子集与推出关系与不等式的性质 - 学生版

子集与推出关系与不等式的性质 基础知识记忆
1、集合与推出关系
等价。

与，则具有性质具有性质若βαβα⇒⊆==B A b b B a a A }|{},|{
2、理解集合与推出关系应注意的几点问题
上述问题实际上含有这样的意思，即范围小的可以推出范围大的，比如
的意义一样。

与这个命题是正确的）它}5|{}3|{(52<⊆<<⇒<x x x x x x
3、不等式的基本性质
1）、a ＞b ⇔ ；
2）、a=b ⇔ ； 3）、a ＜b ⇔ .
4）、性质1（对称性）a ＞b ⇔b a ； 5）、性质2（传递性）a ＞b ，b ＞c ⇒a c ； 6）、性质3（加法法则）a ＞b ⇒a+c b+c ； 7）、性质4（乘法法则）a ＞b ，c ＞0⇒ac bc ； a ＞b ，c ＜0⇒ac bc.
8）、性质5（同向可加性）a ＞b ，c ＞d ⇒a+c b+d ； 9）、性质6（同向可乘性）a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac bd ； 10）、性质7(倒数法则）a ＞b ＞0⇒0＜
a 1 b
1
； 11）、性质8（乘方法则） ⇒n a ＞n b ，（n ∈N*）；
12）、性质9（开方法则）a ＞b ＞0⇒n b ＞n a ，（n ∈ ，且n ＞ ）.
4、①判断两个实数a 与b 之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即
a >
b 的充分必要条件是a-b >0；
a =
b 的充分必要条件是a-b =0；
a <
b 的充分必要条件是a-b <0。

这种方法我们叫作差法。

②作商法：如果a>0,b>0并且
b a >1,那么a>b; 如果a<0,b<0并且b
a
>1,那么a<b; 这种比较方法需有一定的前提条件，就是必须知道各代数式与0的大小关系. 下面结合体验题来体验一下这三种方法，在中学所学的范围内，大部分代数式的比较大小我们都可以用这三种方法来比较大小.
5、子集与推出关系的各种表述形式：
已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 ①若,B A ⊆则α是β的充分条件； ②若,A B Ü则α是β的充分不必要条件； ③若,B A ⊇则α是β的必要条件； ④若,A B Ý则α是β的必要不充分条件； ⑤若A B =，则α是β的充要条件；
⑥若A B B A ⊄⊄,则α是β的既不充分也不必要条件；
6、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价。

设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示： 集合,A B 之间
的关系
α与β之间的推出关
系
α是β的
什么条件 原命题“若α，则β”的真假 逆命题“若β、则α”的真假
A ⊂≠
B αβ⇒，/βα⇒
充分非必要条件 真命题 假命题 A ⊃≠B
βα⇒，/αβ⇒
必要非充分条件 假命题 真命题 A B = αβ⇔
充要条件 真命题
真命题
,A B 不满足以
上三种情况
/αβ⇒，/βα⇒
既非充分又非必要
条件
假命题 假命题
例题讲解
1、设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范
围。

2、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 3、“22x -<<”是“2
60x x --<”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______ 条件。

5、设A 、B 、C 三个集合，A
B 是A
(B ∪C)的[ A ]
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2
230x x -->的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2
230x x -->的必要条件？
7. 已知0,ab ≠求证：3322
1
0a b a b ab a b +=++--=的充要条件是
8. 已知关于x 的一元二次方程：2
2
2
(1)440,(2)44450mx x x mx m m -+=-+--= 求方程（1）和（2）都有整数解的充要条件。

（m Z ∈）
9. 已知命题P ：方程2
2340x a x a +++=有两个不相等的正根；Q ：方程
244(2)10x a x +-+=无实根.
(1)若P 或Q 为真，P 且Q 为假，求a 的取值范围. (2)若P 或Q 为真,非P 为真，求a 的取值范围。

10、（1）比较
m b m a ++与b
a
（其中b ＞a ＞0，m ＞0）的大小； （2）若x ＜y ＜0，试比较（x 2+y 2）（x-y ）与（x 2-y 2）（x+y ）的大小.
11、用不等号“＞”或“＜”填空： ①a ＞b ，c ＜d ⇒a-c b-d ； ②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac bd ； ③a ＞b ＞0⇒3a 3
b ；
④a ＞b ＞0⇒21a 21b
.
12、已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：d
-b e
＞
c a e -
13、已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，试求a-b ，b
a
的取值范围.
14、设2
1)(x x f +=，比较)()(21x f x f -与21x x -的大小。

15、的大小
与比较322107++
16、的大小。

与比较（已知1)1,02
4
2
2
+++≠x x x x
17、的大小。

与比较（如果2
2
2
2
)(),,y x xy y x R y x ++∈
18、的大小。

与
比较若20
1
,1422
2
y x y x +=+
19、的取值范围。

试求已知c a c a c a -≤-≤--≤-≤9,541,14-
20、甲、乙两个人同时同地沿同一条路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠n ，问：甲、乙两人谁先到达指定地点。

21、的取值范围。

求且设)2(,4)1(2,2)1(1,)(2
-≤≤≤-≤+=f f f bx ax x f
22、我们来考虑集合}8,7,3,2{=S ，在这个集合中： ①它的元素都是正常数，且φ≠S ； ②.-10,S x S x ∈∈则如果
（1）请举出一个满足上述两个条件的集合S 的例子。

（2）试举出元素个数分别为5个和6个，且满足上述两个条件的集合S 的例子； （3）从上述过程中，你能够归纳出哪些一般性结论。

23、定义两个集合A 与B 的差是},,|{B x A x x B A ∉∈=-对称差
}1|),{(),()(+==-⋃-=∆x y y x A A B B A B A 若，
B A x y y x B ∆=--=则},14
5
|
),{(=
24、，且满足，设集合φ≠⊂S S N ①,1S ∉②S x S x ∈-+∈112
1,则 （1）S 能否为单元素集合，为什么？ （2）求出只含有两个元素的集合S 。

（3）满足题设条件的集合S 共有几个？为什么？列举出来。

25、先学习下面的定理的证明方法。

定理：".00"0,0">>+>>ab b a b a 且的充要条件是“ 证明：必要性略 充
分
性
：
.
0,0,0)()(.00)(;0)(0,0)(,00.)())(()(,0,02
2
>>==>≤>>≥+-≥≤++-=--=>>+b a b f a f x x f x f ab x b a x x ab x b a x b x a x x f ab b a 因此由于时，即当它的逆否命题成立，、
得时，由当构造函数设 利
用
类
似
上
面
的
方
法
证
明
：
.00,0,,<>++<++abc ca bc ab c b a c b a 且均为负数的充要条件是。