2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含详细答案
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2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含详细答案
一、圆的综合
1.不用圆规、三角板,只用没有刻度的直尺,用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形性质可画出垂线;或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解:画图如下:
【点睛】本题考核知识点:作垂线.解题关键点:结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
2.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .
(1)求证:直线PD是⊙A的切线;
(2)若PC=25,sin∠P=2
3
,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).
【答案】(1)见解析;(2)20-4π.
【解析】
分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,
∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,
又PD=BC,∴AD=PD,
∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,
∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,
∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,
∴PD是⊙A的切线.
(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=
2
3
CD
PD
,5,
令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)252,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,
∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,
∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为1
2
×4×2=4,
扇形ABE的面积为1
2
π×42=4π,
∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.
点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.
3.如图,⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中,点M的坐标为(3,﹣1),点A的坐标为(﹣23B的坐标为(﹣3,0),点C在x轴上,且点D在点A的左侧.(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t(秒),当⊙M与BC相切,且切点为BC的中点时,连接BD,求:
①t的值;
②∠MBD的度数;
(3)在(2)的条件下,当点M 与BD 所在的直线的距离为1时,求t 的值.
【答案】(1)8;(2)①7;②105°;(3)t=636+33
. 【解析】
分析:(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8;
(2)①如图2,先根据坐标求EF 的长,由EE '﹣FE '=EF =7,列式得:3t ﹣2t =7,可得t 的值;
②先求∠EBA =60°,则∠FBA =120°,再得∠MBF =45°,相加可得:∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;
(3)分两种情况讨论:作出距离MN 和ME ,第一种情况:如图5由距离为1可知:BD 为⊙M 的切线,由BC 是⊙M 的切线,得∠MBE =30°,列式为3t 3=2t +6,解出即可; 第二种情况:如图6,同理可得t 的值. 详解:(1)如图1,过A 作AE ⊥BC 于E .
∵点A 的坐标为(﹣23),点B 的坐标为(﹣3,0),∴AE 3,BE =3﹣2=1,∴AB 22AE BE +2
231+()
=2. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =2,∴菱形ABCD 的周长=2×4=8; (2)①如图2,⊙M 与x 轴的切点为F ,BC 的中点为E . ∵M (3,﹣1),∴F (3,0).
∵BC =2,且E 为BC 的中点,∴E (﹣4,0),∴EF =7,即EE '﹣FE '=EF ,∴3t ﹣2t =7,t =7;
②由(1)可知:BE =1,AE 3 ∴tan ∠EBA =
AE BE =3
3,∴∠EBA =60°,如图4,∴∠FBA =120°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠FBD =12∠FBA =1
1202
⨯︒=60°. ∵BC 是⊙M 的切线,∴MF ⊥BC .
∵F 是BC 的中点,∴BF =MF =1,∴△BFM 是等腰直角三角形, ∴∠MBF =45°,∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;
(3)连接BM ,过M 作MN ⊥BD ,垂足为N ,作ME ⊥BC 于E ,分两种情况: 第一种情况:如图5.
∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =120°,∴∠CBD =60°,∴∠NBE =60°. ∵点M 与BD 所在的直线的距离为1,∴MN =1,∴BD 为⊙M 的切线. ∵BC 是⊙M 的切线,∴∠MBE =30°.
∵ME=1,∴EB=3,∴3t+3=2t+6,t=6﹣3;
第二种情况:如图6.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠DBC=60°,∴∠NBE=120°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=60°.
∵ME=MN=1,∴Rt△BEM中,tan60°=ME
BE
,EB=
1
60
tan
=
3
3
,
∴3t=2t+6+3
3,t=6+
3
3
;
综上所述:当点M与BD所在的直线的距离为1时,t=6﹣3或6+
3
3
.
点睛:本题是四边形和圆的综合题,考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题,此类问题比较复杂,弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系,并与方程相结合,找等量关系,求出时间t的值.
4.如图,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB,OB=4,D是OB的中点,点E是弧BC上的动点,连接AE,DE.
(1)当点E是弧BC的中点时,求△ADE的面积;