人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
數學試卷一、選擇題（每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意，請將正確答案的序號寫在括弧內.）1.已知集合，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】, 因為，所以，選C.2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等於（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從三視圖中提供的圖形資訊與數據資訊可知該幾何體是正方體去兩個相同的三棱錐（虛線表示的部分），因為正方體的體積是，每個小的三棱錐的體積，則三視圖所代表的幾何體的體積，應選答案A。
所以函數在處取最小值，結合函數的圖像可知當且，即時，方程有且僅有四個實數根，應選答案B。
3.執行如圖所示的程式框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數的可能取值的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】迴圈依次為，所以可能取值的集合是，選A.4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，選C.5.已知向量，，若與共線，則等於（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量平行座標表示得方程，解得結果.【詳解】因為與共線，所以，選A.【點睛】向量平行：，向量垂直：，向量加減：6.已知函數（）的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，則當時，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以當時，，的最大值為，選A.點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的週期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.7.設，是不同的直線，，，是不同的平面，有以下四個命題①；②；③；④.其中正確的命題是（）A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B【解析】試題分析：根據面面平行的性質可知①正確；②中與可能垂直也可能平行，故②不正確；根據直線和平面平行、線面垂直的性質可知③正確；④中與可能平行或在內，故④不正確，故選C．考點：空間直線與平面間的位置關係．8.設，且，，則等於（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】試題分析：，，,兩式平方相加得，考點：三角函數化簡求值點評：求角的大小通常先求角的某一三角函數值，結合角的範圍求其值9.已知為的導函數，若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：,,所以，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以則的最小值為.考點：1.導數運算；2.定積分運算；3.基本不等式.【名師點睛】本題考查導數運算、積分運算及基本不等式的應用，屬中檔題；導數與基本不等式是高考的重點與難點，本題將兩者結全在一起，並與積分運算交匯，考查學生運算能力的同時，體現了學生綜合應用數學知識的能力.10.已知函數是週期為的偶函數，若時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個引數的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然後根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最後根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行11.若圓（）上僅有個點到直線的距離為，則實數的取值範圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓心到直線距離為，所以要有個點到直線的距離為，需，選B.點睛：與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．12.已知函數，，實數，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（）A. 4B.C.D. 3【答案】D【解析】試題分析：因，則時，；當時，．所以，，令，設，作函數的圖像如圖所示，由得或，的最大值為.故應選D.考點：導數的知識與函數的圖象等知識的綜合運用.【易錯點晴】本題是以函數為背景,設置了一道考查函數的圖像和基本性質的綜合性問題.解答時充分借助題設中條件,合理挖掘題設條件中蘊含的有效資訊:，使得成立.本題解答的另一個特色就是數形結合思想的運用和轉化化歸的數學思想的運用.求解時是先運用導數求出了函數的最大值.然後通過解方程()求出或,最終求出的最大值是.本題的求解體現了函數方程思想、轉化化歸思想、數形結合思想等許多數學思想和方法具體應用.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知數列滿足則的最小值為__________.【答案】【解析】14. 某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格。
新改版人教高二数学(理)下学期期末试卷含答案
新改版人教高二数学（理）下学期期末试卷含答案一、单选题1．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（）A．7B．6C．5D．42．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a＝，b＝3，B＝60°，则A= A．45°B．45°或135°C．135°D．60°或120°3．若且，则（）A．B．C．D．4．对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为A．B．C．D．5．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A．，0B．4，C．16，0D．4，06．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（）A．B．C．D．7．正四棱锥的侧棱和底面边长都等于，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8．复数z，则共轭复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．D．9．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作圆的一条切线，切点为P，且交双曲线C的右支点Q，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数为偶函数，当时，，设，，，则（）A．B．C．D．11．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱住的侧视图的面积为（）A．B．C．D．12．已知集合，，则（）A．B．C．D．二、填空题13．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，若函数在是减函数，则的最大值是______.14．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为______.15．若，满足约束条件,则的最大值为__________.。
人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（ ）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ” ：
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运 费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了
高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版
高二期末试题 数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数12iz i-=在复平面内所表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 曲线323y x x =-++在点(1,4)处的切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1D ．解：由题意得，y′=-3x 2+2，则在点（1，4）处的切线的斜率k=-3+2=-1，故选B ．3. 已知nxx )1(2+的二项展开式的各项系数和为64，则n 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＋13<2B ．1＋12<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3故选答案A5. 抛掷甲、乙两骰子，记事件A ：“甲骰子的点数为奇数”；事件B ：“乙骰子的点数为偶数”，则P(B|A)的值等于（ ）A ．31 B ．12 C ．61 D ．916. 把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的是（ ）A ．如果,a b c d ==，那么a c b d -=-B ．如果,a b c d ==，那么ac bd =C ．如果,a b c d ==，且0cd ≠，那么a bc d= D ．如果a b =，那么33a b =故选答案D7.观察下列图形（1）、（2）、（3）、（4）设第n 个图形包含()f n 个小正方形.则(5)=f （ ）A. 25B. 37C. 41D. 47解：根据前面四个发现规律：f （2）-f （1）=4×1，f （3）-f （2）=4×2，f （4）-f （3）=4×3，…f（n ）-f （n-1）=4（n-1）这n-1个式子相加可得：f （n ）=2n 2-2n+1．当n=5时，f （5）=41．故选C ．8. 已知随机变量ξ服从二项分布1~(6,),(24)2B E ξξ+=则（ ）A ．10B ．4C ．3D ．99. 某校高三毕业汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，要求 A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种 C ．96种 D ．72种解：由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， ∴这两个元素共有C31A22种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，∴节目单上不同的排序方式有C31A22A44=144，故选B ．10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当0x <时，()()()()f xg x f x g x ''+>，且g (－3)＝0，则不等式()0()f xg x >的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 在曲线22y x =+的图象上取一点（1，3）及附近一点(1,3)x y +∆+∆,则0limx yx ∆→∆∆= ．12. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 .13. 已知函数()f x 在R 上可导，且3()2(2)f x x xf '=+，比较大小：(1)f - (1)f ("""""")><=填，或 解：f′（x ）=3x2+2f′（2），令x=2，得f′（2）=3×22+2f′（2），解得f′（2）=-12， 所以f （x ）=x3-24x ，则f （-1）=23，f （1）=-23，所以f （-1）＞f （1），故答案为：＞．14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，动点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .15. 下列命题：①若函数()x x x h 44sin cos -=，则012=⎪⎭⎫⎝⎛'πh ； ②若函数()()()()()()20132012321-----=x x x x x x g ，则()!20122013='g ；③若三次函数()d cx bx ax x f +++=23，则“0=++c b a ”是“f (x )有极值点”的充要条件; ④函数()x x x f cos 2sin +=的单调递增区间是()222,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．其中真命题为________．(填序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知空间向量 (2,,2),(4,2,)a y b x =-=r r ，2244+=a b ， 且a b ⊥r r，,x y R ∈，求,x y 的值；解：228ay =+， 2220b x =+ ………………4分222222284416a b x y x y +=++=⇒+= ………………6分又由a b ⊥r r 得40a b x y =-+=r r g ，故： ………………8分联立两方程解得： 04x y =⎧⎨=-⎩；或40x y =-⎧⎨=⎩ ………………12分17. （本小题满分12分） 若(2)nx +的展开式中第三项的系数是第二项系数的6倍（Ⅰ）求展开式的第3项（Ⅱ）若()2101212nn nn n x a a x a x a x a x --+=+++++，则求123(1)n n a a a a -+-++-的值解：(Ⅰ)由题可知221262,7n n C C n == …………3分 展开式第六项225537284T C x x == …………6分（Ⅱ）令700,2x a == 2 …………8分 令012671,1x a a a a a =--+++-= …………10分7123712127a a a a -+-+-=-=-…………12分ξ. （Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率 （Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望E ξ.解：(Ⅰ)该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； ..3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为7、8、9、10 …………5分04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP …………8分 ξ分布列为…………10分ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .…………12分19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的 底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ,PA AD AC ==， 点F 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求二面角C BF D --的余弦值．(Ⅰ)证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF .………………1分ABCD 是菱形, ∴O 是AC 的中点. …………………………………2分点F 为PC 的中点, ∴//OF PA . …………………………………3分OF ⊂平面,BFD PA ⊄平面BFD , ∴//PA 平面BFD . …………… 6分CBADPF(Ⅱ)如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PA AD AC ===，则()()10,0,0,0,0,1,,02A P C ⎫⎪⎪⎝⎭，()1,0,0,1,02B D ⎫-⎪⎪⎝⎭,11,42F ⎫⎪⎪⎝⎭．∴()310,1,0,,42BC BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．…………8分设平面BCF 的一个法向量为n (),,x y z =,由n ,BC ⊥n BF ⊥，得0031042y y x y z z x ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨++==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则z =31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. ……10分PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PA AC ⊥.//OF PA ，∴OF AC ⊥.ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥.OF BD O =，∴AC ⊥平面BFD .∴AC 是平面BFD 的一个法向量,AC=1,02⎫⎪⎪⎝⎭．∴cos ,7AC n AC n AC n⋅===⋅， ∴二面角C BF D --的余弦值是7. ………… 12分 20. （本小题满分13分） 已知函数32()3f x x ax x =-+．（Ⅰ）若3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]1,x a ∈上的最小值和最大值． （Ⅱ）若)(x f 在[)1,x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；解：(Ⅰ) 由题意知2'()3230f x x ax =-+=的一个根为3x =，可得5a =，……… 3分所以2'()31030f x x x =-+=的根为3=x 或 13x =(舍去)， 又(1)1f =-，(3)9f =-，(5)15f =，∴ f （x ）在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =．… 7分 （Ⅱ）2'()323f x x ax =-+，要)(x f 在[)1,x ∈+∞上是增函数，则有23230x ax -+≥在[)1,x ∈+∞内恒成立，即3322x a x≤+在[)1,x ∈+∞内恒成立 又33322x x+≥（当且仅当1x =时取等号），所以3a ≤………… 13分 21. （本小题满分14分）已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->。
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
最新人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
最新人教版高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={4,5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.复数3+2i2−3i=()A. 1B. −1C. iD. −i【答案】C【解析】解：复数3+2i2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=13i13=i，故选：C．两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简．本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用．3.已知m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，则a=()A. −1B. 2或−1C. 2D. −2【答案】B【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，∴a(1−a)−(−2)×1=0，化简得a2−a−2=0，解得a=2或a=−1；∴a的值是2或−1．故选：B．根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4.在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为()A. 12B. 34C. 23D. 14【答案】B【解析】解：由2x−1<0，得x<12．∴在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为12−(−1)1−(−1)=322=34．故选：B．求解一元一次不等式得x的范围，再由测度比为长度比得答案．本题考查几何概型，关键是明确测度比为长度比，是基础题．5.已知tana=4，cotβ=13，则tan(a+β)=()A. 711B. −711C. 713D. −713【答案】B【解析】解：∵tana=4，cotβ=13，∴tanβ=3∴tan(a+β)=tana+tanβ1−tanatanβ=4+31−3×4=−711故选：B．由已知中cotβ=13，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．6.(x−2y)6的展开式中，x4y2的系数为()A. 15B. −15C. 60D. −60【答案】C【解析】解：(x−2y)6展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−2y)r，令r=2，得T3=C62⋅x4⋅(−2y)2=60x4y2，所以x4y2的系数为60．故选：C．根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目．7.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是()A. 2B. 1C. 12D. −1【答案】A【解析】解：当a=2，k=0时，执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=1；，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=12执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3；执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=1，满足继续循环的条件，k=5；2执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案；本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.设非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗满足|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|,a⃗+b⃗ =c⃗，则<a⃗,b⃗ >=()A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘【答案】B【解析】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴a⃗、b⃗ 可构成菱形的两条相邻边，∵a⃗+b⃗ =c⃗∴a⃗、b⃗ 为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120∘，故选：B．根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题.向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种【答案】D【解析】解：分两类(1)甲组中选出一名女生有C51⋅C31⋅C62=225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C52⋅C61⋅C21=120种选法.故共有345种选法．故选：D．选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！10.下列4个命题中正确命题的个数是(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧=2x−3(4)“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件.()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0，正确；(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5，正确；(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧= 2x−3，正确；(4)“x≥1”可得“x+1x ≥2”“x+1x≥2”不能得出“x≥1”，比如x=12，则“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件，正确．故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若△D1AC外接圆半径为2√63，则该正方体外接球的表面积为()A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】C【解析】解：如图，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，设其外接圆的半径为r，则√2asin60∘=2r，即r=√63a．由√63a=2√63，得a=2．∴正方体外接球的R=12√22+22+22=√3．∴正方体外接球的表面积为4π×(√3)2=12π．故选：C．由题意画出图形，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，由正弦定理列式求得△D1AC外接圆半径，进一步求得a值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求．本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知奇函数f(x)的导函数为，当x≠0时，0'/>，若a=1e f(1e)，b=−ef(−e)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b【答案】D【解析】解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，∴当x>0时，xf′(x)+f(x)>0．即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增，∵e>1>1e，∴g(e)>g(1)>g(1e)，∵函数f(x)为奇函数，∴g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，故b=−ef(−e)=g(e)，故b=g(e)>c=g(1)>a=g(1e)，故选：D．令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x).由于当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，可得：当x>0时，xf′(x)+f(x)>0.即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增.即可得出．本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.能够说明“e x>x+1恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当x=0时，e x>x+1，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14.如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为______．【答案】13【解析】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：S=∫(11−√x)dx=(x−23x32)|01=13，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为p=131×1=13，故答案为：13．利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解．本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．15.设实数x，y满足{x−y+1≥0y+1≥0x+y+1≤0，则2x−y的最小值为______．【答案】1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图，设z=2x−y，当此直线经过图中B(0,−1)时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，设z=2x−y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16.设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=______．【答案】24【解析】解：∵s9=9(a1+a9) 2=9a5=72∴a5=8又∵a2+a4+a9=3(a1+4d)=3a5=24故答案是24先由S9=72用性质求得a5，而3(a1+4d)=3a5，从而求得答案．本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinx−acosx的一个零点是π4．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx，若x∈[0,π2]，求g(x)的值域．【答案】(Ⅰ)解：依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1.(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6).由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1,2]．【解析】(I)根据f(π4)=0计算a的值；(II)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；(Ⅱ)根据表和图，对两套设备的优劣进行比较；(Ⅲ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E(X)．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】解：(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…(3分)将列联表中的数据代入公式计算得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×7−2×43)250×50×91×9≈3.053；…(5分)∵3.053>2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…(6分) (Ⅱ)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；…(9分)(Ⅲ)由题知，不合格品的概率为P=250=125，且X～B(3,125)，…(11分)∴X的数学期望为E(X)=3×125=325.…(12分)【解析】(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)根据表1和图1分析数据特征与离散程度，即可得出结论；(Ⅲ)由题知X～B(3,125)，求出数学期望即可．本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19. 如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF//DE ，DE =3CF ，BE 与平面ABCD 所成的角为45∘． (1)求证：平面ACE ⊥平面BDE ； (2)求二面角F −BE −D 的余弦值． 【答案】(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． ∴DE ⊥AC ． 又底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， 又BD ∩DE =D ， ∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BDE ． (2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，∵BE 与平面ABCD 所成的角为45∘，即∠EBD =45∘， ∴DE =BD =√2AD =3√2，CF =13DE =√2．∴A(3,0，0)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，E(0,0，3√2)，F(0,3，√2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，√2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−2√2)， 设平面BEF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +√2z =03y −2√2z =0， 令z =3√2，则n⃗ =(2,4，3√2). 又AC ⊥平面BDE ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)为平面BDE 的一个法向量． ∴cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√38⋅3√2=√1919． ∵二面角F −BE −D 为锐角， ∴二面角F −BE −D 的余弦值为√1919．【解析】(1)根据AC ⊥BD ，AC ⊥DE 可得AC ⊥平面BDE ，故而平面ACE ⊥平面BDE ； (2)建立空间坐标系，求出平面BDE 和平面BEF 的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,−√3)，(0,√3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A ，B 两点.k 为何值时OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是多少？． 【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点， 长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =√22−(√3)2=1，故曲线C 的方程为x 2+y 24=1.(4分)(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx −3=0， 故x 1+x 2=−2kk 2+4,x 1x 2=−3k 2+4.(6分)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1， 于是x 1x 2+y 1y 2=−3k 2+4−3k 2k 2+4−2k 2k 2+4+1=−4k 2+1k 2+4．所以k =±12时，x 1x 2+y 1y 2=0，故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(8分) 当k =±12时，x 1+x 2=∓417，x 1x 2=−1217．|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)(x 2−x 1)2，而(x 2−x 1)2=(x 2+x 1)2−4x 1x 2=42172+4×4×317=43×13172，所以|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√6517.(12分) 【解析】(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是椭圆.从而写出其方程即可； (Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k 值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，从而解决问题．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．21. 设函数f(x)=x(k −lnx)，(k 为常数)，g(x)=1x −1xf(x).曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求g(x)的单调区间和最小值；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)f(x)=x(k −lnx)的导数为f′(x)=k −lnx −1， 因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行， 所以f′(1)=k −1=0， 所以k =1；(Ⅱ)g(x)=1x −1x f(x)=1x −1+lnx ，定义域为{x|x >0}， 导数g′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，令得x =1，当x 变化时，和g(x)的变化如下表：由上表可知g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)， 最小值为g(1)=0；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0成立， 则g(a)−g(x)min <1a ， 即1a −1+lna −0<1a ， 即lna <1，解得0<a <e ．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得k 的值； (Ⅱ)求得g(x)的解析式和导数，以及单调区间，可得极值和最值； (Ⅲ)由题意可得g(a)−g(x)min <1a ，代入计算即可得到所求a 的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，以原点为O 极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)．(1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求1|PA|+1|PB|的值． 【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，可得直角坐标方程：x 2+y 2−4x +4y =0． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=−4， 则1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√8−4×(−4)4=√62． 【解析】(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，利用互化公式即可得出直角坐标方程． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|．本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|2x−1|，g(x)=|x−1|+2．(1)解不等式g(x)≥4；(2)若对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵g(x)=|x−1|+2.g(x)≥4，∴由|x−1|+2≥4，得|x−1|≥2，解得x≤−1或x≥3．故不等式g(x)≥4的解集为{x|x≤−1或x≥3}．(2)∵对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，∴{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}．又∵g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+|2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+ 1|．∴|a+1|≤2，解得−3≤a≤1，∴实数a的取值范围为[−3,1]．【解析】(1)由g(x)≥4，得|x−1|≥2，由此能求出不等式g(x)≥4的解集．(2)推导出{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}.利用g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+ |2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+1|.得到|a+1|≤2，由此能求出实数a的取值范围．本题考查不等式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
人教版高二数学下学期期末考试理试题(解析版)
【答案】
【解析】
由已知 为二次函数且对称轴为 轴，∴ ，即 ．再根据函数在 单调递增，可得 ．令 ，求得 或 ，故由 ，可得 或 ，故解集为 ．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.设数列 的前 项和为 ，且 .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意作图如下：
设 .
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知 ，
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8.函数 的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图像（）
A. 向左平移 个单位长度B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由 在函数图象上，结合 的范围求出 的值，可得函数的解析式．再根据函数 的图象变换规律，可得结论．
详解】解：由图可知 ，∵ ，
∴ ，解得： ，可得 ，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ， ，
故可将函数 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像.
故选：B.
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，函数 的图象变换规律，属于基础题．
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
全新人教高二数学(理)下学期期末试卷含答案
全新人教高二数学（理）下学期期末试卷含答案
一、单选题
1．如果关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．
2．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，且，，
两两互相垂直，则球的体积为（）
A ．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为（）
A ．B．C．D．
4．设集合，，则（）
A．B．C．D．
5．的三边，，的对角分别为，，，若是与的等差中项，，则的最大值为（）
A ．B．C．D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）
A ．B．C．D．
7．已知,是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（）
A．B．C．D．2
8．在中，，则（）
A．B．C．D．
9．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A．12B．10C．8D．6
10．已知i为虚数单位，若，则复数z的虚部是（）
A．B．C．3D．
11．已知向量，，且，则向量与夹角为
A．B．C．D．
12．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）
A．2B．-18C．18D．-2。
(人教版)2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)(新版)新人教版
2019学年度第二学期期末考试高二理数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为纯虚数，所以，故选A.2. 下列说法中正确的是（）①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；②回归直线一定经过样本点的中心；③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越强，故错误②回归直线一定经过样本点的中心，故正确③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度，故正确④相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③故选【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题3. 某校为了解高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将他们随机编号为1,2,…,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中,编号落在区间[1,200]的人做试卷A,编号落在[201,560]的人做试卷B,其余的人做试卷C,则做试卷C的人数为（）A. 10B. 12C. 18D. 28【答案】B【解析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...A. 0B. -1C. -2D. -8【答案】B【解析】根据流程图可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；此时程序跳出循环，输出 .本题选择B选项.5. 在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是（）A. 四边形一定为菱形B. 四边形在底面内的投影不一定是正方形C. 四边形所在平面不可能垂直于平面D. 四边形不可能为梯形【答案】D【解析】对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选：D6. 已知随机变量满足，，且，若，则（）A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】B【解析】分析：求出，，从而，由，得到，，从而，进而得到. 详解：随机变量满足，，，，，，解得，，，，，，故选B.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题.7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为. 考点：三视图.8. 有一个偶数组成的数阵排列如下：2 4 8 14 22 32 …6 10 16 24 34 … …12 18 26 36 … … …20 28 38 … … … …30 40 … … … … …42 … … … … … …… … … … … … …则第20行第4列的数为（）A. 546B. 540C. 592D. 598【答案】A【解析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.观察可知第1行的第1个数为：；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：.……第23行第1个数为：.所以第20行第4列的数为.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．9. 已知一袋中有标有号码的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10. 已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立直角坐标系，则，设点坐标为，则，故，则使得的概率为,故选A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴常为,故选B.12. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为,(为自然对数的底数),且当时,,则 ()A. f(1)<f(0)B. f(2)>e f(0)C. f(3)>e3f(0)D. f(4)<e4f(0)【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后结合题意判断其单调性，然后比较大小【详解】令，，时，，则，在上单调递减即，，，，故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 已知离散型随机变量服从正态分布，且，则__________．【答案】【解析】∵随机变量X服从正态分布，∴μ=2，得对称轴是x=2．∵，∴P（2<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案为：．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15. 已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．【答案】61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.详解：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，，解得，又，则展开式中常数项为.点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式.16. 已知函数,存在,则的最大值为____.【答案】【解析】试题分析：由题意得，，因为存在，，所以，所以令，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最大值，所以的最大值为．考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定的范围，构造新函数，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论的最大值．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. 2019年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关. (2)【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。
人教版高二数学下学期期末(理科)试题(解析版)
点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围
7.已知 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，则 等于
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据二项式 得出各项系数的和，然后根据二项式 得出各项二项式系数的和，最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，即可得出结果．
由期望公式可知 ，而总体的概率 ，即可求得
【详解】由
∴ ，而
∴
故选：C
【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值
5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）
A.60个B.48个C.36个D.24个
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
由正弦定理得： ，所以 为最大边.
【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．
18
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球2次均未命中的概率为 .
（Ⅰ）求乙投球的命中率 ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望.
设A点到 的距离为 ，则 ，
当 变大时，点A的横坐标变小， 变小，
当 时，直线l： ，
由 可得点 ，此时 有最大值 ；
当A与O重合，此时 ；
故 ， .
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了直线与抛物线交点的求解及转化化归思想，属于基础题.
12.已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（）
安徽省亳州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含解析
高二数学（人教版）本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若X 是离散型随机变量，则()E X E X -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. ()E X B.()2E X C. 0D.()2[]E X 2. 函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x 千万元），得到各旅游景区收益的增加值（y 万元），对应数据如下表所示：投人的治理经费x （单位：千万元）1234567收益的增加值y （单位：万元）2325779若x 与y 的回归直线方程为$$1.214y ax =+，则相应于点()7,9的残差是（ ）A. 0.358- B. 0.358C. 8.642- D. 8.6424. 函数()sin24cos 3f x x x x =+-在R 上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定5. 某班新年联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A. 42 B. 30C. 20D. 126. 已知函数()21ln e ,,,e x f x a x bx a b -=+∈R 是自然对数的底数．若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，则b 的值是（ ）A.2ln24- B.2ln24+ C.()2ln2e4- D.()2ln2e4+7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则n P 与1n P -之间的关系是（ ）A ()1123n n P P n -=≥ B. ()()12123n n P P n -=-≥C. ()112233n n P P n -=-+≥ D. ()121233n n P P n -=-+≥8. 设12,F F的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆C于,A B 两点，且113AF F B =，则2cos AF B ∠=（ ）A.15B.C.25D.35二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中正确的是（ ）A. 曲线b 仍然是正态曲线B. 曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望小2D. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大210. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且()1212n n S S n n -=+-≥，则下列结论中正确的是（ ）A.()12n n a S n ->≥ B. {}1n a +是等比数列的.C. 2n nS a < D. 2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点()()1122,,P x y Q x y 、的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y =-+-．若点()1,2P ，点Q 为圆22:4C x y +=上一动点，则（ ）A. 点()1,2P 和点()1,3A -的曼哈顿距离为3B. 设()2cos ,2sin Q θθ，则11,cos 4213,cos 42PQL πθθπθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩C. PQ L的最大值为1+D. PQ L的最大值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量()2024,0.5B ξ~，则()21D ξ+的值是___________13.在二项式n⎛⎝的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．14. 若不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 对任意2x >恒成立，则整数k 的最大值是___________．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()e 1x f x a x -=++，其中,e a ∈R 为自然对数底数．（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面矩形ABCD 垂直于侧面PAD ，且,PA AD E F ⊥、分别是棱、AD PC的中点，A D P B ==．的（1）证明：PC ⊥平面BEF ；（2）若AD =，求二面角F BE C --正弦值．17. 已知O 为坐标原点，A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上与点O 不重合任意一点．（1）设抛物线C 的焦点为F ，若以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交C 的准线l 于M N 、两点，且90,∠=o V MFN AMN的面积为，求圆F 的方程；（2）若B 是拋物线C 上的另外一点，非零向量OA OB u u u r u u u r、满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，证明：直线AB 必经过一个定点．18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．评估得分[)50,60[)60,70[)70,80[]80,90评定类型不合格合格良好优秀贷款金额（万元）200400800（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列{}n a 满足的的()*22112N ,0,40,,n n n a ba ca n bc b c a s a t ++=+∈≠+>==，则数列{}n a 的通项公式可以按以下步叕求解：①21n n n a ba ca ++=+对应的方程为2x bx c =+，该方程有两个不等的实数根,αβ；②令n n n a A B αβ=⋅+⋅，其中,A B 为常数，利用12,a s a t ==求出,A B ，可得{}n a 的通项公式．满足()*12211,N n n n F F F F F n ++===+∈的数列{}n F 称为斐波那契数列．（1）求数列{}n F 的通项公式；（2）若存在非零实数t ，使得{}()*1N n n F tF n ++∈为等比数列，求t 的值；（3）判定20242120251i i F F =⋅∑是数列{}n F 的第几项，写出推理过程．高二数学（人教版）本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若X 是离散型随机变量，则()E X E X -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. ()E X B.()2E X C. 0D.()2[]E X 【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.【详解】()()0E X E X E X EX ⎡⎤-=-=⎣⎦.故选：C.2. 函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】【分析】由导函数的图象可知()f x '在开区间(),a b 内有4个零点1234,,,x x x x ，()12340x x x x <<=<，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.【详解】从图形中可以看出，()f x '在开区间(),a b 内有4个零点1234,,,x x x x ，()12340x x x x <<=<，在1x 处的两边()f x '左正、右负，取得极大值；在2x 处的两边()f x '左负、右正，取值极小值；在3x 处的两边()f x '都为正，没有极值；在4x 处的两边()f x '左正、右负，取值极大值．因此函数()f x 在开区间(),a b 内的极小值点只有一个．故选：A ．3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x 千万元），得到各旅游景区收益的增加值（y 万元），对应数据如下表所示：投人的治理经费x （单位：千万元）1234567收益的增加值y （单位：万元）2325779若x 与y 的回归直线方程为$$1.214y ax =+，则相应于点()7,9的残差是（ ）A. 0.358- B. 0.358C. 8.642- D. 8.642【答案】B 【解析】【分析】先算出,x y ，代入回归直线方程为$$1.214y ax =+，可得$a ，进而得到回归直线方程，当7x =时，求出$y ，算出残差即可.【详解】123456723257794,577x y ++++++++++++====，所以$$5 1.21440.144, 1.2140.144x a y y b x =-=-⨯==+$，当7x =时，$1.21470.1448.642y =⨯+=，因此残差为98.6420.358-=．故选：B ．4. 函数()sin24cos 3f x x x x =+-在R 上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定【答案】B 【解析】【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.【详解】因为()()22cos24sin 3212sin 4sin 3f x x x x x =--=---'224sin 4sin 1(2sin 1)0x x x =---=-+≤，函数()f x 在R 上单调递减．故选：B ．5. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A. 42 B. 30 C. 20 D. 12【答案】A 【解析】【详解】原定的5个节目之间有6个位．当插入的这两个新节目在一起时，有1262C A 插法；当插入的这两个新节目不在一起时，有2262C A 插法，所以总的不同插法的种数为1222626242C A C A +=种．故选：A ．【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．6. 已知函数()21ln e ,,,e x f x a x bx a b -=+∈R 是自然对数的底数．若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，则b 的值是（ ）A.2ln24- B.2ln24+ C.()2ln2e4- D.()2ln2e4+【答案】C 【解析】【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程可表示为：()()()22222a ay f x y x a f -=-⇒=-+，再由切线方程是ln 2y x =+，建立方程组求解.【详解】因为()()12e xa f x bx x x -'=+-，所以()22a f '=．()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程可表示为：()()()22222a ay f x y x a f -=-⇒=-+，又因为曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程是ln 2y x =+，所以12,4ln22ln2e a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得()2ln2e 2,4a b -==．故选：C.7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则n P 与1n P -之间的关系是（ ）A. ()1123n n P P n -=≥ B. ()()12123n n P P n -=-≥C. ()112233n n P P n -=-+≥ D. ()121233n n P P n -=-+≥【答案】C 【解析】【分析】据题意列出第n 次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.【详解】第n 次由甲掷应该有两种情况：①第n 1-次由甲掷，第n 次继续由甲掷，此时概率为11121363n n P P --=；②第n 1-次由乙掷，第n 次由甲掷，此时概率为()()11122111363n n P P --⎛⎫--=- ⎪⎝⎭．由于这两种情况是互斥的，因此()11121,33n n n n P P P P --=+-与1n P -之间的关系式是11233n n P P -=-+，其中()2n ≥．故选：C ．8. 设12,F F的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆C于,A B 两点，且113AF F B =，则2cos AF B ∠=（ ）A.15B.C.25D.35【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到90A ∠=︒，从而得到结果.【详解】因为c a =，所以a =．设1(0)F B t t =>，则13,4AF t AB t ==．在12AF F △中，()()222222(3)(23)(2)9(23)2cos 23232323t a t c t a t a A t a t t a t +--+--==⨯⨯-⨯⨯-．在2ABF △中，()()222222(4)(23)(2)16(23)(2)cos 24232423t a t a t t a t a t A t a t t a t +---+---==⨯⨯-⨯⨯-，所以()()2222229(23)216(23)(2)23232423t a t a t a t a t t a t t a t +--+---=⨯⨯-⨯⨯-，整理得，23,3at a a t ==．于是212233,5,4,90,cos 5AF t AF BF t AB t A AF B ====∠=︒∠=．故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中正确的是（ ）A. 曲线b 仍然是正态曲线B. 曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望小2D. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2【答案】AB 【解析】【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.【详解】密度函数()()222x f x μσ--=，向右移动2个单位后，密度函数()()2222x g x μσ---=，曲线b 仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变,故AB 正确；以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望值为2μ+，故C 错误；以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差不变．故D 错误；故选: AB ．10. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且()1212n n S S n n -=+-≥，则下列结论中正确的是（ ）A.()12n n a S n ->≥ B. {}1n a +是等比数列C. 2n n S a < D. 2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】由题中条件可得11n n a S n -=+-，判断A ；通过两式相减的121n n a a +=+，变形可得出3,112,2n n n a n =⎧+=⎨≥⎩，判断B ；根据求和公式结合作差法比较大小判断C ，D ；【详解】对于A ，由()1212n n S S n n -=+-≥得，11n n a S n -=+-，所以1n n a S ->．A 正确；对于B ，将11n n a S n -=+-与1n n a S n +=+整体相减得，121n n a a +=+，所以()1121,2n n a a n ++=+≥，又12121a a a +=+，即23a =，所以3,112,2n n n a n =⎧+=⎨≥⎩．因此{}1n a +不是等比数列，B 错误；对于C ,因为2,121,2n nn a n =⎧=⎨-≥⎩，所以当2n ≥时，23122121···2121nn n S n +=+-+-++-=--．当1n =时，1122S a =<．当2n ≥时，112212210n n n n S a n n ++-=---+=-<，因此2n n S a <,C 正确；对于D ，因121n n S n +=--，所以1222n n n S n +=-，所以111121022222n n nn n n n S S n n n++++++-=-+=>，为因此2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，D 正确；故选:ACD ．11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点()()1122,,P x y Q x y 、的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y =-+-．若点()1,2P ，点Q 为圆22:4C x y +=上一动点，则（ ）A. 点()1,2P 和点()1,3A -的曼哈顿距离为3B. 设()2cos ,2sin Q θθ，则11,cos 4213,cos 42PQL πθθπθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩C. PQ L的最大值为1+D. PQ L的最大值为3+【答案】ABD 【解析】【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A ，根据()2cos ,2sin Q θθ，分类讨论去绝对值结合辅助角公式可求判断选项B ，C ，D.【详解】对A ，11233PA L =++-=，A 对；因为()2cos ,2sin Q θθ，所以π11,cos 422cos 12sin 22cos 122sin π13,cos 42PQL θθθθθθθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=-+-=-+-=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，B 对；当π3π2π,Z 42k k θ-=+∈，即7π2π4k θ=+时，π14θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最大值为1+满足1cos 2θ≥，当π3π2π,Z 42k k θ+=+∈，即5π2π4k θ=+时，π34θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为3+．满足1cos 2θ<，则C 错，D 对，故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量()2024,0.5B ξ~，则()21D ξ+的值是___________【答案】2024【解析】【分析】根据二项分布的方差公式求得()20240.5(10.5)506D =⨯⨯-=ξ，再结合方差的性质公式得出结果.【详解】因为()20240.5(10.5)506D =⨯⨯-=ξ，所以()()2142024DD ξξ+==．故答案为：2024.13.在二项式n⎛+ ⎝展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．【答案】16【解析】【分析】令1x =，利用各项系数和求出n ，再利用二项式系数的性质即可求解.【详解】在二项式n⎛+ ⎝的展开式中，令1x =，得，(71)4096n +=，即，31222n =，解得，4n =，所以二项式系数和为4216=．故答案为：16.14. 若不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 对任意2x >恒成立，则整数k 的最大值是___________．【答案】3【解析】【分析】将不等式化为()ln 21,2x x kx k x ≥-+>，令()()()ln ,21g x x x h x kx k ==-+，将问题转化为直线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.的【详解】不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 就是()ln 21,2x x kx k x ≥-+>，令()()()ln ,21g x x x h x kx k ==-+，显然直线()h x 过定点()2,2-，因为()ln g x x x =的定义域为()0,∞+，则()ln 1g x x ='+，所以当10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，当1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增，可以画出曲线()y g x =的草图（如图），由图象可知，直线()()21h x kx k =-+的极限位置是与曲线()y g x =相切，设切点是()00,M x y ，则切线方程是()()0000ln 1ln y x x x x x -=+-，将点()2,2-代入得，()()00002ln 1ln 2x x x x --=+-，即002ln 40x x --=，则0021ln 2x k x -≤+=，令()2ln 4,2x x x x ϕ=-->，则()()210,x x xϕϕ>'=-在()2,∞+内单调递增，又因为()()()2842ln82lne ln80,954ln30ϕϕ=-=-=-，在002ln 40x x --=中()08,9x ∈，于是0273,22x k -⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭，故整数k 的最大值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和数形结合思想，是一道难题．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()e 1x f x a x -=++，其中,e a ∈R 为自然对数的底数．（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）()20,e -．【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；（2）根据()f x 有两个零点转化为()1e xa x =-+，令()()1e ,R xg x x x =-+∈，利用函数求导判断函数()g x 单调性和在不同范围内函数的值域求得a 的取值范围.【小问1详解】()e e 1,R ex xxa f x a x --=-+=∈'．当0a ≤时，()()e 0,e x xaf x f x '-=>R 上单增，既没有极大值，也没有极小值．当0a >时，令()e 0ex xa f x -'==，则e 0,ln .xa x a -==当(),ln x a ∞∈-时，()0,()f x f x <'在(),ln a ∞-上单减，当()ln ,x a ∞∈+时，()0,()f x f x >'在()ln ,a ∞+上单增，所以()f x 的极小值为()ln ln e ln 12ln af a a a a -=++=+，没有极大值.【小问2详解】由()0f x =得，()1e xa x =-+．令()()1e ,R xg x x x =-+∈．则()()2e xg x x +'=-，当(),2x ∞∈--时，()()0,g x g x '>单增；当()2,x ∞∈-+时，()()0,g x g x '<单减．因此()()22e g x g -≤-=．显然当1x <-时，()0g x >；当1x >-时，()0g x <．当20e a -<<时，直线y a =与函数()g x 的图象有且仅有两个公共点，即函数()f x 有两个零点．故a 的取值范围是()20,e-．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面矩形ABCD 垂直于侧面PAD ，且,PA AD E F ⊥、分别是棱、AD PC的中点，A D P B ==．在（1）证明：PC ⊥平面BEF ；（2）若AD =，求二面角F BE C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）由面面垂直可得BA ⊥平面PAD ，则BA PA ⊥，由几何知识可得EF PC ⊥，BF PC ⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，可得平面BEF 、平面ABCD 的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为ABCD 为矩形，则BA AD ⊥，且平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面,PAD AD BA =⊂平面PAD ，则BA ⊥平面PAD ，且PA ⊂平面PAD ，所以BA PA ⊥．连接PE EC 、．在Rt PAE V 和Rt CDE △中，,PA AB CD AE DE ===，可知Rt PAE V 全等于Rt CDE △．则PE CE =，且F 是PC 中点，则EF PC ⊥．在Rt PAB V中，PB AD BC ===，而F 是PC 的中点，则BF PC ⊥．且⋂=BF EF F ，,BF EF ⊂平面BEF ，所以PC ⊥平面BEF．的小问2详解】以A 为坐标原点，,,AP AD AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()1,0,0,P C，可得()PC =-u u u r，由（1）知，()PC =-u u u r是平面BEF 的法向量，且平面ABCD 的法向量是()1,0,0AP =u u u r．可得1cos ,2PC AP PC AP PC AP⋅==-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ．所以二面角F BE C --=．17. 已知O 为坐标原点，A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上与点O 不重合的任意一点．（1）设抛物线C 的焦点为F ，若以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交C 的准线l 于M N 、两点，且90,∠=o V MFN AMN的面积为，求圆F 的方程；（2）若B 是拋物线C 上的另外一点，非零向量OA OB u u u r u u u r、满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，证明：直线AB 必经过一个定点．【答案】（1）22(1)8x y +-= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出MN ，点A 到准线l 的距离d FM =，利用△=AMN S 求出p 可得答案；（2）方法一，对OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边平方得12120x x y y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()21121y y y y x x x x --=--，结合抛物线方程得()21112x xy y x x p+-=-，再由12120x x y y +=可得答案；方法二，对OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边平方得12120x x y y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，设直【线AB 的方程为y kx b =+与抛物线方程联立，利用韦达定理结合12120x x y y +=可得答案.【小问1详解】准线l 为,0,22p p y F ⎛⎫=-⎪⎝⎭到l 的距离是p ．由对称性知，MFN △是等腰直角三角形，斜边2MN p =，点A 到准线l的距离d FA FM ===，12AMN S MN d =⨯⨯=V ，解得2p =，故圆F 的方程为22(1)8x y +-=；【小问2详解】方法一，因为OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=-⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1212,0OA OB x x y y ⊥+=u u u r u u u r，设()()1122,,,A x y B x y A B 、、在抛物线2:2(0)C x py p =>上，则22112222x py x py ==、．显然直线AB 的斜率存在，则直线AB 的方程为()21121y y y y x x x x --=--，将22121222x xy y p p ==、代入得，()222112122x x p py y x x x x --=--，即()21112x x y y x x p+-=-，令0x =，得()211211,22x x x xy y x y p p+-=⋅-=-， ()*由12120x x y y +=得，221212204x x x x p +=，因为120x x ≠（否则，OA OB u u u r u u u r、有一个为零向量），所以2124x x p =-，代入()*式可得2y p =，故直线AB 经过定点()0,2p ．方法二，因为OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1212,0OA OB x x y y ⊥+=u u u r u u u r，设()()1122,,,A x y B x y A B 、、在拋物线2:2(0)C x py p =>上，则22112222x py x py ==、，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立22y kx b x py=+⎧⎨=⎩消去y 得到，21212220,2,2x pkx pb x x pk x x pb --=+==-，由12120x x y y +=得，221212204x x x x p+=，因为120x x ≠（否则，OA OB u u u r u u u r、有一个为零向量），所以2124x x p =-，即224,2pb pb p -=-=，因此y kx b =+就是2y kx p =+．故直线AB 经过定点()0,2p ．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．评估得分[)50,60[)60,70[)70,80[]80,90评定类型不合格合格良好优秀贷款金额（万元）200400800（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．【答案】（1）0.45 （2）10%【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或良好的概率；（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为,,a b c ，则,,a b c 也成等差数列，即2b a c =+，又0.251a b c +++=，可得0.25,0.5b a c =+=，列出分布列，可求得()450400E a ξ=-，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．【小问1详解】设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是1234,,,P P P P ，则根据频率分布直方图可知，12340.015100.15,0.04100.4,0.02100.2,0.025100.25P P P P =⨯==⨯==⨯==⨯=．故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为340.20.250.45P P +=+=．【小问2详解】设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为,,a b c ，因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以,,a b c 也成等差数列，即2b a c =+，又因为0.251a b c +++=，所以0.25,0.5b a c =+=，设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量ξ，则其分布列是ξ020*******pa 0.25c0.25于是()()02000.25400c 8000.25504000.5200450400E a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=+-+=-，因为()410E ξ≥，所以450400410a -≥，解得10%a ≤，故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是10%．19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列{}n a 满足()*22112N ,0,40,,n n n a ba ca n bc b c a s a t ++=+∈≠+>==，则数列{}n a 的通项公式可以按以下步叕求解：①21n n n a ba ca ++=+对应的方程为2x bx c =+，该方程有两个不等的实数根,αβ；②令n n n a A B αβ=⋅+⋅，其中,A B 为常数，利用12,a s a t ==求出,A B ，可得{}n a 的通项公式．满足()*12211,N n n n F F F F F n ++===+∈的数列{}n F 称为斐波那契数列．（1）求数列{}n F 的通项公式；（2）若存在非零实数t ，使得{}()*1Nn n F tF n ++∈为等比数列，求t 的值；（3）判定20242120251i i F F =⋅∑是数列{}n F的第几项，写出推理过程．【答案】（1）*,N n n n F n=-∈（2）t =，或t =． （3）第2024项，答案见解析【解析】【分析】（1）应用待定系数法求参即可；（2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参；（3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项.【小问1详解】由题意知，21n n n F F F ++=+对应的特征方程是21x x =+，解得x =．于是n nn F A B =⋅+⋅，其中,A B 为常数．当121F F ==时，有2211A B A B ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，解得A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故*,N n nn F n =∈．【小问2详解】设()211n n n n F tF s F tF ++++=+，则()21n n n F s t F stF ++=-+，与21n n n F F F ++=+比较得到，1,1,,s t st s t -==-是方程210x x --=的根，所以s t ==或s t ==．故t =t =．【小问3详解】因为()21111n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F +-+-==-=-，所以()()()22222342024231234232024202520232024F F F F F F F F F F F F F F F F ++++=-+-++-L L 2024202512F F FF =-．于是2222212320242024202512120242025F F F F F F FF F F F ++++=-+=L ．因此222220242123202420242025202412025202520251i i F F F F F F F F F F F =++++⋅===∑L ．故20242120251iiFF=⋅∑是数列{}n F的第2024项．【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根.。
高二数学(理科)下学期期末考试试题(带参考答案)
）
e e
x 3 ax b
1没有实根 1至多有两个实根
z 1 i i 2
C ）
e e
x3 ax b
x 3 ax b
x3 ax b
2．设 i 是虚数单位，若 A． 1
a
i ，则复数 z 的共轭复数是（
．3
i 1 x e
2 e
B
．2
i
D
．3
i
3． A．
dx
3 ，则 a （
B ．e
4
1 2
C
．e
3
D
．e
2
n
y 关于 x 的回归方程并预测当
x
?精确到 9 时，对应的 y 值为多少（ b
y
? bx
? 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： a
n
xi yi ? b
i 1 n
nx y
，
2
xi yi ? a ? ，相关系数 r 公式为： r y bx
i 1 n 2 n
nx y
2
x
i 1
2 i
nx
i 1
xi
x
i 1
yi
y
参考数据：
6 6 6 6
xi yi
i 1
47.64 ，
i 1
x
2 i
139 ，
i 1
xi
x
4.18 ，
i 1
yi
y
1.53 .
. 现由天气预报得知，某地在
20．近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨 未来 5 天的指定时间的降雨概率是：前 3 天均为
9．如果
x
B
高二数学下学期期末考试试题(普通班)理(新版)人教版
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019学年度第二学期期末考试卷高二(普通班)理科数学（总分150分，时间120分钟）第I 卷（选择题 60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
) 1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－12．设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}4．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( )A ．－62B ．62C ．32D ．－325．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A..32 B 114 C.72D ．1 6．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ）(n ∈N *)，则a 2 017的值为( )A ．4 033B ．3 029C ．2 249D ．2 2097．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2，4) B ．(－4，－2)∪(－1，2) C ．(1，2)∪(10，＋∞) D ．(10，＋∞)9．已知函数f (x )＝a x，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 210．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b11．若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，427B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，427C.⎝⎛⎭⎪⎫427，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤427，2312．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2，3] 第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021年人教版高二数学(理)下学期期末试卷含答案
2021年人教版高二数学（理）下学期期末试卷含答案一、单选题1．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A．B．C．D．42．已知集合，,则（）A．B．C．D．3．奇函数定义域为R，当时，，且函数为偶函数，则的值为A．B．2C．D．34．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．5D．85．在复平面内，复数的对应点坐标为，则的虚部为（）A．B．-4C．5D．6．已知向量、是两个非零向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定，与，的具体值有关8．已知,当时,不等式（是整数）恒成立,则的最大值是（）A．B．C．D．9．已知函数，若，且，则取最大值时的值为（）A．，B．，C．，D．，10．为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了地岁的名女性，其中地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在岁的女性被抽取了40人，则年龄在岁的女性被抽取的人数为（）A．50B．10C．25D．4011．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．已知，角的对边分别为，，，，则的面积为( )A ．B．C．D．二、填空题13．已知，则S的取值范围是________．14．过抛物线：的焦点作两条斜率之积为的直线，，其中交于、两点，交于，两点，则的最小值为________．15．若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的系数是_________．16．直线（为参数）的倾斜角是______．三、解答题17．已知函数.（1）求的最小值；（2）若正实数满足，求证：.18．如图甲，四边形中，是的中点，．将（图甲）沿直线折起，使二面角为（如图乙）．（1）求证：⊥平面（2）求点到平面的距离．19．已知函数．当时，求函数的单调区间；。
人教版高二下期末数学试卷(理)含答案解析
-河北省保定市定州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5]B．（﹣1，5]C．[﹣1，1]D．[1，5]2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=2﹣|x|3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16B．18C．24D．325．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．11．log2（C+C+…+C）的值为（）A．1007B．1008C．2014D．201512．函数f（x）=e x﹣，若实数m满足f（m2）+f（3m﹣4）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）△（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）△（1，+∞）D．（﹣4，1）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=________．14． +++…+=________．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为________．（用数字作答）16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？女生男生总计爱吃零食不爱吃零食总计参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.0500.010k0 2.706 3.841 6.63519．某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为40%，55%，5%．其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（△）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（△）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E （ξ）和方差D（ξ）．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（△）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（△）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：分组A B C用电量（0，80]（80，250]从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：（△）写出这10个数据的中位数和极差；（△）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（△）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省保定市定州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5]B．（﹣1，5]C．[﹣1，1]D．[1，5]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出关于集合M，N的范围，取交集即可．【解答】解：M={x||x﹣2|≤3，x∈R}={x|﹣3≤x﹣2≤3}={x|﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]，N={y|y=1﹣x2，x∈R}={y|y≤1}=（﹣∞，1]，则M∩（∁R N）=[﹣1，5]∩（1，+∞）=（1，5]，故选：A．2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，不合题意；对于B，函数y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递增函数，满足题意；对于C，函数y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；对于D，函数y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；故选：B．3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【考点】演绎推理的基本方法．【分析】指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的．【解答】解：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选A．4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16B．18C．24D．32【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．5．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项【考点】数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端++…+，那么当n=k+1时左端=+…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，故选：C．7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【考点】随机事件．【分析】根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．【解答】解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P﹣ABC，P﹣ABD，P﹣ACD，P﹣BCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到AE2=AB2﹣BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正四面体A﹣BCD的高），故正四面体的体积V=，正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4）解得：h1+h2+h3+h4=a，∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a．又正四面体棱长为2，即a=2，∴定值为．故选：D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率，即可得出结论．【解答】解：事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率．由题意，设参赛人数为x，则高一、高二年级参赛人数分别为0.6x.0.4x，高一年级获奖人数0.1x，高二年级获奖人数0.05x．∴P（B|）==，故选：A．11．log2（C+C+…+C）的值为（）A．1007B．1008C．2014D．2015【考点】组合及组合数公式；对数的运算性质．【分析】根据二项式定理和对数的运算性质即可求出．【解答】解：C+C+…+C=（C+C+…+C+…+）=×22015=22014，∴log2（C+C+…+C）=log222014=2014，故选：C．12．函数f（x）=e x﹣，若实数m满足f（m2）+f（3m﹣4）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）△（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）△（1，+∞）D．（﹣4，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据解析式求出f（x）的定义域和f（﹣x），由函数奇偶性的定义判断出f（x）是奇函数，由为y=e x在R上是增函数判断出f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性转化不等式，求出m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣的定义域是R，因为f（﹣x）=﹣e x=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，因为y=e x在R上是增函数，所以f（x）=e x﹣在R上是增函数，则f（m2）+f（3m﹣4）＜0为：f（m2）＜﹣f（3m﹣4）=f（﹣3m+4），即m2＜﹣3m+4，则m2+3m﹣4＜0，解得﹣4＜m＜1，所以m的取值范围是（﹣4，1），故选D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），μ=1，∴正态曲线的对称轴x=1∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故答案为：0.16．14． +++…+=．【考点】数列的求和．【分析】根据：数列的通项公式为==﹣，利用裂项法进行求解即可．【解答】解：数列的通项公式为==﹣，则+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为65．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从8人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从8人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C84=70种情况；②选出的4人都为男生时，有C54=5种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共70﹣5=65种；故答案为：65．16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是﹣2≤a＜0．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断a＜0，再分析x＜0，函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，利用f（x）=恰有2个零点，即可得出结论．【解答】解：由题意，a＜0，x＜0，f（x）=x3﹣ax2﹣4，f′（x）=x（3x﹣2a）=0，可得x=0或，∴函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，∵f（x）=恰有2个零点，∴﹣2≤a＜0，故答案为：﹣2≤a＜0．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．【解答】解：（1）复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限，可得，解得：x=y=1．z=1+i．（2）z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），cos∠ABC===．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？女生男生总计爱吃零食不爱吃零食总计参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.0500.010k0 2.706 3.841 6.635【考点】线性回归方程．【分析】根据列联表运用公式K2=，n=a+b+c+d，求出k值，根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，即可得出结论．【解答】解：将2×2列联表补充完整：女生男生总计爱吃零食6080140不爱吃零食204060总计80120200由题意可得，a=60，b=80，c=20，d=40，所以K2===1.587，因为1.587＜2.706，所以没有90%的把握认为高中生爱吃零食的生活习惯与性别有关．19．某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为40%，55%，5%．其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（△）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（△）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E （ξ）和方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（△）根据题意，计算购买一件这种产品能正常使用的概率值；（△）根据题意，得出ξ的可能取值，求出对应的概率值，列出ξ的分布列，计算数学期望与方差．【解答】解：（△）根据题意，购买一件这种产品，此件产品能正常使用的概率为P=40%+55%=0.95；（△）购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3，所以P（ξ=0）=•（1﹣0.4）3=0.216，P（ξ=1）=×0.4×（1﹣0.4）2=0.432，P（ξ=2）=×0.42×（1﹣0.4）=0.288，P（ξ=3）=×0.43=0.064；所以ξ的分布列如下表：ξ0123P0.2160.4320.2880.064ξ的数学期望为E（ξ）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2，方差为D（ξ）=3×0.4×（1﹣0.4）=0.72．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（△）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（△）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出和，然后求出线性回归方程=0.5x﹣1.5；（2）通过x=5，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由=×x i=6，=×y i=1.5，===0.5，=﹣=1.5﹣0.5×6=﹣1.5，家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=0.5x﹣1.5；（2）当x=5时，=1，某家庭月收入为5千元，该家庭的月储蓄1千元．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：分组A B C用电量（0，80]（80，250]从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：（△）写出这10个数据的中位数和极差；（△）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（△）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（△）由茎叶图得这10个数从小到大为46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，由此能求出这10个数据的中位数和这10个数据的极差．（△）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，从这10个数据中任意取出3个，来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，分另求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（△）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），由此能求出从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，能求出n．【解答】解：（△）由茎叶图得这10个数从小到大为：46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，位于中间的两个数是133和150，∴这10个数据的中位数是=141.5，这10个数据的极差为：256﹣46=210．（△）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，∴从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的可能取值为：ξ123PEξ==．（△）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），P（X=k）=，k=0，1，2， (20)设t===，若t＞1，则k＜16.4，P（X=k﹣1）＜P（X=k）；若k＜1，则k＞16.4，P（X=k﹣1）＞P（X=k），∴当k=16或k=17时，P（X=k）可能最大，==＞1，∴从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，则n=16．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直线l的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程；（2）求得直线l与y轴的交点，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t，由代入法可得直线l的普通方程为x﹣y+3=0；由ρ=2sinθ知，ρ2=2ρsinθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入上式，可得x2+y2=2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0；（2）直线l与y轴的交点为P（0，3），直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0，得：t2+2t+3=0，设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=3，故|PA|•|PB|=|t1t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f （x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…2016年9月7日。
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学校：___________________________年_______班姓名：____________________学号：________---------密封线---------密封线---------高中二年级第二学期人教版高二数学下册期末考试理科数学试题符合题意)1. 设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝().A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]2. 已知复数201712izi=-，则复数z的虚部为().A.25- B.15i C.15D.15-3. 随机变量X～()1,4N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为().A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.64. 若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有().A. 34A B. 34C C. 34 D. 435. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）销售额约为().A. 90.8B.72.4C. 98.2D. 111.26. 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A表示“第1次取到的是奇数”，事件B表示“第2次取到的是奇数”，则(|)P B A=().A.15B.310C.25D.127. 已知函数，是的导函数，则的图象大致是().8.B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为( )A.23B.34C.45D.569. 若,0x y>且2x y+>，则1yx+和1xy+的值满足（）A.1yx+和1xy+都大于2 B.1yx+和1xy+都小于2C.1yx+和1xy+中至少有一个小于2 D. 以上说法都不对10. 2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（）A．25﹪B．50﹪C．70﹪D．75﹪11. 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：33313731523945171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩，，，....仿此，若3m的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为().A. 44B. 45C. 46D.4712. 已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( ).A. ()1,-+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()2,1--二. 填空题(本题有4个小题，每小题5分，满分20分) 13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。
某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ . 14. 已知函数()()2ln '1f x x x f =-⋅，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是__________________________ . 15.设()()()()62601262111x a a x a x a x -=+++++++，则4a 等于_________________________ .16. 先阅读下面的文字：“x =，则有x =两边平方，可解得x =2（负值舍去）”。
那么，可用类比的方法，求出12122+++⋅⋅⋅的值是 _______ .三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知定义在R⑴ 求a b ，； ⑵ 若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望． 附:2K ＝2()n ad bc -19. （本小题满分12分）如图,某段铁路AB 长为80公里，BC AB ⊥,且10BC =公里，为将货物从A 地运往C 地, 现在AB 上的距点B 为x 的点M 处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元. （1）将总运费y 表示为x 的函数. （2）如何选点M 才使总运费最小？20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211,n n a S n a n N +==∈（1）试求出1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出n a 的表达式。
21. （本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++．（1）求的极值；（2）当时，试证明：．()f x 0a b >>(1)(1)baa b +<+请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于、两点，求的值．23． （本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数，不等式的解集是． （1）求实数的值；（2）若对一切恒成立，求的范围．C 2cos 29ρθ=)6P πO x OP C OP C A B 11||||PA PB +()||f x x a =-()2f x ≤{}|15x x ≤≤a (2)(2)f x f x m ++≥x R ∈m参考答案及评分标准:一.二. 13.4514. 20x y --= 15. 135 16. 72 二. 解答题：17.⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，.⑴ ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()100b f -==，∴1b = ……1分 2a +21x a a +=+即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1a b ==．……5分 ()f x 是R 上的减函数。
……6分⑵ 不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-． 又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-． ……8分 ∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立，……10分∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， ……12分18.（1（2）分布列见解析，（1……3分 6.635)0.01=所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．……6分（2）的可能取值为0，1，2，3 ……7分1)1()0(3===X P ， 92)1)(2()1(213===C X P..…10分因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= ……12分 19.（1（2C 时总运费最省． （1）依题意，铁路AM 上的运费为280x -,公路MC 上的运费为分（2分,'0y ≥； X20. （1）21n nS n =+；（2）见解析. （1）解：()()()221112221n n n n n n n n n a S S n S n S S S S n n ---=-≥∴=-∴=≥-11123443681,1,,,,3245a S a S S S =∴====== ……3分猜想21n nS n =+ ……5分（2）证明：（1）当1n =时， 1211,111S ⨯==+等式成立。
假设当()1,n k k k N +=≥∈时，等式成立，即21k kS k =+。
当1n k =+时，()21111211k k k k k k S k a a S a k ++++=+⋅=+=++，∴()()122121212k k a k k k k k +=⋅=++++ ……8分()()()()()()()2211212121112211k k k k S k a k k k k k ++++∴=+⋅=+⋅==+++++1n k ∴=+时，等式也成立。
综上1）2）知，对于任意n N +∈， 21n nS n =+都成立。
……10分 又()()()122121k n a a k k n n +=∴=+++……12分'1ln(1)1ln(1)f x x x =-++=-+ ……2分当)0,1(-∈x 时，'()0f x >， (0,+),'()0,x f x ∈∞<时……4分 所以当0x =时，极大值=(0)0f =．函数()f x 无极小值。
……5分（Ⅱ）要证，只需证ln(1)ln(1)b a a b +<+，……6分设，则……10分由（1）知在单调递减(1)ln(1)0x x x ∴-++<即g x 在0,+∞上是减函数，而0a b >>，故原不等式成立 ……12分22.（1）312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），229x y -=；（2）2. （1）∵化为直角坐标可得P ，=6πα，……1分∴直线OP 的参数方程为：3,21.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……3分 ∵2222cos sin 9ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程：229x y -=，……5分()f x ()()11baa b +<+a b ()()()ln 1 ,0x g x x x+=>(1)ln(1)x x x -++()0,+∞()() g a g b ∴<∴12t t +=-1260t t =-<，∴121212||1111||||||||||t t PA PB t t t t -+=+==……10分 23.（1）3a =；（2）12m ≤． （1）由题意可知||2x a -≤，22x a -≤-≤，解得22a x a -≤≤+，……2分∵不等式()2f x ≤的解集是{}|15x x ≤≤，∴21,25,a a -=⎧⎨+=⎩解得3a =．…… 5分（2）∵()|3|f x x =-，∴(2)(2)|23||1|f x f x x x ++=-+-……6分33|||||1|22x x x =-+-+- 310|()(1)|22x x ≥+---=，……8分当32x =时，[]min 1(2)(2)2f x f x ++=，∴1m ≤．……10分当2x =时，[]min (2)(2)2f x f x ++=，∴12m ≤．。