相交线与平行线复习及练习题

相交线与平行线复习及练习题

二、知识点梳理

一、知识定义

邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

命题：判断一件事情的语句叫命题。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

三、定理与性质

对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

三、经典例题

题型一互余与互补

例1 一个角的余角比它的补角的少20°.则这个角为（）

A.30°

B.40°

C.60°

D.75°

分析若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.

解设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.

则根据题意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故应选B.

说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.

题型二平行线的性质与判定

例2判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。()

2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()

3)两直线平行，同旁内角相等。()

4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()

答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例3 已知：如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（）

A.135°

B.130°

C.50°

D.40°

分析要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解. 解因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，

又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.

说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.

例4 如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.

分析如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.

解因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.

又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.

说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.

图3

例5 如图3，已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ） A.60°

B.50°

C.40°

D.30°

分析 要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解. 解 如图3，过∠2的顶点作EF ∥AB .所以∠1＝∠AEF ， 又因为AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以∠3＝∠CEF ， 而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A .

说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解. 例6 如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG ＝72°，则∠EGF 等于（ ） A.36° B.54° C.72° D.108°

分析 要求∠EGF 的大小，由于AB ∥CD ，则有∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，而EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以可以求得∠EGF ＝54°. 解 因为AB ∥CD ，所以∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ， 又因为EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以∠BEG ＝∠FEG ＝54°.故应选B . 说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.

图

4

B

D

G

F C

A

E

图2

图1

F

E

课堂作业：

如图，已知ABC ?，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，

//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.

例7 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。 分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引 一条直线EF ∥AB ，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。

证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作），

∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D （等量代换）。

变式1已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。 分析：此题与例1的区别在于E

点的位置及结论。我们通常所说的

A

B

E

D

C

F

∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。

变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED-∠FEB，

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。

分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B-∠D。

例8 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。

证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD （已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF （两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE （已知）， ∴∠1=∠DCE （等量代换）。

∴BG ∥EC （同位角相等，两直线平行）。 ∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE 、AB 相交于H 点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。 证法三：（如图12）连结BC 。 ∵AB ∥CD （已知），

∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE （已知），

∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE （等式的性质）。 即∠FBC=∠BCE 。

∴BF ∥EC （内错角相等，两直线平行）。 ∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。 题型三 尺规作图

例9 已知角α和线段c 如图5所示，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.

分析 要作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，可以先作出底角∠B ＝α，再在底角的一边截取BA ＝c ，然后以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于

图5

c

α

A

图6

c

α

c

B

C

P

点C ，即得.

作法（1）作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α； （2）在射线BQ 上截取BA ＝c ；

（3）以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ； （4）连接AC .则△ABC 为所求.如图6.

例10 如图7，已知∠AOB 和射线O ′B ′，用尺规作图法作∠A ′O ′B ′＝∠AOB （要求保

留作图痕迹）.

分析 只要再过点O ′作一条射线O ′A ′，使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB 即可. 作法（1）以O 为圆心，任意长为半径，画弧，交OA 、OB 于点C 、D ； （2）以O ′为圆心，同样长为半径画弧，交O ′B ′于点D ′； （3）以D ′为圆心，CD 长为半径画弧与前弧交于点C ′； （4）过点O ′C ′作一条射线O ′A ′.如图7中的∠A ′O ′B ′即为所求作. 说明 在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.

A

O

B B ′

O ′

图7

A ′

D ′

C ′

D

C

课后作业:

一、选择题

1．下列说法中，正确的是（）

A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;

B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P?到L的距离一定是1;

C．相等的角是对顶角; D．钝角的补角一定是锐角.

2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）

A．3对B．4对C．5对D．6对

(1) (2) (3)

3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）

A．40°B．140°C．40°或140°D．不确定

4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）

5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c; B．a⊥b，b⊥c;

C．a⊥c，b∥c; D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等

6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1= ∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）

A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）

A．∠1与∠5，∠2与∠6; B．∠3与∠7，∠4与∠8;

C．∠2与∠6，∠3与∠7; D．∠1与∠5，∠4与∠8

8．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，?则∠2的度数为（）

A．36°B．54°C．45°D．68°

(4) (5) (6)

9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，?则符合条件的直线L的条数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为

（?）

A．65°B．80°C．100°D．115°

11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）

A．30°B．70°C．30°或70°D．100°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．?如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．

14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将

下列推理过程补充完整：Array（1）∵∠1=∠ABC（已知），

∴AD∥______

（2）∵∠3=∠5（已知），

∴AB∥______,

（_______________________________）

（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），

∴_______∥________,

（________________________________）

16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度， ∠BOC=___度．

17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．

(7) (8) (9) 18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．

19．如图9，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点

E，若∠1=43°，?则∠2=_______度．

20．如图，∠ABD= ∠CBD，?DF ∥AB，?DE ∥BC，?则∠1?

与∠2?的大小关系是________．

三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，?证明过程或演算步骤）

22．（7分）如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B?′有什么关系？为什么？

23．（6分）如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（?要求给出两个答案）．

24．（6分）如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA平分∠EBF的道理．

25．（7分）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2， ∠3=80°．求∠BCA的度数．

26．（8分）如图，EF ⊥GF 于F ．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明理由．

课堂作业答案：

,AD BC FE BC ⊥⊥90EFB ADB ∴∠=∠= //EF AD ∴23∴∠=∠

//,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A ＝∠F .∵∠1＝∠DGF （对顶角相等）

又∠1＝∠2 ∴∠DGF ＝∠2 ∴DB ∥EC （同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA ＝∠C （两直线平行，同位角相等） 又∵∠C ＝∠D ∴∠DBA ＝∠D ∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等).

课后作业答案: 1．D

2．D 点拨：图中的邻补角分别是：∠AOC 与∠BOC ，∠AOC 与∠AOD ，∠COE 与∠DOE ，∠BOE 与∠AOE ，∠BOD 与∠BOC ，∠AOD 与∠BOD ，共6对，故选D ．

3．D 4．C 5．C 6．A

7．C 点拨：本题的题设是AB ∥CD ，解答过程中不能误用AD ∥BC 这个条件． 8．B 点拨：∵AB ∥CD ，∠1=72°， ∴∠BEF=180°-∠1=108°．

∵ED 平分∠BEF ，

∴∠BED=1

2

∠BEF=54°．

∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故选B．

9．C 点拨：如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略．

10．B

11．D 点拨：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．

故选D．

12．C 点拨：由题意，知

,

230

A B

A B

∠=∠

?

?

∠=∠-?

?

或

180,

230

A B

A B

∠+∠=?

?

?

∠=∠-?

?

解之得∠B=30°或70°．故选C．13．120°

14．（1）BC；同位角相等，两直线平行

（2）CD；内错角相等，两直线平行

（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行15．（2），（3），（5）

16．115；65

点拨：设∠BOC=x°，则∠AOC=x°+50°．

∵∠AOC+∠BOC=180°．

∴x+50+x=180，解得x=65．

∴∠AOC=115°，∠BOC=65°．

17．145°

18．102

19．133

点拨：如答图，延长AB交L2于点F．

∵L1∥L2，AB⊥L1，∴∠BFE=90°．

∴∠FBE=90°-∠1=90°-43°=47°．

∴∠2=180°-∠FBE=133°．

20．∠1=∠2

21．解：如答图，由邻补角的定义知∠BOC=100°．

∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，

∴∠DOB=1

2

∠AOB=40°，

∠BOE=1

2

∠BOC=50°．

∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+50°=90°．

22．解：相等

理由∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠B=∠A′DC，∠A′DC=∠B′，

∴∠B=∠B′．

23．CF∥BE或CF、BE分别为∠BCD、∠CBA的平分线等．24．解：设∠1、∠2、∠3分别为x°、2x°、3x°．

∵AB∥CD．

∴由同旁内角互补，得2x+3x=180，解得x=36．

∴∠1=36°，∠2=72°．

∵∠EBG=180°，

∴∠EBA=180°-（∠1+∠2）=72°．

∴∠2=∠EBA．

∴BA平分∠EBF．

25．解：CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠FCD．∵∠1=∠2，∴∠1=∠FCD．

∴DG∥BC．∴∠BCA=∠3=80°．

26．解：AB∥CD．

理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°．

又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．

又∵∠DGF=60°，

∴∠HFG=∠DGF．

∴HF∥CD，从而可得AB∥CD．