2.3直线的参数方程1
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2.3直线的参数方程课件人教新课标1
＝54(t＋2)2＋20. 当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=t （t为参数） y=1+t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___ _______. 【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0. 由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=t （t为参数） y=1+t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___ _______. 【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0. 由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标
()
√A.－24
C.6
B.24 D.±6
【解析】 (2)设交点坐标为(a，0)，
则有2a＋a－12k＝＝00，，解得ak＝＝－－2142，，故选 A.
第14页
题型二 过两条直线交点的直线系方程应用
例 2 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，且与直线 3x＋y －1＝0 平行的直线 l 的方程.
第9页
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
【解析】 (2)解方程组x2＋x＋y＋2y2＋＝30＝①0，②， ①×2－②得 1＝0，矛盾. 由此可知方程组无解，因此直线 l1 与 l2 平行.
第10页
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 【解析】 (3)解方程组x2－x－y＋2y1＋＝20＝①0，②， ①×2 得 2x－2y＋2＝0. 说明方程②是方程①的 2 倍，方程①的解都是方程②的解. 因此直线 l1 与 l2 重合.
第16页
方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ －3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋ 3 2＝λ1－3≠2λ－－1 3，解得 λ＝121.
A.2
B.3
C.4
√D.5
【解析】 (1)解方程组54xx－ ＋63yy－ ＋127＝＝00，，
得xy＝ ＝－ 1，2，
则直线 x＋by＋9＝0 经过点(1，－2)，
所以 1－2b＋9＝0，解得 b＝5，故选 D.
第13页
(2)直线 2x＋3y－k＝0 和直线 x－ky＋12＝0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
4-4.1.2曲线的伸缩变换
生 —-------莫泊桑
（6 分钟）
§2.3 直线的参数方程
请同学们 10 分钟完成当堂检测 当堂检测（10 分钟）
1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x， 则在这一坐标变换下正弦曲线 y′＝3y，
y＝sinx 的方程变为________．
x′＝2x 2.将曲线 C 经过伸缩变换y′＝13y 后对应图形的方程为 x2－y2＝1，则曲线 C 的焦
的作用下，点 P(x,y)对应
称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注：（1） 0, 0 px, y
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 题型三 已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换
学生先独立思考，然后小组交流，请学生代表板演例 1（2）、例 2
新河中学高二数学选修 4-4 学案 §2.3 直线的参数方程
请同学们 30 秒阅读学习目标 学习目标： 1.能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间可以类与类变换的。 2.掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换公式。 教学重点：掌握变换公式。
§2.3 直线的参数方程
题型一 已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 例 1：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
后的图形。（5 分钟） （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
x 2x
y
3
Байду номын сангаас
y
教学难点：理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系
请同学们结合课本及课件，认真探究总结，时间 5--8 分钟 自主预习：
（1）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x?写出其坐标变换。
直线的参数方程zy
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 是有时向上有时向下呢？
M0 M
么它的方向应该是向上还是向下的？还
分析: 此时,若t>0,则 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0 M 0 M 的方向向上; 又 sin 表示e 的纵坐标， 若t<0,则 e 的纵坐标都大于0 M0 M的点方向向下; 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.
辨析:
例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向 分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于 A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.
解:
x 1 9t (t为参数） y 1 12t
没有
请思考:此时的t 有没有明确的几 何意义?
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M 的方向呢?
求这条直线的方程. 解: 方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 M M （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
三维空间中直线的方程式
三维空间中直线的方程式在三维空间中，直线的方程可以用参数方程和一般方程两种形式表示。
参数方程是将直线上的每一个点都表示为一个参数所确定的向量，而一般方程则是通过直线上两个点的坐标来表示的。
1.参数方程：直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)为直线上的已知点，而(a,b,c)为直线的方向向量，t为参数。
2.一般方程：首先，我们需要确定直线的方向向量。
假设直线上的两个点分别为P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，则直线的方向向量可以表示为V=PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
然后，我们可以通过点P的坐标和方向向量V来推导直线的一般方程。
2.1.点向式：直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c其中(a,b,c)为方向向量V的分量。
2.2.对称式：直线的一般方程也可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c=t这里的t为参数。
2.3.常法式：直线的一般方程还可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C为方向向量V的分量，而D为常数。
对于两个不平行的直线，我们可以通过将它们的方向向量进行叉乘来求得它们的交点。
除了参数方程和一般方程，还有其他表示直线的方法，比如点法式、斜截式等。
这些方法都根据直线上已知点和方向向量的不同形式而有所不同。
需要注意的是，在使用直线的方程时，我们需要根据实际情况选择最适合的表达形式。
有时候参数方程更方便，可以直接通过改变参数t来表示直线上的任意一点；而一般方程则适合于求直线与其他平面或直线的交点等问题。
高中数学2-3直线的参数方程
－1
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
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点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
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(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
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π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
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2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
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题型一
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
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点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
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(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
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π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
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2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
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题型一
福建省晋江市季延中学人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程
13
代入方程得： 4 t'2－ 4 t'＋1＋ 9 t'2＋ 12 t'＋4－9＝0
13
13
13
13
t'2
8 13
t'
4
0;
t1'
t
' 2
8 13
,
t1't
' 2
4;
t1'
t
' 2
(t1' t2' )2
4t1't
' 2
4
17 .
例1
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
(册)
思考：
求
直
线
x y
1 2t 2 3t
与 圆x2
y2
9所 交 弦 长 。
分析：此处的t的系数平方和不等于1，且－
3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。
解：
x
1
y 2
2 ( 13t ) 13 3 ( 13t )
令t'＝－ 13t
13
方程可化为
x
1
y 2
2 t' 13 3 t'
例2 已知两点 A(1, 3), B(,1) 和直线 l : y x,
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.3直线的参数方程
x x0 t cos
y y0 t sin
从而可以得到经过点M0(x0 , y0), 倾斜角为α的直线的参数方程.：
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学？22习x1，直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
y
=3+
2t 2
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（ t cos 200
B
）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
（3）直线x y 1 0的标准参数方程是 ________
x 1
2t 2 （t为参数）
y
y0
t
sin
(t为参数)
（1） | MM0 || t |
（2） M0M与e 同向时，t>0 （3） M0M与e 异向时，t<0
（4）t=0时，M 与 M 0重合
练习：
1 求经过点M (－1 , 3),倾斜角为 45°的直线的参数方程.
x
=－1+
2t
2 t为参数
解：普通方程为：
y
y y0 tan ( x x0 )
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t)t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
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直线的参数方程_
[精讲详析] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应 用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角 α，然后再写 出直线 l 的参数方程．
由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，
直线的斜率为34，设直线的倾斜角为 α，
则 tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.
又点 P(1,1)在直线 l 上，
∴可设直线
l
x＝－4＋ 的参数方程为y＝2t
23t
代入圆方程，得(－4＋ 23t)2＋(12t)2＝7 整理得 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. (2)设圆过 T，它们切线为 P0T，则 |P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9 ∴切线长|P0T|＝3.
所以直线
l
的参数方程为x＝1＋45t， y＝1＋35t
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 由 1＋45t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
[例 3] 直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝π6，l 与圆 x2＋y2＝7 相交于 A、B 两点．
2.3直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点 斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
其中 k＝tan α，α 为直线的倾斜角，代入上式， 得 y－y0＝csoins αα·(x－x0)，α≠π2，即xc－osxα0＝ys－in yα0. 记上式的比值为 t，整理后得xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα.，
由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，
直线的斜率为34，设直线的倾斜角为 α，
则 tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.
又点 P(1,1)在直线 l 上，
∴可设直线
l
x＝－4＋ 的参数方程为y＝2t
23t
代入圆方程，得(－4＋ 23t)2＋(12t)2＝7 整理得 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. (2)设圆过 T，它们切线为 P0T，则 |P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9 ∴切线长|P0T|＝3.
所以直线
l
的参数方程为x＝1＋45t， y＝1＋35t
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 由 1＋45t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
[例 3] 直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝π6，l 与圆 x2＋y2＝7 相交于 A、B 两点．
2.3直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点 斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
其中 k＝tan α，α 为直线的倾斜角，代入上式， 得 y－y0＝csoins αα·(x－x0)，α≠π2，即xc－osxα0＝ys－in yα0. 记上式的比值为 t，整理后得xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα.，
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
)
(A)直线经过点（7，-1） (B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限 (D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由不是标准式，
故|t|不具有上述几何意义，故选D.
x=6(cos+sin) 3.当φ =2π 时，圆的渐开线 上的点是( y=6(sin-cos)
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
第2讲-直线的参数方程
【提示】 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参
x＝x ＋tcos α， 0 数方程为 y＝y0＋tsin α，
(t 为参数)， 其中 t 表示直线 l 上以
M(x，y)为终点的有向线段 M 0 M 的
当 堂 双 基 达 标
定点 M0 为起点，任意一点
课 时 作 业
个关于 t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
菜 单
新课标 ·数学 选修4-4
x＝1＋2t， 将参数方程 y＝2＋t
【自主解答】
课 前 自 主 导 学
(t 为参数)转化
当 堂 双 基 达 标
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
2 2
课 前 自 主 导 学
2 2 ＋( t) ＝5， 2 即 t2－3 2t＋4＝0， 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0. 故可设 t1，t2 是(*)式的两个实根． (*)
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝4. ∴t1>0，t2>0. 又直线 l 过点 P(3， 5)， ∴由 t 的几何意义，得|PA |＋ |PB |＝|t1 |＋ |t2 |＝3 2.
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
三
直线的参数方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.掌握直线的参数方程及参数的 课标 几何意义． 解读 2.能用直线的参数方程解决简单 问题.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
直线的参数方程 π 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α(α≠ )的直线 l 的参数方 2
选择性必修1：直线的参数方程——教学设计
直线的参数方程教学设计教材内容解析本节内容是人教A 版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参数方程00+cos ,+sin .x x t t y y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程． 学情分析学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备．教学方法与教学手段教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．教学目标1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；2．理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义；3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；2．直线的参数方程中参数t 的几何意义．教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用．教学过程一．课题引入问题1．已知直线10l x y +-=：与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．解：解析法由210x y y x+-=⎧⎨=⎩可知两交点坐标分别为1535(,)22A --+，1535(,)22B -+- 所以222215351+535(1)(2)(1)(2)2222MA MB --+--⋅=--+-⋅--+- (35)(35)=2=-⋅+．【设计意图】通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫．问题2．有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程”．二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）探究1．一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么 0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程．直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．【设计意图】通过教师引导和启发，由学生自己独立或在小组合作的基础上，借助直线的单位方向向量建立起直线l 的参数方程．这是本节课的其中一个重点和关键．三．参数t 的几何意义探究2．直线l 的参数方程中参数t 的几何意义是什么？因为单位方向向量cos sin e αα=（，），所以1e =，又因为0=M M te ， 所以0===M M te t e t于是得到参数t 的几何意义：直线l 上的动点M 到定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值．探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上的．（1）若0t >，由000=0sin y y t y y y y α-⇒->⇒>，可知点M 在点0M 上方，则0M M 的方向向上； （2）若0t <，由000=0sin y y t y y y y α-⇒-<⇒<，可知点M 在点0M 下方，则0M M 的方向向下； （3）若0t =，则0y y =，从而点M 点0M 重合．【设计意图】引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t 具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？【设计意图】回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．问题4．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。
2.3直线的参数方程(两课时)
(3) BC 9(2 cos sin ) 2 55 8 (2 cos sin ) 2 1 3 cos 0或 tan 4 直线BC的方程是x 3 或3x 4 y 15 0
课堂小结
参数方程及参数t的几何意义的应用
用参数t表示点的坐标、
2.3
直线的参数方程
第一课时
请同学们回忆：
我们学过的直线的普通方程都有哪些形式? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
斜截式
x y 1 a b 截距式
一般式: Ax By C 0 (A,B不全为0)
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
①
（ ） AB 、 MB 与t1，t 2有什么关系？ 3 MA
（） M 1 M 2 t1 t 2 1
t1 t 2 （） t 2 2
练习：教材39页习题2.3第1题
例题讲解
x y 1 0 解：由 得：2 x 1 0 x (*) 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样 2 y x 求解本题呢？ 由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
x 3 t sin 200 (1)直线 （t为参数）的倾斜角是（ B ） 0 y t cos 20
A.20
0
B.70
0
C .110
0
D.160
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
一、选择题（每小题6分，共36分）
x=3+4t 1.原点到直线 3 (t为参数)的距离为( y=- 2 +(C)3
(D)4
【解析】
x=3+4t 2.已知直线 (t为参数)，下列命题中错误的是( y=-4+3t
x=t （t为参数） y=1+t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___ _______. 【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0. 由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
的半径，故r=
2 = 2 ，所以圆的方程为(x+1)2+y2=2. 2
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
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思考：
o
x
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
抛物线的参数方程
设M （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点， 以射线OM为终边的角记作。
y
M(x，y)
o x y H 因为点M （x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得 tan . x
2 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 2
（2 ）直线 x y 1
直线的参数方程中参数t的几何意义是： t 表示参数t 对应的点M到定点M 0的距离。当M 0 M 与e同向时，t取正 数；当M 0 M 与e异向时，t取负数；当点M与M 0重合时， t 0.
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
又设抛物线普通方程为y2 =2px.
x=2pt2 , 所以， (t为参数，t R)表示整条抛物线。 y 2pt.
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R) y 2pt.
y
M(x，y)
o H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
三、例题讲解
x y 1 0 2 解：由 得： x x 1 0 (*) 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 2 y x 求解本题呢？ 由韦达定理得： x1 x2 1 ，x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
存在惟一实数 t R，使得 M 0 M t e
注：（ 1 ）直线的参数方程中哪 些是变量？哪些是常量 ？ （ 2 ）参数t的取值范围是什么？ （ 3 ）该参数方程形式上有 什么特点？
x 3 t sin200 B） （ 1 ） 直 线 （ t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （ 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
根据直线的这个几何条件，你认为应 当怎样选择参数？
二、新为 0 ） 或向右（l的倾斜角为0 ）的单位方向向量（单 位长度 与坐标轴的单位长度相 同）
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
又 M 0 M // e
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
思考：P21
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
一、课题引入 在平面直角坐标系中，确定一条直线 的几何条件是什么？ 根据直线的几何条件，你认为用哪个 几何条件来建立参数方程比较好？ 一个定点和倾斜角可惟一确定一条 直线
由(*)解 得 ： x1 1 5 1 5 ，x2 2 2
3 5 3 5 y1 ，y2 2 2
记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐 点标A(
1 5 3 5 1 5 3 5 , )，B( , ) 2 2 2 2
则 MA MB ( 1
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
四、课堂练习
P41习题2.3 1、 3
1、参数方程的概念：
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； 对于一般的抛物线，怎样 （2）沿oy反方向作自由落体运动。 建立相应的参数方程呢？ 解：物资出舱后，设在时刻 t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 及其简单应用， 学习后要把握以下几个 知识点：
（ 1 ）直线的参数方程与普 通方程 y y0 tan ( x x0 )的联系；
（ 2 ）直线的参数方程与向 量知识的联系；
（ 3 ）参数t的几何意义；
（ 4 ）应用：用参数 t表示点的坐标、直线上 两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的 长，与中点对应的参数 t.
2p x= , 2 tan 解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程： ( 为参数) y 2p . 1 tan 如果设t= ,t (-,0) (0,+),则有 tan x=2pt2 , (t为参数) 思考：参数t的几何意义是什么？ y 2pt . 当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。