高三起点调研考试数学试题
湖北省武汉市部分学校高三9月起点调研考试数学(文)试题(含答案)
武汉市部分学校20xx 届高三起点调研考试数 学（文科）20xx.9.6一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在复平面内，点M 表示复数z ，则z 的共轭复数对应的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q2．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝03．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A ．588B ．480C ．450D ．1204．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 A ．p 为真 B ．﹁q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真5．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是A ．1－π4B ．π2－1C ．2－π2D ．π46．设函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数．则下列结论错误的是 A ．D(x)的值域为{0，1} B ．D(x)是偶函数C ．D(x)不是周期函数D ．D(x)不是单调函数7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．4＋2 6B ．4＋ 6C ．4＋2 2D ．4＋ 28．已知函数y ＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是9．已知抛物线y2＝2px （p ＞0）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋110．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．已知集合A 、B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A ∪B)＝{4}，B ＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝ ．12．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．13．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s 值等于 ．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足→PC ＝2→BP ，则→AB ·→AP＝ ．15．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4．所表示的平面区域为D ．若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．16．设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sinθ＋cosθ＝ ． 17．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n ＝1，2，3，…，有an ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3an ＋5，an 为奇数，an 2k ，其中k 是使an ＋1为奇数的正整数，an 为偶数．（Ⅰ）当a1＝19时，a20xx ＝ ；（Ⅱ）若an 是不为1的奇数，且an 为常数，则an ＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos(B －C)＋1＝4cosBcosC ．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝27，△ABC 的面积为23，求b ＋c ．19．（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n ，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＜12．20．（本小题满分13分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，已知AB ＝2，AD ＝EF ＝1．（Ⅰ）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（Ⅱ）设平面CBF 将几何体EF-ABCD 分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD 、VF-CBE ，求VF-ABCD ：VF-CBE 的值．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝x －12alnx ，a ∈R ． （Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，（ⅰ）当a ∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；（ⅱ）当a ＞0，b ＞0时，证明：φ′(a ＋b 2)≤φ′(a)＋φ′(b)2≤φ′(2ab a ＋b)．22．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有→OP＝→OA＋→OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．武汉市20xx 届高三9月调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．A 3．B 4．C 5．A6．C 7．A 8．B 9．D 10．B二、填空题11．{3} 12．15 13．－3 14．56 15．[12，4] 16．－10517．（Ⅰ）98；（Ⅱ）5 三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos(B －C)＋1＝4cosBcosC ，得2(cosBcosC ＋sinBsinC)＋1＝4cosBcosC ，即2(cosBcosC －sinBsinC)＝1，亦即2cos(B ＋C)＝1，∴cos(B ＋C)＝12． ∵0＜B ＋C ＜π，∴B ＋C ＝π3． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3．………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得A ＝2π3． 由S △ABC ＝23，得12bcsin 2π3＝23，∴bc ＝8． ① 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，得(27)2＝b2＋c2－2bccos 2π3，即b2＋c2＋bc ＝28， ∴(b ＋c)2－bc ＝28． ②将①代入②，得(b ＋c)2－8＝28，∴b ＋c ＝6．………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋(2n －1)d ＝2a1＋2(n －1)d ＋1．解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝2． ∴an ＝2n －1，n ∈N*．……………………………………………………………6分（Ⅱ）∵1anan ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＜12．………………………………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，设FD 的中点为N ，连结AN ，MN ．∵M 为FC 的中点，∴MN ∥CD ，MN ＝12CD ． 又AO ∥CD ，AO ＝12CD ， ∴MN ∥AO ，MN ＝AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又OM ⊄平面DAF ，AN ⊂平面DAF ，∴OM ∥平面DAF ．………………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FG ⊥平面ABCD ，∴VF-ABCD ＝13SABCD ·FG ＝23FG ． ∵CB ⊥平面ABEF ，∴VF-CBE ＝VC-BEF ＝13S △BEF ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝16FG ． ∴VF-ABCD ：VF-CBE ＝4．……………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x)＝12x －a 2x ＝x －a 2x （x ＞0）． （1）当a ≤0时，f ′(x)＝x －a 2x＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无最小值． （2）当a ＞0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝a2．当0＜x ＜a2时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，a2)上是减函数；当x ＞a2时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(a2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x ＝a2处取得最小值f(a2)＝a －alna ．故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝a －alna （a ＞0）．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a －alna （a ＞0），求导数，得φ′(a)＝－lna ．（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a ＝1．当0＜a ＜1时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函数；当a ＞1时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是减函数．∴φ(a)在a ＝1处取得最大值φ(1)＝1．故当a ∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1．…………………………………10分（ⅱ）当a ＞0，b ＞0时，φ′(a)＋φ′(b)2＝－lna ＋lnb 2＝－ln ab ， ① φ′(a ＋b 2)＝－ln(a ＋b 2)≤－ln ab ， ② φ′(2ab a ＋b )＝－ln(2ab a ＋b )≥－ln 2ab 2ab＝－ln ab ， ③ 由①②③，得φ′(a ＋b 2)≤φ′(a)＋φ′(b)2≤φ′(2ab a ＋b )．………………………14分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设F(c ，0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，∴O 到l 的距离为|0－0－c|2＝c 2， 由已知，得c 2＝22，∴c ＝1． 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a2－c2＝2．……………………………………4分 （Ⅱ）假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→OP ＝→OA ＋→OB 成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．由（Ⅰ），知C 的方程为x23＋y22＝1． 由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x23＋y22＝1．消去x 并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty －4＝0． 由韦达定理，得y1＋y2＝－4t 2t2＋3， ∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－4t22t2＋3＋2＝62t2＋3， ∴P(62t2＋3，－4t 2t2＋3)． ∵点P 在C 上，∴(62t2＋3)23＋(－4t 2t2＋3)22＝1， 化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝12． 当t ＝22时，P(32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P(32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0．故C上存在点P(32，±22)，使→OP＝→OA＋→OB成立，此时l的方程为2x±y－2＝0．…………………………………………………………………………………14分。
2021年高三起点调研考试数学(理)试题 含答案
2021年高三起点调研考试数学（理）试题 含答案考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）1. 已知集合，，若，则A. B. C. 或 D. 或2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B.C. D.3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A. B. C. D.4. 已知向量、满足，，，则A. B. 3 C. D. 5. 已知、取值如下表：0 1 4 5 6 1.3 5.6 7.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为 A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.86. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.7. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则该等差数列的公差A. B. C. D. 8. 函数的部分图像可能是Ox O yx O yx.Ox .C D9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17 10. 若，，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件正视图侧视图俯视图11. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A.B.C.D.12. 已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 若函数，则____________.14. 在的展开式中，项的系数是____________. 15. 若实数满足，则的取值范围是___________.16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，且. (1) 求角；(2) 若△的面积，，求的值. 18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足. (1) 求数列的通项公式； (2) 设，求数列的前项和. 19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点. (1) 求证：平面平面； (2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分） 如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率； (2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点. 记的面积为，的面积为，求的取值范围.22.（本小题满分12分） 已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值； (2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.长春市xx 学年新高三起点调研考试 数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得或，则，又当时，集合出现重复元素，因此或. 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：，，，则. 故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B 由，且可知，. 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为. 故选C. 6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，，， 作差可得，即. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点，故的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C. 10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“”“”，但“” “”，即“”是“”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是. 故选D. 12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题.【试题解析】B 根据①可知图像的对称中心为，根据②可知图像的对称轴为，结合③画出和的部分图像，如图所示，据此可知与的图像在上有6个交点. 故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识. 14. 【试题解析】计算可得.15. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.16. 【试题解析】在的展开式中，项是，故的系数为.17. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 18. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故的取值范围是. 19. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.20. 【试题解析】设三棱柱的高为，由题意可得，正三棱柱的体积为，求导可得当时，取得最大值为. 三、解答题 17. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理可化为 即 整理得，即，. （5分） (2) 由△的面积，可知，而由余弦定理得b ===.（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当时，，解得 当时，，有，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，有. （6分） (2) 由（1）知，有 ①①，② ①-②，得 整理得. （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 . （4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. （8分） 综上可得的分布列为： （10分）的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 依题意知，， 有设平面的一个法向量， 有代入得， 设，有，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，有，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，， 因此椭圆的离心率为. （4分） (2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.400 500 600 700 800 1000根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以.因为，所以，. 由与相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分） 22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) （2分）因为是函数的一个极值点，所以， 即.而当时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--， 可验证：是函数的一个极值点. 因此.（4分）(2) 当时，令得，解得，而. 所以当变化时，、的变化是极小值 极大值因此的单调增区间是，； 的单调减区间是，，； （9分） (3) 当取正实数时，， 令得，当时，解得.在和上单调递增，在上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值，极小值，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当时，，当时，. 因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立； 当时，的单调增区间是，无论取何值，方程最多有一个实数根，结论不成立. 因此所求的取值范围是. （12分）28280 6E78 湸26047 65BF 斿26856 68E8 棨32829 803D 耽 ? y 24708 6084 悄30150 75C6 痆23284 5AF4 嫴21582 544E 呎22922 598A 妊34977 88A1 袡29173 71F5 燵。
高三调研试卷及答案数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是：A. √2B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. -3/22. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = f(b)，则a和b的关系是：A. a + b = 2B. a - b = 2C. a + b = 3D. a - b = 33. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前5项和S5是：A. 50B. 55C. 60D. 655. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc6. 函数y = x^2 - 4x + 4的图像与x轴的交点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 07. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标是：A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10是：A. 170B. 180C. 190D. 2009. 下列各图中，能表示函数y = x^2 - 4x + 4的是：A.B.C.D.10. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，S3 = 9，则q的值为：A. 1B. 2C. 3D. 1/2二、填空题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的值为______。
2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a5 = 9，则a1的值为______。
_数学丨广东省深圳市2023届高三第一次调研考试数学试卷及答案
2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准2023.2本试卷22小题，满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．15．（注：答案不唯一，还可能的答案有，等，函数零点） 16．，四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）解：（1）当时，，；当时，，． 所以．………………………………………………2分因为 ①， 所以②．②－①得，，整理得，．所以（常数），．………………4分 所以是首项为6，公差为4的等差数列．………………………………………5分（2）由（1）知，，，． …………………… 6分当为偶数时，…；………………………………………………………………7分10−1311,32()21,52()31,82()0.41868622x ≈22224()()x a y a a a −++=+451n =1122a a =+14a =2n =21252a a a +=+22a =126a a +=212n n a S n =++211(1)12n n a S n ++=+++2211(1)22n n n a a a n n ++=−++−142n n a a n ++=+*n ∈N 121()()[4(1)2](42)4n n n n a a a a n n ++++−+=++−+=*n ∈N {}1n n a a ++14(1)242n n a a n n −+=−+=−*n ∈N 2n n 1234()()n S a a a a =++++1(642)2()2n n n n a a −+−++=2n n =+当为奇数时，… ． ………………………………………………………………9分综上所述， ………………………………………………10分18．（12分）解：（1）由已知得，， ………………………………………………1分 由正弦定理可得，， …………………………………2分因为，所以．代入上式，整理得 ， ………………………………………………………………3分又因为，，即． …………5分 而，所以，． …………………………………………6分 （2）在中，由余弦定理得，． 而，，所以．① …………………………………………8分 在中，由余弦定理得，，② ……………………………………10分 由①②两式消去，得，所以． 又，解得，． ……………………………………………………11分所以的面积． ……………………………………………………12分 19．（12分）证明：（1）连接交于点，连接．因为是菱形，所以，且为的中点． …………………………1分 因为，所以． ……………………………………………2分 又因为平面，且，所以平面．…………………………………………………………3分又平面，所以，平面平面． ………………………………5分 解：（2）取中点，连接交于点，连接因为，所以△是等边三角形， 所以．又因为，所以平面．所以．n 12345()()n S a a a a a =+++++11(1042)2()42n n n n a a −−+−++=+22n n =++22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时，.sin cos b c C a C +=+sin sin sin sin cos B C A C A C +=+πA B C ++=sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C ≠cos 1A A −=π1sin()62A −=ππ5π666A −<−<ππ66A −=π3A =ACD △2222cos 42c c CD b b A =+−⋅π3A =CD a =22242c bc a b =+−ABC △222a b c bc =+−a 232c bc =32c b =1b c −=3b =2c =ABC △1sin 2S bc A ==DB AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =PO BD ⊥,AC PO ⊂APC AC PO O =BD ⊥APC BD ⊂ABCD APC ⊥ABCD AB M DM AC H PH π3BAD ∠=ABD DM AB ⊥PD AB ⊥AB ⊥PDM AB ⊥PH由（1）知，且，所以平面． …………………6分 由是边长为2的菱形，在△中，，由，在△中， ，所以． …………………………………7分 （法一）以为坐标原点，、分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． …………………………8分 设平面的法向量为，所以111111132********BP xy z AB x y ⎧⎧⋅=−−+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩n n ，令得． …………9分 设平面的法向量为， 所以22222223260033030BP x y z CB x y ⎧⎧⋅=−−+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩−=⎩n n ，令得． …………10分 设平面与平面的夹角为．所以，． 所以，平面与平面． …………………………………………12分（法二）因为，，所以，，所以． (8)分取中点，过点作且交于点，连接，．因为△是等边三角形，所以．又因为，所以，所以为二面角的平面角．……………10分在△中，．在△中，． 在△中，所以，， BD PH ⊥AB BD B =PH⊥ABCD ABCD ABC cos30AM AH ==︒cos30AO AB =⋅︒=AP PC ⊥APC 283PH AH HC =⋅==PH =O OB OC x y (0,0)A (1,0,0)B (00)C (0,,0)3H −(0,,33P −(1,3,0)AB =(1,3,0)CB =−326(1,,)33BP =−−PAB 1111(,,)x y z =n 11y =1(2=−n PBC 2222(,,)x y z =n 21y =2,1,=n PAB PBC θ121212|11||cos |cos ,|||||θ⨯⋅=<>===n n n n n n PAB PBC 2PB PA ===PC ==222PB BC PC +=PB BC ⊥PB N N //NQ BC PC Q AN AQ APB AN PB ⊥//NQ BC NQ PB ⊥ANQ ∠C PB A −−APB sin60AN AB =⋅︒BPC 112NQ BC ==APC AQ =222cos 23AN NQ AQ ANQ AN NQ +−∠==⋅P A B C D O M HN Q所以，平面与平面．…………………………………………12分 20．（12分）解: （1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为． ……………………………2分 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率． …………………………………4分 由题意，该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数～．所以，的数学期望．……………………………………………………6分（2）记事件为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．由（1）知，， ． ………………………………………………………9分 又， 由全概率公式，得， 解得． ……………………………………………………11分 所以，根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．…………………12分 21．（12分）解：（1）（法1）设，，．联立直线与双曲线的方程，得， ……………………………………………1分 消去，得．由△且，得且． 由韦达定理，得，．…………………………………………2分 所以，． 由消去，得． …………………………………………4分 由且，得或． 所以，点的轨迹方程为，其中或．………………………6分 （法2）设，，．PAB PBC 123p =213p =1321249p C p p ==X 3(9,)p B X 3()94E X np p ===A B C 4()9P A =5()1()9P B P A =−=212()(|)()339P A P C A P AC ==⨯=44()=459P C =+()()(|)()(|)P C P A P C A P B P C B =+425(|)999P C B =+2(|)0.45P C B ==40%11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M x y l E 22344y kx x y =−⎧⎨−=⎩y 22(14)24400k x kx −+−=2160640k =−>2140k −≠252k <214k ≠1222414k x x k −+=−1224014x x k −=−120212214x x k x k +−==−20022123331414k y kx k k−−=−=−=−−02021214314k x k y k −⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩k 22000412x y y =+252k <214k ≠03y −013y >M 22412x y y =+3y −13y >11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M x y（i ）当时，易得．（ii ）当时，，由，两式相减，整理得． ………………………2分 而，，， 所以， 即． ………………………………………4分 综上，点的轨迹方程为（除去的一段）． ……………………6分 （2）（法1）双曲线的渐近线方程为． 设，，联立 得，同理可得， ……………………………………………………7分 因为， 所以，线段的中点也是线段的中点． 所以，为线段的两个三等分点． …………………………9分，．而， ． 所以，，解得， 所以，存在实数，使得、是线段的两个三等分点．…………………12分 （法2）双曲线的渐近线方程为．设，， 联立直线与双曲线的渐近线方程，得， 消去，得． ……………………………………………7分 由韦达定理，得线段的中点横坐标为． 所以，线段的中点也是线段的中点．所以，为线段的两个三等分点． …………………………9分0k =(0,3)M −0k ≠00x ≠221122224444x y x y ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩121212124()y y x x y y x x −+=+⋅−1202x x x +=1202y y y +=0121203y y y k x x x +−==−000034y x y x +=⋅22000412x y y =+M 22412x y y =+103y E 12y x =±33(,)C x y 44(,)D x y 123y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=−⎩3621x k =−4621x k =+340212214x x k x k +−==−AB M CD ,A B CD ⇔||3||CD AB =3412||x x x x −=−3412||3||x x x x −=−12||x x −==3426612||||2121|41|x x k k k −=−=−+−212|41|k =−32k =±32k =±A B CD E 2204x y −=33(,)C x y 44(,)D x y l E 22340y kx x y =−⎧⎨−=⎩y 22(14)24360k x kx −+−=CD 340212214x x k x k +−==−AB M CD ,A B CD ⇔||3||CD AB =解得，所以，存在实数，使得、是线段的两个三等分点． (12)分 22．（12分）解：（1）当时，，定义域为． ……………………………………1分 ，令，得． ……………………………………2分 当时，；当时，． 所以，的单调增区间为，单调减区间为． ………………………3分 （2）函数的不动点即为方程的根，即方程的根． 显然，不是方程的根，所以． 记（），因为（当且仅当取等号）， 所以在和上均单调递增． ………………………………………………5分由，记． ①当时，（i ）当时，，（可证，利用放缩可得）， 存在，使得，即存在唯一使得；注：也可通过时，，且时，，存在唯一使得．（ii ）当时，，（可证）， 存在，使得，即存在唯一使得． …………………7分 ②当时，（i ）当时，无零点； （ii ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得．注：也可通过且时，，时，，存在唯一使得．综上所述，当时，函数有两个“不动点”，；=32k =±32k =±A B CD 1a =4()ex x f x +=R 3()ex x f x +'=−()0f x '=3x =−3x <−()0f x '>3x >−()0f x '<()f x (,3)−∞−(3,)−+∞()f x ()0f x x −=(4)0e xa x x +−=4x =−(4)0e x a x x +−=(4)e 00e 4x x a x x x a x +−=⇔−=+e ()4x x F x a x =−+4x ≠−22(2)e ()0(4)x x F x x +'=+2x =−()F x (,4)−∞−(4,)−+∞e (4)()4x x a x F x x −+=+()e (4)x h x x a x =−+0a >(,4)x ∈−∞−44(4)0e h −−=<1(4)0e h a −−>1e ex x −1(,4)t ∈−∞−1()0h t =1(,4)t ∈−∞−1()0F t =x →−∞()F x a →−4x →−4x <−()F x →+∞1(,4)t ∈−∞−1()0F t =(4,)x ∈−+∞(0)40h a =−<(4)0h a >e1x x +2(0,)t ∈+∞2()0h t =2(0,)t ∈+∞2()0F t =0a <(,4)x ∈−∞−e ()04x x F x a x =−>+(4,)x ∈−+∞(0)40h a =−>44(4)0eh −−=<0(4,0)t ∈−0()0h t =0(4,)t ∈−+∞0()0F t =4x →−4x >−()F x →−∞x →+∞()F x →+∞0(4,)t ∈−+∞0()0F t =0a >()f x 1t 2t当时，函数有一个“不动点”．……………………………………8分（3）由（2）知(其中)．由，代入得． 记，由（1）知，当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递减，且．由可得；可得，共三个解．…………10分所以，有一个零点．所以，由， 代入得，由（1）知， 当，即时，的解为； 当，即且时，所的解为，． 综上所述，当且时方程有两个不同实数根． ………………………………12分0a <()f x 0t (())()0f f x f x −=()i f x t ⇔={0,1,2}i ∈e ()0=4i t i i i t F t a t =⇒+44e e i i t x t x ++=4()ex x G x +=(,4]x ∈−∞−()G x ()(,0]G x ∈−∞(4,3)x ∈−−()G x 3()(0,e )G x ∈(3,)x ∈−+∞()G x 3()(0,e )G x ∈1()()0G x G t =<1x t =2()()0G x G t =>20,x t x =()F t 0t (())()0f f x f x −=0()f x t ⇔=0000e ()04t t F t a t =⇒=+0044e et x t x ++=03t =−33ea =−10()()G x G t =0t 03t ≠−0a <33ea ≠−10()()G x G t =1x 0t 0a <33ea ≠−。
福建省福州第一中学2022-2023学年高三上学期第一次调研测试数学试题(含答案)
福建省福州第一中学2023届高三第一次调研测试数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}|lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则下列结论正确的是A ．3A-∈B ．3B∉C ．A B B= D ．A B B⋃=2．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．若函数()f x 同时满足：(1)对于定义域内的任意x ，有()()0f x f x +-=；(2)对于定义域内的任意12,x x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =-；③()1f x x x=-；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩.其中是“理想函数”的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4．已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D ．函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象5．设a b c ､､都是正数，且469a b c ==，则下列结论错误的是（ ）A ．c b a<<B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-6．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面ABOD ，//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，A D=异面直线CD 与AB 所成角为30︒，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．21πB ．42πC ．48πD ．84π7．已知()sin 23sin αββ-=-，且ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，其中Z k ∈，则()tan tan αβα-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知,R a b ∈，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+≥B．2a b +≤C ．22ab a ba b +≤+D ．222a b ab +≤10．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 是其三内角，则下列一定成立的有（ ）A ．()sin sin sin A B A B +>+B ．sin cos A B >C ．sin cos B A>D ．sin sin 2cos A B C+<11．在ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（ ）A ．0AC CB ⋅> B ．222ab c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B>D ．tan tan tan 0A B C ++>12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn +三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，直三棱柱111ABC A B C -，60ABC ∠=︒，2AC =P 是侧面1ACCA 内一点．当AB BC +最大时，过B 、1B 、P 三点的截面面积的最小值为______．14．若函数y ＝12sin ωx 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是________.15．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为_________.16．已知函数21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数[]()1y f f x =+的零点个数是______个.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，根据下列条件，解三角形．（1）A ＝60°，c，a；（2）ab，B ＝45°.18．已知函数()22sin cos f x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位得到()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间．19．如图，要在一块矩形空地ABCD 上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，且点E ､F ､G ､H 都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===.设AE x =，绿地EFGH 的面积为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式()y f x =，并写出这个函数的定义域；（2）记()y f x =的最大值为()g a ，求()g a 的表达式.20．在多面体111ABCC A B 中，四边形11ABB A 为菱形，160B BA ∠=o，平面11ABB A ⊥平面ABC ，1112BC B C = ，AC BC ⊥，1AB B C ⊥.（1）若O 是线段AB 的中点，证明：平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）求二面角1C AC B --的正弦值.21．已知各项均为正数的两个数列{},{}n n a b 满足22112,n n n a a a +-=+2212log log 1,n n n a b b +=++且11 1.a b ==（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,,n n S T 求使得等式：236m m i S a T +-=成立的有序数对*(,)(,).m i m i N ∈22．已知函数()32f x ax bx =++在2x =-处取得极值-14.(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线方程；(3)求函数()f x 在[]3,3-上的最值.参考答案：1．C试题分析：(){}{}|lg 3|3A x y x x x ==+=>- ，{}|2B x x =≥，故A 选项错误，B 选项错误，B A ⊆，所以A B B = ，故C 选项正确，A B A ⋃=，D 选项错误，故选C.考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系2．A由纯虚数的概念求得m 值，注意虚部不能为0．根据纯虚数的概念可知:230m m -=且2560m m -+≠，解230m m -=，得0m =或3m =；当0m =时，2566m m -+=符合题意，当3m =时，2560m m -+=（舍） ，所以0m =.故选：A.3．C由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．解： 函数()f x 同时满足①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”，∴ “理想函数”既是奇函数，又是减函数，①()2f x x =是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；②()3f x x =-是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；③()1f x x x=-是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选C本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．4．C根据函数()cos()(04f x x ωϕω=-<<，0)ϕπ<<的部分图象，(0)cos 2f = ，cos cos 2ϕ∴=，2ϕ∴=．再根据五点法作图可得120ω⨯-=，2ω∴=，()cos(22)f x x =-．故它的周期为22ππ=，故A 不对．令61x π=-，22124x π-=-，()f x 的值不是最值，故B 不对．令14x π=+，222x π-=，()f x 的值为零，故函数()f x 的图象关于点(14π+，0)对称，故C 正确．把函数()f x 的图象向左平移2个单位，可得cos(22)y x =+的图象，显然所得函数不是偶函数，故D 错误，故选：C ．故选C.5．B首先根据指对运算，利用对数表示,,a b c ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.设4691a b c k ===>，所以41log log 4k a k ==，61log log 6k b k ==，91log log 9k c k ==，A.由对数函数的单调性可知，0log 4log 6log 9k k k <<<，可知c b a <<，故A 正确；B.()log 362log 611111log 6log 4log 9log 6log 4log 9log 6log 4log 9k k k k k k k k k k k b a c ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⋅⋅⎝⎭ 22log 4log 9k k ac ==⋅，故B 错误；C.()()2496364949ba cb b b b ⋅===⋅=⋅，故C 正确.D.112log 4log 9log 362log 6k k k k a c b+=+===，则121c b a =-，故D 正确.故选：B 6．D由题意可得6OB =，30CDO ∠= ，可得CO 的长，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥可得三棱锥O BCD -外接球半径R 的值，可得其表面积.解：如图，过点D 作DE AB ⊥，由//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，可得四边形DEBO 为矩形，6BE DO ==，6OB DE ===，由6OD =，由于//AB OD ，异面直线CD 与AB 所成角为30 ，CO ⊥平面ABOD ，故30CDO ∠=，则tan 30CO OD =⨯=设三棱锥O BCD -外接球半径为R ，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥，可将以OC 、OB 、OD 为相邻三条棱补成一个长方体，可得：()222222844R OB OC OD R =++==，该球的表面积为：2484S R ππ==.故选：D.本题考查球与几何体的切、接问题，以及球的表面公式，转化为长方体的外接球是解题的关键.7．B将角度拆则分()2αβαβα-=-+，()βααβ=--，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.解：∵()sin 23sin αββ-=-∴()()sin 3sin αβαααβ-+=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin αβααβαααβααβ-+-=--+-整理得：()()2cos sin cos sin αβαααβ-=-，由于ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，所以sin 0α≠，()cos 0αβ-≠则()()cos sin 2cos sin ααβαβα-=-，即()tan 2tan αβα-=.故选：B.8．A试题分析：,函数的定义域为,,,由解得．因为函数在区间上单调递减,所以,解得．故选A ．考点：函数的单调性．【方法点晴】本题考查函数的单调性以及给定的区间与单调区间的子集关系,属中档题目．求函数单调区间的方法是:（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）解不等式,所得的范围即为的单调递增区间；令所得的范围即为的单调递减区间．接下来利用,写出不等关系,注意等号的取舍,为本题的易错点．9．BD利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.A 选项：由选项可知a 与b 同号，当0a >且0b >时，由基本不等式可知2a b+≥恒成立，当a<0且0b <时，02a b+<0>时，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项：当0a b +>时，02a b+>，则()2222222220244a b a b a b ab a b --+++--⎛⎫-==≤ ⎪⎝⎭恒成立，即2a b +≤恒成立，当0a b +<时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项：当0a b +>时，()()222022a b a b ab +---=≤，即()222a b ab +≤，22ab a b a b +≤+恒成立，当0a b +<时，()()222022a b a b ab +---=≤，即()222a b ab +≤，22ab a b a b +≥+，故C 选项错误；D 选项：由重要不等式可知，,R a b ∈，222a b ab +≤恒成立，故D 选项正确；故选：BD.10．BC 【解析】由正弦定理可判断A ；由90A B +>︒结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC ；由BC 结论可判断D.对于A ，在三角形中，两边之和大于第三边，则a b c +>，由正弦定理得()sin sin sin sin A B C A B +>=+，故A 错误.因为ABC 是锐角三角形，所以()90sin sin 90cos A B A B B +>︒⇒>︒-=所以B 对，同理C对；对于D ，由于sin cos A C >，sin cos sin sin 2cos B C A B C >⇒+>，所以D 错.故选：BC.本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.11．BCD判断出cos C 的符号，可判断AB 选项；判断A B +与2π的大小关系，可判断C 选项；判断tan C的符号，可判断D 选项.对于A 选项，cos 0A CA CB CA C C B C CB =-⋅-⋅⋅=> ，可得cos 0C <，则C 为钝角，A 选项不满足条件；对于B 选项，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab +-=>，则C 为锐角，B 选项满足条件；对于C 选项，因为B 为锐角，则2B π-也为锐角，因为sin cos sin 2A B B π⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，A 、2B π-均为锐角，所以，2A B π>-，则2A B π+>，所以，()02C A B ππ<=-+<，C 选项满足条件；对于D 选项，若ABC 为直角三角形，则tan A 、tan B 、tan C 中有一个无意义，不合乎题意.A B C π++= ，则A B C π+=-，()()tan tan tan A B C C π∴+=-=-，由两角和的正切公式可得()tan tan tan 1tan tan A BA B A B++=-，则()()tan tan tan 1tan tan A B A B A B +=+-，所以，()()tan tan ta tan 1tan tan t n n a A B B A CA CB ++=+-+()tan tan 1tan tan tan tan tan 0C C A B A B C =--=>，由于ABC 中至少有两个锐角，则tan A 、tan B 、tan C 中至少有两个正数，进而可知tan A 、tan B 、tan C 均为正数，从而C 为锐角，D 选项满足条件.故选：BCD.方法点睛：判断ABC 的内角C 为锐角，可从以下方面来进行分析；（1）三角函数值符号：cos 0C >或tan 0C >；（2）平面向量数量积：0CA CB ⋅>.12．BCD【解析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n nn n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD.方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.13．3设,AB c BC a ==由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当2a c ==时，AB BC +取得最大值，得到此时三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，过点P 作11//DD AA ,连接11,B D BD ，可得过B 、1B 、P 三点的截面即为平面11BB D D ，由111BB D D S BB BD =⨯=，求出BD 最小值，即可得到答案.在ABC 中，设,AB c BC a ==，2AC =,60ABC ∠=︒， 由余弦定理可得：2242cos 60a c ac =+-︒， 即224a c ac +-=，即()234a c ac +-=，由0,0a c >>,则22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时等号成立），所以()()()()2222314344a c ac a c a c a c =+-≥+-+=+，所以()216a c +≤即4a c +≤（当且仅当2a c ==时等号成立），即当2AB BC ==时，AB BC +取得最大值4.此时三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，过点P 作11//DD AA ,则11//DD BB ,连接11,B D BD ，过B 、1B 、P 三点的截面即为平面11BB D D .，由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，则1BB ⊥平面ABC ， 所以1AA BD ⊥,由11//DD AA ，则1DD BD ⊥，所以四边形11BB D D为矩形，则111BB D D S BB BD =⨯=，当BD 最小时，11BB D D S 最小.当BD ⊥平面11ACC A 时，即BD AC ⊥，BD 最小.此时BD =所以11BB D D S3=，故答案为：3.14．[－4,0)根据题意可得0ω<，函数1sin()2y x ω=-在区间[8π-，12π上单调递增，可得·(82·122ππωππω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩……，由此求得ω的范围．解： 函数1sin 2ω=y x 在区间[8π-，]12π上单调递减，∴当0ω>时，这不可能．0ω∴<，函数11sin sin()22y x x ωω==--在区间[8π-，]12π上单调递减，故函数1sin()2y x ω=-在区间[8π-，]12π上单调递增，∴·(82·122ππωππω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩……，求得04ω>-…，故答案为：[4-，0)．15．1首先求导的ay x'=，再假设切点为()00,x y ，根据斜率1k =，得01a x =，再将()00,x y 分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数a 已知ln 2y a x =+，得ay x'=，设切点为()00,x y，已知直线斜率1k =，得01ax =，再将()00,x y 分别代入直线与曲线中可得000001,1,2,a x y x y alnx ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩解得00112a x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：116．4分1x ≤-，10-<≤x ，01x <≤，1x >讨论，根据分段函数解方程即得.当0x ≤时，()1f x x =+，当10-<≤x 时，()10f x x =+>，2[()]1log (1)10y f f x x =+=++=，解得12x =-；当1x ≤-时，()10f x x =+≤，[()]1()1130y f f x f x x =+=++=+=，解得3x =-；当0x >时，2()log f x x =，当01x <≤时，2()log 0f x x =≤，2[()]1(log 1)10y f f x x =+=++=，解得14x =；当1x >时，2()log 0f x x =>，22[()]1log (log )10y f f x x =+=+=，解得x 综上，函数[]()1y f f x =+的零点为3x =-或12x =-或14x =或x 4个．故答案为：4.17．（1）30,90,C B b =︒=︒=2）60,75,A C c =︒=︒=或120,15,A C c =︒=︒【解析】利用正弦定理、余弦定理，即可求解三角形.（1）由正弦定理可得sin sin a cA C=,所以sin 1sin 2c AC a===，c a < ，C A∴<30C ∴=︒, 90B =︒b ∴===（2） abB ＝45°sin sin a bA B∴=，sin sin a BA b∴===0180A <<︒60A ∴=︒,75C =°或120,15A C =︒=︒,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即2232c =+-整理得：210c +=，解得c =c =所以60,75,A C c =︒=︒=或120,15,A C c =︒=︒=本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题.18．（1）π；（2）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出()22sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后解不等式()2222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得函数()y g x =的单调递增区间．（1）())22sin cos sin 2cos 21f x x x x x x =-=+sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==；（2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位，得到函数()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由()2222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈．函数()y g x =的单调递增区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．本题考查正弦型三角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变换思想化简三角函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19．（1）2()2(2)f x x a x =-++，其定义域为{|02}x x <≤；（2）2(2),26()824,6a a g a a a ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）由题意可知212AEH CFG S S x ==△△，1()(2)2BEF DGH S S a x x ==--△△，而绿地EFGH 的面积等于矩形空地ABCD 的面积减去,,,AEH CFG BEF DGH 的面积，从而可得()y f x =的函数关系式；（2）由于2()2(2)f x x a x =-++的对称轴为24a x +=，所以分224a +<和224a +≥两种情况讨论求函数的最值（1）212AEH CFG S S x ==△△，1()(2)2BEF DGH S S a x x ==--△△.22222()(2)2(2)ABCD AEH BEF y S S S a x a x x x a x ∴=--=----=-++△△.2()2(2)f x x a x ∴=-++，其定义域为{|02}x x <≤.（2）当224a +<即6a <时，则24a x +=时，y 取最大值2(2)8a +.当224a +≥即6a ≥时，()f x 在(0,2]上是增函数，则2x =时，y 取最大值24a -.综上所述，2(2),26()824,6a a g a a a ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩20．（1）证明见解析；（2（1）连接1AB 、1OB 、OC ，可知1ABB 为等边三角形，利用三线合一的性质可得1B O AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可得出1B O ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）证明出AB OC ⊥，然后设2AB =，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角1C AC B --的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得二面角1C AC B --的正弦值.（1）连接1AB 、1OB 、OC ，如图所示：四边形11ABB A 为菱形，1AB BB ∴=，160B BA ∠= ，则1ABB 为等边三角形，O 为AB 的中点，1B O AB ∴⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，1B O ⊂平面11ABB A ，1B O ∴⊥平面ABC ，1B O ⊂ 平面1B OC ，因此，平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）由（1）可知，1B O AB ⊥，1AB B C ⊥ ，111B O B C B = ，AB ∴⊥平面1B OC ，OC ⊂Q 平面1B OC ，OC AB ∴⊥，O 为AB 的中点，则AC BC =，AC BC ⊥Q ，则ABC 是等腰直角三角形，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A -、()1,0,0B 、()0,1,0C、(1B ，()1,1,0BC =-u u u r，则()1122,2,0B C BC ==-，(1AB =，(11111,AC AB B C =+=- ，()1,1,0AC =，设平面1ACC 的法向量为(),,m x y z =，由100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，可得1y =-，z =所以，平面1ACC的一个法向量为(1,m =- ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设二面角1C AC B --的平面角为θ，则θ为钝角，cos ,m n m n m n ⋅<>===⋅cos θ=，sin θ==因此，二面角1C AC B --本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（1）证明见解析（2）12n n b -=（3）(9,6)【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =．（1）由22112,n n n a a a +-=+即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=，故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=，所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n n b -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m i S a T +-=，得(1)236212i m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2i m m +-=．则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …．又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=……．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t =此时9m =，6i =．满足题意数对为(9,6).关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，24n nb b +=这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，特殊性，提供方向.22．(1)1,12a b =-=(2)940x y -+=(3)函数()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.(1)求导，利用在2x =-处的导数值为0，并且(2)14f -=-，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在1x =处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；(3) 结合（1）的结果，列出在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况，进而即可求解.（1）因为函数()32f x ax bx =++，所以2()3f x ax b '=+，又函数()f x 在2x =-处取得极值14-.则有(2)14(2)0f f -=-⎧⎨-='⎩，即82214120a b a b --+=-⎧⎨+=⎩，解得：112a b =-⎧⎨=⎩，经检验，1,12a b =-=时，符合题意，故1,12a b =-=.（2）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，所以(1)9f '=，又因为(1)112213f =-++=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为139(1)y x -=-，也即940x y -+=.（3）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，令()0f x '=，解得：122,2x x =-=，在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表所示：x3-(3,2)--2-(2,2)-2(2,3)3()f x '-0+0-()f x 7-单调递减14-单调递增18单调递减11由表可知：当2x =-时，函数()f x 有极小值(2)14f -=-；当2x =时，函数()f x 有极大值(2)18f =；因为(2)14(3)11f f -=-<=，(2)18(3)7f f =>-=-，故函数()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.。
黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试 数学 含答案
黄冈市2024年高三年级9月调研考试数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷，草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的.1. 若集合A={x|x²-2x-8<0,x ∈Z},B={yly=√x,x ∈R}, 则A∩B=( )A.{0,1,2,3}B.{1,2,3} c.{0,1} D.{0}2.复数则 z 的虚部为( )B. C.3.则sin 2α=( )B. 士C.D.4.若向量a=(2,0),b=(3,1),则向量a 在向量b 上的投影向量为( )D.(5,1)5 . 若m>0,n>0, 且 3m+2n-1=0, 则的最小值为( )A.20B.12C.16D.25A A口6. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ,b=3, 下面可使得△ABC 有两组解的a 的值为( )A. B.3 C.4 D.e7.设h(x),g(x) 是定义在R上的两个函数，若Vx,x₂∈R,x≠x₂, 有n(x;)-h(x₂)≥|s(x₁)-g(x₂) 恒成立，下列四个命题正确的是( )A.若h(x)是奇函数，则g(x) 也一定是奇函数B.若g(x)是偶函数，则h(x)也一定是偶函数C. 若h(x)是周期函数，则g(x) 也一定是周期函数D. 若h(x)是R上的增函数，则H(x)=h(x)-g(x) 在R上一定是减函数8. 已知向量al=|5|=4,a.b=-8,,且|i-d=1, 则n与c夹角的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知c<0<b<a, 则( )A.ac+b<bc+aB.b³+c³<a³10. 已知函数的图象过点A(0,1)和B(x,-2)(x₀>0), 且满足|AB= √13,则下列结论正确的是( )A.C. 当时，函数f(x)值域为[0,1]日D. 函数y=x-f(x) 有三个零点11.已知f(x)=2x³-3x²+(1-a)x+b,则下列结论正确的是( )A.当a=1时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)B.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin²x)C. 若f(x) 满足f(1-x)=2-f(x), 则a-2b=2D. 若f(x) 存在极值点x, 且f(x,)=f(x), 其中x₀≠x, 则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A={x|log₂x<m},, 若“x∈A” 是“x∈B” 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是13.已知f(x) 是定义在R上的奇函数，f(x+2) 为偶函数.当0<x<2 时，f(x)=log₂(x+1), 则f(101)=14.已知函数f(x)=sinx-x+1,若关于x的不等式f(axe')+f(-ae*-x+2)>2的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 . (本小题13分)设S,为数列{a,}的前n项和，满足S,=1-a,(neN").(1)求证：(2)记T=S²+S²+…+S²,求T,.16.(本小题15分)函数f(x)=sin ox coscox+cos²ax,w>0,函数f(x) 的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心；(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位，再向下平程个单位，得到函数g(x)的图象，在函数g(x)图象上从左到右依次取点A,A₂,..,A₂024, 该点列的横坐标依次为x,x₂,..,X2024, 其中求g(x)+g(x₂)+.+g(x2024)17. (本小题15分)已知函(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=-x+b, 求a和b的值：(2)讨论f(x) 的单调性.18. (本小题17分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c(1)证明：( 2 ) 若a,b,c 成等比数列.(i) 设求g 的取值范围；(ii) 求的取值范围.19. (本小题17分)已知定义在(0,+0c)的两个函数，(1)证明：|sinx|<x(x>0):(2)若h(x)=sinx-x⁴. 证明：当a>1 时，存在x∈(0,1), 使得h(x)>0;(3)若f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围.A2024年9月高三起点联考数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选结的得0分.9.ABD 10.AD 11.ABD11.解析：A.a=1时，f(x)=6x²-6x=6x(x-1),f(x)在(-o.0)递增，(0,1)递减，(1,+0o)递增。
高三起点调研测试数学试卷
高三起点调研测试数学试卷高三起点调研测试数学试卷YCY本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试用时120分钟．试题中注明文科做的,理科考生不做;注明理科做的,文科考生不做;未作注明的,文理科考生都做．第Ⅰ卷(选择题,共50分)参考公式:如果事件A.B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A.B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．集合中元素个数为 ( )A．12 B．13 C．14 D．152．(文科)已知=( )A．B．C．D．(理)已知= ( )A．－B． C．D．－3．将向量按向量=(2,3)平移,得到的向量坐标为(1,2),那么=( )A．(3,5) B．(－1,－1) C．(3,－1)D．(1,2)4．两个事件互斥是这两个事件对立的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．(文科)在等差数列{an}中,a3=2 a5=4,则a9=( )A．6 B．8 C．10 D．9(理科)在等差数列{an}中,a2+a6+a16为定值,则{an}的前n项和Sn中一定是常数的是( )A．S17 B．S15C．S8 D．S76．在三棱锥P—ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=1,PB=PC=,则点P到平面ABC之距离为( )A． B．C． D．17．(文科)过定点M(－1,0)的直线被圆C:_2+y2+4_－5=0所截,所截得的最短弦长为( )A．B．2 C．4D．8(理科)若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆_2+y2+4_－5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A．(－,) B．(0,) C．(0,) D．(0,5)8．从1,2,…,9这9个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A．B．C．D．9．设定义在实数集上的函数f(_)对任意_∈R均有f(_)+f(2－_)=1,则这个函数的图象必关于( )A．直线_=1对称 B．点(1,1)对称C．点(1,)对称 D．点(2,1)对称10．现有6个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案有( )A．50 B．60 C．70 D．40第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11．二项式的系数是.12．在条件则函数z的最大值为.13．在△ABC中,若a=1,b=,A=30°,则△ABC的面积为.14．(文科)设的值域为.(理科)的解集为.15．在双曲线C:中,过右焦点F1作一渐近线的垂线于垂足为H,则F1H=,H到右准线之距d= .三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D中点,N为AC中点.(文科)(1)求直线MN和AB所成的异面角;(2)求点M到平面BB1D1D之距.(理科)(1)求证:MN⊥AB1;(2)求点M到平面NB1C1的距离.17．(本小题满分12分)已知函数)是R上的偶函数.(1)求的值;(2)若f(_)的图象关于点对称,且在区间上是减函数,求f(_)的解析式.18．(本小题满分12分)袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球.(文科)(1)每次取出的球不再放回,求直到第3次才取到白球的概率.(2)若每次取出的球是黑球则放回袋中,继续从袋中任意取出一个球,求直到第3次才取到白球的概率.(理科)若取出一个白球,则结束,若取出一个黑球,则放回袋中继续从袋中任意取出一个球,直到取出白球为止,求取球次数ξ的概率分布列和数学期望.19．(本小题满分12分)(文科)已知三个实数a.b.c成等比数列,且a+b+c=2,求b的取值范围. (理科)数列{an}满足(1)求通项an;(2)求之和.20．(本小题满分13分)已知函数为实数(1)讨论f(_)在R上的奇偶性;(2)(文科)在a=－2时,求函数上的值域. (理科)在a≤0时,求函数上最大值.21．(本小题满分14分)过椭圆C:=1的右顶点A,作两条互相垂直的直线AM.AN分别交椭圆C 于M.N两点.(1)若AM直线斜率为k,求点M的坐标;(2)问直线MN是否过一定点,如果经过,则求出该点;否则说明理由.参考答案及评分细则第I卷(选择题,共50分) 一.选择题题号12345678910答案C(文)C(理)ADB(文)B(理)BA(文)C(理)BDCA二.填空题11．－ 12．2 13．14．文理15．4;0三.解答题:(文科)解:(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D中点,连接AD1,则M为A1D和AD1的交点在△AD1C中,M.N分别为AD1和AC之中点∴MN//D_shy;1C,而D1C和DC所成角为45°,又DC//AB∴MN和AB所在异面角为45°.(6分)(2)∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中,BDD1B1为体对角面∴A1到面BD1之距即A1到B1D1之距a.又M为A1D之中点,从而M到BD1之距a.(12分)(理科)解:(1)在正方体ABCD—A1B1C1D_shy;1中,连接AD1∵M为A1D中点,则M也为AD1中点在△AD1C中,M,N分别为AD1,AC中点∴MN//D1C,又D1C⊥DC1且DC1//AB1∴MN⊥AB1……………………………………………………………………(6分) (2)设面NB1C1和AB交于点P,而N为AC中点,则P为AB中点,且面B1C1P和面A1B1BA相互垂直,于是M到面B1C1N之距离转化为AA1中点Q到B1P之距,在正方形A1B1BA中,Q为A1A中点,P为AB中点由平面几何知识而知道:QB⊥B1P,又BQ=∴QH=.从而M到平面NB1C1之距为.…………(12分)17．解:(1)在R上是偶函数……(5分)(2)由又依据题意:对称,而在上单调递减.在k=1时,f(_)=cos2_在上不单调递减.故所求符合题意的函数为. (12)分18．(文科)解:(1)每次取出的球不再放回,直到第三次才取到白球的概率P(ξ=3)=………………6分(2)若每次取出黑球则放入袋中,继续从袋中任取一个球直到第三次才取到白球,此时概率. ……………………12分(理科)解:第一次就取到白球P(ξ=1)=直到第二次到取白球P(ξ=2)=……直到第k次取到白球P(ξ=k)=……故ξ的分布列:ξ123…k…P………(7分)由ξ分布列满足几何分布.因此:Eξ==5………………………………………………………(12分) 19．(文科)解:三实数a.b.c成等比数列,则b2=ac由b2=ac_gt;0 知a与c同号,有a+c=a+c∴由a+b+c=2 知a+c=2－b∴2－b=a+c=a+c≥2=2b……………(6分) 平方得(2－b)2≥4b2 即(2b－b+2)(2b+b－2)≤0∴－2≤b≤b≠0故所求b取值范围为:. ……………(12分) (理科)解:(1)由两边取倒数得到由叠加原理可知:……………………(6分)(2)则设bk=k(n－k+1)=(n+1)·k－k2于是1·n+2·(n－1)+…+n·1=(n+1)[1+2+…+n]－(12+22+…+n2)=……………………………………(12分)20．解:(1)为奇函数;在a≠0时,f(_)是非奇非偶函数.……(4分)(2)(文科)在=画出函数草图……(8分)函数为减函数有:0≤f(_)≤f(－1)=1函数在[0,]上为增函数,故所求值域为[0,].…………………………(13分) (理科)在a=0时,f(_)=__是奇函数,在R上单调递增.∴－1≤_≤时,f(－1)≤f(_)≤f()此时值域范围为[－1,],此时最大值为.在画出函数草图…………(8分)①若最大值可能产生于②若≤－1_lt;0时,即a≤－2,f(_)最大值产生于f(－1)和比较在综上讨论可知:f(_)的最大值在a≤－时为f(－1)=－1－a;在－≤a≤0时为……(13分)21．解:(1)依题意AM斜率存在且不等于0,故AM直线方程为:y=k(_－2)由从而点M坐标为.…………(5分)(2)∵AM⊥AN,故AN方程:,同理可求出N点坐标,………………(9分)MN直线方程为化简为:故MN直线恒过定点(,0).……………………………………(14分)。
2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高三上学期第一次调研检测数学试题及答案
2023-2024学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）e1+A．B．C．D．若函数()f x 满足()()4f x f x -=，且当]2,0时，()31xf x -=+，则(2023f A．10B．4C．2D．43二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）II 卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需要写出解答过程，请把答四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算求值：（1）︒-︒︒︒155sin 155cos 20sin 110sin 22；18.已知函数x x x f 216)14(log )(3-+-=的定义域为A ．（1）求集合A ；（2）已知集合R m m x m x B ∈+<<-=},131|{，若A x ∈是B x ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？20．已知函数x x a x f 2cos 2sin )(+=，且|6(|)(π-≤f x f ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）为坐标原点，复数i t f z i z )(2,4221+-=--=在复平面内对应的点分别为B A ,，求OAB ∆面积的取值范围．21．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且C b C b c a sin 3cos 2+=+.（1）求角B ；（2）若3=b ，D 为AC 的中点，求线段BD 长度的取值范围.2023-2024学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准17．【详解】(1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12...............................................................................6分(2)解：αQ 、β都为锐角，则0αβ<+<π，()()()111sin sin sin cos sin cos 147βαβααβαααβ∴=+-=+-+=⨯⨯⎡⎤⎣⎦．（1）∵f（x）≤|f（﹣）|，即当x＝时函数f（x）＝asin2x+cos2x＝，其中tanφ＝（a≠0）∴[f（﹣）]+1，代入得[asin2（﹣）+cos2（）]即（）+1，解得（a+）＝0，∴a＝﹣，..............3f（x）＝﹣sin2x+cos2x＝﹣2sin（2x﹣）（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣）2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z。
广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷
一、单选题1.与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A ．-8B ．-3C ．4D ．62. 函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．3.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）A．B．C．D．4.已知双曲线的顶点为椭圆的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．25.已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）A．B．C．D．6.已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）A．B．C．D．7. 为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从4万多名在校大学生中抽取了男､女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法正确的是（ ）A ．大量出汗并感到很疲乏的男生人数是女生人数的2倍B ．男生中运动时间超过1小时的超过广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷二、多选题三、填空题C ．女生的平均运动强度高于男生的平均运动强度D ．运动时间在小时内的男生人数与运动时间在小时内的女生人数相同8.在中，点在边上，且，设，，则A．B．C．D．9. 已知正三棱锥，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为A．B．C．D．10. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）A．的最大值为B ．的最大值为C．的最小值为D．的最大值为12.已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）A ．为奇函数B．C．D．13. 2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％14. 质点A 和B 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A 的起点在射线和圆O 的交点处，A 的角速度为，B 的起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，B 的角速度为，则下列说法正确的是（ ）A ．在1s 末时，点A的坐标为B ．在2s 末时，点B的坐标为C ．在2s 末时，劣弧的长为D ．当A 与B 重合时，点A的坐标可以为四、填空题五、解答题六、解答题15.已知等差数列的前5项和，则____________．16. 等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．17. 如图，在三棱锥中，平面ABC ，，，若三棱锥的外接球体积为，则的面积为__________．18.知数列，，，，，则该数列的第3项是______，是它的第______项．19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若恰好为的中点，则_____；直线的斜率为______.20.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求21. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．22. 已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，并说明理由；（3）求函数的零点的个数.23. 党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？(2)为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和七、解答题八、解答题九、解答题期望．附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87924. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：方程在上有且只有一个解；(3)设点，，，若对任意，，都有经过，的直线斜率大于，求实数的取值范围．25. 某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?参考数据：若，则.26.已知两定点，动点满足，由点向轴作垂线段，垂足为，点满足，点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线与曲线交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.。
武汉市部分学校新高三起点调研测试数学试题
ｃ． 一 ｌ≤ ｍ ＜了 １
１ Ｄ ｍ ＜下
．
９ ．设 Ａ， Ｃ Ｄ是 半 径 为 Ｒ 的球 面 上 的 四点 ， Ｂ， ， 且 Ａ 、Ｃ Ａ Ｂ Ａ 、Ｄ两两相互垂 直 ， △彻 ｃ ＺＡ Ｄ ＺＡ Ｄ面积 则 、Ｘ Ｂ 、Ｘ Ｃ
４ ．已知 三条不 重合 的直线 ｍ， ，， ｎ ｌ两个不 重合 的平
・
试题选登 ・
十。擞・ （０年 ０ 高 版 ？ ７ ２ ９ 第１期・ 中 ） ０
４ ５
半轴上 ， 抛物线上 的一点 Ａ（ 一３ 到焦 点 Ｆ的距离 且 ｍ， ）
是 ５ 则 ＝— ， — ．
（ ） 双曲线 的左 ， ２设 右焦点 分别是 Ｆ ， ， 准线 与 。 右
轴相交 于点 Ｑ， 在双 曲线 的右支上 找一点 Ｐ ％，ｏ ，ｏ （ Ｙ）Ｙ
中‘ ７（ｏ年 １ 高 版 ７ 敷・ ２９ 第０ 中 ） ｏ 期．
Ａ Ｂ Ｃ
． 试题选登 ．
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４ ０２ 武 汉 市 第 一 中 学 ３０２ ４ ０ ３ 武 汉市教 育科 学研 究 院 ３００
１
２ ２
Ａ． １
Ａ 周期 为 订的偶 函数 ．
Ｂ 周期 为 竹的奇 函数 ．
Ｃ ．周期为 ２ 竹的奇 函数 Ｄ ．周期为 ２ｒ １ 的偶 函数 （ 科 ）函 数 ｆ（ 理 ）：ｓ ＋ ｓ ｘｏｘ在 区 间 ｉ ｎ ｉ ｃｓ ｎ
＜ｍ ≤ ３
Ｂ． 一 １ ｍ ≤ ３ ≤
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高三起点调研考试数学试题精编版
高三起点调研考试数学试题华师一附中殷希群说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间1。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k kn n p p C k p --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式： cl S 21=锥侧，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式：34R V π=球，其中R 表示球半径第I 卷（选择题，共60分）一 、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
)1．设f: x →|x|是集合A 到集合B 的映射，若A={-1, 0, 1}，则A ∩B 只可能是（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0, 1} D ．{-1, 0, 1}2．如果tan(α+β)=43，tan(β-4π)=21，那么tan(α+4π)的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．23．已知向量=（1，1），与的夹角为43π，且·= -1，则向量=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，-1）C ．（-1，0）或（0，-1）D ．（-4．在等差数列{a n }中，7a5+5a 9=0，且a 9>a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于（） A ．5B ．6C ．7D ．85．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．方程xy=lg|x|的曲线只能是（ ）x x x xD7 ．函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值－M8．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC=1，则正 三棱锥A-BCD的体积是（ ）A ．122B ．242C ．123D ．2439．如果直线y ＝kx ＋1与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．210．度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于分？选出最接近的数目（ ）A ．4000人B ．10000人C ．15000人D ．0人11．已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ，若a 1+a 2+…+a n-1=29-n ，那么自然数n 的值为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．512．已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ． 3C ． 4D ． 5 选择题答题卡A E DB FC第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准
嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题5分，满分60分）1．}31{≤≤-x x ；2．257；3．12-x （R x ∈）；4．2；5．π；6．π12；7．7；8．201； 9．7；10．1；11．41-；12．)}1,4(,)4,4{(-．二．选择题（每小题4分，满分16分） 13．D ；14．A ；15．C ；16．B ．三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 17．（本题满分12分）解：方程0522=+-x x 的根为i x 21±=，……（4分） 因为z 在复平面内所对应的点在第一象限，所以i z 21+=，所以⎩⎨⎧=+=-2cos 211sin 422θθa ，……（6分）解得21cos =θ，因为),0(πθ∈，所以3πθ=．……（8分）所以44341sin 4122=⋅+=+=θa ，2±=a ．……（11分）所以3πθ=，2±=a ．……（12分）18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解：（1）连结AC ，因为⊥PA 平面ABCD ，所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成的角……（2分） 由已知，2tan ==∠ACPAPCA ，而2=AC ， 所以4=PA ．……（3分）底面积3260sin 220=⋅⋅=S ，……（4分） 所以，四棱锥ABCD P -的体积3384323131=⋅⋅==Sh V ．……（6分） （2）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，因为M 、O 分别为PA 、AC 的中点，所以MO ∥PC ，所以BMO ∠（或其补角）为异面直线BM 与PC 所成的角．……（8分） 在△BMO 中，3=BO ，22=BM ，5=MO ，……（10分） （以下由余弦定理，或说明△BMO 是直角三角形求得）46arcsin=∠BMO 或410arccos 或515arctan ．……（13分） 所以，异面直线BM 与PC 所成角的大小为46arcsin （或另外两个答案）．……（14分）MDCBA PO19．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） 解：（1）作AB MC ⊥，垂足为C ，由已知060=α，030=β，所以0120=∠ABM ，030=∠AMB 所以4==AB BM ，060=∠MBC ，……（2分） 所以5.33260sin 0<=⋅=BM MC ， 所以该船有触礁的危险．……（4分） 设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险， 则5.3=MD ，……（5分）在△MBC 中，4=BM ，2=BC ，32=MC ，5.0)32(5.322=-=CD ，所以，5.1=BD （km ）．……（7分）所以，该船自B 向东航行5.1km 会有触礁危险．……（8分） （2）设x CM =，在△MAB 中，由正弦定理得，MABBMAMB AB ∠=∠sin sin ， 即αβαcos )sin(4BM =-，)sin(cos 4βαα-=BM ，……（10分）而)sin(cos cos 4cos sin βαβαβ-=⋅=∠⋅=BM MBC BM x ，……（12分）所以，当5.3>x ，即27)sin(cos cos 4>-βαβα， 即87)sin(cos cos >-βαβα时，该船没有触礁危险．……（14分） 20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）……（4分） （2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，3)2()(-==f a g ．……（5分）若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线a 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．……（6分）β北 MB Cα 105-2 32 1 yxO -1 -3 1当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数， 23)1()(-==a f a g ．……（7分）当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a f a g ，……（8分） 当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数， 36)2()(-==a f a g ．……（9分）综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 ．……（10分）（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=xa ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．……（12分）因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．……（13分）当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ，…（14分） 当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ，（15分） 所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21．……（16分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）解：（1）由题意得，n n n a a S +=22 ①，当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，……（1分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②， ①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ，……（2分）因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，……（3分） 所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．……（4分）（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n， 2010>n ，……（6分）又2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．……（8分）设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．……（10分） 所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．……（12分）（3）设n n S u 1=，即)1(2+=n n u n ，……（15分）， 则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ，其极限存在，且()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n ．……（18分） 注：n n S c u =（c 为非零常数），121+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n S c n nu （c 为非零常数），1+⋅=n S c n nqu （c 为非零常数，1||0<<q ）等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在．按学生给出的答案酌情给分，写出数列{}n u 正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．。
高三数学第一次调研测试参考答案及评分建议
高三数学第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜(a b ∈R ，)为奇函数，则()f a b +的值为▲．消费/元（第5题）【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a+b －c)(a+b+c)＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cosC ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分（2）（法一）因为c ＝2acosB ，由正弦定理，得sinC ＝2sinAcosB ，…………………………………………………………………………8分 因为A+B+C ＝π，所以sinC ＝sin(A+B)，所以sin(A+B)＝2sinAcosB ，即sinAcosB －cosAsinB ＝0，即sin(A －B)＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12absinC ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12absinC ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A1B1C1D1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A1C1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A1B1C1D1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B1D1交A1C1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A1B1C1D1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB1⊥AC ．………………………………………………………………………3分 又BD∩BB1＝B ，BD ⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC ⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分 而BE ⊂平面B1BDD1，所以BE ⊥AC ．………………………………………………7分 （通过证明等腰三角形A1BC1，得BE ⊥A1C1，再由AC ∥A1C1得BE ⊥AC ，可得7分）（2）连结D1F ，因为四棱柱ABCD –A1B1C1D1为直棱柱，（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y+=．………………………………………………4分（2）将(0)y kx m k=+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m++-=，整理，得222(14)8480k x mkx m+++-=．①由线段BC被y轴平分，得2814B Cmkx xk+=-=+，因为0k≠，所以0m=．…………………………………………………………………8分因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A(2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A(2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ= t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O1PT 中， ∠OPT=α，O1T=1， 所以O1P 1sin =α． 又OO1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中， 11sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ=QT = t ，O1T=1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO1，（第18题）l 1所以1OP TP OQ TO =，即OP t =化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分 由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ． 列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t =△OPQ 的面积S 的最小值为km2）．…………16分 19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a =+∈R ． （1）求()f x 的单调区间；（2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 【解】（1）由函数f(x)＝∈R)，得f ′(x)2)x +．…………………………2分令f ′(x)＝0，得x ＝e2．列表如下：因此，函数f(x)的单调增区间为(e2，+∞)，单调减区间为(0，e2)．……………………5分 （2）由（1）可知，fmin(x)＝f(e2)＝a －2e1．………………………………………………6分（i ）当a ＞2e1时，由f(x)≥f(e2)＝a －2e1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分 （ii ）当a ＝2e1时，因f(x)在(e2，+∞)上是单调增，在(0，e2)上单调减， 故x ∈(0，e2)∪(e2，+∞)时，f(x)＞f(e2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分 （iii ）当a ＜2e1时，fmin(x)＝f(e2)＝a －2e1＜0． ①a≤0时，因为当x ∈(0，e2]时，f(x)＝a lnx ＜a≤0， 所以，函数f(x)在区间(0，e2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e2，+∞)单调递增，且f(e2)＝a －2e1＜0， 又e2a ∈(e2，+∞)，且f(e2a)＝a(1－2ea)>0， 此时，函数f(x)在(e2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分 ②0＜a ＜2e1时，因为f(x)在[e2，+∞)上单调递增，且f(1)＝a ＞0，f(e2)＝a －2e1＜0， 所以，函数f(x)在区间(e2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e2]上是单调递减，且f(e2)＝a －2e1＜0 又4e a -∈(0，e2)，且f(4e a -)＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f(x)在(0，e2)上有且只有1个零点．所以，当0＜a＜2e1时，函数f(x)零点个数为2．综上所述，当a＞2e1时，f(x)的零点个数为0；当a＝2e1，或a≤0时，f(x)的零点个数为1；当0＜a＜2e1时，f(x)的零点个数为2．………………………………………16分20．(本小题满分16分)若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．（1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an－1．①求{an}的通项公式；②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z()∈N．n*求证：{an}为“等比源数列”．【解】（1）①由an+1＝2an－1，得an+1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分所以an－1=2n1．所以，数列{an}的通项公式为a n＝2n1+1．………………………………………………4分②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为an＝2n1+1，所以am＜an＜ak．……………………………………………………7分所以an2＝am·ak，得 (2n1+1)2＝(2m1+1)(2k1+1)，即22nm1+2nm+1－2k1－2km＝1．又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m+1≥1，k－1≥1，k－m≥1．所以22nm1+2nm+1－2k1－2km为偶数，与22nm1+2nm+1－2k1－2km＝1矛盾．所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{an}不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{an}的公差d≥0．当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0．为了使得{an}为“等比源数列”，只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得an2＝amak成立，即[am+(n －m)d]2＝am[am+(k －m)d]，即(n －m)［2am+(n －m)d ］＝am(k －m)成立．…13分当n ＝am+m ，k ＝2am+amd+m 时，上式成立．所以{an}中存在am ，an ，ak 成等比数列． 所以，数列{an}为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ， 所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． 【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ，所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ABCDEOl（第21_A 题）所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12． 所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+……………………………………………8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos 41α=．…………4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，，所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos 42m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（*）．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（*）成立；（ii ）假设当n k =时，等式（*）成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（*）成立．综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
广东省广州市2022-2023学年高三上学期第一次调研测试数学试题(含答案)
广州市2023届第一学期高三调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集R U =，集合{}1>=x x A ，{}22<≤-=x x B ，则如右图中阴影部分表示的集合为A ．{}2-≥x x B ．{}2-<x x C ．{}21<<x x D ．{}1≤x x 2．若复数z 满足()i z i +=+321，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知四边形ABCD 是平行四边形，BE AE 3=，若),(R b a AD b AB a EC ∈+=，则=+b a A ．21B ．43C ．45D ．234．为了得到x x x f 2cos 212sin 23)(+=的图象，需把x x g cos )(=的图象上所有的点A ．横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，再向右平移6π个单位B ．横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，再向右平移3π个单位C ．向右平移6π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变5．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1210lnm m m +=νν，其中21,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg ，若添加推进剂3a kg ，火箭的最大速度为2.8km/s ，若添加推进剂5a kg ，则火箭的最大速度约为（参考数据：1.13ln ,7.02ln ≈≈)A ．4.7km/s B ．4.2km/s C ．3.6km/s D ．3.1km/s 6．函数xexx f sin )(=在],[ππ-上大致的图象为7．已知)0,2(πα-∈，αα2cos 12sin 2=+，则=-+2tan12tan1ααA ．52+B ．52--C ．25-D ．52-8．设1.0=a ，1.0sin =b ，1.1ln 1.1=c ，则c b a ,,的大小关系正确的是A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．bc a <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省百校起点2024届高三上学期9月调研测试数学试题
浙江省百校起点24届调研测试高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、侳位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1M x x =>，{}1318N x x =-<-<，则M N =（ ）A.()0,1B.()1,3C.()1,+∞D.()3,+∞2.若数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A.数列{}1n n a a ++是首项为14，公比为12的等比数列 B.数列{}1n n a a ++是首项为14-，公比为12-的等比数列 C.数列{}1n n a a ++是首项为14-，公比为12的等比数列 D.数列{}1n n a a ++是首项为12-，公比为12-的等比数列 3.已知复数105i2iz +=-，则i z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.()52x y -的展开式中，23x y 的系数为（ ） A.10-B.10C.40-D.405.牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、刨制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为50cm ，鼓身高度为60cm ，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为60cm ，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的体积为（ ）A.322750cm πB.323750cm πC.345500cm πD.347500cm π6.若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（ ） A.a c b >>B.a b c >>C.b c a >>D.b a c >>7.设曲线3221y x x =-+在x k =处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.()14,0,1,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.14,,33⎛⎫⎡⎫-∞+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.(]14,0,1,33⎛⎫⎡⎫-∞+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，且112PF F F ⊥，直线2PF 与C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，若222MF F Q =，则C 的离心率为（ ）B.47D.7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线54x π=对称C.()()f x f x x +-=D.()f x 的图象关于点5,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 10.有一组样本数据1x ，2x ，…，6x ，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ） A.新数据的极差可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数C.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差D.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的20%分位数小于原数据的20%分位数 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y xf y yf x +=+，定义在R 上的函数()g x 满足()()()2112g x x x x +=++，则（ ）A.()f x 不是奇函数B.()f x 既是奇函数又是偶函数C.()g x 是奇函数D.()g x 既不是奇函数又不是偶函数12.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ABC ⊥平面ABD ，3AB AC BC BD ====，2AD =，则（ ）A.三棱锥D ABC -B.点C 到直线ADC.二面角B AD C --的正切值为D.三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为______.14.在矩形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为BC 上一点，且向量AE 在向量AD 上的投影向量为13AD ，OE AB AD λμ=+，则λμ-=______.15.已知圆M 与圆22:1O x y +=内切，且圆M 与直线2x =相切，则圆M 的圆心的轨迹方程为______. 16.已知,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则当tan2tan θθ-取得最大值时，tan2tan θθ=______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为11B D 的中点，112ED C E =，112FB C F =.（1）证明：11B D ∥平面CEF .（2）求直线AO 与平面CEF 所成角的正弦值的平方.18.（12分）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A 处，他让无人机从点A 起飞，垂直向上飞行400米到达点B 处，测得天门山的最高点C 处的仰角为45°，他遥控无人机从点B 处移动到点D 处（BD 平行于地平面），已知B 与D 之间的距离为518米，从点D 处测得天门山的最高点C 处的仰角为()tan 2αα=.（1）设平面β过BD 且平行于地平面，点C 到平面β的距离为h 米，求BC 与CD 的长（用h 表示）；（2）已知cos BCD ∠=. 19.（12分）艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问.已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为A ）和一个人（记为B ）各提出一个问题，并根据机器A 和人的作答来判断谁是机器，若机器A 能让至少一半的测试者产生误判，则机器A 通过本轮的图灵测试.假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、两、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有60%的可能性会向A 和B 问同一个题.当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器A 被误判的可能性为10%，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器A 被误判的可能性为35%.（1）当回答一名测试者的问题时，求机器A 被误判的概率；（2）按现有设置程序，求机器A 通过本轮图灵测试的概率.20.（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，()211n n S S n ++=+ （1）证明：121n n a a n ++=+. （2）求{}n a 的通项公式. （3）若112nn n a b +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.（12分）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,-，直线()1:0l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）.（1）若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点.（2）已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12l l ∥，1l 与2l之间的距离d =，2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得10MN AB -=?若存在，求m 的值；若不存在，说明理由. 22.（12分）已知函数()21cos 12f x ax x =+-. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.浙江省百校起点24届调研测试高三数学考试参考答案1.B 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养. 由{}03N x x =<<，得()1,3MN =.2.B 【解析】本题考查等比数列的定义，考查逻辑推理的核心素养.因为11111111122222n n nn n n a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=--=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以{}1n n a a ++的首项为14-，且12112n n n n a a a a ++++=-+，所以{}1n n a a ++是公比为12-的等比数列.3.A 【解析】本题考查复数的运算、共轭复数、复平面，考查数学运算的核心素养.因为()()()()252i 52i 105i 34i 2i 2i 2i 2i z +++====+--+-，所以()i i 34i 43i z =-=+，则i z 在复平面内对应的点位于第一象限.4.C 【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养.()52x y -的展开式中，23x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-.5.C 【解析】本题考查台体的体积，考查应用意识.依题意可得该牛皮鼓的体积可视为两个相同的圆台（上底面半径为25cm ，下底面半径为30cm ，高为30cm ）的体积之和，所以该牛皮鼓的体积为()22312302525303045500cm 3ππ⨯⨯⨯+⨯+=. 6.D 【解析】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为3333log log 6log 922a =<=<=，23142413log log 8log 282c ====，所以b a c >>. 7.D 【解析】本题考查导数的几何意义及直线的倾斜角，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.234y x x '=-，则l 的斜率为234k k -.因为l 的倾斜角小于135°，所以l 的斜率小于1-或不小于0，则2341k k -<-或2340k k -≥，解得(]14,0,1,33k ⎛⎫⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 8.D 【解析】本题考查椭圆的定义与性质，考查直观想象的核心素养.如图，连接1FQ ，由222MF F Q =，得224PF F Q =，设2F Q t =，则24PF t =，124PF a t =-，12QF a t =-.由余弦定理得22211112cos QF PF PQ PF PQ F PQ =+-∠，即()()()()22224224522454a t a t a t t a t t t --=-+--⨯⨯，整理得514ta =，则12FF ===，故12222F F c e a a ===9.BCD 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质、三角恒等变换，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 因为()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π.因为53sin 142f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()5sin 04f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线54x π=对称，()f x 的图象关于点5,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.()()sin sin 44f x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+-=++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10.ACD 【解析】本题考查统计中的极差、中位数、平均数、方差、百分位数，考查数据处理能力与推理论证能力.对于A 选项，如果删去的不是最大值或最小值，那么极差不变，所以A 正确.对于B 选项，删除前有6个数据，中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数，因为任何两个数据都不相等，所以中位数不会等于6个数据中的任何一个，而删除后有5个数据，中位数是6个数据中的某一个，所以B 错误.对于C 选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在方差公式中，分子不变，分母变小，所以方美变大，所以C 正确.对于D 选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在按从小到大的顺序排列的6个数据中，因为620% 1.2⨯=，520%1⨯=，所以原数据的20%分位数是第2个数，新数据的20%分位数是前2个数的平均数，且该数值小于第2个数，所以D 正确.11.BC 【解析】本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.令0x y ==，得()00f =，令0y =，得()()00f x xf ==，则()()()0f x f x f x -==-=，所以()f x 既是奇函数又是偶函数.由()()()()()22112111g x x x x x x ⎡⎤+=++=++-⎣⎦，得()3g x x x =-，因为()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数.12.ACD 【解析】本题考查立体几何初步中的体积、距离、二面角，考查空间想象能力与运算求解能力. 如图，取AB 的中点G ，连接CG ，因为平面ABC ⊥平面ABD ，且平面ABC平面ABD AB =，所以CG ⊥平面ABD .取AD 的中点E ，连接BE ，因为AB BD =，所以BE AD ⊥，则BE ==因为3CG ==所以11232D ABC V -=⨯⨯=A 正确.取AE 的中点F ，连接FG ，CF ，则FG BE ∥，所以FG AD ⊥.因为CG ⊥平面ABD ，所以CG AD ⊥，又CGFG G =，所以AD ⊥平面CFG ，则AD CF ⊥，则CF ==CFG ∠为二面角B AD C --的平面角，且tan CG CFG FG ∠==B 错误，C 正确.设ABD △，ABC △的外心分别为K ，M ，则GK AB ⊥，又平面ABD ⊥平面ABC ，所以GK ⊥平面ABC .设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，则OK ⊥平面ABD ，OM ⊥平面ABC ，所以四边形OMGK 为矩形，则13OK MG CG ===故三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD ，D 正确.13. 【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养.依題意可得26c =，22a =，则3c =，1a =，所以该双曲线的虚轴长为2b ==14.23【解析】本题考查投影向量与平面向量的基本定理，考查直观想象的核心素养. 在矩形ABCD 中，因为向量AE 在向量AD 上的投影向量为13AD ，所以13AE AB AD =+，又1122AO AB AD =+，所以1126OE AE AO AB AD =-=-，所以112263λμ-=+=. 15.212y x =- 【解析】本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.设(),M x y ，点M 到直线2x =的距离为d ，如图，M 只能在直线2x =的左侧，则2d x =-，依题意可得1MO d +=()21x =--，化简可得212y x =-，故圆M 的圆心的轨迹方程为212y x =-.【解析】本题考查三角恒等变换与导数的应用，考查数学建模与数学运算的核心素养.设tan x θ=，则1x >，3222tan2tan 11x x x x x xθθ+-=-=--. 设函数()()3211x xf x x x +=>-，则()()()()()()224222222241111x x x x f x x x x --++==--'->.当212x <<时，()0f x '>；当22x >时，()0f x '<.所以当22x =时，()f x 取得最大值，即tan2tan θθ-取得最大值，此时2tan22tan 1x θθ===-17.（1）证明：因为112ED C E =，112FB C F =，所以11112ED FB C E C F==， 所以11EF B D ∥， ……2分因为11B D ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以11B D ∥平面CEF . ……4分 （2）解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设3AB =， 则()3,0,0A ，()0,3,0C ，33,,322O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,3E ，()1,3,3F ， ……5分()0,1,3CE =-，()1,1,0EF =. ……6分设平面CEF 的法向量为(),,m x y z =，则30,0,CE m y z EF m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ……7分令3x =，得()3,3,1m =--， ……8分因为33,,322AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12cos ,36AO m AO m AO m⋅-===⨯ ……9分 所以直线AO 与平面CEF ，其平方为643211457=. ……10分评分细则：【1】第（1）问中，未写“11B D ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ”扣1分.【2】第（2）问中，建系方式不唯一，平面CEF 的法向量不唯一，如果建系的方式相同，那么只要所求法向量与()3,3,1m =--共线即可.18.解：（1）如图，过C 作CO β⊥，垂足为O ，则CO h =米，45CBO ∠=︒，CDO α∠=， ……2分在Rt COB △中，sin45hBC ==︒米. ……3分在Rt COD △中，sin hCD α=米， ……4分 因为tan 2α=，所以sinα=， ……5分所以CD =. ……6分（2）在BCD △中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠， ……7分由（1）得2222551824h h =+22518h =，即518h =， ……10分 所以天门山的海拔为6004005181518++=米. ……12分 评分细则：【1】第（1）问中，sin α=不扣分，结果未带单位（米），共扣1分. 【2】第（2）中，结果未带单位（米），扣1分.19.解：（1）用M 表示事件“测试者提出的两个问题相同”，N 表示事件“测试者对机器产生误判”，则()()()()()()()P N P NM P N M P M P N M P M P N M =+=+ ……3分()0.60.110.60.350.2=⨯+-⨯=. ……5分（2）设X 为4名测试者中产生误判的人数，由（1）可知，()4,0.2X B ~， ……7分 若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判， ……8分 所以机器A 通过图灵测试的概率()()()()43001441011C 0.210.2C 0.210.20.1808P P X P X =-=-==-⨯⨯--⨯⨯-=. ……12分评分细则：【1】第（1）问中，得到“()()()()()P N P M P N M P M P N M =+”，但未写“()()()P N P NM P N M =+”，不扣分.【2】第（2）问中，得到“()()431441C 0.210.2C 0.210.20.1808P =-⨯⨯--⨯⨯-=”，但未写“4名测试者中至少有2名产生误判”，不扣分.第（2）问还可以用直接法求解，解析如下： 设X 为4名测试者中产生误判的人数，由（1）可知，()4,0.2X B ~， ……7分 若机器A 名测试者中至少有2名产生误判， ……8分 所以机器A 通过图灵测试的概率()()()()2224234C 0.210.2P P X P X P X ==+=+==⨯⨯-()334444C 0.210.2C 0.20.1808+⨯⨯-+⨯=. ……12分20.（1）证明：当1n =时，214S S +=，则2124a a +=，因为11a =，所以22a =. ……1分 当2n ≥时，由()211n n S S n ++=+，得21n n S S n -+=，两式相减得121n n a a n ++=+. ……2分 又123211a a +==⨯+，所以当*n ∈N 时，121n n a a n ++=+. ……3分（2）解：()()()()221123212n n n n n n a a a a a a n n ++++-=+-+=+-+=， ……4分所以{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以2为首项.2为公差的等差数列， ……5分所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，故n a n =. ……6分（3）解：3411210222n n n T +-=---⋅⋅⋅-， ……7分 则45211212222n n n T +-=---⋅⋅⋅-， ……8分 则34121111122222n n n n n T T ++-⎛⎫-=-++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭， ……9分 所以222111111821222412n n n n n n T +++--+=-+=--， ……11分 故11122n n n T ++=-. ……12分 评分细则：【1】第（2）问中，得到121n n a a n ++=+后，还可以通过下面的方法得到数列{}n a 的通项公式： 由121n n a a n ++=+，得()()11n n a n a n +-+=--，因为110a -=，所以0n a n -=，即n a n =. 【2】第（3）问还可以用裂项相消法求解，过程如下： 因为11111212222n n n n n n a n n n nb +++-+-+===-， ……9分 所以23211213211122222222n n n n n n n T ++++=-+-+⋅⋅⋅+-=-. ……12分 21.（1）证明：将点(2,-代入22y px =，得244p =，即6p =. ……1分联立()212,0,y x y kx m k ⎧=⎪⎨=+≠⎪⎩，得212120ky y m -+=， ……2分设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212my y k=， ……3分 ()222212121221212144y y y y m x x k=⋅==. ……4分因为0OA OB ⋅=，所以22120m m k k+=恒成立.则12m k =-， ……5分所以1l 的方程为()12y k x =-，故直线1l 过定点()12,0. ……6分（2）解：联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得()2244120x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ ……7分 且()()224121648320m m m ∆=--=->，即32m <， ……8分12AB x =-== ……9分设2:2l y x n =+.同理可得MN = ……10分 因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m<，则d ==5n m =-. ……11分所以10MN AB -==，=3124m =， 因为313242<，所以3124m =. ……12分 评分细则：【1】第（1）问中，联立()2120y x y kx m k ⎧=⎪⎨=+≠⎪⎩消去y 得()2222120k x km x m +-+=，也可以求得12m k =-，从而得到直线1l 过定点()12,0.【2】第（2）问中，还可以用12AB y y =-=得到AB =解析中，未写313242<，但是得到3124m =，不扣分. 22.解：（1）当1a =时，()21cos 12f x x x =+-，则()sin f x x x =-'. ……1分 令函数()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥，可得()g x 单调递增. ……2分 又()00g =，所以当()0,x ∈+∞时，()0g x >，当(),0x ∈-∞时，()0g x <. ……3分所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞. ……4分 （2）若0a =，则()212f x x =，此时0x =是()f x 的极小值点，故0a ≠. ……5分 ()sin f x x a ax '=-，令函数()sin h x x a ax =-，则()221cos 1cos h x a ax a a x '=-=-. ……6分令函数()()21cos 0x a a x a ϕ=-≠，可知()x ϕ在区间0,aπ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增. ……7分 ①当()2010a ϕ=-≥且0a ≠，即11a -≤≤且0a ≠时，()()00x ϕϕ≥≥，此时()h x 在区间0,aπ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()()00h x h ≥=，此时0x =不可能是()f x 的极大值点. ……8分②当()2010a ϕ=-<，即1a <-或1a >时，由()x ϕ在区间0,a π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，可知存在0,m a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当[)0,x m ∈时，()0x ϕ<，则()h x 在[)0,m 上单调递减， ……9分 从而()()00h x h ≤=，即()0f x '≤，()f x 在[)0,m 上单调递减. ……10分 由()()()()2211cos 1cos 122f x ax x ax x f x -=-+--=+-=，可得()f x 为偶函数， ()f x 的图象关于y 轴对称，此时0x =是()f x 的极大值点. ……11分综上，a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞. ……12分评分细则：【1】第（1）问中，最后没有回答函数的单调区间，而是写为“()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增”不扣分.【2】第（2）问中，在说明0a ≠后，也可以先讨论0a >，再根据函数的奇偶性，确定0a <中满足条件的a 的范围，最后求两种情况的a 的取值集合的并集，即得满足题意的a 的取值范围.。
高三数学起点调研考试试题文含解析试题
2021-2021学年度局部新高三起点调研测试制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
文科数学第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 设集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】此题选择C选项.2. 设，其中是实数，那么在复平面内所对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.此题选择D选项.3. 函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∴最小正周期.此题选择C选项.4. 设非零向量满足，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】∵非零向量满足，此题选择A选项.5. 双曲线〔〕的离心率与椭圆的离心率互为倒数，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B.C. 或者D. 或者【答案】A【解析】由题意,双曲线离心率∴双曲线的渐近线方程为，即.此题选择A选项.点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联络.6. 一个几何体的三视图如图，那么它的外表积为〔〕A. 28B.C.D.【答案】D【解析】如下图，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH，该几何体的外表积为：.此题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考察几何体的外表积，关键是可以对给出的三视图进展恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的外表积是各个面的面积之和；组合体的外表积应注意重合局部的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而外表积是侧面积与底面圆的面积之和．7. 设满足约束条件，那么的最大值是〔〕A. -15B. -9C. 1D. 9【答案】D【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目的函数获得最小值，由解得A(−6,−3)，那么z=2x+y的最小值是：−15.应选：A.点睛：求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8. 函数的单调递增区间是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由得：x∈(−∞,−1)∪(5,+∞)，令，那么y=t，∵x∈(−∞,−1)时,为减函数；x∈(5,+∞)时, 为增函数；y=t为增函数，故函数的单调递增区间是(5,+∞)，此题选择D选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，假设t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者者(g(b)，g(a))上是单调函数，假设t＝g(x)与y＝f(t)的单调性一样(同时为增或者减)，那么y＝f[g(x)]为增函数；假设t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．9. 给出以下四个结论：①命题“，〞的否认是“，〞；②“假设，那么〞的否命题是“假设，那么〞；③是真命题，那么命题一真一假；④“函数有零点〞是“函数在上为减函数〞的充要条件.其中正确结论的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意得，根据全程命题与存在性命题的否认关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“假设，那么〞，所以是错误的；③中，假设“〞或者“〞是真命题，那么命题都是假命题；④中，由函数有零点，那么，而函数为减函数，那么，所以是错误的，应选A。
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高三起点调研考试数学试题华师一附中殷希群说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k kn n p p C k p --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式： cl S 21=锥侧，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式：34R V π=球，其中R 表示球半径第I 卷（选择题，共60分）一 、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
)1．设f: x →|x|是集合A 到集合B 的映射，若A={-1, 0, 1}，则A ∩B 只可能是（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0, 1} D ．{-1, 0, 1}2．如果tan(α+β)=43，tan(β-4π)=21，那么tan(α+4π)的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．23．已知向量=（1，1），与的夹角为43π，且·= -1，则向量=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，-1）C ．（-1，0）或（0，-1）D ．（-1，-1）4．在等差数列{a n }中，7a5+5a 9=0，且a 9>a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于（） A ．5B ．6C ．7D ．85．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．方程xy=lg|x|的曲线只能是（ ）x x x xD7 ．函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值－M8．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC=1，则正 三棱锥A-BCD的体积是（ ）A ．122B ．242C ．123D ．2439．如果直线y ＝kx ＋1与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．210．2005年度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于11级分？选出最接近的数目（ ）A ．4000人B ．10000人C ．15000人D ．20000人11．已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ，若a 1+a 2+…+a n-1=29-n ，那么自然数n 的值为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．512．已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ． 3C ． 4D ． 5 选择题答题卡第II 卷（非选择题，共90分）A E DB FC二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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高三起点调研考试数学试题华师一附中殷希群说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间1。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k kn n p p C k p --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式： cl S 21=锥侧，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式：34R V π=球，其中R 表示球半径第I 卷（选择题，共60分）一 、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
)1．设f: x →|x|是集合A 到集合B 的映射，若A={-1, 0, 1}，则A ∩B 只可能是（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0, 1} D ．{-1, 0, 1}2．如果tan(α+β)=43，tan(β-4π)=21，那么tan(α+4π)的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．23．已知向量=（1，1），与的夹角为43π，且·= -1，则向量=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，-1）C ．（-1，0）或（0，-1）D ．（-4．在等差数列{a n }中，7a5+5a 9=0，且a 9>a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于（） A ．5B ．6C ．7D ．85．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．方程xy=lg|x|的曲线只能是（ ）x x x xD7 ．函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值－M8．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC=1，则正 三棱锥A-BCD的体积是（ ）A ．122B ．242C ．123D ．2439．如果直线y ＝kx ＋1与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．210．度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于分？选出最接近的数目（ ）A ．4000人B ．10000人C ．15000人D ．0人11．已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ，若a 1+a 2+…+a n-1=29-n ，那么自然数n 的值为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．512．已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ． 3C ． 4D ． 5 选择题答题卡第II 卷（非选择题，共90分）A E DB FC二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
）13．对于定义在R 上的函数f(x)，若实数x 0满足f(x 0)=x 0，则称x 0是函数f(x)的一个不动点，现给定一个实数a ，a ∈（4，5），则函数f(x)=x 2+ax+1的不动点共有_______个 14．（理）已知复数i z -=31，122-=i z ，则复数421z z i -的虚部等于________． （文）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．15．（理） 由1、2、3、4四个数字组成(数字可重复使用)的四位数a, 则a 的个位是1，且恰有两个数字重复的的概率是 。
（结果用最简分数表示） （文）定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1, 3, 5, 7, 9}的“孙集”的个数为_________.16．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2）， 当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．18．（本小题满分12分）（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队打完第五场比赛就获得冠军的概率； （2）求甲队获得冠军的概率.（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．（1）求甲袋内恰好有2个白球的概率； （2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.19．（本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形， E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）若二面角P-CD-B 为45°，AD=2，CD=3，求点F 到平面PCE 的距离.本小题满分12分）已知函数f （x ）的图像与函数21)(++=xx x h 的图像关于点A （0，1）对称． （1）求f （x ）的解析式；（2）（文）若ax x x f x g +=⋅)()(，且)(x g 在区间（0，2）上为减函数，求实数a 的取值范围； （理）若xax f x g +=)()(，且)(x g 在区间（0，]2上为减函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知a 、b 、m 、+∈N n ，}{n a 是首项为a ，公差为b 的等差数列；}{n b 是首项为b ，公比为a 的等比数列，且满足32211a b a b a <<<<． （1）求a 的值；（2）数列}1{m a +与数列}{n b 的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列}{n c ，求}{n c 的前n 项之和n S ．22．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23， BC ＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）（文）是否存在直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且线段MN 的中点为C ，若存在，求l 与直线AB 的夹角，若不存在，说明理由． （理）若点E 满足21=，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．华师一附中高三起点调研考试数学试题参考答案及设计说明1．C 【解题思路】：由映射定义及给定法则f 知，{0, 1}⊆B ，且-1∉B ，∴A ∩B={0, 1}，故选C 【试题评析】：考查映射与函数的概念以及交集的含义。
2．B 【解题思路】：tan(α+4π)=tan[(α+β)-(β-4π)]=112214312143=⋅+-,故选B 【试题评析】：考查三角公式的灵活运用，思维的灵活性。
3．C 【解题思路】：设=(a, b)，则a+b=-1 ①，又·=||||cos 43π， ∴1)22(b a 222-=-⋅+⋅，即a 2+b 2=1 ②，由①②可得⎩⎨⎧-==1b 0a 或⎩⎨⎧=-=0b 1a ,故选C【试题评析】：考查向量的数量积、向量的模及其坐标表示。
4． B 【解题思路】： ∵a 9>a 5，∴公差d>0，由7a 5+5a 9=0 得7(a 1+4d)+5(a 1+8d)=0，∴d=173-a 1，由a n= a 1d n )1(-+≤0，解得n ≤6. 故选B【试题评析】：考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的运用，思维的灵活性。
5．B 【解题思路】： 只有②、④是真命题. 故选B 【试题评析】：考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查充要条件等概念。
6．D 【解题思路】：方程变形为y=x|x |lg ，则由函数是奇函数，且x=±1时y=0得只有D 是符合的. 故选D【试题评析】：考查函数的图象与函数的性质，识图能力。
7 ．C 【解题思路】：解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，故选C解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则g （x ）=cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.【试题评析】：考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.8．B 【解题思路】：在正三棱锥中有AC ⊥BD ，又EF ⊥DE ，EF ∥AC ，∴AC ⊥DE ，∴AC ⊥平面ABD ，∵ BC=1，∴AB=AC=AD=22，∵V A-BCD =V C-ABD =31S △ABD ·AC=242.故选B 【试题评析】：考查空间线面关系、体积公式，考查逻辑思维能力和空间想象能力。