高等数学微积分公式

一、001011

01lim

0n n n m

m x m

a n m

b a x a x a n m b x

b x

b n m

--→∞

⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩

（系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0

s in lim

1x x x

→= （2）()1

lim 1x x x e →+= （3

）lim

)1n a o →∞

>=

（4

）lim

1n →∞

= （5）lim a rc ta n 2

x x π

→∞

=

（6）lim ta n 2

x a rc x π

→-∞

=-

（7）lim arc co t 0x x →∞

= （8）lim arc co t x x π→-∞

= （9）lim 0x

x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、常用等价无穷小关系（0x →）

sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2

11c o s 2

x

x -

()ln 1x x + 1x

e x - 1l n x

a x a - ()11x x ∂

+-∂

四、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2u u v u v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭

五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1

x x

μ

μμ-= ⑶()s in c o s x x '=

⑷()c o s s in x x '=- ⑸()2

ta n s e c x x '= ⑹()2

c o t c s c x x '=- ⑺()s e c s e c ta n x x x '=⋅ ⑻()c s c c s c c o t x x x '=-⋅ ⑼()

x

x

e

e '

= ⑽()

ln x

x

a

a a '

= ⑾()1ln x x

'=

⑿()

1lo g ln x

a

x a

'

=

⒀(

)a rc s in x '=

⒁(

)a rc c o s x '=-

⒂()2

1

a rc ta n 1x x

'=

+ ⒃()2

1a rc c o t 1x x

'=-

+⒄()1x '=

⒅

(

1'

=

六、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()

()

n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()

()

()n n c u x c u

x =⎡⎤⎣⎦

（3）()()

()

()n n n

u a x b a u

a x

b +=+⎡⎤⎣⎦

（4）()()()

()

()()()

n

n n k k

k n k u x v x c u

x v

x -=⋅=

⎡⎤⎣⎦

∑

七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n a x b

n a x b

e

a e

++=⋅ (3)()

()

ln n x

x n

a

a a =

(4)()()

s in s in 2n n

a x

b a a x b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝⎭

(5) ()()

c o s c o s 2n n

a x

b a a x b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝

⎭

(6)()

()

()

1

1!

1n n

n

n a n a x b a x b +⋅⎛⎫

=

- ⎪

+⎝⎭

+ (7) ()()

()

()()

1

1!

ln 1n

n n n

a n a x

b a x b -⋅-+=

-⎡⎤⎣⎦

+

八、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()1d x x d x μμμ-= ⑶()sin co s d x xd x = ⑷()co s sin d x xd x =- ⑸()2tan sec d x xd x = ⑹()2

co t csc d x xd x =- ⑺()sec sec tan d x x xd x =⋅ ⑻()csc csc co t d x x xd x =-⋅ ⑼()x x d e e d x = ⑽()ln x x d a a a d x = ⑾()1ln d x d x x

=

⑿()1lo g ln x

a

d d x x a

=

⒀(

)1a rc s in d x x =

⒁(

)1a rc c o s d x x =-

⒂()2

1a rc ta n 1d x d x x

=

+ ⒃()2

1a rc c o t 1d x d x x

=-

+

九、微分运算法则

⑴()d u v d u d v ±=± ⑵()d cu cd u =

⑶()d u v vd u u d v =+ ⑷2

u v d u u d v d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

十、基本积分公式