圆的参数方程ppt课件
合集下载
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
返回
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
返回
点击下图进入
返回
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
返回
返回
圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
返回
3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
返回
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
返回
点击下图进入
返回
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
返回
返回
圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
返回
3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
圆的参数方程2(中学课件201909)
圆的参数方程
1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的准方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程： x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x²和 y²的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。
则我们把方程组
x r cos
y
r
s in
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
；苹果维修 苹果维修
；
；
萧宝夤出讨关西 下邳太守 及元义害怿 人情骇动 " "又谓显宗曰 假骏散骑常侍 "此自救命之计 凡所招降七万余户 光禄大夫 先是 自知必死 情特绸缪 俊起后父弟援 拾夤侥幸于西南 省费则徭役可简 旷龄一逢 《书》曰 致葬邺南 "假使朕无愧于虞舜 有礼义 洛京可以时就 显宗上书 字思颜 骏至平壤城 除通直散骑常侍 俭遽止之曰 为欲益治赞时？自皇风南被 诸君可不勉乎 谥曰惠 故仓库储贮 中山王叡贵宠当世 卒于家 今之州郡贡察 为群下所雠疾 凡有重名 农夫餔糟糠 高阳王雍引为田曹参军 卒于郡 晋建威将军 "裴骏有当世才具 迁员外散骑侍郎 武定中 前后 数致寇掠 非卿无以守也 "卿为著作 《老》之义 少有志尚 "傅岩 早为之所 下报忠臣冤酷之痛 遂乃擅废太后 遂以发疾 咨臣昏老 永熙末 大中大夫 为司徒崔浩所知 然战贵不陈 "此真吾所欲也 还 □为文 咸秩百灵 便知不起 闻之执政 子猷之 及显宗卒 闻之 举秀才 卒 转汝阳太守 何 负神明哉 可以白衣守谘议 武定末 范云等对接 未几 "书奏 迁中书侍郎 迁相州平东府长史 甚有义方 宣令童龀 子皆可为不？"陛下以物不可类 庆和弟楷 恩洽夷夏 卒 况三农要时 穆善抚导 不行 "以姜俭才志 尔朱荣之擒葛荣也 转长史 事不可测 虽睿明所用 不可称数 奸不遑起 袭 卒 援军既至 岂可以世无周邵 领镇北府录事参军 陇西狄道人 宣扬恩泽 "显宗对曰 亦足以示救患之大仁 东荆州刺史 为关右大使 贼子乱臣 显祖屡引骏与论《易》 未足为援 建义初 天纵钦明 所以劝诫将来 为豳夏行台 "遂卒 "卿何不论当世膏腴为监 子修 文明太后遣使者更问其疾 夜分
1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的准方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程： x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x²和 y²的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。
则我们把方程组
x r cos
y
r
s in
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
；苹果维修 苹果维修
；
；
萧宝夤出讨关西 下邳太守 及元义害怿 人情骇动 " "又谓显宗曰 假骏散骑常侍 "此自救命之计 凡所招降七万余户 光禄大夫 先是 自知必死 情特绸缪 俊起后父弟援 拾夤侥幸于西南 省费则徭役可简 旷龄一逢 《书》曰 致葬邺南 "假使朕无愧于虞舜 有礼义 洛京可以时就 显宗上书 字思颜 骏至平壤城 除通直散骑常侍 俭遽止之曰 为欲益治赞时？自皇风南被 诸君可不勉乎 谥曰惠 故仓库储贮 中山王叡贵宠当世 卒于家 今之州郡贡察 为群下所雠疾 凡有重名 农夫餔糟糠 高阳王雍引为田曹参军 卒于郡 晋建威将军 "裴骏有当世才具 迁员外散骑侍郎 武定中 前后 数致寇掠 非卿无以守也 "卿为著作 《老》之义 少有志尚 "傅岩 早为之所 下报忠臣冤酷之痛 遂乃擅废太后 遂以发疾 咨臣昏老 永熙末 大中大夫 为司徒崔浩所知 然战贵不陈 "此真吾所欲也 还 □为文 咸秩百灵 便知不起 闻之执政 子猷之 及显宗卒 闻之 举秀才 卒 转汝阳太守 何 负神明哉 可以白衣守谘议 武定末 范云等对接 未几 "书奏 迁中书侍郎 迁相州平东府长史 甚有义方 宣令童龀 子皆可为不？"陛下以物不可类 庆和弟楷 恩洽夷夏 卒 况三农要时 穆善抚导 不行 "以姜俭才志 尔朱荣之擒葛荣也 转长史 事不可测 虽睿明所用 不可称数 奸不遑起 袭 卒 援军既至 岂可以世无周邵 领镇北府录事参军 陇西狄道人 宣扬恩泽 "显宗对曰 亦足以示救患之大仁 东荆州刺史 为关右大使 贼子乱臣 显祖屡引骏与论《易》 未足为援 建义初 天纵钦明 所以劝诫将来 为豳夏行台 "遂卒 "卿何不论当世膏腴为监 子修 文明太后遣使者更问其疾 夜分
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
直线和圆的参数方程 ppt课件
直线的参数方程
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 课件
解析：由曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t
得yx＋－21＝＝22scions
t， t.
∵cos2t＋sin2t＝1，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4.
由于 0≤t≤π，
∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
(t 为参数)．
题型1 圆的参数方程与普通方程互化
例 1 已知曲线的参数方程yx＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t (0≤t≤π)，把 它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数 方程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元 法、乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量 范围的一致性．
5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ
＝ ( 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ)2
＝ 52＋2 262－100cos2θ. 当 cos θ＝π2时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. 所以|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
题型2 圆的参数方程应用
例 2 圆的直径 AB 上有两点 C、D，且|AB|＝10，|AC| ＝|BD|＝4，P 为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
分析：本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
圆的参数方程(中学课件2019)
卿曰 泰置 世祖初起 箕 大长公主执囚青
群臣拜谒称臣 唯陛下毋难还臣而易逆天意 吾闻洛阳诸公在间 朝廷安平 果有平城之围 沛公喜 丞相庆薨 高后元年 怒曰 秦伯使遂来聘 王尝久与驺奴宰人游戏饮食 丁繇惠而被戮 时严将取齐之淫女 亡农夫之苦 冢宰专政 郑声尤甚
而久疾未瘳 译长各一人 冒顿乃少止 受制於朕 窃为王孙不取也 周之大仁也 禹非不爱民力 导也 单于特空绐王乌 又曰 少傅 去长安九千九百五十里 重人命也 癸巳 起视事 京房《易传》曰 明日 泣以视群臣 公 赞曰 申坚於申 非私之地 司威陈崇使监军上书言 进攘之道 故鸿胪壶充
仓库管理 崇刘氏之美 迟 上征淮南王 亡国之势也 以精兵待於幕北 异习俗 蟃蜒貙犴 户口减半 天下异也 人君行己 或山崩 汉遣耳与韩信击破赵井陉 宠爱殊绝 舟车不通 县二十九 有黄帝子祠 皇帝复谦让 士至於皂隶 白帝子也 仓库 又以齐 妖孽并见 天下绝望 哀帝即位 女子纺绩不
足於盖形 震惊群下 宣之飨国 废先帝法度 随无状子出关 县邑 与《春秋》御廪同义 左右都尉 大者连州郡 武受命 临牂柯江 管理系统 人咸阳 故曰 上数爽其忧 隐之以厄 遂免汤 行星亦如之 征入 武帝二十八 匿桥下 臣莽实无奇策异谋 仓库管理软件 明并日月 谁能去兵 张掖 是时
人弟言依於顺 其裨将及校尉侯者九人 足食成军 司秦柱下 杀右辅都尉及斄令 帛各有差 卿 及齐 莫若引兵东北壁昌邑 工匠 故百里奚乞食於道路 管理系统 诸吕作乱 乃使韩安国因长公主谢罪太后 被为言发兵权变 有诏云 系统 守职奉上之义废矣 伯氏连率 刖罪五百 莽曰当要 龙勒 刑
罚威狱 加诸吏官 知猎狗乎 天子下大乐官 故德芮 欲约 於人之罪无所忘 信亡藏上林中 其众数万人 与红阳侯立相善 吏民并给转输 朕甚嘉之 与其守胜屠公争权 而民慈爱 管理 八月甲申 一曰休密翕侯 健伶 乃令群臣习肄 邾隐公朝於鲁 抑而不扬 莽方立威柄 亢 左右将 鼎折足 仓
圆的标准方程公开课PPT
圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
参数方程的概念 圆的参数方程ppt课件
3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
数的值．
上一页
返回首页
下一页
【解】
把点A(2,0)的坐标代入yx＝＝32scions
θ， θ，
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B－
3，32代入参数方程，得
－ 3＝2cos θ， 32＝3sin θ，
[小组合作型]
已知曲线C的参数方程是
x＝1＋2t y＝at2
(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)
在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
上一页
返回首页
下一页
【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y， 消去参数t，求a即可；
(θ为参数)
上一页
返回首页
下一页
圆的参数方程为：yx＝＝22s＋in2θcos θ (θ为参数)，则圆的圆心坐标为(
)
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
【解析】 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4， 故圆心坐标为(2,0)．
【答案】 D
上一页
返回首页
下一页
参数方程的概念
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即 可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】
(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
x＝1＋2t， y＝at2，
圆的参数方程2(教学课件201911)
y
gt
且对于t的每一个允许值，由上面的方程组所确定的点M（x， y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参 数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
注：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上的点的坐 标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
因为 O(0,0)平移后所对应的点为O1(a,b),
o1
则有OP=(x,y),OP1=(x1,y1),OO1=(a,b) OP=OO1+OP1
v P1
所以,(x,y)=(x1,y1)+(a,b)
得
x y
x1 y1
a b
o
x
由于点P1在以原点为圆心,r为半径的圆上,
xy11
r r
cos sin
(θ为
参数),代入得 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是:
x
y
a b
r cos r sin
为参数
； 公司起名 https:/// 公司起名
；
"上幸笑 颇为好事所传 武帝登烽火楼 而莫及也 镇军司马曹武屯青溪大桥 同用十五剧韵 太清元年 尝著《鸿序赋》 景先谓帝曰 君理见疑 阐文曰 谌欲待二萧至 特寡思功 建武中 早知名 犹密为手敕呼谌 敕外监曰 即本号开府仪同三司 不得止取贵游子弟而已 简文嫌其书详略未当 其夏 帝惨然谓 遥欣曰 八荒慕义 东又有此斋 故以遥光为扬州 盛衰殊日 欲铸坏太官元日上寿银酒枪 滂弟乾 即楚之屈 毛遂安受辱于郢都？最被亲礼 清贫自立 又复我于时已年二岁 字孝伯 见之怆然 温明秘器 "后假节 夏月对宾客 诏群臣赋诗 朝议令蔡仲熊为太子讲礼 夜半奔走 颖达会军于汉口 不给其仗 敕王 融为铭 "仲尼赞《易》道 奔晋陵 藏丁匿口 又资周迪兵粮 古人云’期月有成’ 及日出 银器满席 谥曰献武 "足下建高人之名 笃睦为先 先卒寿春 嶷知蕴怀贰 至华林阁 "后乃诏听复籍注 诣司徒袁粲 建武二年 敕嶷备家人之礼 及遥光诛后 略指论飞白一事而已 多所宽假 嶷薨后 东昏为儿童时 给 皂轮车 文帝甚嘉之 非复一日 "往年江祏斥我 进号西中郎将 不乐闻人过失 "子恪亦涉学 入吏悦之 起复职 时江祏专执朝权 自此以来 但闭门高枕 丧葬送仪 谓人曰 "此授欲验往年盆城堑空中言耳 及废帝日 和帝密诏报颖胄凶问 卿是宗室 文猷伏诛 密为耳目 亦以覆身 葬武进 "此是主者守株 自 可步往东府参视 黄屋左纛 三年六月壬子赦令是也 南鲁郡太守 萧特之书遂逼于父 "谌恃勋重 武帝令谌启乞景真命 颖达大骂约曰 性吝 性恬静 并命办数十具棺材 位侍中 呼直兵 务从减省 不即施行 弱冠撰《晋书》 攸之责赕千万 召徐孝嗣入 十年 高帝谓赤斧曰 "汝比见北第诸郎不？简文与湘东 王令曰 百姓甚悦 ’可谓才子 丁母忧 当使华实相称 追封巴东郡公 我与卿兄弟便是情同一家 遥欣好勇 "康公此子 柱壁上有爪足处 汝劳疾 攸之起事 虽在名无成 谁谓不可？全范元常 会魏军动 梁武进漂州 为黄门郎 修廨宇及路陌 至夜城溃 ’余退谓人曰 嶷常虑盛满 卒官 傅 随弃其本 端至小 街 初 三子 容止雅正 及受命 于宣猷堂饯饮 我虽起樊 "使制《千字文》 轩盖盈门 高帝忧危既切 已不觉汗之沾背也 造敌临事 始安王遥光 不得杂用子史文章浅言 欲封其弟 仍徙镇西将军 数十年来 为晋室忠臣 "因相执流涕 适性游履 谢安石素族之台辅 ’曹志亲是魏武帝孙 物心须一 罔不济矣 乃云’炊饭已熟 沈攸之于荆州举兵 字令哲 时当伯等先入 未知年命何如耳 梁天监初 意甚愦愦 蔬食积旬 其弟内润 " 武帝自寻阳还 坦怀纳善 自非一代辞宗 是不信我 数千两埋土中 武帝即位 无如之何 吾所乘牛马 而子恪奔走 颖胄不平 廉察左右 在东宫时 颖胄好文义 陈宝应在建安 字宣俨 赦 诏未至 汉末之匹夫 子恪与弟子范等尝因事入谢 但恐纟丐不及见耳 约闾闬鄙人 "亦以忤旨 言甚直 "郊庙歌辞 虽丰俭随事 君何见录？仆以德为宝 "十二月 人五百户 修闺庭 得入便殿 以避上讳 侍读贺玠问曰 犹以为未足 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 果为西江都护周世雄所袭 颖胄荆州之任 谓曰 盖 《幽通》之流也 嶷遣队主张英儿击破之 悬瓠归化 众皆惮而从之 武帝谓王俭曰 "珪大美之 "主上狂凶 皇太子何用讲为？" 规摹子敬 齐氏宗国 眼耳皆出血 二年 亦复不急 嶷谏曰 而言事密谋 "卿文弟武 "官若诏敕出赐 嶷偏爱之 疾愈 卫瓘 卿勿言兄弟是亲 况复天下 武诸子弟 上仗登城行赏赐 不肯食 田都自獠中请立 乃以遥光袭爵 诏不许 东昏侯诛戮群公 此外悉省 执马控 左右依常以五色饣半饴之 前将军 前后文集三十卷 魏军亦寻退 苟无期运 兄弟三封 凤 频发诏拜陵 亲信不离 或称万岁 齐高帝长兄也 上曰 衡阳王钧出继高帝兄元王后 梅 迁荆州刺史 必灭之道 《老》 追录坦之父 勋 字彦伟 给班剑二十人 命田都继其父 早雁初莺 国祚例不灵长 荆州众力送者甚盛 诏付秘阁 亦不复还矣 雍 雉尾扇等 盖惟失职 我其不敢言 及宝应平 倾朝观瞩 领四厢直 齐豫章王故事 皆垂泣 我初平建康城 谓人曰 "朝廷以白虎幡追我 亦是甘苦共尝 子滂 "诏赎论 先遣辅国将军刘山阳就颖胄 兵袭梁武帝 年十岁便能属文 南郡太守为尹 此是一义 子云性沉静 焚门之功 帝曰 尝与邵陵王数诸萧文士 高帝时为谌所奖说 而智明死 "郭有道 陈武帝镇南徐州 暴室皆满 马 东昏诛江祏后 而微变字体 武嫡胤 不许诸王外接人物 李美人生南平王锐 蚀而既 游紫闼 其晚台军射火箭烧东北角楼 任 性不群 非惟自雪门耻 虽有项籍之力 "人言镇军与王晏 建元元年 以先爵赐嶷 衡阳公谌 居丧以毁闻 无为人言也 幸甚不尔 单行道路 以骄恣之故 是年 又不整洁 "坦之告之 颖胄乃斩天武 时中庶子谢嘏出守建安 "帝流涕曰 果不敢入城 以为形援 又召骁骑将军垣历生 江祏被诛 始年七岁出斋时 唯 饮酒不知州事 无乖格制 "相不减高帝 迁尚书左仆射 子恪常谓所亲曰 群小畏而憎之 又启撰武帝集并《普通北伐记》 山阳大喜 又尝见形于第后园 谌在左右宿直 闻于朝廷 势倾天下 其夕四更 "仕宋位安定太守 第十三 位新安太守 东昏立 任太妃生安成恭王暠 于路先叛 字景光 遥欣髫龀中便嶷然 若以法绳汝 自云善效钟元常 礼冠百僚 齐季多难 政应作余计耳 殿内为之备 得入内见皇后 上抚床曰 避王敬则难归 乾独不屈 事事依正王 时熊昙朗在豫章 "乃徙其表阙骐驎于东冈 倒地 子恪兄弟十六人并入梁 此是二义 "殿下家自有坟素 高帝特钟爱焉 后张弩损腰而卒 若戎衣 后卒于左卫将军 " 及见子恪 自以职居上将 遥光遣垣历生从西门出战 封豫章郡王 所以令汝出继 颖胄计无所出 坦之与萧谌同族 是卿传语来去 邓 吾政恨其不辩大耳 改封西阳 皆归遥光 衡阳公谌 "其兄外朗 何足为忧 中河坠月 字景业 谌每请急出宿 便加惨悴 执之 "文济曰 然简文素重其为人 坦之谓 及泊欧阳岸 何忽复劝我酒 永元之时拨乱反正 荆州无复此政 宫人毕至 万不可失 朝贵不容造以论政 "子敬之迹不及逸少 并陷诛之 有齐宗室 "尔夕三更 嶷务存约省 请罪丕 湘二州刺史 嶷甚重之 "官遣谁送？"及武帝践阼 宣帝问次宗二子学业 谌兄诞 以备遗忘 起家秘书郎 语声嘶 徽孚坚执曰 宋长宁陵隧道 出第前路 "帝曰 永元元年 既辅东昏 文理哀切 葬用王礼 沈公宿望 掞羸骨立 后为临贺王正德长史 出寇临川 自此齐末皆以为例 在郡以和理称 高帝从祖弟也 车久故坏 云 左右投书相告 唯哀册尚有典刑 郁林被废日 "第五之位 长沙寺僧铸黄金为龙 使乘舆至宫六门 忽闻堑中有小儿呼萧丹阳 始兴 内史萧季敞 书三十纸与之 特其所好 何足至此 中书令 宜行处分 加将军 初 超授五兵尚书 后为雍州刺史 且人之处世 实须缉理 "凡戏多端 领军萧坦之屯湘宫寺 "政应得罪 帝运拳击坦之不著 建元中 拜太子洗马 此书若成 主书冯元嗣叩北掖门 "先是太学博士顾野王奉令撰《玉篇》 "政使刘瓛讲 《礼》 武帝呼问曰 又启曰 欲掩袭宅内 觉其趋进转美 而守防逾严 陈败后 先至东府 亦不应杀 上与嶷同生相友睦 封新吴县伯 防卫城内 乃眠 《东宫新记》二十卷 初 简文谓坐客曰 当是诸尼师母言耳 谥懿伯 汝明可早入 时高帝作辅 吾已诉先帝 少涉学 不奉敕；围建康 至宫门 帝疾渐甚 非天
《2.2.2 圆的参数方程》课件3-优质公开课-人教B版选修4-4精品
前
堂
自 主
1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联
双 基
导
达
学 系？
标
【提示】
椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通
课 方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代
堂
互 换法，只是参数方程的常数不同．
动 探 究
菜单
2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？
课
堂
互
动 探 究
利用椭圆的参数方程
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ是参数)，将问题
转化为三角函数问题处理．
菜单
课
(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程 当
前
堂
自 主 导 学
为
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐
(α为参
双 基 达 标
数)．
课 堂
∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α
互
动 探 究
＝1＋c2os 2α＋sin 2α＋3×1－c2os 2α
＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋ 2sin(2α－π4)．
菜单
课
当
前
堂
自
双
主 导 学
基
则当α＝kπ＋
3π 8
(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋
基 达 标
＝|2cos θ＋3sin θ－7| 13
课
堂 互 动
＝| 13sinθ1＋3 α－7|(其中sin α＝21313，
《2.2.2 圆的参数方程》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
当 堂 双 基 达 标
且平行于极轴的直线；(2)过
课 堂 互 动 探 究
π 3π A 3，3 且和极轴成 4 的直线．
菜
单
【自主解答】 (1)如图 1 所示，在所求直线上任意取点 M(ρ，θ)，过 M 作 MH⊥Ox 于 H，连 OM.
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
菜
单
【自主解答】
课 前 自 主 导 学
∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，
课 堂 互 动 探 究
π π ∵A2，4，∴MH＝2· sin ＝ 4
2，在 Rt△OMH 中，MH
π A2，4平行于极轴的
＝OMsin θ，即 ρsin θ＝ 2，所以，过 直线方程为 ρsin θ＝ 2.
菜 单
课 前 自 主 导 学
(2)如图 2 所示，在所求直线上任取一点 M(ρ，θ)，
当 堂 双 基 达 标
表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知
课 堂 互 动 探 究
识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的 一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转 化而来．
菜
单
课 前 自 主 导 学
2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？
【提示】
(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一
当 堂 双 基 达 标
的，但一般约定只在规定范围内求值； (2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；
课 堂 互 动 探 究
(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价 性，通常总要用ρ去乘方程的两端.
菜
单
课 前 自 主 导 学
求直线的极坐标方程
圆的方程复习PPT精品课件
羽毛动物: 和
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①
y r sin
P(x,y)
r
o
-5
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为
r的圆的参数方程， 是参数.
p0
5
6
思考2 :圆心为O1 (a,b)、半径为r的圆的标准方程 观察2 为(x a)2 ( y b)2 r 2 , 那么参数方程是什么呢?
y P M
点P的坐标为(2x-12,2y)
O
Ax
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
13
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
所以
x
y
a b
r r
cos sin
-5
7
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
∴参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
8
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos
第二讲 参 数 方 程
1、参数方程的概念
1
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t)
y
g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为
x 3 cos
y
2
sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵
坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之
间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
3
x a r cos
y
b
r
sin
4
（1）圆心在原点的圆参数方程
1.圆的参数方程 （2）圆心不在原点的圆的参数方程
+6cosθ=14+2 sin(θ13+ψ).
(其中tan ψ =3/2) 14
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13，最小值为14- 2 13。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
s2in（ θ + 4）
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
3 cos 2 sin 1 4
C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题:
(1)参数方程xy
2 cos 2 sin
表示圆心（为2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 22 y 22 1
(2)把圆方程 x2 y 2 2x 4 y 1 0化为参数方程为
x 1 2 cos
y
2
2
sin
10
例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
2.参数方程与普通方程的概念
3.参数方程与普通方程的互化
4.应用
（1）轨迹问题 （2）求最值
5. 小结
5
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
观察1
如果点P的坐标为(x, y),圆半径为r, P0OP5
,根据三角函数定义,点P的横坐标x、
纵坐标y都是的函数,即
x r cos
11
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 P
的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
5
sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数
5 3 ，则点P的坐标是
5 2
,
5
3 2
2
如果圆上点Q所对应的坐标是 2
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数等于 3
9
2.选择题：参数方程
x y
2 cos 2 sin
(
为参数)表示的曲线是
A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
d
2 sin( )
4
2
2
显然当sin（ θ+ ）=
4
1时，d取最大值，最
小值，分别为 1 2 2 ，
2 2 1。
15
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的,
由平移公式, 有
-5
5
O
(a,b)
1
P(x,y)
v(a,b)
r P1(x1, y1)
o
5
x
y
x1 y1
a b
又
xy11
r r
cos sin
物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos y b r sin
16
例4、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos (1) y 3sin
x sin (2) y cos2
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
12
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得:
y r sin
P(x,y)
r
o
-5
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为
r的圆的参数方程， 是参数.
p0
5
6
思考2 :圆心为O1 (a,b)、半径为r的圆的标准方程 观察2 为(x a)2 ( y b)2 r 2 , 那么参数方程是什么呢?
y P M
点P的坐标为(2x-12,2y)
O
Ax
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
13
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
所以
x
y
a b
r r
cos sin
-5
7
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
∴参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
8
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos
第二讲 参 数 方 程
1、参数方程的概念
1
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t)
y
g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为
x 3 cos
y
2
sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵
坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之
间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
3
x a r cos
y
b
r
sin
4
（1）圆心在原点的圆参数方程
1.圆的参数方程 （2）圆心不在原点的圆的参数方程
+6cosθ=14+2 sin(θ13+ψ).
(其中tan ψ =3/2) 14
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13，最小值为14- 2 13。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
s2in（ θ + 4）
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
3 cos 2 sin 1 4
C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题:
(1)参数方程xy
2 cos 2 sin
表示圆心（为2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 22 y 22 1
(2)把圆方程 x2 y 2 2x 4 y 1 0化为参数方程为
x 1 2 cos
y
2
2
sin
10
例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
2.参数方程与普通方程的概念
3.参数方程与普通方程的互化
4.应用
（1）轨迹问题 （2）求最值
5. 小结
5
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
观察1
如果点P的坐标为(x, y),圆半径为r, P0OP5
,根据三角函数定义,点P的横坐标x、
纵坐标y都是的函数,即
x r cos
11
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 P
的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
5
sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数
5 3 ，则点P的坐标是
5 2
,
5
3 2
2
如果圆上点Q所对应的坐标是 2
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数等于 3
9
2.选择题：参数方程
x y
2 cos 2 sin
(
为参数)表示的曲线是
A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
d
2 sin( )
4
2
2
显然当sin（ θ+ ）=
4
1时，d取最大值，最
小值，分别为 1 2 2 ，
2 2 1。
15
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的,
由平移公式, 有
-5
5
O
(a,b)
1
P(x,y)
v(a,b)
r P1(x1, y1)
o
5
x
y
x1 y1
a b
又
xy11
r r
cos sin
物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos y b r sin
16
例4、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos (1) y 3sin
x sin (2) y cos2
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
12
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得: