2010年湖北高考理科数学试题(解析版)

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2010年湖北卷(理科数学)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B ．F C ．G D ．H2.设集合22{(,)|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.在ABC ∆中，15a =，10b =，60A ∠=，则cos B = A.223-B.22366- 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.512 B.12 C.712 D.34 5已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC +=mAM 成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5 6将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9x y o FE G H117如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n x S →∞=A ．22r π B.283r π C.24r π D.26r π8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54 9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 A.[1,122]-+ B.[122,122]-+ C.[122,3]- D.[12,3]- 10．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为 {}12min ,,n x x x …,.已知ABC ∆的三边长为a ，b ，c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b c a b cl b c a b c a=⋅则“1l =”是“ABC ∆为等边三角形”A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在204(3)x +展开式中，系数为有理数的项共有项.12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件12y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为 .13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．Or14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 78 9 10Px0.10.3y已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为． 15．设0a >，0b >,称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段的长度是a ，b 的几何平均数，线段的长度是a ，b 的调和平均数．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()cos()cos()33f x x x ππ=+-，11()sin 224g x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合． 17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万ABDOE元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+（010x ≤≤），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 18.(本小题满分12分)如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，120AOB ∠=，且OA OB =1OC ==.（Ⅰ）设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使PQ OA ⊥,并计算ABAQ的值；（Ⅱ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差是1.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(,0)M m 且与曲线C 有连个交点A ,B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：112a =，()()11312111n n n n a a a a ++++=--, 10n n a a +⋅<（1n ≥）；数列{}n b 满足：221n n n b a a +=-（1n ≥）.AOBC（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.21.(本小题满分14分)已知函数()bf x ax c x =++（0a >）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-y.（Ⅰ）用a 表示出b ,c ；（Ⅱ）若()ln f x x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1+1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++（1n ≥）.。

2010年湖北高考理科数学试题和答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +æöç÷-èø= A ．- iB ．-1 C ．iD ．1 2．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y yx x ìü==>==>íýîþ,则U C P = A ．1[,)2+¥B ．10,2æöç÷èøC ．()0,+¥D ．1(,0][,)2-¥+¥3．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-Î，若()1f x ³，则x 的取值范围为的取值范围为A ．|,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþB ．|22,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþC ．5{|,}66x k x k k Z p p p p +££+ÎD ．5{|22,}66x k x k k Z p pp p +££+Î 4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则，则A ．n=0 B ．n=1 C ． n=2 D ．n ³3 5．已知随机变量x 服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（x ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜x ＜2）＝）＝Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ¹）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ．154C ． 174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A. EB. FC. GD. H【答案】D【解析】由图知Z(3,1)，所以z＝3＋i，故＝＝＝＝2－i，对应的点的坐标为(2，－1)，所以表示的点为H.2.设集合A＝{( x，y)|＋＝1}，B＝{( x，y)| y＝3 x}，则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】在同一直角坐标中作出函数y＝3 x的图像，画出曲线＝1，可知它们有两个交点，即A∩B有两个元素，其子集有4个．3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于()A.－B.C.－D.【答案】【解析】由正弦定理知sin B＝＝＝，又b＜a B＜A，故cos B＝＝.4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得P( A)＝，P( B)＝，且A、B是相互独立的，所以事件A，B中至少有一件发生的概率是1－P(·)＝1－(1－)×(1－)＝.5.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】设BC的中点为D，由已知条件可得M为△ABC的重心，＋＝2，又＝，故m＝3.6.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为()A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9【答案】B【解析】根据系统抽样，将600名学生分成50组，每组12人，因＝25，故在第Ⅰ营区抽中25人，从301到492含有＝16组，495为第25＋16＋1＝42组中第三个，故第Ⅱ营区抽取17人，故三个营区抽取的人数依次为25,17,8.7.如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则()A.2πr2B.πr2C.4πr2D.6πr2【答案】C【解析】r1＝r，r n＋1＝r n , S n＋1＝S n，{ S n}为等比数列，公比为，S n＝＝4πr2.8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54【答案】B【解析】若有2人从事司机工作，不同的方案有·种，若只有1人从事司机工作，不同的方案有··种．故不同方案的种数共有＋＝3×6＋3×6×6＝126种．9.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是()A.[－1,1＋2]B.[1－2，1＋2]C.[1－2，3]D.[1－，3]【答案】C【解析】曲线y＝3－表示圆( x－2)2＋( y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x ＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与半圆相切时，b取最小值，由＝2b＝1－2或1＋2(舍)，故b min＝1－2，b的取值范围为[1－2，3]．10.记实数x1，x2，…，x n中的最大数为max{ x1，x2，…，x n}，最小数为min{ x1，x2，…，x n}．已知△ABC的三边边长为a，b，c( a≤b≤c)，定义它的倾斜度为＝max{，，}·min{，，}，则“＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】当△ABC为等边三角形时，显然＝1, 当a＝b＝1，c＝时，max{，，}＝＝，min{，，}＝＝，此时＝1，但△ABC不为等边三角形．故选A.二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在( x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．【答案】6【解析】∵T r＋1＝3x20－r y r( r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．12.已知z＝2 x－y，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为__________．【答案】5【解析】作出其可行域，如图所示为三角形ABC及其内部，其中B(2，－1)，C(，)，当直线z＝2 x－y经过点B时z取最大值，z max＝2×2－(－1)＝5.13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【答案】4【解析】设球的半径为r，则6 r·πr2＝8πr2＋3×πr3 6 r·πr2＝8πr2＋4πr3 6 r＝8＋4 r r＝4(cm)．14.某射手射击所得环数ξ已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为______．【答案】0.4【解析】由题意得∴y＝0.4.15.设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段______的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数．【答案】CD DE∵△ACD∽△DCB，∴＝，CD＝＝.∵R t△ECD∽R t△COD，∴DE＝＝＝.三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f( x)＝cos(＋x)cos(－x)，g( x)＝sin2 x－.(1).求函数f( x)的最小正周期；(2).求函数h( x)＝f( x)－g( x)的最大值，并求使h( x)取得最大值的x的集合．【答案】解：(1)f( x)＝cos(＋x)cos(－x)＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，f( x)的最小正周期为＝π.(2)h( x)＝f( x)－g( x)＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)，当2x＋＝2kπ( k∈Z)时，h( x)取得最大值.h( x)取得最大值时，对应的x的集合为{ x| x＝kπ－，k∈Z}．【解析】略17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C( x)＝造费用与20年的能源消耗费用之和．(1).求k的值及f( x)的表达式；(2).隔热层修建多厚时，总费用f( x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C( x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C( x)＝.而建造费用为C1( x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f( x)＝20C( x)＋C1( x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′( x)＝6－，令f′( x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．当0＜x＜5时，f′( x)＜0，当5＜x＜10时，f′( x)＞0，故x＝5是f( x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．【解析】略18.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.(1).设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；(2).求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．【答案】又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.∵NC平面ONC，∴OA⊥NC.取Q为AN的中点，则PQ∥NC.∴PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.在R t△AON中，∠OAN＝30°.∴ON＝AN＝AQ.在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ.∴＝3.解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)．则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(－，，0)．∵P为AC中点，∴P(，0，)．设＝λ( λ∈(0,1，∵＝(－，，0)，∴＝＋＝(1,0,0)＋λ(－，，0)＝(1－λ，λ，0)．∴＝－O＝(－λ，λ，－)．∵PQ⊥OA，∴存在点Q(，，0)使得PQ⊥OA且＝3.(2)解法一：连结PN、PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB.又ON平面OAB，∴OC⊥ON.又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰R t△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP.根据三垂线定理，知：AC⊥NP.∴∠OPN为二面角OACB的平面角．在等腰R t△COA中，OC＝OA＝1，∴OP＝.在R t△AON中，ON＝OA tan30°＝.∴在R t△PON中，PN＝＝，∴cos∠OPN＝.解法二：记平面ABC的法向量为n＝( n1，n2，n3)，则由n⊥，n⊥，且＝(1,0，－1)，得故可取n＝(1，，1)．又平面OAC的法向量为e＝(0,1,0)，∴cos〈n，e〉＝＝.二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则cosθ＝.略19.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1).求曲线C的方程；(2).是否存在正数m，对于过点M( m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)设P( x，y)是曲线C上任意一点，那么点P( x，y)满足：－x＝1( x＞0)．化简得y2＝4x( x＞0)．(2)设过点M( m,0)( m＞0)的直线l与曲线C的交点为A( x1，y1)，B( x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16( t2＋m)＞0，于是①又F＝( x1－1，y1)，F＝( x2－1，y2)．·＜0( x1－1)( x2－1)＋y1y2＝x1x2－( x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又x＝，于是不等式②等价于y2－(＋)＋1＜0＋y1y2－[( y1＋y2)2·＋y－2y1y2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.由此可知，存在正数m，对于过点M( m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．【解析】略20.已知数列{ a n}满足：a1＝，＝，a n a n＋1＜0( n≥1)；数列{ b n}满足：b n＝－( n≥1)．(1).求数列{ a n}，{ b n}的通项公式；(2).证明：数列{ b n}中的任意三项不可能成等差数列．【答案】解：(1)由题意可知，1－＝(1－)．令c n＝1－，则c n＋1＝c n.又c1＝1－＝，则数列{ c n}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即c n＝·() n－1，故1－＝·() n－1＝1－·() n－1.又a1＝＞0，a n a n＋1＜0，故a n＝(－1)n－1.b n＝－＝[1－·() n]－[1－·() n－1]＝·() n－1.(2)用反证法证明．假设数列{ b n}存在三项b r，b s，b t( r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，由于数列{ b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只可能有2b s＝b r＋b t 成立．∴2·() s－1＝() r－1＋() t－1，两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.由于r＜s＜t，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{ b n}中任意三项不可能成等差数列．【解析】略21.已知函数f( x)＝ax＋＋c( a＞0)的图象在点(1，f(1处的切线方程为y＝x－1.(1).用a表示出b，c；(2).若f( x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(3).证明：1＋＋＋…＋＞ln( n＋1)＋( n≥1)．【答案】解：(1)f′( x)＝a－，则有解得(2)由(1)知，f( x)＝ax＋＋1－2a.令g( x)＝f( x)－ln x＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)．则g(1)＝0，g′( x)＝a－－＝＝.①当0＜a＜时，＞1.若1＜x＜，则g′( x)＜0，g( x)是减函数，所以g( x)＜g(1)＝0，即f( x)＜ln x.故f( x)≥ln x在[1，＋∞)上不恒成立．②当a≥时，≤1.若x＞1，则g′( x)＞0，g( x)是增函数，所以g( x)＞g(1)＝0，即f( x)＞ln x.故当x≥1时，f( x)≥ln x.综上所述，所求a的取值范围为[，＋∞)．(3)证法一：由(2)知：当a≥时，有f( x)≥ln x( x≥1)．令a＝，有f( x)＝( x－)≥ln x( x≥1)，且当x＞1时，( x－)＞ln x.令x＝，有ln＜(－)＝[(1＋)－(1－)]，即ln( k＋1)－ln k＜(＋)，k＝1,2，3，…，n.将上述n个不等式依次相加得ln( n＋1)＜＋(＋＋…＋)＋，整理得1＋＋＋…＋＞ln( n＋1)＋( n≥1)．证法二：用数学归纳法证明．①当n＝1时，左边＝1，右边＝ln2＋＜1，不等式成立．②假设n＝k时，不等式成立，就是1＋＋＋…＋＞ln( k＋1)＋. 那么1＋＋＋…＋＋＞ln( k＋1)＋＋＝ln( k＋1)＋.由(2)知：当a≥时，有f( x)≥ln x( x≥1)．令a＝，有f( x)＝( x－)≥ln x( x≥1)．令x＝，得：(－)≥ln＝ln( k＋2)－ln( k＋1)．∴ln( k＋1)＋≥ln( k＋2)＋.∴1＋＋＋…＋＋＞ln( k＋2)＋.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任何n∈N*都成立．【解析】略。

2010年湖北高考理科数学

2010年湖北高考理科数学选择题：1. 三角形的内角和为：A. 180°B. 90°C. 270°D. 360°2. 若a + b = 7，a - b = 3，则a的值是：A. 2B. 4C. 5D. 63. 已知正比例函数y = 2x，当x = 4时，y的值为：A. 4B. 6C. 8D. 104. 若抛物线方程为y = x^2 + 2x + 1，则抛物线的顶点坐标为：A. (-1, 0)B. (-1, 1)C. (-1, -1)D. (1, 1)5. 若log2(x+3) = 2，则x的值为：A. 1B. 2C. 4D. 5填空题：6. 已知等差数列的公差为3，前三项分别是2，5，8，求第n项的表达式。

7. 若a:b = 3:5且b:c = 4:7，求a:b:c的比值。

8. 若sinθ = 0.5，则θ的值为____°。

9. 若平行四边形的两边长分别为5cm和8cm，高为4cm，求面积。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(-1)的值。

应用题：11. 一条长15m的绳子分成两段，其中一段比另一段长6m，求两段各有多长。

12. 甲、乙两人共修一条长100m的水沟，甲每天完成的长度是乙的两倍，如果甲用了6天，乙用了几天完成？13. 一个边长为4cm的正方形框中有一条边长为2cm的正方形孔，求未被占据的面积。

14. 一个数加上它的平方等于18，求这个数。

15. 如果三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边长。

2010年湖北高考数学理科试卷带详解

y2 16
1}，B={( x, y) | y
3x} ,则 A
B 的子集的个数是 (
)
A. 4
B. 3
C. 2
D.1
【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】直接给出 A，B 集合，利用图象法判断它们交集中有 2 个元素，从而判断交
集的子集个数.
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】由题意知 A B 中有两个元素，所以 A B 的子集的个数是 4 个，故选 A.
10．记实数 x1 ， x2 ， … ， xn 中的最大数为 max x1, x2 ,… , xn ，最小数为 min x1, x2 ,… , xn .已知△ABC 的三边长为 a,b, c(a „ b „ c) ，定义它的倾斜度为
l max a , b , c gmin a , b , c
OC= ab 故
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）
π
π
已知函数 f (x) cos 3 x cos 3 x ， g x
1 sin 2x 2
1 4．
（I）求函数 f x 的最小正周期；
（II）求函数 h x f x g x 的最大值，并求使 h x 取得最大值的 x 的集合．
半径为 2 的半圆（步骤 1），当直线 y x b 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线
y=x+b 距离等于 2，解得 b 1 2 2或 b 1 2 2 ，因为是下半圆故可得 b 1 2 2
（舍）（步骤 2），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故1 2 2 „ b „ 3, 所以 C 正确.（步骤 3）

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)答案与解析

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2]D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】计算题；应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】偶函数；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A． B．C．2 D．﹣2【考点】半角的三角函数；弦切互化．【专题】计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【考点】球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．【专题】计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】简单空间图形的三视图．【专题】阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+...+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+ (2)+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】用向量证明垂直；直线与平面所成的角．【专题】计算题；作图题；证明题；转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【考点】简单随机抽样；独立性检验．【专题】计算题．【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．【专题】证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象；其他不等式的解法．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或x≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年普通高考湖北卷理科数学参考答案

2 2 1 2 n－1 于是，an＋1－an＝，对正整数 n 赋值得 43
2 2 1 2 0 a2－a1＝ 43
2 2 1 2 1 a3－a2＝ 43 2 2 1 2 2 a4－a3＝ 43
…………
2 1 2 n－2 2 an－an－1＝ 43
D
A
A
Q
B
18 题(Ⅰ)图
1
(Ⅱ)在棱 AC 上任取一点 E，过 E 点在平面 ACO 内作 EF⊥AC 交 AO 于点 F，过 E 点在平面 ACB 内作 EG⊥AC 交 AB 于点 G，则∠GEF 为二面角 O-AC-B 的平面角．连 FG，设 AE＝a，则易知 EF＝x，AF＝ 2x，而 cos∠CAB＝cos∠CAO·cos∠BAO＝cos45° ·cos30° ＝ 6 ， 4
G
B
18 题(Ⅱ)图
15x2 －2x2 3 3
15 x 3
＝
2x·
15 ． 5
即二面角 O-AC-B 的余弦值为
19．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算能力．(满分 12 分) 解：(Ⅰ)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足： (x－1)2＋y2－x＝1(x＞0)．化简得 y2＝4x (x＞0) (Ⅱ)设过点 M(m，0) (m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)
m2－6m＋1＜0，即3－2 2＜m＜3＋2 2 由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 AB 任一直线， → → 都有FA·FB＜0，且 m 的取值范围是(3－2 2，3＋2 2)．
2
2

2010湖北高考数学卷(理科)附答案__free

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A． E B. FC. GD. H2．设合集A＝{(x，y)|24x＋216y＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则BA 的子集的个数是A．4B．3C．2D．13．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝A. －223Ｂ．223Ｃ．－63Ｄ．634．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．345．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝m AM成立，则m＝A．2 B．3 C．4 D．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

７．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的面积之和，则n n s ∞→lim ＝A ．22r π B ．283rπC ．24r π D ．6r π８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．549．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是A ．[1,122]-+B ． [122,122]-+C ． ]3,221[-D ．[12,3]-10．记实数12,,x x …,n x 中的最大数为max ｛12,,x x …,n x ｝，最小数为min ｛12,,x x …,n x ｝．已知△ABC 的三边边长为,,a b c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为L ＝max ｛,,a b c b c a ｝⨯min ｛,,a b cb c a｝，则“L ＝1” 是“△ABC 为等边三角形“的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．在204(3)x y +的展开式中，系数为有理数的项共有项．12．已知Z ＝y x -2，式中变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤21x y x x y ，则Z 的最大值＝_________；13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.理)(含详解答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.kB. -kC.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】sin 80=== ,所以tan100tan80︒=-sin80cos80=-=【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--k=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =x +20y -=(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a ===== 【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为AB C DA 1B1C 1D1 OA3B 3C 23D 37.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯= ,21122ACDS AD CD a ∆== . 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos 3θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e>>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D) 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y = 【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 22222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】法一：设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x --∙==+-≥ 或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年高考试题——数学理(湖北卷)解析

2010年高考试题——数学理（湖北卷）解析版1．【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z ii i i+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确. 2．【答案】A【解析】画出椭圆221416x y +=和指数函数3x y =图象，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则AB 的子集应为{}{}{}1212,,,,A A A A ∅共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510sin60sin B=解得sin B ，又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以cos B =，故D 正确.8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A ⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A ⨯⨯=种，所以共有18+108=126种，故B 正确 9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，解得11b b =+=-1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以C 正确.10.【答案】A【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则m a x ,,1m i n ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为202012020)(020)r r r r r r r r T C x C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z ，当直线经过A （2，－1）时，z 取到最大值，max 5Z =.13.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+⨯+⨯+⨯=联合解得0.4y =. 15.【答案】CD DE【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =⋅，故CD ，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将OC=, 222a b a b a ba CD OD +-+-==代入OD CE OC CD⋅=⋅可得CE=故2()2()a bOEa b-==+，所以ED=OD-OE=2aba b+，故DE的长度为a,b的调和平均数.。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5 分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2 或x＞4} B．{x|x＜0 或x＞4}C．{x|x＜0 或x＞6} D．{x|x＜﹣2 或x＞2}9．（5 分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）1 n +1 n A ．（1，10） B ．（5，6） C ．（10，12） D ．（20，24）12．（5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P （3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A ，B 两点，且 AB 的中点为 N （﹣12，﹣15），则 E 的方程式为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 x 1，x 2，…x N 和 y 1，y 2，…y N ，由此得到 N 个点（x i ， y i ）（i=1，2，…，N ），再数出其中满足 y i ≤f （x i ）（i=1，2，…，N ）的点数 N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为． 14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5 分）过点 A （4，1）的圆 C 与直线 x ﹣y=1 相切于点 B （2，1），则圆 C 的方程为．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC ，∠ADB=120°，AD=2，若 △ADC 的面积为，则∠BAC= ．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：K 2=．20．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A 和B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x==2，得切线的斜率为2，所以k=2；﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0 时，点P 到x 轴距离d 为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1 是真命题，P2 是假命题，故p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1 是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2 是假命题．由此可知，q1 真，q2 假，q3 假，q4真．故选：C．【点评】只有p1 与P2 都是真命题时，p1∧p2 才是真命题．只要p1 与p2 中至少有一个真命题，p1∨p2 就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2 个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5 分）设偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}=（） A ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞4} B ．{x |x ＜0 或 x ＞4} C ．{x |x ＜0 或x ＞6}D ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞2}【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，则f （x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使|x ﹣2|＞2 解得 x ＞4，或 x ＜0．应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5 分）若，α 是第三象限的角，则 =（）A ．B ．C ．2D ．﹣2【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；GW ：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 α 与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A，B 两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E 的方程式为（）A．B．C．D．【考点】KB ：双曲线的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A ，B 点坐标代入方程联立相减得x 1+x2=﹣24，根据=，可求得 a 和【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=k PN =1，设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合 x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30 得 =，从而 k==1即 4b 2=5a 2，又 a 2+b 2=9，解得 a 2=4，b 2=5，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N 和y1，y2，…y N，由此得到N 个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5 分）过点A（4，1）的圆C 与直线x﹣y=1 相切于点B（2，1），则圆C 的方程为（x﹣3）2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则∠BAC= 60°．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面积求得BD 和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，1 n +1 n n n n n n，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得 a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n +1）﹣1．由此可知数列{a}的通项公式为 a =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b =na =n•22n ﹣1 知 S =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当 n ≥1 时，a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n +1）﹣1．而 a 1=2，所以数列{a n }的通项公式为 a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b n =na n =n•22n ﹣1 知 S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1①n n 从而 22S =1•23+2•25+…+n•22n +1② ①﹣②得（1﹣22）•S =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n•22n +1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【考点】MA ：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明 PE ⊥BC ．（2） ∠APB=∠ADB=60°，求出 C ，P 的坐标，再求平面 PEH 的法向量，求向量，然后求与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A （1，0，0），B （0，1，0）（Ⅰ）设 C （m ，0，0），P （0，0，n ）（m ＜0，n ＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m= ，n=1 ，故 C （﹣），设=（x，y，z）为平面PEH 的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12 分）设F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2 和x1x2进而根据，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，离心率可得．（II）设AB 的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0 和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN 的斜率，根据求得c，进而求得a 和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l 的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B 两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则，因为直线 AB 斜率为 1，|AB |=|x 1﹣x 2|=，得，故 a 2=2b 2 所以 E 的离心率（I ）设 AB 的中点为 N （x 0，y 0），由（I ）知．由|PA |=|PB |，得 k PN =﹣1，即得 c=3，从而故椭圆 E 的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12 分）设函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣ax 2．（1）若 a=0，求 f （x ）的单调区间；（2）若当 x ≥0 时 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数 f （x ）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．（2）根据 e x ≥1+x 可得不等式 f′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而可知当 1﹣2a ≥0，即时，f′（x ）≥0 判断出函数 f （x ）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0 时，f （x ）=e x ﹣1﹣x ，f′（x ）=e x ﹣1．当 x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当 x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0 时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0 时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f （x）＜0．综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB 即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC 与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5 分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10 分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1 与C2 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1 的普通方程为，C2 的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1 与C2 的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1 的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA 的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知先寻找满足f（x）≤ax 的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2 或a≥ 时，函数y=f（x）与函数y=ax 的图象有交点．故不等式f（x）≤ax 的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及答案(分析解答)

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）已知集合A={x € R|| x| < 2}},肛丘€打匹<漿，则A H B=（）A . （0, 2） B. [0, 2] C.{0, 2} D . {0, 1, 2}2. （5分）已知复数w _亞_，匸是z 的共轭复数，贝U 盯寸=（）（1-V3O 2A .書B ・寺C 1D . 23.（5分）曲线y= 在点（-1,- 1）处的切线方程为（）x+2A . y=2x+1B . y=2x - 1C . y=- 2x - 3D . y=- 2x - 24. （5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P °（::, -一）角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）q 1: P 1V p 2, q 2： P 1A p 2, q 3：（「P 1）V p 2 和 q 4： P 1 A （ P 2）中，真命题是（）5. （5分）已知命题 P 1：函数y=2"- 2-x 在R 为增函数,P 2：函数 y=2"+2-x 在 R为减函数，则在命题A. q1, q3B. q2, q3C. q1, q4D. q2, q46. （5分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为（）A . 100 B. 200 C. 300 D . 4007. （5分）如果执行右面的框图，输入 N=5,则输出的数等于（）(5 分)设偶函数 f (x )满足 f (x ) =2x - 4(x >0),则{x|f (x -2) >0}=( )A . {x|x v — 2 或 x >4} B. {x|x v 0 或 x >4}C. {x| x < 0 或 x >6}D. {x| xv- 2 或 x > 2}CL4 1+19. ----------------------------------------------------------------------------- （5分）若cos Ct = - —， a 是第二象限的角，则 --------------------------- -- =（）b 1 - tan ----2A. -* B .丄 C. 2 D .- 210.（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A . nf B.丄爪 3? C.岂2 D. 5 n 2llgx |, Q<K10|11. （5分）已知函数.丄计&宾>10，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）8. A . B.D.4 5=f (b) =f (c),则abc的取值范围是( )A. (1, 10)B. (5, 6)C. (10, 12)D. (20, 24)12. (5分)已知双曲线E的中心为原点，P (3, 0)是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A, B两点，且AB的中点为N (- 12, - 15),则E的方程式为( )2 2A.T-V-、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (5分)设y=f (x)为区间［0, 1］上的连续函数，且恒有0W f (x)< 1 , 可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组(每组N个)区间［0, 1］上的均匀随机数x i，X2,…x和y i, y2,…y,由此得到N个点(X i, y i) (i=1,2, ___________________________________ …，N),再数出其中满足yWf (X i)(i=1, 2,…，N)的点数N i，那么由随机模拟方案可得积分J註心)五的近似值为. 14. _________________________________________ (5分)正视图为一个三角形的几何体可以是_________________________________ (写出三种)15. (5分)过点A (4, 1)的圆C与直线x-y=1相切于点B (2, 1),则圆C的方程为_.16. (5 分)在厶ABC 中，D 为边BC 上一点，BD—DC,/ ADB=120, AD=2,若△ ADC的面积为- 「；，则/ BAC=_ .三、解答题(共8小题，满分90分)17. (12 分)设数列满足a1=2, a n+1- a n=3?22n-1(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)令b n= na n,求数列｛b n｝的前n项和S n.18. (12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD, AC丄BD, 垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PE! BC(2)若/ APB=/ ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.19. (12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿20. (12分)设F 1, F 2分别是椭圆总！的左、右焦点，过F 1 斜率为1的直线？与E 相交于A ，B 两点，且| AF>|，|AB|，| BF ^|成等差数列. (1) 求E 的离心率；(2) 设点P (0，- 1)满足| PA=|PB ，求E 的方程. 21. (12 分)设函数 f (x ) =e x - 1 - x- ax 2. (1) 若a=0，求f (x )的单调区间；(2) 若当x > 0时f (x )> 0，求a 的取值范围. 22. (10分)如图：已知圆上的弧：「，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交需要 40 30 不需要160270(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例;(2) 能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3) 根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.附: (a+b) (c-Fd) (a+c) (b+d)P (k 2〉 0.0 0.010 0.001k )3.841 6.635 10.8282 .2于E 点，证明：(I)Z ACE=/ BCD. (n) BC 2=BE ?CD24. (10分)设函数 f (x ) =|2x — 4|+ 1. (I )画出函数y=f (x )的图象：(n )若不等式f (x )< ax 的解集非空，求a 的取值范围.x =L+-tccis 口 y=tsind(I )当a^L 时，求C i 与C 2的交点坐标；J(n)过坐标原点o 做C i 的垂线，垂足为A , P 为OA 中点，当点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.(t 为参数),Cy=sin 9a 变化时，求P2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5 分）（2010?宁夏）已知集合 A={x € R|| x| < 2}}，「八--— ,则 A n B =（）A . （0, 2） B. [0, 2] C. {0, 2} D . {0, 1, 2}【分析】先化简集合A 和B ,注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解.【解答】解：A={x € R|| x| < 2, }={x € R| - 2<x <2},B= [i E Z = lx£2|0<i<16^故 A n B={0, 1 , 2}. 应选D .（）A .匚 B.亍 C. 1 D . 2【分析】因为厂匚二怯|2,所以先求|z|再求门；的值.故选A .3. （5分）（2010?宁夏）曲线目^—在点（-1,- 1）处的切线方程为（）x+2A . y=2x+1B . y=2x - 1C . y=- 2x - 3D . y=- 2x - 2【分析】欲求在点（-1,- 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=- 1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜2. （5分）（2010?宁夏）已知复数，•:是z 的共轭复数，贝U 「•二【解答】解:| 后i |__ IV3H| 1 a-V3ii 2 "ll-V3i|2 V"2需H （徐心届法（Qi ）率•从而问题解决.【解答】解：「y=_•-y所以k=y|x=-1=2，得切线的斜率为2,所以k=2;所以曲线y=f （x）在点（-1，- 1）处的切线方程为: y+1=2X( x+1)，即y=2x+1.故选A.4. （5分）（2010?新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0 （近，-血），角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案.【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P 到x 轴距离d 为-,于是可以排除答案 A ，D ，再根据当二—一时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，故应选C.p i :函数y=2x -2「x 在R 为增函数，P 2:函数y=2x +2^x 在R 为减函数，则在命题 q 4： p i A （「p 2）中，真命题是（ 6. （5分）（20i0?宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 i000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为（）A . 100 B. 200 C. 300 D . 400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1000粒，即不发芽率为0.1,故没有发芽的种子数E 服从二项分布，即 & B （1000, 0.1）.又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2g 根据二项分布的期望公式即可求出结果.【解答】解：由题意可知播种了 1000粒，没有发芽的种子数 E 服从二项分布，即& B （1000, 0.1）.5. （5分）（2010?宁夏）已知命题q i ： p i V p 2， q 2： p i A p 2，q 3： (「p i )V p 2 和 A . q i ，q 3 B . q 2， q 3 C. q i ， q 4【分析】真命题, 【解先判断命题p i 是真命题， p i A （- P 2）为真命题. 解：易知p i 是真命题，而对P 2： y ' =22 -D . q 2， q 4P 2是假命题，故p i V p 2为真命题，（-p 2）为当 x € [0，+x 「丄）,2X,又In2>0,所以y l 0,函数单调递增； In2=ln2(2 同理得当x €（-x ，0）时，函数单调递减，故P 2是假命题.由此可知，q i 真，q 2假, 故选C .q 3假，q 4真.）时,严而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X 故 X=2g 则 EX=2圧=Z 1000X 0.1=200. 故选B .7.（ 5分）（2010?新课标）如果执行右面的框图，输入N=5,则输出的数等于（）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:11.1.1【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序，可知:故选D .8. (5 分)(2010?新课标)设偶函数 f (x )满足 f (x ) =2x - 4 (x > 0)，则{x| f (x -2)> 0}=( )的值.该程序的作用是累加并输出—— ——该程序的作用是累加并输出—— ———=1七的值.+2X3+3X4 ^4X5+5X6B.D .A . {x|x v — 2 或 x >4}B . {x|x v 0 或 x >4} C. {x| x < 0 或 x >6}D. {x| xv — 2 或 x> 2}【分析】由偶函数f (x )满足f (x ) =2x — 4 (x >0),可得f (x ) =f (| x| ) =2lx —4,根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案.【解答】解：由偶函数f (x )满足f (x ) =2x — 4 (x >0)，可得f (x ) =f (| x| ) =2lxl — 4,则 f (x — 2) =f (|x — 2| ) =2x —21— 4,要使 f (|x — 2| )> 0,只需 2lx —21 — 4 > 0,| x- 2| >2解得x >4,或x v 0. 应选：B.011+tan-z-9. -------------------------------------------------------------------------------------------- （ 5分）（2010?宁夏）若cos a = -^, a 是第三象限的角，贝U -------------------------- --- =（ ---------------------------------------------------------------------------------------------- ）5 1-tan —2A .-丄B .丄 C. 2 D .- 22 2CL1+tan -^-【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角a 与待1 - tan ----2 求式中角二的差别，注意消除它们之间的不同. 【解答】解：由casCt = - -^-, a 是第三象限的角，5 二可得 sin a 二_ 2，应选A .10. （5分）（2010?宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A . nFB 冷兀耳2 C. ¥心5. 5冗2a-| l -B-CLCLIi_31+ 1. tm 22 l + 5in^ -5- 1a■■a QQS a71 tan c coy 厂 sin2 225则【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为2球的表面积为兀•埸-二*兀 J ，故选B .相等，且f (a ) =f (b ) =f (c ),则abc 的取值范围是( )A . (1，10)B. (5，6)C. (10，12)D. (20，24)【分析】画出函数的图象，根据f (a ) =f (b ) =f (c )，不妨a v b v c,求出abc 的范围即可.【解答】解：作出函数f (x )的图象如图，不妨设 a v b v c ,贝U :「. I ab=1, 0丈-*c 十则 abc=c €( 10, 12).12. (5分)(2010?宁夏)已知双曲线E 的中心为原点，P (3, 0)是E 的焦点，过P 的直线I 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N ( - 12,- 15),贝U E 的方程式为( )2 ,22 2222 2A .―汽二1 B.— • J 二 C.- 岭二 1 D.3 6456 35【分析】已知条件易得直线I 的斜率为1,设双曲线方程，及A , B 点坐标代入方程联立相减得x i +x 2=- 24,根据"_ F 2，可求得a 和b 的关系，再根据衍"x2 5Jc=3,求得a 和b ，进而可得答案.11. (5 分)(2010?新课标) 已知函数,若a , b , c 互不【解答】解：由已知条件易得直线I 的斜率为k=k PN =1，2 2设双曲线方程为\ _A （x i ，y i ），B （x 2，y 2），两式相减并结合x i +x 2= - 24，y i +y 2=-30得从而=八【=15 a即厶/二厶孑，又 a 2+b 2=9，解得 a 2=4，b 2=5, 故选B .二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）（2010?宁夏）设y=f （x ）为区间［0, 1］上的连续函数，且恒有 0W f （x ）＜ 1,可以用随机模拟方法近似计算积分『討3）旳，先产生两组（每组N个）区间［0, 1］上的均匀随机数X 1, x 2,…取和y 1, y 2,…y,由此得到N 个点（x i , y i ）（i=1, 2,…，N ）,再数出其中满足 y W f （x i ）（i=1, 2,…，N ）的点数N 1, 那么由随机模拟方案可得积分 J 扛的近似值为 £^—.【分析】要求/ -f （x ） dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得.【解答】解：由题意可知导迫J 扭r皿得由讹门夺，故积分''tlv' 的近似值为*• 故答案为：善.r 2 K i 一厂 2,2 -1 3b2 2y 2 -二 1 2 ,2 I a b则有14. （5分）（2010?宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题.【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等.故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱.15. （5分）（2010?宁夏）过点A （4，1）的圆C与直线x-y=1相切于点B （2, 1），则圆C的方程为（x- 3）2+『=2 .【分析】设圆的标准方程，再用过点 A （4, 1）,过B,两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程.【解答】解：设圆的方程为（x-a）2+ （y-b）2=F,贝一呂二工勺二工 J 二一i,a-2解得［，故所求圆的方程为（x-3）2+y2=2.故答案为：（x- 3）2+y2=2.16. （5 分）（2010?宁夏）在厶ABC中，D 为边BC上一点，BD亍DC, / ADB=120,AD=2,若厶ADC的面积为；•；，则/ BAC= 60°.【分析】先根据三角形的面积公式利用厶ADC的面积求得DC,进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC,进而根据余弦定理求得AB.最后在三角形ABC中利17. (12 分)(2010?宁夏)设数列满足 a i =2, a n +i - &=3?0-1 (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 令b n = na n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .【分析】(I)由题意得 a n +1=[ (a n +1 - a n ) + (a n — a n -1)+••+( a 2 — a 1)]+a 1=3 (22n-1+22n -3+..+2) +2=22(n+1)—1 .由此可知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =22n —1.(U)由 b n =na n =n?22n —1 知 S n =1?2+2?23+3?25++n?22n -1，由此入手可知答案.【解答】解：(I )由已知，当 n 》1 时，a n +1=[ (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1) +••+ (a 2 -a 1) ]+ a 19fl - A n \=3 (22n r+22n —3+・・+2) +2=3X ■ ■+2=22(n+1)—11-4用余弦定理求得cos / BAC,求得/ BAC 的值. 【解答】解：由△ ADC 的面积为3-V3可得-V3)=yAB-AC-sinZBAC解得 I 「二；-则二*「=：：=：* 八 AB 2=AD 2+BD ? -2AD?BD?cos120 =.：-—：.:-一 F ，AC 2=AD 2+CD 2 - 2AD p CD'cos$0* 二辭皈-1) ^ - 4(希-1)=24- 12^ AC=^/6 C73 - 1)则 cosZBAC-BA 2+-AC 2 - BC 2 _&+24 - 12V3- 9(4 - 2忑)&V3 一 &2ABrAC 2Ve p Ve (V5 -1) ~12(V3 t)飞故/BAC=60.三、解答题(共8小题，满分90分)而a i=2,所以数列｛a n｝的通项公式为a n=22n r •（U）由b n=na n=n?22n「知S n=1?2+2?23+3?25+・・+ n?22n「①从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1②①—②得（1 - 22）?S=2+23+25+・・+22n r - n?22n+1.即片却⑶-1）丹1+2].18. (12分)(2010?宁夏)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB// CD, AC!BD,垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD中点(1) 证明：PE! BC(2) 若/ APB=/ ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.HA，HB, HP分别为x, y, z轴，线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系._ N ・ ----- --------(1)表示上，"，计算「一—就证明PE!BC.(2)Z APB=Z ADB=60，求出C, P的坐标，再求平面PEH的法向量,求向量.，然后求「与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解答】解：以H为原点，HA, HB, HP分别为x, y, z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A (1, 0, 0), B (0, 1, 0)(I )设 C (m, 0, 0), P (0, 0, n) (m v 0, n>0)则D(0* m 0), E (寺F弓，0).可得厩二出，斗-门)，瓦二-1, 0).因为厩.瓦耳,_許。

2010年湖北高考数学第21题分析(理)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）21.本题满分14分已知函数c xb ax x f ++=)(，)0(>a 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y （1）用a 表示出c b ,；（2）若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n ，)1(≥n ；【解答与分析】（1）易得到1-=a b ，12+-=a c（2）由（1）有，a xa ax x f 211)(-+-+= 令：x a xa ax x x f x g ln 211ln )()(--+-+=-=，),1[+∞∈x ，且0)1(=g ，因为 2222)1)(1()1(11)('xa a x x a x a x ax x x a a x g ---=---=---= ⅰ当210<<a 时，11>-a a ，当a a x -<<11时，0)1)(1()('2<---=x a a x x a x g ，从而)(x g 在该区间上是单调递减，故，0)1()(=<g x g ，即x x f ln )(<，故x x f ln )(≥在),1[+∞∈x 上不成立。

ⅱ当11≤-a a 时，即当21≥a 时，若1>x ，则0)('>x g ，从而)(x g 在该区间上是单调递增，故0)1()(=>g x g ，即x x f ln )(>。

综上所述，所求a 的取值范围是),21[+∞ ⅲ由(ⅱ)知，当21≥a 时，有x x f ln )(≥，令21=a ，有x xx x f ln )1(21)(>-=，)1(≥x 且当1>x 时x xx ln )1(21>- 令k k x 1+=，从而有)]111()11[(21]11[211ln +--+=+-+<+k k k k k k k k即]111[21ln )1ln(++<-+k k k k ，n k ,,3,2,1 = 将上述的n 个不等式依次相加)1(2)1ln()1(2)131(21)1ln(+++>+++++<+n n n n n n n ，整理得)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n。

2010年高考数学(理)试题(新课标)参考答案

1 2
3 。 2
（Ⅱ） C1 的普通方程为 x sin α − y cos α − sin α = 0。 A 点坐标为 sin
(
2
α − cos α sin α ) ，
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为：
1 2 sin α x = 2 (α为参数 ) 1 y = − sin α cos α 2
1 1 2 x− + y = 4 16 。 P 点轨迹的普通方程为
2
0 ，半径为故 P 点轨迹是圆心为，
（24）解：
1 4

1 的圆。 4
−2 x + 5，x < 2 f ( x) = 2 x − 3，x ≥ 2 则函数（Ⅰ）由于
y = f ( x) 的图像如图所示。
3 3
3 ,0,0) 3
D(0, −
3 1 3 , 0), E ( , − , 0), P(0, 0,1) 3 2 6
设 n = ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量
则
n ⋅ HE = o, o, n ⋅ HP =
1 x− 3 y= 2 6 0 即 z=0
因此可以取 n = (1, 3, 0) ，由= PA (1, 0, −1) ，
（Ⅱ）由函数 y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像可知，当且仅当
a≥
1 2 或 a < −2 时，函数
-5-
天骄文化培训学校
y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空时，a 的取值范围
为
− 2) ( −∞，，
1 + ∞ 2 。

2010年高考湖北卷(理21)的别解

度较大，很多同学望尘莫及．文在参考答案之外对使本
线的下方．Ｆ对ｉ整数ｋ曲）＿，线上两点Ａ后÷）Ｂ后（，，（＋
１丽），１
．
连线Ａ的方程：＝一１）＋ｉ＋１）ｙ（ｉ ‘１丽
第（ Ⅲ）问再提供两种解题方法，旨在与各位交流，希望起到抛砖引玉的作用．法１（构造数列，利用数列的单调性）
陈
琴
即ｎ＋～（－［三三＜ｌｎ）ｎ）乏一］，（２１＋一ｎ０
’
Ｃ（＞）ａＯ的图象在点（１）１）处的切线方程为ｙｘ１＝一．（Ｉ）ａ表示出ｂＣ用，；
．
．
ｇｎ１＜（）即数列｛（）为单调递减数列（＋）ｇｎ，ｇｎ｝ｇｎ ≤ｇ１，（）（）
・
解题研究・
中。擞・（１年期・中）？７２０第９高版０
２５
２１高考湖北卷（２）另解００年理的Ｕ１
４２０湖北省应城一中陶治国３４０
题目（ＯＯ年湖北理２）２１１已知函数）ｘ＝ａ＋ｂ＋
，
故当后ｌ有１一１）＋＋）１ ≤ ≤ ＋丽 ‘１＞
．
由［鬲 ‘１
一
１） ‘１＋＋）＞。ｄ］ｌｘ
，
设（＝（１一＋＋＋＋）ｇ）ｎ＋＋ｎ１）ｎ（÷了，１１
・．．
１
一
１（１
一
＋＋＋一＞１了． ÷÷¨ ｎ）． ‘ ｌ＋．ｌ ’ １（

2010年湖北高考理科数学B卷试题

2010年高考湖北卷理科数学试题及答案
源头学子特级教师王新敞 wxckt@
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是
A．26, 16, 8 B．25，17，8
C．25，16，9 D．24，17，9
7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则 =
A． 2 B. C.4 D.6
8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.
11.【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.
12.【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数y=2x-z，
5．B 【解析】本题考查了平面向量的线性运算.因为 ,所以M为的重心.如图所示，在中，点G是边BC 的中点，所以，又因为 ,所以，故m=3.
6.B 【解析】本题考查了系统抽样的基本方法和等差数列的基本知识.首先考虑系统抽样.从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是，故被抽取的号码成等差数列.其次考虑等差数列.该等差数列是以3为首项，12为公差，则其通项公式为 .所以在第一营区的学生数需满足，解得 n 25，故第一营区的有25人；在第二营区的学生数需满足，解得可知在第二营区的学生数为17人；在第三营区的学生数需满足，解得可知在第三区的学生数为8人.综上可知选择B.

（精校版）湖北省数学（理）2010年高考试题（含答案）..

222266向上”为事件抽中的人抽中的人数依次为数依次为 A A．． 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9 7如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去..设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n x S ®¥=A A．．22r p B. 283r pC.24r p D.26r p8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加..甲、乙不会开车但能从事甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是作，则不同安排方案的种数是 A A．． 152 B. 126 C. 90 D. 54 9若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是的取值范围是 A A．． 1,122éù-+ëû B. 122,122éù-+ëûC. 122,3éù-ëûD. 12,3éù-ëû1010．．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,.已知ABC V 的三边长为,,()a b c a b c ££，定义它的倾斜度为，定义它的倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c b c a b c a ìüìü=·íýíýîþîþl 则“1=l ”是“ABC V 为等边三角形”为等边三角形”A. A.必要而不充分的条件必要而不充分的条件必要而不充分的条件B. B.充分而不必要的条件充分而不必要的条件充分而不必要的条件C.C.充要条件充要条件充要条件D. D. D.既不充分也不必要的条件既不充分也不必要的条件既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有项.12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件,1,2,y x x y x £ìï+³íï£î则z 的最大值为 .13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径的分布列如下：如下：已知x 的期望8.9E x =，则y 的值为的值为．算术平均数，线段算术平均数，线段的长度是的几何平均数，线段的几何平均数，线段的长度是字说AQ()()中的任意三项不可能成等差数列(),222 31530223022+ON OP 3,3(1,3,1)(0,1,0)3.5151551212()12一切.222FA).FB,22)))等基础知识，同时考查综合运用数学知识进I)a a11-a..。

2010年湖北省高考数学试卷(理科)及答案

2010年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H2．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，97．（5分）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr28．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．549．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（5分）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有项．12．（5分）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为．13．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．14．（5分）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为．ξ78910P x0.10.3y 15．（5分）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB 上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．17．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．18．（12分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．19．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2010年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．【解答】解：观察图形可知z=3+i，∴，即对应点H（2，﹣1），故选D．2．（5分）（2010•湖北）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．3．（5分）（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．4．（5分）（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，则P（）=（1﹣）（1﹣）=，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣=；故选C．5．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m 使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．6．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B7．（5分）（2010•湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n 个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr2【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：，由此可以求出则S n的值．【解答】解：依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°，即，则面积依次为：，所以．故选C．8．（5分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．9．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【分析】观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则t=1；假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时，则，此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件．故选B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有6项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，系数为有理数，r 必为4的倍数．【解答】解：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0，4，8，12，16，20共6种，故系数为有理数的项共有6项．故答案为612．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为5．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Z max=5．故答案为：5．13．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：414．（5分）（2010•湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为0.4．ξ78910P x0.10.3y【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9解得y=0.4．故答案为：0.4．15．（5分）（2010•湖北）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段DE的长度是a，b的调和平均数．【分析】在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD2=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE 的长，得到OE进而ED，得到结果．【解答】解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，∴，即CD长度为a，b的几何平均数，将OC=代入OD•CE=OC•CD可得故，∴ED=OD﹣OE=，∴DE的长度为a，b的调和平均数．故选CD；DE三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．【分析】（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）﹣g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=cos（2x+），由于定义域为全体实数R，故易知最值为，而此时角2x+应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．【解答】解：（1）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）=cos2x﹣=﹣=cos2x﹣，∴f（x）的最小正周期为=π（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=（cos cox2x﹣sin sin2x）=cos（2x+）∴当2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，h（x）取得最大值，且此时x取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}17．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．18．（12分）（2010•湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB 于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．【解答】解：法一：（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC．取Q为AN的中点，则PQ∥NC．∴PQ⊥OA在等腰△AOB中，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO，∴NB=ON=AQ．∴解：（Ⅱ）连接PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP根据三垂线定理，知：∴AC⊥NP∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴在Rt△AON中，，∴在Rt△PON中，．∴解法二：（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示）则∵P为AC中点，∴设，∵．∴，∴．∵，∴即，．所以存在点使得PQ⊥OA且．（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，得，故可取又平面OAC的法向量为=（0，1，0）．∴cos＜，＞=．两面角O﹣AC﹣B的平面角是锐角，记为θ，则19．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．20．（13分）（2010•湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．21．（14分）（2010•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为。