中国海洋大学高等数学试题答案

１. .
∵[√(x²+1)-x][√(x²+1)+x]=(x²+1)-x²=1
∴√(x²+1)-x=1/[√(x²+1)+x]
又√(x²+1)+x=x{1+[√(1+(1/x²)]}
∴原式=1/{1+√[1+(1/x²)]}、
∴当x--->+∞时,
1+(1/x²)--->1
原式--->1/2
２.已知 ,其中 ,求 .
１.一房地产公司有５０套公寓要出租,当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去,当月租金增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费,试问房租定为多少可获得最大利润？
设有x套公寓租出去,每月租金增加50(50-x)元,总获利为f(x),
则f(x)=[50(50-x)+1000]·x-x·100,
f'(x)=-100x+3400,
令f'(x)=0,得唯一驻点x=34,此时f(x)达到最大值,
故租金定为1000+50×16=1800(元).
２.设质点沿 轴作直线运动,任意时刻 的加速度 ,已知初速度 ,初始位移 ,求质点的速度 及位移 .
(1)a=12t^2-3sint
v =∫(#39;(t)-f(t)
dy/dx
=[dy/dt]/[dx/dt]
=[f'(t)+tf''(t)-f'(t)]/f''(t)
=t
d^2y/dx^2
=[d(dy/dx)/dt]/[dx/dt]
=1/f''(t)
f''(x)=1/f''(t)
３.求 .
=lim(x->0)[(sinx)^2-x^2]/x^4
(Ａ) 存在;(Ｂ) 存在;
(Ｃ) ;(Ｄ) .
４.设函数 在 上有定义,在 内可导,则(D).
(Ａ)当 ,存在 ,使 ;
(Ｂ)当 时,存在 ,使 ;
(Ｃ)存在 ,使 ;
(Ｄ)对 ,有 .
５.在下列等式中,正确的结果就是(C).
(Ａ) ;(Ｂ) ;
(Ｃ) ;(Ｄ) .
三、计算题(本题共5道小题,每道小题８分,共４０分)
=-lim(x->0)(x+sinx)/x*lim(x->0)(x-sinx)/x^3
=-2lim(x->0)(1-cosx)/(3x^2)
=-2/3*lim(x->0)1/2x^2/x^2
=-1/3
４. ,求 .
y=(x/(1+x))^x=(1-1/(1+x))^x
令u=1-1/(1+x),则y=u^x
= 2√xlnx - 2∫ √x * 1/x dx
= 2√xlnx - 2∫ 1/√x dx
= 2√xlnx - 2 * 2√x + C
= 2√x(lnx - 2) + C
= 4√x[(1/2)(lnx - 2)] + C
= 4√x(ln√x - 1) + C
四.应用题(本题共２道小题,每道小题１5分,共30分)
５.已知 (其中 为常数)在 处取得极值,则 2.
二、选择题(本题共5道小题,每道小题2分,共10分)
1.当 时,下列哪一个就是其它三个的高阶无穷小.(B)
(Ａ) ;(Ｂ) ;(Ｃ) ;(Ｄ) .
２.设 ,则 就是 的(B).
(Ａ)跳跃间断点;(Ｂ)可去间断点;(Ｃ)连续点;(Ｄ)第二类间断点.
３. 在 的某个领域内有定义,则f 在 处可导的一个充分条件就是(D).
令w=1/(1+x),则u=1-w
dy/dx
=(dy/du)*(du/dw)*(dw/dx)
=(u^x*ln(u))*(-1)*(1/(1+x)^2)
=-(x/(1+x))^x/(1+x)^2
５.求 .
∫lnx/√x dx
= ∫ lnx * 2/(2√x) dx
= 2∫ lnx d(√x)
= 2√xlnx - 2∫ √x d(lnx)、分部积分法
= 4t^3 +3cost + C1
v(0) =3+C1= 5
C1=2
v=4t^3 +3cost +2
(2)s =∫(4t^3 +3cost +2)dt
= t^4+3sint + 2t + C2
s(0)= C2=-3
s= t^4+3sint + 2t-3
教学负责人
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年 月 日
中国海洋大学继续教育学院命题专用纸(函授)
试题名称:高等数学学年学期:2016学年第一学期站点名称:
层次:(专/本)专业:年级:学号:姓名:分数:
一、填空题(本题共5道小题,每道小题4分,共20分)
１.已知 ,则 .
2.当 时, 与 就是等价无穷小,则 -3/4.
3.设 ,则 n!.
4. -1/6.