微积分之幂级数

注意：对于级数

u n ，当 u n 收敛时，

U n 绝对收敛

故原级数绝对收敛

§ 7.5 幕级数

教学目的：弄清幕级数的相关概念；掌握幕级数收敛半径、收敛区间、 收敛域

定义与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质 求幕级数的和函数

重难点：掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幕 级数的

性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数，以及常 数项级数的和.

教学方法：启发式讲授 教学过程：

一、函数项级数的概念 1 .【定义】设 u 1 (x), u 2 (x),

, u n (x),

U n (X ) 5(X )U 2(X )

U n (X )

n 1

称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2.收敛域 (1) 收敛点X o I --- 常数项级数

U n (X o )收敛；

n 1

(2) 发散点X o

I ――常数项级数

U n (X o )发散；

n 1

(3) 收敛域D ----- 函数项级数 u n (X)的所有收敛点形成的集合

D ；

U n

——U_2绝对收敛：令

(2n 1)2

U n (1)n1 (2n 1)2

，则

1 1

(2n 1)2 [n (n 1)]2

1 1

冷，冷收敛

n n 1 n

U n ；收

敛

是定义在区间I 上的函数，则

例如:(X 1)n

均为幕级数n!

n 1

3•和函数S(x) ―― S(x) u n(x) , x D.

n 1

若函数项级数u n(x)在收敛域内每一点都对应于S(x)的一个函数值，n 1

则称S(x)为函数项级数u n(x)的和函数.

n 1

n

4•余项「n(X)―― g(X)S(x) S n(X), S n(X)U^X), X D .

k 1

注：①只有在收敛域D 上, r n(x)才有意义；

② limr n(x) 0, x D.

n

二、幕级数及其收敛半径和收敛域

1.【定义】形如a n(x X o)n的函数项级数称为(X X o)的幕级数.(也

n 0

称为一般幕级数)，其中a o,a「a2丄.a.丄为常数，称为幕级数的系

数.当x o 0时，a n X n称为x的幕级数(也称为标准幕级数)，其中

n 0

常数a n ( n 0,1,2丄)称为幕级数的系数.

结论：对于级数a n(X X0)n，作代换t X X0可以将一般幕级数化

n 0

为标准幕级数a n t n，所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法.

n 0

a n x n的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.

n 0

显然：x0 D (收敛域)，即幕级数总在x x0点处收敛.

⑷发散域G U n(X)的发散点的全体构成的集合G .

显然：

x n 的收敛域D ( 1,1),其发散域G ( , 1] [1,).

n 0

且和函数S(x) x n —, |x| 1•此结论可当公式使用•

n 0

1 X

2.级数的收敛域

上述分析显示级数

a n x n 在一个以原点为中心，从

R 到R 的区间内

n 0

1

绝对收敛，区间(R,R)称为幕级数的 收敛区间，R 为收敛半径.

l

若级数

a n x n 仅在点x 0收敛，则规定R

n 0

把级数

a n x n 的各项取绝对值得正项级数

n 0

n

a n X ，

n 0

记lim

n

lim

n

n 1 a n 1X n

a n X

于是由比值判别法知

1 (1)若 lx 1,(l

0)，即 X 1

l

R ， a n x n

绝对收敛. n 0

⑵若lx 1，即X ⑶若lx 1，即X

1 l

1 l

R ， a n X n 发散.

n 0

R ，比值法失效， a n x n 敛散另行判定

n 0

(4)若 I 0，即 lx

0 1,此时对任意X ，

a n X n 收敛.

n 0

0，级数的收敛域为x 0

l ，则

例如级数n!x n

n 0

1 x 2!x

2 L n!x n

由于lim |U^

U n lim

n

n！

lim n x

n

•••级数收敛域为(n 1)!x

0或｛0｝；独点集.

1(x 0),

若

a n X n 对任意x 都收敛，则R

，级数的收敛域为（，）.

n 0

当OR 时，要讨论级数在x R 处的敛散性才能确定收敛域 .此

时收敛域可能是下列区间之一： （R, R ）, [ R, R ）, （ R, R], [ R, R].

|

x | *0〔，有x D 即级数

a n X n 发散.

n 0

a n X n 收敛 X D 即对I X I I X 0 | , a n X n 收敛且绝对收敛

n 0 n 0 由(1)

⑵ X 0 D ,假若有X 1

D 满足|x i | | X 01 a n x 0收敛

n 0

X 0 D 矛盾•所以|x| |x 01,有 a n X n 发散，即x D .

n 0

注意:(1)若 x 。 D ,则(|X °|,|X 0|) D (收敛域),(x 。

0)；

(2) 若 x ° D ,则(,|X 0|)U(|X 0|,

) G (发散域).

证明：

(1)

X 0

D

n

3n X

0 收敛,

n 0

M 0

由

a

n n 厶

X 收

n a n X

0(n

)

Ia n X 0 I M (M

n 0

|x| |X 0

|

0 |a

n

n x

I | a n x 01

X n M

X n

,因

X 1,

X 0

X 0

X 0

从而

M X n

收敛， 正项级数

a n xI n 收敛

n 0

X 0

n 0

0的常

数）

3.【阿贝尔定理】

（补充）设 a n x n 的收敛域为D ，则

n 0

（1）若X ）

D 且x 0 0 ,贝U 对 |x | I X 0

a n X n 收敛且绝对收敛

n 0