相关系数

相关系数

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。资料个人收集整理，勿做商业用途

1、定义

相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。资料个人收集整理，勿做商业用途

相关系数公式

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。

复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。资料个人收集整理，勿做商业用途

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。资料个人收集整理，勿做商业用途

2、性质

(1)定理：| ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1；

相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，

称X,Y不相关；| ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系；| ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，| ρXY | > 0.8时称为高度相关，当| ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。资料个人收集整理，勿做商业用途

(2)推论：若Y=a+bX，则有

证明：令E(X) = μ，D(X) = σ2

则E(Y) = bμ +a，D(Y) = b2σ2

E(XY) = E(aX + bX2) = aμ +b(σ2+ μ2)

Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ2

若b≠0，则ρXY≠ 0。

若b=0，则ρXY = 0。

软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广

•=0.9942

相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

3、应用

• 1.在概率论计算中的应用资料个人收集整理，勿做商业用途

例1．若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y 表示n次试验中出现反面的次数。计算ρXY。资料个人收集整理，勿做商业用途

解：由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得ρXY= − 1。

例2．已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1，9)，N(0，16)且X，Y的相关系数资料个人收集整理，勿做商业用途

设，求证X，Z相互独立。

证明：由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16

由于正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z是正态变量。

根据数学期望的性质有

根据方差的性质有得资料个人收集整理，勿做商业用途

由于E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，

E(X) = D(X) + [E(X)] = 10

ρXZ = 0，X，Z不相关。

由于正态随机变量的相互独立与互不相关等价，故X,Z相互独立。

因此，一般情况下两个随机变量不相关不一定相互独立。不相关仅指随机变量之问没有线性关系，而相互独立则表明随机变量之间互不影响，没有关系。资料个人收集整理，勿做商业用途

• 2.在企业物流上的应用资料个人收集整理，勿做商业用途

【例】一种新产品上市。在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品

分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。资料个人收集整理，勿做商业用途

通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的相关系数是最大的，这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。资料个人收集整理，勿做商业用途

• 3.在聚类分析中的应用资料个人收集整理，勿做商业用途

【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品间的相似程度。借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。资料个人收集整理，勿做商业用途

由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。资料个人收集整理，勿做商业用途

4、缺点

需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。资料个人收集整理，勿做商业用途