激光原理第四章答案

第四章电磁场与物质的共振相互作用
1 静止氖原子的 谱线中心波长为632.8nm，设氖原子分别以0.1c、0.4c、0.8c的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？
解：根据公式
可得： 代入不同速度，分别得到表观中心波长为：
， ，
2．设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为 。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L时，接收屏上的干涉光强周期地变化 次。
所以
即当激光光强为 的时候，气室的透过率t=0.5。
解： 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 为
气体的碰撞线宽系数 估算,根据 气体的碰撞线宽与气压p的关系近似为
可知,气体压强为 时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数.
再由 和 ,其中
可估算出其值约为
当 时，其气压为
所以，当气压在 附近时以多普勒加宽为主，当气压比 大很多时，以均匀加宽为主。
5．氦氖激光器有下列三种跃迁，即 的632.8nm， 的 和 的 的跃迁。求400K时它们的多普勒线宽，分别用 、 、 为单位表示。由所得结果你能得到什么启示？
(a)
(b)
补充．用波长在589nm附近的可调染料激光照射一含有13.3Pa钠及 氦气的混合室，气室温度为 ，气室长度 ，氦气与钠蒸气原子间的碰撞截面 ，钠蒸气的两个能级间的有关参量如下：
1能级( )：
2能级( )：
(1)求1—2跃迁的有关线宽(碰撞加宽、自然加宽、多普勒加宽)。
(2)如果激光波长调到钠原子1—2跃迁中心波长，求小信号吸收系数。
(3)在上述情况下，改变激光功率，试问激光光强I多大时气室的透过率t= 0.5？
解：
(1)一个Na原子与氦原子间的平均碰撞时间 由下式决定：
( I )
式中 表示单位体积内的氦原子数， 和 分别为氦原子和钠原子的质量。若 和 分别为氦气和钠蒸气的分压强， 和 分别为氦原子和钠原子的原子量，则有
将上面的数值代入到( I )式，可得
式中，M为原子（分子）量， 。对 来说，M=86，相干长度为
对于单色性 的氦氖激光器，其相干长度为
可见，氦氖激光器的相干长度要比 低气压放电灯的相干长度要大得多。
4．估算 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 和碰撞线宽系数 。并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。(提示 分子间的碰撞截面 )
解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
由于 远小于 ，由(1)式可得：
所以，由(1)~(4)式可以得到：
式中， 为波长为694.3nm的光强。由上式可得：
其中
21．推导图4.3所示能级系统2—0跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强 。假设该工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面 已知， ， 。
式中 和 分别为镜 开始移动的时刻和停止移动的时刻； 和 为与 和 相对应的 镜的空间坐标，并且有 。
得证。
3.在激光出现以前， 低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少，并与一个单色性 的氦氖激光器比较。
解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为
解：设 的分子量为M，阿伏加德罗常数用NA来表示，设单位体积内的 数为 ，考虑到300K的时候， ，则有
所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以 来表示)
14．有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度 ，694.3nm荧光线宽 。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。
解：多普勒线宽的表达式为
(单位为GHz)
(单位为 )
所以，400K时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：
的632.8nm跃迁：
的 跃迁：
的 跃迁：
由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。
6．考虑某二能级工作物质， 能级自发辐射寿命为 ，无辐射跃迁寿命为 。假定在t=0时刻能级 上的原子数密度为 ，工作物质的体积为V，自发辐射光的频率为 ，求：
图4.3
解：若有一频率为 的光沿z向传播，粒子的中心频率表现为 。当 时粒子产生受激辐射，所以产生受激辐射的粒子具有速度 ，同样的可以得到，如果该光沿-z方向传播，这个速度应该为 。根据这个分析就可以得到本题目中所述的两种情况下反转集居数密度按速度 的分布曲线，分别见下图的(a)和(b)。
图中(1)孔的深度为 ，(2)孔的深度为 ，(3)孔德深度为 。
解。根据线型函数 的定义，图中的 与线型函数最大值 对应，利用
线型函数归一化条件 的意义对应图线下方面积为1，
8.根据4.3节所列红宝石的跃迁几率数据，估算 等于多少时红宝石对 的光是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重 ，计算中可不计光的各种损耗。)
解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为
其中（II）式可以改写为
图4.2
解：设入射光频率为 跃迁的中心频率 ，光强为I，可列出速率方程如下：
式中
在稳态的情况下，应该有 ，由(2)式可以得到：
因为 远小于 ，KT远小于 ，所以 ，这样根据式(3)、(4)可得：
(5)
将式(5)代入式(1)可得：
其中
中心频率大信号吸收系数为
其中 。
22．设有两束频率分别为 和 ，光强为 及 的强光沿相同方向[图4.3 ]或沿相反方向[图4.3 ]通过中心频率为 的非均匀加宽增益介质， 。试分别画出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。
这样，I光的频率为 ，II光的频率为 。在屏P上面，I光和II光的广场可以分别表示为：
因而光屏P上的总光场为
光强正比于电场振幅的平方，所以P上面的光强为
它是t的周期函数，单位时间内的变化次数为
由上式可得在 时间内屏上光强亮暗变化的次数为
因为 是镜 移动 长度所花费的时间，所以 也就是镜 移动 过程中屏上光强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜 移动L距离时，屏上面光强周期性变化的次数S
(1)自发辐射光功率随时间t的变化规律；
(2)能级 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；
(3)自发辐射光子数与初始时刻能级 上的粒子数之比 ， 称为量子产额。
解：(1)在现在的情况下有
可以解得：
可以看出，t时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为 ，这就是t时刻自发辐射的光子数密度，所以t时刻自发辐射的光功率为：
(2)计算：由于 ，所以
发射截面和吸收截面为：
荧光寿命为：
19．已知某均匀加宽二能级( )饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率 =694.3nm处的吸收截面 ，其上能级寿命 ，试求此染料的饱和光强 。
解：若入射光频率为 ，光强为I，则
(1)
由
，
可以得到
代入(1)式可得
式中 ，所以有：
20．若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。
因为 与 相比很大，这表示粒子在 能级上停留的时间很短，因此可以认为 能级上的粒子数 ，因此有 。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解。
由(I)式可得：
代入式(V)得：
由于
所以
红宝石对波长为694.3nm的光透明，意思是在能量密度为 的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是 。而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有 为常数，即 ，这样式(VI)变为：
该式应该对于任意大小的 均成立，所以只有 ，即 时才可以。这样由上式可得：
由于 ，所以
这个时候红宝石对 的光是透明的。
12．短波长(真空紫外、软X射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面 。
证明：峰值吸收截面为
而
所以代入可以得到：
得证。
13．已知红宝石的密度为 ，其中 所占比例为0.05%(重量比)，在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4c来自百度文库-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。
则碰撞线宽为
自然线宽为
多普勒线宽为
(2)由以上的计算结果可以知道碰撞线宽远大于多普勒线宽，也远大于自然线宽，所以钠蒸气谱线以均匀加宽为主。均匀加宽 。这样，可以得到在中心频率出的小信号吸收系数为：
( II )
其中
将有关的参量代入( II )式，可以得到
(3)当t=0.5的时候，气室吸收系数为
由
可得
根据习题4.19可知
解：实验方框图如下：
实验程序以及计算公式如下：
(1)测量小信号中心频率增益系数：移开红宝石棒，微安表读数为 ，放入红宝石棒，微安表的读数为 ，由此得到小信号增益系数为
减小入射光光强，使小信号增益系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长(频率)，使小信号增益系数最大，此最大增益系数即为小信号中心频率增益系数 。
(2)在 时间内自发辐射的光子数为：
所以
(3)量子产额为：
无辐射跃迁导致能级2的寿命偏短，可以由
定义一个新的寿命 ，这样
7．二能级的波数分别为 和 ，相应的量子数分别为 和 ，上能级的自发辐射概率 ，测出自发辐射谱线形状如图4.1所示。求
(1)中心频率发射截面 ；
(2)中心频率吸收截面 。
(能级简并度和相应量子数的关系为 ，可设该工作物质的折射率为1.)
证明：如右图所示，光源S发出频率为 的光，从M上反射的光为 ，它被 反射并且透过M，由图中的I所标记；透过M的光记为 ，它被 反射后又被M反射，此光记为II。由于M和 均为固定镜，所以I光的频率不变，仍为 。将 看作光接收器，由于它以速度v运动，故它感受到的光的频率为：
因为 反射 光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v时，发出的光的频率为