直线的参数方程(1)ppt
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一、创设情景
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
2.根据直线的几何条件，你认为用哪些几何条件 来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan (x x0 )
3.根据确定直线的这个几何条件，你认为 应当怎样选择参数？
即已知直线L经过点M0（x0，y0）且倾斜角为α， 选择什么变数为参数求直线的参数程？
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？
哪些是常量？
（2）参数t的取值范围是什么？
（3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的点角式参数方程
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
x y
x0 y0
= (λ x , λ y)
知识连接（2）
直线的方向向量：
在直线上或与直线平行的向量叫直线的方向向量.
试求倾斜角为α的直线L的一个单位方向向量.
倾斜角α是刻画直线方向的一个量，直线的
向量也是表示直线方向的一个量.设想如果能用方
向向量代替倾斜角，那么是否更有利于求直线的
参数方程呢？
＝（设ｍ直，线ｎL的）单，位那方么向∠向Q量OX为=eα＝根O据Qy
uuuuuur r 当M uuuouMuur与er同向时，t 0； 当M oM与e反向时，t 0；
当M与M0重合时，t 0.
e M0
e
M α
o
x
L y αM0 o
X
t 表示参uu数uuutur对应r 的点M到定点M0的距离M.
当Muuu0uMuur与er同向时，t取正数； 当M0 M与e异向时，t取负数；
即 x x0 t cos, y y0 t sin,
所以，经过点M0（x0,y0),且
倾斜角为α的直线 的参l 数方程 y L
为
e
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数）
M0
M
α
O
x
直线的点角式参数方程
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
L
三角函数的定义有
sinα＝n/1=n,cosα＝m/1=m α
Q（m,n）
∴e =(cosα, Sinα)
oe
x
二、新课讲授
设直线l的倾斜角为，且过定点M0 (x0 , y0 ) ，
M (x, y)是l上一动点.
r
设e是r 直线l的单位方向向量，则
e (cos ,sin ) uuuuuur
M0M (x, y)
又 M0M // e
(x0
,
y0
)
(x
y
x0
,
y
yL0
)
存在惟一实数t R，e
M α
uuuuuur r 使得 M0M te M0
o
x
(x x0, y y0 ) t(cos,sin )
x x0 t cos, y y0 t sin
实数λ与向量
知识连接（1）
a 的积：
ar
ar
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
ar
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
练习
3.直线x 3y 2 0的点Leabharlann Baidu式参数方程为
_________ _x____2_ ___2_3_ t.
y 1t 2
x 3 1 t 2
4.已知直线L的参数方程
（1）求当t=2时对应点的坐标
y
3
3t 2
（2）求点M(2,3+31/2)所对应的t的值和
当点M 与M0重合时，t 0.
三.随堂练习
(1)过点Mo(2,3)且倾斜角为2π/ 3的直线的
参数方程为___________.x
2
1 2
t
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参y 数）3的倾斜2角3是t（ t cos 200
B）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
|MM0|.
（3）若直线L与y轴交于点A，M0的坐标为 （3，3），求| AM0 |.
四、课堂小结
本节课我们主要学习了直线的参数方程的推导及其简单应用， 学习后要把握以下几个知识点：
（1）直线的参数方程与普通方程 y y0 tan( x x0 )的联系； （2）直线的参数方程与向量知识的联系；
t cos（t为参数） t sin
②
注：参数方程形式上的特点:
（1）在x=x0+tcosα中，t的系数是cosα,在 y=y0+tsinα，t的系数是sinα ； （2）0≤sinα ≤1，-1<cosα≤1；
（3）sin2α+cos2α=1.
直线参数方程中参数t的几何意义 y
L
uuuuuur r r 由M oM te及 e 1可得， uuuuuur r uuuuuur MoM t e MoM t
（3）参数t的几何意义；
（4）应用：用参数t表示点的坐标、直线上两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的长，与中点对应的参数t .
五、作业
P41习题2.3 1、(1), (2).
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
2.根据直线的几何条件，你认为用哪些几何条件 来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan (x x0 )
3.根据确定直线的这个几何条件，你认为 应当怎样选择参数？
即已知直线L经过点M0（x0，y0）且倾斜角为α， 选择什么变数为参数求直线的参数程？
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？
哪些是常量？
（2）参数t的取值范围是什么？
（3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的点角式参数方程
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
x y
x0 y0
= (λ x , λ y)
知识连接（2）
直线的方向向量：
在直线上或与直线平行的向量叫直线的方向向量.
试求倾斜角为α的直线L的一个单位方向向量.
倾斜角α是刻画直线方向的一个量，直线的
向量也是表示直线方向的一个量.设想如果能用方
向向量代替倾斜角，那么是否更有利于求直线的
参数方程呢？
＝（设ｍ直，线ｎL的）单，位那方么向∠向Q量OX为=eα＝根O据Qy
uuuuuur r 当M uuuouMuur与er同向时，t 0； 当M oM与e反向时，t 0；
当M与M0重合时，t 0.
e M0
e
M α
o
x
L y αM0 o
X
t 表示参uu数uuutur对应r 的点M到定点M0的距离M.
当Muuu0uMuur与er同向时，t取正数； 当M0 M与e异向时，t取负数；
即 x x0 t cos, y y0 t sin,
所以，经过点M0（x0,y0),且
倾斜角为α的直线 的参l 数方程 y L
为
e
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数）
M0
M
α
O
x
直线的点角式参数方程
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
L
三角函数的定义有
sinα＝n/1=n,cosα＝m/1=m α
Q（m,n）
∴e =(cosα, Sinα)
oe
x
二、新课讲授
设直线l的倾斜角为，且过定点M0 (x0 , y0 ) ，
M (x, y)是l上一动点.
r
设e是r 直线l的单位方向向量，则
e (cos ,sin ) uuuuuur
M0M (x, y)
又 M0M // e
(x0
,
y0
)
(x
y
x0
,
y
yL0
)
存在惟一实数t R，e
M α
uuuuuur r 使得 M0M te M0
o
x
(x x0, y y0 ) t(cos,sin )
x x0 t cos, y y0 t sin
实数λ与向量
知识连接（1）
a 的积：
ar
ar
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
ar
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
练习
3.直线x 3y 2 0的点Leabharlann Baidu式参数方程为
_________ _x____2_ ___2_3_ t.
y 1t 2
x 3 1 t 2
4.已知直线L的参数方程
（1）求当t=2时对应点的坐标
y
3
3t 2
（2）求点M(2,3+31/2)所对应的t的值和
当点M 与M0重合时，t 0.
三.随堂练习
(1)过点Mo(2,3)且倾斜角为2π/ 3的直线的
参数方程为___________.x
2
1 2
t
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参y 数）3的倾斜2角3是t（ t cos 200
B）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
|MM0|.
（3）若直线L与y轴交于点A，M0的坐标为 （3，3），求| AM0 |.
四、课堂小结
本节课我们主要学习了直线的参数方程的推导及其简单应用， 学习后要把握以下几个知识点：
（1）直线的参数方程与普通方程 y y0 tan( x x0 )的联系； （2）直线的参数方程与向量知识的联系；
t cos（t为参数） t sin
②
注：参数方程形式上的特点:
（1）在x=x0+tcosα中，t的系数是cosα,在 y=y0+tsinα，t的系数是sinα ； （2）0≤sinα ≤1，-1<cosα≤1；
（3）sin2α+cos2α=1.
直线参数方程中参数t的几何意义 y
L
uuuuuur r r 由M oM te及 e 1可得， uuuuuur r uuuuuur MoM t e MoM t
（3）参数t的几何意义；
（4）应用：用参数t表示点的坐标、直线上两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的长，与中点对应的参数t .
五、作业
P41习题2.3 1、(1), (2).