜伏期的大小、传染率和治愈率的大小因人而易，具有一定的随机性。
不可能一开始就把所有的因素全部考虑在内建立模型。
对此，我们将作出相应的假设进行简化。
分析附件2所给出的数据，发现6月1日至15日，已确症病例累计数为2522人，其中夹杂3天累计数为2523人。
但6月16日后累计数降至2521人，认为累计数的减少可能是误诊引起的。
由于误诊的可能性很低，故在这里忽略不计。
（二）基本假设1、国家卫生部提供的北京疫情统计真实可信。
（误诊数仅为1，可忽略不计）。
2、由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。
3、不考虑出生与自然死亡的过程和人群的迁入迁出（或认为迁入和迁出基本平衡），认为疾病传播期间所考察地区的总人数为常数。
4、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS 病人不具有传染性。
5、目前尚不清楚康复患者是否具有免疫力，但据国家卫生部资料可知康复后的病患无一例复发。
故假设康复患者退出传染系统。
6、根据资料显示，SARS 病毒的潜伏期一般为2~7天，平均约为5天。
（这一条件将在后期的模型中有所改动）（三）常用基本模型目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人群分为三类： S 类：易感者，指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染。
I 类：感病者，指染上传染病的人。
R 类：移出者，指因患病而被隔离，或因病愈而具有免疫力的人，他们即非感病者，也非易感者，实际上他们已经退出了传染病系统。
并通过三类之间的互相转化关系建立微分方程组进行求解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=-=NR I S hI dt dR hI kIS dt dI kISdt dS (1) 变量和符号说明：k ——传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。
h ——退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。
S(t)——易感人群的总数。
I(t)——感病者总数。
R(t)——退出者总数。
N ——一个城市总人口数。
观察附件二中给出的数据，我们发现截至6月23日，感病者累计为2521人，远远小于北京城市的总人口数150万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数I 为一常数。
原方程变形为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=hI dtdR hI kIN dt dI （2） 注意到退出者不是我们研究的范围，故方程组（2）实际上是一个常微分方程I hI kNI dtdI λ=-= （3） 其中h kN -=λ，不难用分离变量法解出：t e I t I λ-=0)( （4）其中I 0为初始值。
根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况。
当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的实质与附件1的模型相同，感病人数将随时间以指数增长。
考虑这一特点，我们用计算机跟踪病毒的个体传播情况，建立了模拟模型。
（四）计算机模拟模型：在该模型中，我们将传染系统中的人分为五类：自由携带者（][t f ）——身上携带病毒并均匀散布在人群中的患者，根据基本假设自由携带者在潜伏期内不具有传染力，日增患者（][t x ）——每天被医疗部门发现并加以隔离的感病者被隔离者（][t y ）——因曾与自由携带者接触而被怀疑携带SARS 病毒的人 有效接触者（][1t z ）——每日与自由携带者接触并感染上病毒的人 无效接触者（][2t z ）——每日与自由携带者接触但未染上病毒的人 并作出如下假设：1、由于传染性SARS 最初（1~2天）的症状通常为发热（o 38>），发热通常为高热[1]。