圆锥曲线方程知识点总结

§８.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段

以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点，焦点在x 轴上:)0(12

22

2 b a b

y a

x

=+

.

ｉｉ. 中心在原点，焦点在y 轴上:)0(12

22

2

b a b x a y

=+

.

②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+．

③椭圆的标准方程：122

2

2=+

b y a x 的参数方程为⎩

⎨

⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π

θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.

②轴:对称轴：x 轴，y 轴;长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c

a x 2±=或c a y 2

±=.

⑥离心率：)10( e a

c

e =. ⑦焦点半径:

ｉ． 设),(00y x P 为椭圆)0(12

22

2 b a b

y a

x =+

上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ｉi.设),(00y x P 为椭圆

)0(12

22

2 b a a y b x =+

上的一点,21,F F 为上、下焦点,则

由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

2002

01 x a ex x c

a e pF x ex a c

a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆． ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经．坐标:),(222

2a b c a b d -=和),(2

a

b c

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a

c

e =

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若Ｐ是椭圆:12

22

2=+

b

y a

x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为2

tan

2θ

b (用余弦

定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2

cot 2θ

⋅b ．

二、双曲线方程.

⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF

⇒

-=+=0201,ey a PF ey a PF

asin α,)bsin α)

１. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线

以无轨迹

方程为双曲线

21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-

⑴①双曲线标准方程：

)0,(1),

0,(12

22

22

22

2 b a b

x a

y b a b

y a

x =-

=-

.

一般方程:)0(122 AC Cy Ax =+．

⑵①i. 焦点在x 轴上:

顶点:)0,(),0,(a a - 焦点:)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程:0=±b y

a x 或02222=-b

y a x

ii. 焦点在y 轴上: 顶点：),0(),,0(a a -. 焦点:),0(),,0(c c -.准线方程:c a y 2

±=. 渐近线方程:0=±b x a y 或02222=-b

x a y ，参

数方程:⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩

⎨⎧==θθ

sec tan a y b x .

②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为２b ,焦距2c ． ③离心率a

c

e =

. ④准线距c a 22(两准线的距离）;通径a

b 2

2.

⑤参数关系a

c

e b a c =

+=,222. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程1

2

22

2=-

b

y a

x

（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号） a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a

MF MF 221=-

F M a ex F M '--='201a

ey F M a ey F M a

ey MF

a ey MF -'-='+'

-='+=-=020102

01 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲

线．λ=-2222b y a x 与λ-=-22

22b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .

⑸共渐近线的双曲线系方程:

)0(2

22

2≠=-λλb y a x 的渐近线方程为

02

22

2=-b y a x 如果双曲线的渐近线为

0=±b y

a x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb

y a x .