三阶行列式
三阶行列式计算方法对角线法则
三阶行列式计算方法对角线法则
三阶行列式：a、b、c、d、e、f、g、h、i都是数字。
按斜线计算
a*e*i,b*f*g,c*d*h，求和aei+bfg+cdh；再按斜线计算c*e*g，d*b*i，a*h*f，求和
ceg+dbi+ahf；行列式的值就为（aei+bfg+cdh）-（ceg+dbi+ahf）。
三阶行列式性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换行列式的两行(列于)，行列式变号。
推断：如果行列式存有两行(列于)
完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果存有两行(列于)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素
上去，行列式不变。
三阶行列式的计算
三阶行列式称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
目录1 基本概念2 计算方法1 基本概念2 计算方法1 基本概念对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。
记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
2 计算方法标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。
这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
例如a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1)此时可以记住为：a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找）c2 c3而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
怎么记三阶行列式的公式
怎么记三阶行列式的公式三阶行列式是数学中最重要的行列式，它有着广泛的应用。
三阶行列式可以用来解决三元一次线性方程组，计算行列式的值，并为其他矩阵计算增广矩阵提供依据。
其公式可以用Determinant of A的三阶递归表达式表示：Det(A)=a11*Det(A11)-a12*Det(A12)+a13*Det(A13)其中Det(Aij)为A以第i行第j列为首项建立的2阶行列式。
举个例子，A= [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]的三阶行列式的表达式为：Det(A)=a11*Det(A11) - a12*Det(A12) + a13*Det(A13)其中Det(A11)是由A以第1行第1列为首项组成的2阶行列式，Det(A12)是由A以第1行第2列为首项组成的2阶行列式，Det(A13)是由A以第1行第3列为首项组成的2阶行列式。
由上面不难看出，三阶行列式的计算关键是通过划分出来的各个2阶行列式，它们的特点是：这些2阶行列式都是以一行作为首项，其余行是在原来三阶行列式的其他行中划分而来。
这样由于其中的2阶行列式计算起来比较容易，因此对于计算三阶行列式的值就比较方便。
通过以上内容，我们可以看出三阶行列式是如何计算的。
当我们需要计算行列式的时候，只需要按照公式计算各个2阶行列式的值，然后将它们相乘再相加，就可以得出三阶行列式的值。
可见，要记住关于三阶行列式的计算公式是有必要的，它是最基本的计算数学中行列式的方法，也是三元一次线性方程组、矩阵计算增广矩阵等技术的基础。
虽然很多时候我们不会直接用它计算三阶行列式的值，但它给我们提供了一个重要的方向：分析并熟练掌握三阶行列式的计算方法，这是更高阶技能的基础。
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
三阶行列式
●余子式和代数余子式 定义 将3阶行列式中的元素 aij 所在的行和列划去 阶行列式中的元素 后得到的2阶行列式称为元素 余子式， 后得到的 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记为 M ij ; i+ j 并称 Aij = (−1) M ij 代数余子式。 为元素aij 的代数余子式。 如 a21 a23 = M 12 元素 a12 的余子式 a11 a12 a13 a31 a33 a21 a22 a23 元素 a12 的代数余子式 a31 a32 a33 ( −1)1+ 2 M = A12
1 Da = 0 −1 1 Db = 4 0 1 = −1 2 1 =5 9 −2 1 1 −1 1 −2 3 1 Dc = 4 2 0 = −18 9 3 −2
三阶行列式的性质与应 用
例 证明对角行列式
a11 0 0 0 a 22 0 0 0 = a11 a 22 a 33 a 33
证明： 证明： a11
按某一行（或某一列） 按某一行（或某一列）展开求行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
= a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
= a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
三阶行列式的值等于它的任意一行（或一列） 三阶行列式的值等于它的任意一行（或一列）的所 有元素与各自的代数余子式的乘积之和 。
12
●行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 = a11a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a 21a32 a33 − a a a − a a a 13 22 31 12 21 33 − a11 a 23 a32 a13
三阶行列式算法
三阶行列式算法
三阶行列式算法是一种用于计算三阶行列式的数学方法。
行列式是一个方阵的一个标量值，通常用一个竖线包围矩阵表示。
在三阶行列式中，矩阵由三行三列组成，因此行列式的计算包括对矩阵中九个元素的运算。
三阶行列式算法可以分为两种：Sarrus法则和余子式展开法。
Sarrus法则是一种简单的方法，只需要将矩阵重复一遍，并根据特定的规则进行计算。
余子式展开法则依赖于矩阵的余子式和代数余子式的计算，可以用递归的方式进行计算。
在实际应用中，三阶行列式算法常常用于计算线性方程组的解或确定矩阵的奇偶性等。
虽然计算三阶行列式的过程相对较简单，但对于更高维度的行列式，计算过程会更加复杂，需要使用更复杂的算法。
- 1 -。
9、4 三阶行列式
§9、4 三阶行列式【知识梳理】1、三阶行列式展开的对角线法则2、三阶行列式按照某一行（列）展开的方法；3、三元线性方程组的行列式解法，并对含字母系数的三元线性方程组的解的情况进行讨论。
对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，记333222111c b a c b a c b a D =，333222111c b d c b d c b d D x =，333222111c d a c d a c d a D y =，333222111d b a d b a d b a D z =。
当D ≠0时，方程组有唯一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===D D z D D y D D x z y x ；当D=0时，方程组无解或有无穷多解。
【例题精选】1、 用对角线法则计算下列行列式（1）123456789 （2）111cos sin 0sin cos 0αααα-2、 求下列三阶行列式中，元素x y 、的余子式和代数余子式：1223411x y-1、 （1）行列式 765543321中，元素6的代数余子式的值= ；（2）765543321=1-3+5；（3）765543321=-3+4-5；4、用行列式解下列线性方程组：238923210x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【课后作业】1、若行列式111102303a a a +-=，则实数a =2、在函数()21112x f x x x x x -=--中，3x 的系数是3、行列式sin 2cos 11sin 2cos sin 1cos θθθθθθ--中，2cos θ的代数余子式为 4、判断下列三元一次方程组是否有唯一解。
如果有，试求出这个解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-10076702302)1(z y x z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++43237532432)2(z y x z y x z y x。
三阶行列式计算
三阶行列式计算
三阶行列式性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
利用对角线法则。
在已给的行列式的右边添加已给行列式的第一列和第二列，把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线成为次对角线。
这时候行列式的值就等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
利用对角线法则进行计算时，将实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素乘积冠名负号，利用余子式。
将矩阵划去第i行和第j列所产生的的n-1阶行列式叫做矩阵a的元素aij的余子式，记为mij。
然后利用改写余子式的方法，将行列式的第二行和第三行也同样改写展开，最后按照+-+-+-的规律给每一项添加符号即可。
提出了一种计算三阶行列式的新方法,把三阶行列式的计算转化为两阶行列式的计算,并且与行列式按行(列)展开有很大的区别.1预备知识通过文献我们知道三阶矩阵的行列式的基本算法.现在我们看一看如何计算一个三阶矩阵的行列式。
三阶行列式计算方法
三阶行列式计算方法
1、直接计算对角线法:标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。
这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
2、任何一行或一列展开:代数余子式:行列式某元素的余子式:行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式，行列式某元素的代数余子式:行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。
即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
三阶行列式公式
三阶行列式公式【实用版】目录1.三阶行列式的定义2.三阶行列式的展开式3.三阶行列式的性质4.三阶行列式的应用正文1.三阶行列式的定义三阶行列式是一个 3x3 矩阵所对应的行列式，即由三个 3x3 矩阵的元素组成，用一个竖线符号将矩阵分隔开。
三阶行列式的表示形式为：D = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |2.三阶行列式的展开式三阶行列式的展开式是将第一行的元素分别乘以与其对应的 2 阶子行列式，然后求和。
2 阶子行列式是指从 3x3 矩阵中选取 2 行和 1 列所组成的 2x2 矩阵的行列式。
三阶行列式的展开式为：D = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)3.三阶行列式的性质三阶行列式具有以下性质：(1) 行列式的值与它的转置行列式相等，即 D = det(A") = a22 * a33- a23 * a32 - a12 * a31 + a13 * a31 - a11 * a23 + a13 * a21。
(2) 三阶行列式的值等于它任意两行的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
(3) 三阶行列式的值等于它任意两列的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
4.三阶行列式的应用三阶行列式在数学和物理学中有广泛应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式为 0 时判断矩阵是否可逆等。
三阶行列式计算技巧
三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、向量分析和微分几何等领域有广泛的应用。
在实际问题中，计算三阶行列式是一种常见的操作。
本文将介绍三阶行列式的计算技巧。
一、三阶行列式的定义ABCDEFGHI根据定义，三阶行列式的计算可以按照如下步骤进行：1.将行列式按行展开。
选择一个行号i，取第i行的元素a[i1]、a[i2]、a[i3]，其中i1、i2、i3是列号。
2.对于每一个选择，计算正负号。
一般的规则是：对于选择右上方元素的情况，取正号；对于选择左下方元素的情况，取负号。
3.将每一个选择的元素相乘，再将所有选择的结果相加。
得到的和就是行列式的值。
例如，对于三阶行列式，123，可以按照如下方式计算：123456789选择第1行，第1列的元素为1，选择右上方元素，取正号。
得到1*(5*9-6*8)=3选择第1行，第2列的元素为2，选择右上方元素，取正号。
得到2*(4*9-6*7)=-6选择第1行，第3列的元素为3，选择右上方元素，取正号。
得到3*(4*8-5*7)=3将三个结果相加，得到3+(-6)+3=0。
因此，该三阶行列式的值为0。
二、三阶行列式的性质1.换行性质：交换行列式的两行，结果变号。
考虑一个三阶行列式，ABC，如果交换第1行和第2行，行列式变为，DEF。
根据定义，交换行后的行列式为-(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
2.倍增性质：其中一行乘以k倍，行列式的值也乘以k。
考虑一个三阶行列式，ABC，如果将第1行乘以k，行列式变为，kAkBkC。
根据定义，乘以k后的行列式为k^3*(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
在实际计算中，为了简化计算和减少错误，可以使用一些技巧。
1.判断行列式是否等于0如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于0。
这是因为在展开计算时，相同的元素相乘得到的结果为0。
2.利用换行性质简化计算根据换行性质，交换行列式两行可以改变计算的顺序或者改变符号。
三阶行列式运算
三阶行列式运算一、三阶行列式的定义和意义三阶行列式是一种特殊的矩阵，它是由三个阶次的方阵所构成的。
定义如下：设A为一个三阶方阵，即：A = [a_{ij}]_{3×3}其中1≤i，j≤3，a_{ij}为矩阵A中的元素。
三阶行列式记作det(A) 或|A|，其值为：det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33} - a_{12}*a_{23}*a_{31} +a_{13}*a_{21}*a_{32} - a_{13}*a_{22}*a_{31}二、三阶行列式的计算方法1.代数余子式：设元素a_{ij}的代数余子式为M_{ij】，则有：M_{ij} = (-1)^(i+j) * det(A_{ij})其中A_{ij}是由去掉第i行和第j列后的二维矩阵。
2.行列式元素的符号规律：（1）当i≠j时，a_{ij}的符号为负；（2）当i=j时，a_{ij}的符号为正。
3.拉普拉斯展开式：根据行列式的定义，可以利用代数余子式将三阶行列式展开为：det(A) = a_{11}*M_{23} - a_{12}*M_{31} + a_{13}*M_{32}同理，也可以将行列式写为：det(A) = a_{21}*M_{32} - a_{22}*M_{31} + a_{23}*M_{33}det(A) = a_{31}*M_{23} - a_{32}*M_{31} + a_{33}*M_{32}三、三阶行列式的应用1.解线性方程组：设有线性方程组：Ax = b其中x为未知向量，b为常数向量。
利用三阶行列式可以求解该方程组。
首先计算系数矩阵A的行列式det(A)，如果det(A)≠0，则方程组有唯一解，解为：x = det(A)^(-1) * b2.矩阵的逆和逆矩阵：对于可逆矩阵A，其逆矩阵B满足AB = BA = I，其中I为单位矩阵。
利用三阶行列式可以求解矩阵的逆矩阵，公式为：B = det(A)^(-1) * Adj(A)其中Adj(A)为矩阵A的伴随矩阵，其元素为A的代数余子式。
三阶行列式
11 1 例3 求解方程2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12
x25x6,
由x25x0解得 x2或 x3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22x33x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
a31 a32 a33 a 31 a 32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
思考题
求一个二次f多 x,使 项式 f 1 0 ,f 2 3 ,f 3 2 . 8
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
fx a2 x b x c , 由题意得 f1 a b c 0 , f 2 4 a 2 b c 3 , f 3 9 a 3 b c 2 , 8
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
12线性代数三阶行列式
12线性代数三阶行列式线性代数是一门研究和操作向量、矩阵和更复杂的几何体空间的数学分支。
它是所有数学和工程科学都不可或缺的一项基础知识，也是各种技术应用的基础。
特别是在现代物理的研究中，线性代数的应用又十分广泛，用于研究无穷维空间里的动力系统、热力系统、电磁系统和流体力学系统等现代物理里的一些科学问题，非常重要。
在研究线性代数的过程中，三阶行列式是一个非常基础的概念。
三阶行列式表示一个空间内三维向量与另一个空间内三维向量交叉积之和，即它表示空间内三个基向量的叉积。
三阶行列式把具有三维位置的向量表示出来，也被称为向量积，用来计算向量的截面积和体积。
三阶行列式同样可以用来表示空间内三维矩阵的积分。
三阶行列式可以表示包含三个未知量的方程，可以用它来计算空间内三维矩阵的积分。
三阶行列式也可以用来表示空间内三维向量和两个边（叉积）的夹角。
用三阶行列式表示空间里两个三维向量之间的夹角，可以计算向量之间夹角。
三阶行列式也可以与矩阵相关联，用来计算矩阵的特征值。
三阶行列式可以用来求解各种线性方程，计算矩阵的逆矩阵，求解行列式的特征值等，其中最著名的是计算矩阵的特征值。
三阶行列式也可以用来计算空间内的一些几何参数，例如有向面积、形状系数等。
有向面积是由三维向量的叉积组成的，用三阶行列式来表示，可以求出有向面积。
此外，三阶行列式还可以与四元数进行联系。
四元数是一种把四维空间的旋转投影到三维空间的数，用来描述三维空间内的旋转变换，这种变换是由三阶行列式而定义的，可以用来计算四元数的变换。
以上就是线性代数中三阶行列式的基本概念，它可以用来描述空间内的三维向量与另一个空间内的三维向量的叉积，以及它与矩阵的联系，四元数的联系，用来计算有向面积、矩阵特征值以及夹角等。
由此可见，三阶行列式在线性代数中发挥着重要作用，它为线性代数的应用提供了有力的支持。
三阶行列式计算方法
三阶行列式计算方法三阶行列式是线性代数中的重要内容，它在代数、几何以及物理等领域都有着广泛的应用。
在学习三阶行列式的计算方法时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧，下面将对三阶行列式的计算方法进行详细介绍。
首先，我们来看一个三阶行列式的一般形式：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\。
\end{vmatrix}。
$$。
其中，$a_{ij}$表示第i行第j列的元素。
要计算这个三阶行列式，我们可以利用“对角线法则”或“按行（列）展开法”来进行计算。
“对角线法则”是一种简单直观的计算方法。
我们可以按照下面的方式进行计算：首先，我们将行列式写成如下形式：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\。
\end{vmatrix}。
$$。
然后，我们利用对角线上的元素相乘再相加的方法进行计算。
具体来说，我们可以按照下面的方式进行计算：$a_{11} \times a_{22} \times a_{33} + a_{12} \timesa_{23} \times a_{31} + a_{13} \times a_{21} \times a_{32}a_{13} \times a_{22} \times a_{31} a_{12} \times a_{21}\times a_{33} a_{11} \times a_{23} \times a_{32}$。
通过这种方法，我们可以得到行列式的值。
另一种计算方法是“按行（列）展开法”，这种方法更加通用，适用于任意阶的行列式。
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法
行列式是一个方阵对应的一个实数值。
计算三阶行列式可以使用Sarrus法则。
设有一个3x3矩阵A，记作：
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │
│ a₂ b₂ c₂ │
│ a₃ b₃ c₃ │
└ ┘
其中a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃为矩阵A中的元素。
根据Sarrus法则，三阶行列式的计算可以按照以下步骤进行：
1. 将矩阵A的第一列复制到行列式右侧，即得到一个3x6的
矩阵。
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │ a₁ b₁ c₁
│ a₂ b₂ c₂ │ a₂ b₂ c₂
│ a₃ b₃ c₃ │ a₃ b₃ c₃
└ ┘
2. 将矩阵A的第二列复制到行列式右侧，即再添加一列。
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │ a₁ b₁ c₁ b₁ c₁
│ a₂ b₂ c₂ │ a₂ b₂ c₂ b₂ c₂
│ a₃ b₃ c₃ │ a₃ b₃ c₃ b₃ c₃
└ ┘
3. 计算3x3矩阵的对角线上的乘积之和。
对角线乘积之和为：(a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂)
4. 计算矩阵右侧6个数两两相乘的差值之和。
差值之和为：(a₁b₂c₃ + a₃b₁c₂ + a₂b₃c₁) - (a₁b₃c₂ +
a₃b₂c₁ + a₂b₁c₃)
5. 将第3步和第4步中的计算结果相减，得到最终的行列式的值。
综上所述，三阶行列式的计算方法按照上述步骤进行。
注意遵循计算顺序的先后。
三阶行列式计算技巧
三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它是一个方阵的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的应用，例如求解线性方程组、求解矩阵的逆等。
而三阶行列式作为行列式中的一种特殊情况，也是非常常见的。
本文将介绍三阶行列式的计算技巧。
三阶行列式的定义三阶行列式是一个3x3的方阵，它的形式如下：$$begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33}end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示矩阵中第$i$行第$j$列的元素。
三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法有多种，其中比较常用的有“对角线法则”和“Sarrus法则”。
对角线法则对角线法则是三阶行列式的一种计算方法，它的具体步骤如下： 1. 将三阶行列式按照第一行展开，得到以下式子：$$a_{11}begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} a_{32} &a_{33}end{vmatrix}-a_{12}begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}a_{31} & a_{33}end{vmatrix}+a_{13}begin{vmatrix}a_{21} &a_{22} a_{31} & a_{32}end{vmatrix}$$2. 对于每一个二阶行列式，使用“对角线法则”进行计算。
具体方法是，将二阶行列式中的两个元素相乘，然后用对角线相减的方式得到结果。
例如，对于$begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} a_{32} & a_{33}end{vmatrix}$，计算方法为$a_{22}timesa_{33}-a_{23}times a_{32}$。
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9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察(1)观察二阶行列式的符号特征：13250231-612711-a bc d(2)观察二阶行列式的展开式特征：13112321=⨯-⨯ 02013(2)31-=⨯-⨯- 6126(11)712711=⨯--⨯-a ba d cbc d=⨯-⨯ 2．思考(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明](1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面：① 观察二阶行列式的展开式有几项？② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课1．新课解析 【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)问题三，二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式111222333a b c a b c a b c 按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？(3个．这3个可以相乘的元素应该位于不同行不同列．)问题四，三阶行列式的展开式的项中有哪些元素的乘积？二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．那么，请你猜测一下在三阶行列式的展开式中，每个元素应该出现几次呢？你猜测的依据是什么？[说明]二阶行列式与三阶行列式有必然的内在联系，上述各个问题的探讨可以帮助学生学习三阶行列式的概念，并能意识到三阶行列式的展开式中必然会出现123a b c ，321a b c ，231a b c ，312a b c ，213a b c ，132a b c ．至于展开式中各项符号的确定，可以组织学生通过以下实验尝试解决．【实验探究】【工作1】请你对1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 分别赋值：1a =______，2a =______，3a =______，1b =______，2b =______，3b =______，1c =______，2c =______，3c =______，利用计算器，计算得：111222333a b c a b c a b c =____________．【工作2】【工作3】由上述计算结果，可以发现三阶行列式按对角线展开后展开式应该是：111222333a b c a b c a b c =____________________________________．[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历猜想预测、实验检验、获得新知的过程；(2)为了便于研究，教师应该提示学生在完成工作(1)时，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 应该分别赋不同的值，而且不要赋为0；(3)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结；(4)通过上述研究，可以引导学生发现：111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---； (5) 三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 经消元后，得：⎪⎩⎪⎨⎧---++=---++---++=---++---++=---++)()()()()()(231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321d b a d b a d b a d b a d b a d b a z c b a c b a c b a c b a c b a c b a c d a c d a c d a c d a c d a c d a y c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c b d c b d c b d x c b a c b a c b a c b a c b a c b a 因而发现是符合引入该记号的实际意义的。
但这个展开式比较复杂，教师可以组织学生讨论：你觉得怎样记忆这个展开式最好？并逐渐引导学生发现如下记忆方法：如图，用红线连接的三个元素的乘积取“﹢”，用黑线连接的三个元素的乘积取“﹣”，而这六个结果的代数和就是三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的展开式．这种展开方法叫做三阶行列式展开的对角线法．．．．则．．2．例题解析例题1. 用对角线法则展开行列式：(1)302213231-- (2) 213302231-- (3) 23213321--例题2. 把下面的算式写成一个三阶行列式： (1) abc def ghl gbf dhc ael ++--- (2) ab de gh gb dh ae ++---解：(1) a h f abc def ghl gbf dhc ael d b l g ec++---=(2) 111a h ab de gh gb dh ae d b ge ++---=[说明]本例题主要是考查学生的逆向思维能力，同时为例题3做好准备工作．对照三阶行列式的展开式，学生可以写出正确结论，但要注意这是两个开放性问题，答案并不唯一．例题3. 如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别为12(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，求ABC ∆的面积．[说明](1)本例题的答案不唯一，除了上述的结果之外，还可以是12312312111x x x y y y ，11223311121x y x y x y 等等；(2)由ABC ∆的面积11223311121ABC x y S x y x y ∆=可知，A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为1122331101x y x y x y =；(3)仔细分析，不难发现11223311121ABC x y S x y x y ∆=并不能当公式应用，原因是行列式112233111x y x y x y 的值可能为负数．事实上，当C 位于线段AB 下方时，该行列式的值就是负数．ABC ∆的面积公式应该是：11223311121ABC x y S x y x y ∆=3．问题拓展比较例题1的三个行列式，你可以得到些什么样的结论？你能证明这些结论吗？〖参考〗(1)将一个三阶行列式的行(列)变为列(行)所得到的新三阶行列式与原行列式相等；(2)交换一个三阶行列式的两行(或列)，行列式改变符号．[说明]设计这样一个问题基于两方面考虑：一，本问题的解答有助于学生理解为什么例题2和例题3的答案不唯一；二，新课程标准要求教师“尊重学生现有的认知水平和差异”，不同的学生对数学的需要也不同．因此，我们教师的教学内容不仅要满足学生对知识的基础性需求，而且还有满足学生对知识的发展性需求．三、巩固练习教材第96页，练习9.4（1）．四、课堂小结1、三阶行列式的概念；2、三阶行列式展开的对角线法则．五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．七、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式的概念和三阶行列式展开的对角线法则．从内容上看，这部分知识概念性特别强，如果仅仅按照课本内容讲授，容易让学生感到数学的枯燥乏味，对培养学生的学习兴趣是无益的，学生也很难感受到数学的魅力所在．新课程标准提倡，过程比结果重要，能力比知识重要．考虑到学生已经学习过二阶行列式的概念和二阶行列式展开的对角线法则，我把本节课的教学模式设计为从学生现有的实际知识水平和能力水平出发，通过深究二阶行列式的特征，类比研究三阶行列式，让学生体会类比思想方法在数学研究中的作用，感悟数学的无穷魅力．诚然，三阶行列式展开的对角线法则比二阶行列式展开的对角线法则要复杂的多，但两者之间并不是毫无联系，所以本节课的教学应该着力研究二阶行列式展开的对角线法则的特征，并引导学生将这种特征逐渐迁移到三阶行列式展开的对角线法则中．。