相似三角形比例关系及相似三角形证明变式
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程要证明相似三角形两边对应成比例且夹角相等的过程，我们需要从几何角度出发。
首先，我们先来理解相似三角形的定义。
两个三角形被称为相似三角形，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
也即，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则△ABC∽△DEF。
接下来，我们来证明两边对应成比例且夹角相等的条件下，两个三角形相似。
假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB/DE=AC/DF=BC/EF，且∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。
我们先来证明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F这一条件。
首先，我们取点G在AB上，使得AG=DE。
由于AB/DE=AC/DF，我们有AG/DE=AC/DF，即AG/AC=DE/DF。
根据比例相等的性质，我们可以得到AG/AC = AB/DF。
又因为∠A =∠D，根据正弦定理，我们可以得到AG/AC = sin∠B/sin∠C。
综上所述，我们得到AB/DF = sin∠B/sin∠C。
同理，我们可以使用类似的方法得到AC/DF = sin∠C/sin∠B，BC/EF = sin∠C/sin∠A，将这些式子联立起来，得到AB/DF = AC/DF = BC/EF = sin∠B/sin∠C = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
因此，根据比例相等的性质，我们可以得到sin∠B/sin∠C =sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
进一步化简，我们得到sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B。
根据正弦定理，我们可以得到AB/AC = sin∠B/sin∠A，BC/AC = sin∠C/sin∠A。
从上述的推导步骤可以看出，我们得到了AB/DE = AC/DF = BC/EF = AB/AC = BC/AC = sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
相似三角形复习课件
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相等的对应角度的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有许多有趣的性质和应用。
本文将探讨相似三角形的性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、比例关系在相似三角形中，对应边之间存在着一种特殊的比例关系。
具体而言，设两个三角形ABC和DEF相似，对应边分别为AB、AC和DE、DF，则有如下比例关系成立：AB / DE = AC / DF = BC / EF这意味着相似三角形的相应边长之间的比值是相等的，这一性质在解决实际问题时非常有用。
通过这种比例关系，我们可以根据已知条件计算未知边长，或者推导出其他有用的结论。
二、面积关系相似三角形的面积也存在一定的关系。
假设有两个相似三角形ABC 和DEF，对应边为AB、AC和DE、DF，则它们之间的面积比为：S(ABC) / S(DEF) = (AB / DE)^2 = (AC / DF)^2 = (BC / EF)^2这一性质说明，相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。
通过这一关系，我们可以通过已知条件计算出未知三角形的面积，或推导出其他相关的结论。
三、角度关系相似三角形的角度之间存在一一对应的关系。
具体而言，设有两个相似三角形ABC和DEF，对应角为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F，则有如下对应关系：∠A ≌∠D∠B ≌∠E∠C ≌∠F这说明，相似三角形的对应角度是相等的。
通过这一性质，我们可以利用已知角度计算未知角度，或者推导出其他相关的角度关系。
四、全等三角形的特殊情况当两个三角形既相似又相等时，它们就是全等三角形。
全等三角形是相似三角形的一个特殊情况，它们的对应边和对应角全都相等。
在解决实际问题时，有时我们会遇到相等和相似三角形的结合使用。
通过将相似三角形与全等三角形的性质结合起来，我们可以更加灵活地解决问题。
五、实际应用相似三角形的性质在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形的比例关系求解未知长度；在地图制作中，我们可以利用相似三角形的面积关系来计算地图上的距离和面积；在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的角度关系来确定建筑物之间的夹角等等。
相似三角形12种基本模型证明
相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。
在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形一般用比例关系表示。
下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
证明：三角形的三个角之和为180度。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。
2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。
由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。
因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。
3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。
4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。
5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。
由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。
6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。
相似三角形的比例关系与推导
相似三角形的比例关系与推导相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，这种关系对于解决各种与三角形相关的问题非常重要。
本文将探讨相似三角形的比例关系以及其推导过程。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
设有两个三角形ABC和XYZ，若∠A=∠X，∠B=∠Y，∠C=∠Z，且AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则称三角形ABC和XYZ相似。
2. 相似三角形的比例关系有了相似三角形的定义，我们可以得出以下重要的比例关系：(1) 三角形对应边的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则AB/XY = BC/YZ =AC/XZ。
这意味着相似三角形的对应边的比例相等。
例如，如果AB的长度是XY的2倍，那么BC的长度也是YZ的2倍，AC的长度也是XZ的2倍。
(2) 三角形内角的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则∠A/∠X = ∠B/∠Y = ∠C/∠Z。
这意味着相似三角形的对应角度的比例也相等。
例如，如果∠A的度数是∠X的2倍，那么∠B的度数也是∠Y的2倍，∠C的度数也是∠Z的2倍。
这些比例关系对于解决相似三角形的各种问题非常有用，比如计算未知边长或角度的比例关系，求解两个图形是否相似等。
3. 相似三角形的推导相似三角形的比例关系可以用各种方法推导出来，其中最常用的方法是副角定理和对应角定理。
(1) 副角定理：副角定理是指如果两条直线AB和CD平行，与这两条直线相交的另外两条线AC和BD之间的角度相等，那么它们所对应的另两条边AB和CD之间的比例相等。
根据副角定理，我们可以推导出相似三角形的对应边的比例关系。
(2) 对应角定理：对应角定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则它们一定相似。
根据对应角定理，我们可以推导出相似三角形的对应角度的比例关系。
这些推导过程可以通过证明和推理来完成，具体步骤可以根据不同题目的要求而定。
相似三角形预备定理
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
练习：
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可
能多地找出图中的相似三角形，并 O
说明理由。
E
F
1. EF∥AB
ΔOEF∽ΔOAB
C
D
A
B
2.EF∥CD
ΔOEF∽ΔOCD
3.AB∥CD
ΔOAB∽ΔOCD
或：ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D
AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
D
E
E
D
A
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
延长线交于点E，△ADE与
△ABC相似吗
E
D
A
∵ DE∥BC
G
F
∴△ADE ∽ △ABC B
C
如图，已知DE ∥ BC,
则．．．．．．
C E
A
DB
若DE ∥ BC则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
AD AEDE. AB AC BC
故△ADE∽ △ABC,
B
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
A
B
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
相似三角形的比例关系与相似性质
相似三角形的比例关系与相似性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们之间存在一种特殊的关系，即比例关系。
本文将探讨相似三角形的比例关系以及相似性质。
一、相似三角形的比例关系在两个相似三角形中，对应的边长比例相等。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么我们可以得到以下结论：1. 边长比例：相似三角形的对应边长之比相等。
比如AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
2. 高度比例：相似三角形的对应高度之比也相等。
比如AF/DE=BD/EF=CE/DF=k。
3. 中线比例：相似三角形的对应中线之比也相等。
比如AM/DN=BN/EN=CM/FN=k。
4. 角度相等：相似三角形的对应角度相等。
比如∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，以及∠ACB=∠DFE。
通过比例关系，我们可以通过已知的边长或角度来求解其他未知边长或角度。
二、相似三角形的性质在相似三角形中，不仅边长之比相等，角度之间也具有一些特殊的性质。
1. 比例定理：设有两个相似三角形ABC和DEF，他们的边长比例为AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么他们的任意一边之间的比例也相等。
即AB/BC=DE/EF=AC/DF=k。
2. 应用性质：利用相似三角形的比例关系，可以在实际问题中应用。
比如在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的性质，通过测量影子的长度和角度来计算高楼的高度。
3. 相似三角形的面积关系：在相似三角形中，面积之比等于边长之比的平方。
比如面积S1/S2=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
4. 重心和垂心：在相似三角形中，两个三角形的重心和垂心也具有相似的关系。
比如重心G1和G2之间的距离比为G1G2/DE=k，垂心H1和H2之间的距离比为H1H2/DE=k。
相似三角形的比例关系和性质在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
通过理解和应用这些关系，我们可以更好地分析和解决各种与相似三角形有关的问题。
相似三角形的比例关系与比例定理
相似三角形的比例关系与比例定理相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在研究相似三角形时，比例关系和比例定理起着重要的作用。
它们无论在几何学还是实际应用中都具有广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形的比例关系和比例定理，并通过实例加以说明。
1. 比例关系：在相似三角形中，相应边的长度之间存在着比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF这表示两个相似三角形中相应边的长度之间的比值是相等的。
比例关系可用来计算未知边长或角度的值，同时也可以用来进行图形的放缩。
2. 比例定理：比例定理是指在一个三角形内部，若一条直线平行于另两条边，则该直线将三角形切割成了三个相似的三角形。
具体而言，设在三角形ABC中，有一条直线DE与边AB和边AC分别平行。
则有以下比例关系成立：AD/DB = AE/EC这表示切割后的三个三角形中，对应边的长度之间的比值是相等的。
比例定理可以用来求解线段的分割比例问题，也可以应用于解决实际问题，如地图的缩放等。
下面通过一个实例来说明相似三角形的比例关系和比例定理的应用。
例题：已知∠A为直角，BC是直角三角形ABC的斜边，D是BC的中点，且AD平分∠BAC。
证明：∆ABC和∆ACD相似。
解：首先，根据已知信息，我们可以知道∆ABC是一个直角三角形，且有AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠DAC。
又因为D是BC的中点，所以BD=DC。
根据这些已知信息，我们可以通过比例关系证明∆ABC和∆ACD相似。
对于∆ABC和∆ACD的比例关系，我们可以考察三条边之间的比值。
∆ABC中，∠B是直角，BC是斜边，则根据勾股定理可得AB²+BC²=AC²。
∆ACD中，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，再结合BD=DC，我们可以得出∆ACD中的两边比值：AB/AD = AC/CD。
相似三角形证明过程
相似三角形证明过程
设两个三角形分别为ABC和DEF，其中有以下条件：
1.对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；
2.对应边成比例关系：AB/DE=BC/EF=AC/DF。
我们需要证明：三角形ABC与DEF相似。
证明过程：
根据条件1，我们知道对应角相等，所以可以得到以下比例关系：
AB/DE = sin∠A/sin∠D，BC/EF = sin∠B/sin∠E，AC/DF =
sin∠C/sin∠F。
根据三角形内角和定理，可得：∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°，将其代入以上比例关系中，得到：
AB/DE = sin∠A/sin(180°-∠A-∠B) = sin∠A/sin∠C。
BC/EF = sin∠B/sin(180°-∠B-∠C) = sin∠B/sin∠A。
AC/DF = sin∠C/sin(180°-∠A-∠C) = sin∠C/sin∠F。
将条件2代入以上式子中，即可得到：
sin∠A/sin∠C = AB/AC，sin∠B/sin∠A = BC/AB，sin∠C/sin∠F = AC/DF。
由于以上三个比例关系相等，所以三角形ABC与DEF相似，证毕。
初中数学知识归纳相似三角形的计算与证明
初中数学知识归纳相似三角形的计算与证明相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在解决几何问题和推导几何定理中起到了重要的作用。
本文将就相似三角形的计算与证明进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
相似三角形定义：相似三角形是指具有相等对应角度的三角形。
在符号表示上，一般用∆ABC∼∆DEF来表示两个相似三角形。
计算相似三角形的边长比例：要计算相似三角形的边长比例，我们可以利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边长比例相等。
假设∆ABC∼∆DEF，则我们可以得到以下边长比例公式：AB/DE = BC/EF = AC/DF这意味着当我们已知两个相似三角形中的某一边比例以及另一个对应边的长度时，我们可以通过比例关系求解未知长度。
证明相似三角形的方法：证明两个三角形相似有多种方法，以下介绍两种比较常用的方法：AAA（全等的对应元素是角）和AA（全等的对应元素是两个角加一条边）。
方法一：AAA方法AAA（即全等的对应元素是角）方法要求两个三角形对应的三个角分别相等。
如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则可以得出∆ABC∼∆DEF。
方法二：AA方法AA方法要求两个三角形的两个角分别相等，并且两个角所夹的边成比例。
如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF，那么我们可以得到∆ABC∼∆DEF。
在实际应用中，我们常常利用计算和证明相似三角形的方法来解决几何问题。
以下是一个例子：例题：已知∆ABC和∆DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3，AC/DF = 4，求BC/EF的值。
解法：根据相似三角形的性质，我们知道AB/DE = BC/EF = AC/DF。
已知AB/DE = 3，AC/DF = 4，代入上述等式，可得BC/EF = 3/4。
通过以上例题，我们可以看到，计算相似三角形的边长比例是十分简便的。
总结：相似三角形的计算与证明是初中数学中的重要知识点，它对解决几何问题和推导几何定理具有重要作用。
相似三角形的比例关系
相似三角形的比例关系相似三角形是指具有相同形状但可能有不同大小的三角形。
在相似三角形中，各个对应角度相等，而对应边长之间存在一定的比例关系。
本文将详细讨论相似三角形的比例关系及其性质。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形满足这个条件，我们可以表示为∆ABC ~ ∆DEF。
在相似三角形中，有以下性质：1. 对应角相等性质：两个相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例性质：两个相似三角形的对应边长比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形边长比例证明我们以∆ABC ~ ∆DEF为例证明相似三角形中的边长比例性质。
设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且 AB/DE = BC/EF =AC/DF = k。
根据三角形的内角和定理可知，∠A + ∠B + ∠C = 180度。
而∠D + ∠E + ∠F = 180度，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C =∠F，所以∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180度。
因此，两个三角形的内角和相等，满足相似三角形的定义。
我们假设 AB/DE = k，并通过相似三角形的性质进行边长的推导。
根据相似三角形的边长比例性质，可以得到：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k由此可得，AB = k * DE，BC = k * EF，AC = k * DF。
三、相似三角形的应用相似三角形的比例关系在实际生活和几何问题中有着广泛的应用。
1. 测量高度在实际测量中，我们可以利用相似三角形的原理来测量高度。
例如，测量一座高楼的高度，我们可以利用一个测量仪器的高度和相似三角形的比例关系，通过测量仪器与建筑物的阴影长度的比例来计算出建筑物的高度。
2. 显示地图比例尺地图上的比例尺通常表示为1: n的比例关系，其中n表示地图上的距离与实际距离之间的比例。
相似三角形与比例
相似三角形与比例相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
在数学中，研究相似三角形的关系和性质对于解决几何问题和建立比例关系至关重要。
本文将重点探讨相似三角形与比例之间的关系。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，而对应边的比例相等。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与DEF为相似三角形。
相似三角形的性质主要有以下几点：1. 边比例性质：若两个三角形相似，则对应边的比值是相等的，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 角度比例性质：两个相似三角形中，对应角度的度数比值相等，即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。
3. 边角性质：两个相似三角形中，相同角度对应边之比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，同时对应边之比也会相等。
根据以上性质，我们可以根据已知条件来求解未知的边长或角度，并且通过相似三角形的比例关系来建立几何问题的数学模型。
二、相似三角形的证明方法要证明两个三角形相似，一般有以下几种常用的证明方法：1. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SAS相似定理：若两个三角形的一个角相等，并且对应的两个边的比值相等，则这两个三角形相似。
3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边的比值相等，则这两个三角形相似。
通过运用这些相似三角形的证明方法，我们能够推导出更多的相似三角形，并进一步应用到实际问题中。
三、相似三角形与比例的应用相似三角形与比例的应用广泛，特别是在解决几何问题和测量问题中。
下面以一些具体的应用案例来说明：1. 直角三角形的相似：在解决直角三角形的问题时，通过相似三角形的比例关系，可以求解未知的边长或角度。
例如，已知一个直角三角形的一个角以及两个边的比值，我们可以利用相似三角形的性质来求解另一个角的度数。
2. 平面图形的相似：在解决平面图形的问题时，相似三角形与比例关系也有重要的应用。
相似三角形性质
D
AB BC CA . = = DE EF FD
（2）正方形ABCD与正方形EFGH. 正方形ABCD与正方形EFGH. ABCD与正方形 ：（2）由于正方形每个角都是直角， 解：（ ）由于正方形每个角都是直角，所 以∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠ ∠ ∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900； ∠ ∠
记作:六边形 记作 六边形ABCDEF 六边形 六边形A ∽六边形 B C D E F
1 1 1 1 1 1
注意：记两个多边形相似时，要把对应顶 注意：记两个多边形相似时， 点的字母写在对应的位置上. 点的字母写在对应的位置上. 相似多边形对应边的比叫做相似比 .
相似多边形对应边的比叫做相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比 . ∽六边形A 如：六边形ABCDEF∽六边形 1B1C1D1E1F1 六边形 AB：A1B1=BC：B1C1=CD：C1D1 ： ： ： =DE：D1E1=EF：E1F1=FA：F1A1=1：2 ： ： ： ： 因此，六边形 因此，六边形ABCDEF与六边形 与 A1B1C1D1E1F1的相似比为 1= 1：2 的相似比为K ： 六边形A 六边形 1B1C1D1E1F1与六边形 ABCDEF的相似比为 K =2:1 的相似比为
当相似比＝ 时 面积比＝ 当相似比＝k时，面积比＝
（2）与（1）的相似比＝__________， 4：1 （2）与（1）的面积比＝__________； （3）与（1）的相似比＝__________， 3：1 （3）与（1）的面积比＝__________． 9：1
面积比和 相似比之 图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为 间有什么 1、2、3的等边三角形，它们都相似． 联系呢？ 联系呢？ 2：1
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
相似三角形
相似三角形的判定--知识讲解【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：1、三角形相似的性质【例1】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR=12BC 时，求DE 的长.如果SR=13BC 呢？练 1.△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则ACDF______，EFBC______． 练 2.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．【例2】如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm ．他准备了一支长为20 cm 的蜡烛，想要得到高度为5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？练3.如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC 的交点为M ．已知AB = 10 m ，CD = 15 m ，求点M 离地面的高度MH ．练4.△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线．已知AD = 8 cm ，A ′D ′= 3 cm ，求△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比.2．相似三角形面积的比、周长比【例3】如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么你能求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？练5.等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A′B′C′,则△A ‘B ′C ′的周长为（）。
平面几何中的相似三角形与比例关系
平面几何中的相似三角形与比例关系相似三角形是平面几何中的重要概念，它们与比例关系密切相关。
在本文中，我们将探讨相似三角形的定义，了解相似三角形的性质以及它们和比例关系的关联。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
形式化地说，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度相等，则它们是相似三角形。
记作∆ABC ~ ∆DEF。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形∆ABC ~ ∆DEF，则它们的对应角分别相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边比例性质：如果两个三角形∆ABC ~ ∆DEF，则它们的对应边之间的长度比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
三、相似三角形与比例关系相似三角形与比例关系密切相关，具体体现在以下几个方面。
1. 边长比例关系根据相似三角形的性质，可以推导出相似三角形的边长之间存在比例关系。
例如，在∆ABC ~ ∆DEF的情况下，根据对应边比例性质可得AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这意味着相似三角形的任意两边之间的比值都是相等的。
2. 高度比例关系两个相似三角形的高度也满足比例关系。
当∆ABC ~ ∆DEF时，根据对应边比例性质可得AB/DE = BC/EF = AC/DF，假设AB和DE分别为两个相似三角形的底边，h1和h2分别为它们对应的高度，则h1/ h2 = AB/DE。
3. 面积比例关系相似三角形的面积之间也存在比例关系。
假设∆ABC ~ ∆DEF，并且S1与S2分别表示它们的面积，则S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
四、应用实例相似三角形的比例关系在实际问题中的运用非常广泛。
例如，在地理测量中，利用相似三角形的性质可以测量高处难以到达的物体的高度；在建筑设计中，可以根据相似三角形的比例关系推导出建筑物的尺寸等。
[宝典]相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
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相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA ·AC=BA ·AE图2题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
AB C A'B'C'图（4）图1B AC总结：（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究，B C得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
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相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】
一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！
若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式
1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：
例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA
·AC=BA ·AE
图2
题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识
例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3
（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
总结：
（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；
A
B C A'B'C'图（4）图1 B A
C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化
为“公边共角”，讨论、探究， A
B
C
得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
【课堂检测】 一选择题
1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）
A 、3100
B 、20
C 、54
D 、25
108
2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ）
A 、 51
B 、61
C 、71
D 、9
1
D C Ａ Ｄ
O Ｐ
A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图）
3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ）
A 、1：2
B 、1：4
C 、1：8
D 、1：16
4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ）
Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４
5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）
A 、AE BC AD A
B = B 、AD B
C AE AC = C 、AE BC DE AB =
D 、AD AB
AE AC =
A C E B
O
D C
E A D B （第5题图） （第6题图）
6、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）
① 图中有4个三角形与△ACB 相似； ② ;2EC AE DE ∙= ③∠A=∠BCD=∠CDE ； ④ BD
CE
AC AD =； ⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=
316 ； ⑥DB
AD
EC AE =。
A 、6个
B 、5个
C 、4个
D 、3个
7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）
A 、9∶5
B 、81∶25
C 、3∶ 5
D 、不能确定
8．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
9．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） A 、AD • BD=CD 2 B 、AC •BD=CB •AD C 、AC 2=AD •AB D 、AB 2=AC 2+BC 2
10．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG
GA
的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
11．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、8
12．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ） A 、a ∶b B 、a 2∶b 2 C 、 a ∶ b D 、不能确定
二，填空题
1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC , AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .
C
A A E
D 1
E D G E
A D
B B
C B F C
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则
)
()()()()()(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G ,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 .
4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCD 的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ： ：
5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm.
D P C M
D C
A B A B （第4题图） （第5题图） 6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥，则下底AB 的长是 . 7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .
A A
D E
B C B (第7题图) (第8题图)
8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=
AB 3
2
，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .
9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = .
10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，（1）若AD=9cm,则BD= ； （2）已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= . C
A D B
【强化练习】
1、已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD=CE,AD 、BE 相交于点M
(1)△AME ∽△BAE; (2)BD 2=AD ⨯DM.
2、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F, 求证：FC FB FD ∙=2 A
E
F B D C
3、已知：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=900,过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F 。
求证：DA DF EF ∙=2
D
F A
E
B C
4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ADB=90°,CD ⊥AB 于C ，AC=20CM,BC=9CM,求AB 及BD 的长
5、如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC ∽ΔBDA,DC 2=AD •AE
A B C
D A B C D E。