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顶点重合， 所以△ABD、△ACD等高。 6÷3=2 DC=2BD 所以S△ACD=2S△ABD=2×9=18（平方厘米）
例题3
如图：△ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB， BD= 2BC，则△BDE 的面积是多少平方厘米？
例题3
如图：△ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB， BD= 2BC，则△BDE 的面积是多少平方厘米？
例题5
如图：已知在△AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、 D 是边AF 的三等分点，△EDF 的面积是50 平方厘米， 求△ABC 的面积。
例题5
如图：已知在△AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、 D 是边AF 的三等分点，△EDF 的面积是50 平方厘米， 求△ABC 的面积。
例题4
如图：已知△ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边 BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。△AEF 的面积是多 少平方厘米？
例题4
如图：已知△ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边
BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。△AEF 的面积是多 少平方厘米？
解：S△AEF=1（份） △ABF、△AFE等高，BE= 2BF BF=EF，所以S△AFE=S△ABF=1（份） △BED、△ABE等高，AD= 3AE DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=2×(1+1)=4（份） △ABD、△ADC等高，D 是边BC 的中点 BD=DC， 所以S△ABD=S△ADC=1+1+4=6（份） 1+1+4+6=12（份） 120÷12=10（cm2） △AEF 的面积是10平方厘米。
练习6
如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，△ADE 的 面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。 解：因为长方形ABCD 的面积是20 平方厘 米，边BC 的长是4 厘米 所以CD=20÷4=5（厘米） 由一半模型可得： S△ACD=20÷2=10（平方厘米） S△AEC=10-2=8（平方厘米） △AED、△ACE等高 S△ACE=4S△ADE 所以CE=4DE 所以DE=5÷(4+1)=1（厘米） 所以EC=5-1=4（厘米）
解：S△ADF=1（份） △ADF、△AEF等高，点F 是边ED 的中点 DF=EF，所以S△ADF=S△AEF=1（份） △ACD、△CDE等高，点E是边AC 的中点 AE=EC，所以S△CDE=S△AED=1+1=2（份） △ABD、△ACD等高，点D 是边BC 的中点 BD=CD，所以S△ABD=S△ADC=1+1+2=4（份） 1+1+2+4=8（份） 1000÷8=125（cm2）
高不变，底变 为原来的2倍
2cm 2cm
2cm
4cm
S=2×2÷2 =2（平方厘米）
S=4×2÷2 =4（平方厘米）
两个三角形高相等 面积的倍数关系=底的倍数关系
平行线间三角形
h
S=a×h÷2
一组平行线间的三角形等高。 一组平行线间，同底的三角形面积相等
a
例题2
如图：已知△ABC 的面积是20 平方厘米，△ABD 的边 BD 的长为3 厘米，△ADC 的边CD 的长是2 厘米，求 △ABD 的面积。
A
E
4cm2 K 10cm2 O 8cm2 9cm2
B
I
F
D
H
G
C
解：给各个顶点上标注字母，如右图。 因为长方形AEKI与长方形IKHD的一边重合 ， S长方形IKHD=2S长方形AEKI 所以：HK=2EK 所以：S长方KFCH=2S长方形EBFK=2×10=20（cm2 ） S长方形OFCG=20-9=11cm2
解：S△ACB=1（份） △ABC、△BDC等高，因为点B、D 是边AF 的三等分 点，AB=BD=DF。所以S△DBC=S△ABC=1（份） △ADC、△EDC等高，点C 是边AE 的中点 AC=CE，S△EDC=S△ADC=1+1=2（份） △ADE、△DEF等高，2AD=DF。 S△DEF=S△ADE÷2=（1+1+2）÷2=2（份） 50÷2=25（平方厘米） △ABC 的面积为25平方厘米。
解：连接AD
因为△ACD、△ABC等底，BD= 2BC BC=CD ，所以S△ABC=S△ACD=12（cm2） 因为△BDE、△ABD等高，且AE= 3AB BE=2AB，所以
S△BDE=2S△ABD=2×(12+12)=48（cm2）
练习3
如图：已知△ABC 的面积是60 平方厘米，点D 是边BC 的中点，AD= 3AE，求△ABE 的面积。
米，求AE 的长。
解：由一半模型可得： S△ACD=30÷2=15（平方厘米） S△AED=15-10=5（平方厘米） △AED、△CDE等高
S△CDE=2S△ACD
CE=2AE 所以AE=9÷(1+2)=3（厘米）
练习6
如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，△ADE 的面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。
练习2
如图：已知在△ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长 是6 厘米，且△ABD 的面积是9 平方厘米，求△ACD 的 面积。
练习2
如图：已知在△ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长 是6 厘米，且△ABD 的面积是9 平方厘米，求△ACD 的 面积。
解：因为BD、CD在同一条直线上，△ABD、△ACD
解： 1+1+2+4=8（份） 8×2=16（平方厘米）
Part 3.综合题目
例题6
如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米， △CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘米
，求AE 的长。
例题6
如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米， △CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘
D
H
B解：给各个顶点上标注字母，如右图。 因为长方形AEKI与长方形IKHD的一边重合 F 所以S长方形IKHD=2S长方形AEKI HK=2EK 即：S长方形KFCH=2S长方形EBFK=2×7=14（cm2 C）
Part 2.三角形
等高三角形
三角形高不变，底越大，则三角形面积越大
等高三角形
例题2
如图：已知△ABC 的面积是20 平方厘米，△ABD 的边 BD 的长为3 厘米，△ADC 的边CD 的长是2 厘米，求 △ABD 的面积。
解：因为BC、BD在同一条直线上，顶点重合 所以△ADC、△ABD等高
3÷2=1.5 BD=1.5 DC
因为△ABC 的面积是20 平方厘米 所以△ABD 的面积： 20÷（1.5+1）×1.5=12（平方厘米）
练习5
如图：已知在△AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是 边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，△ABC 的面积是2
平方厘米，求△AEF 的面积。
练习5
如图：已知在△AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是 边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，△ABC 的面积是2
平方厘米，求△AEF 的面积。
练习1
如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分 别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下 的小长方形的面积。
练习1
如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分 别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下 的小长方形的面积。
E
A I
5cm2 K 7cm2
10cm2
练习3
解：S△ABE=1（份） 因为AE、AD在一条直线上，△ABD、 △ABE 的顶点重合 所以△EBD、△ABE 等高，AD= 3AE DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=1×2=2（份） 因为BD、BC在一条直线上，△ABD、△ABC 的顶点重合，所以△ABD、△ADC等BD:S△ADC=1+2=3（份） 1+2+3=6（份） 所以△ABE 的面积： 60÷6=10（cm2）
总结
三角形底相等，面积的倍数关系等于高的倍数关系 三角形高相等，面积的倍数关系等于底的倍数关系 一组平行线间，等底的三角形面积相等 借助辅助线构造等高模型
谢谢!
练习4
如图：在△ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，△ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部 分的面积是多少平方厘米？
练习4
如图：在△ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，△ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部 分的面积是多少平方厘米？
等高模型
Part 1.长方形
例题1
如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中 四个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9 平方厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。
例题1
如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中四 个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9平方 厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。
例题3
如图：△ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB， BD= 2BC，则△BDE 的面积是多少平方厘米？
例题3
如图：△ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB， BD= 2BC，则△BDE 的面积是多少平方厘米？
例题5
如图：已知在△AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、 D 是边AF 的三等分点，△EDF 的面积是50 平方厘米， 求△ABC 的面积。
例题5
如图：已知在△AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、 D 是边AF 的三等分点，△EDF 的面积是50 平方厘米， 求△ABC 的面积。
例题4
如图：已知△ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边 BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。△AEF 的面积是多 少平方厘米？
例题4
如图：已知△ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边
BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。△AEF 的面积是多 少平方厘米？
解：S△AEF=1（份） △ABF、△AFE等高，BE= 2BF BF=EF，所以S△AFE=S△ABF=1（份） △BED、△ABE等高，AD= 3AE DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=2×(1+1)=4（份） △ABD、△ADC等高，D 是边BC 的中点 BD=DC， 所以S△ABD=S△ADC=1+1+4=6（份） 1+1+4+6=12（份） 120÷12=10（cm2） △AEF 的面积是10平方厘米。
练习6
如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，△ADE 的 面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。 解：因为长方形ABCD 的面积是20 平方厘 米，边BC 的长是4 厘米 所以CD=20÷4=5（厘米） 由一半模型可得： S△ACD=20÷2=10（平方厘米） S△AEC=10-2=8（平方厘米） △AED、△ACE等高 S△ACE=4S△ADE 所以CE=4DE 所以DE=5÷(4+1)=1（厘米） 所以EC=5-1=4（厘米）
解：S△ADF=1（份） △ADF、△AEF等高，点F 是边ED 的中点 DF=EF，所以S△ADF=S△AEF=1（份） △ACD、△CDE等高，点E是边AC 的中点 AE=EC，所以S△CDE=S△AED=1+1=2（份） △ABD、△ACD等高，点D 是边BC 的中点 BD=CD，所以S△ABD=S△ADC=1+1+2=4（份） 1+1+2+4=8（份） 1000÷8=125（cm2）
高不变，底变 为原来的2倍
2cm 2cm
2cm
4cm
S=2×2÷2 =2（平方厘米）
S=4×2÷2 =4（平方厘米）
两个三角形高相等 面积的倍数关系=底的倍数关系
平行线间三角形
h
S=a×h÷2
一组平行线间的三角形等高。 一组平行线间，同底的三角形面积相等
a
例题2
如图：已知△ABC 的面积是20 平方厘米，△ABD 的边 BD 的长为3 厘米，△ADC 的边CD 的长是2 厘米，求 △ABD 的面积。
A
E
4cm2 K 10cm2 O 8cm2 9cm2
B
I
F
D
H
G
C
解：给各个顶点上标注字母，如右图。 因为长方形AEKI与长方形IKHD的一边重合 ， S长方形IKHD=2S长方形AEKI 所以：HK=2EK 所以：S长方KFCH=2S长方形EBFK=2×10=20（cm2 ） S长方形OFCG=20-9=11cm2
解：S△ACB=1（份） △ABC、△BDC等高，因为点B、D 是边AF 的三等分 点，AB=BD=DF。所以S△DBC=S△ABC=1（份） △ADC、△EDC等高，点C 是边AE 的中点 AC=CE，S△EDC=S△ADC=1+1=2（份） △ADE、△DEF等高，2AD=DF。 S△DEF=S△ADE÷2=（1+1+2）÷2=2（份） 50÷2=25（平方厘米） △ABC 的面积为25平方厘米。
解：连接AD
因为△ACD、△ABC等底，BD= 2BC BC=CD ，所以S△ABC=S△ACD=12（cm2） 因为△BDE、△ABD等高，且AE= 3AB BE=2AB，所以
S△BDE=2S△ABD=2×(12+12)=48（cm2）
练习3
如图：已知△ABC 的面积是60 平方厘米，点D 是边BC 的中点，AD= 3AE，求△ABE 的面积。
米，求AE 的长。
解：由一半模型可得： S△ACD=30÷2=15（平方厘米） S△AED=15-10=5（平方厘米） △AED、△CDE等高
S△CDE=2S△ACD
CE=2AE 所以AE=9÷(1+2)=3（厘米）
练习6
如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，△ADE 的面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。
练习2
如图：已知在△ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长 是6 厘米，且△ABD 的面积是9 平方厘米，求△ACD 的 面积。
练习2
如图：已知在△ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长 是6 厘米，且△ABD 的面积是9 平方厘米，求△ACD 的 面积。
解：因为BD、CD在同一条直线上，△ABD、△ACD
解： 1+1+2+4=8（份） 8×2=16（平方厘米）
Part 3.综合题目
例题6
如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米， △CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘米
，求AE 的长。
例题6
如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米， △CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘
D
H
B解：给各个顶点上标注字母，如右图。 因为长方形AEKI与长方形IKHD的一边重合 F 所以S长方形IKHD=2S长方形AEKI HK=2EK 即：S长方形KFCH=2S长方形EBFK=2×7=14（cm2 C）
Part 2.三角形
等高三角形
三角形高不变，底越大，则三角形面积越大
等高三角形
例题2
如图：已知△ABC 的面积是20 平方厘米，△ABD 的边 BD 的长为3 厘米，△ADC 的边CD 的长是2 厘米，求 △ABD 的面积。
解：因为BC、BD在同一条直线上，顶点重合 所以△ADC、△ABD等高
3÷2=1.5 BD=1.5 DC
因为△ABC 的面积是20 平方厘米 所以△ABD 的面积： 20÷（1.5+1）×1.5=12（平方厘米）
练习5
如图：已知在△AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是 边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，△ABC 的面积是2
平方厘米，求△AEF 的面积。
练习5
如图：已知在△AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是 边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，△ABC 的面积是2
平方厘米，求△AEF 的面积。
练习1
如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分 别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下 的小长方形的面积。
练习1
如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分 别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下 的小长方形的面积。
E
A I
5cm2 K 7cm2
10cm2
练习3
解：S△ABE=1（份） 因为AE、AD在一条直线上，△ABD、 △ABE 的顶点重合 所以△EBD、△ABE 等高，AD= 3AE DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=1×2=2（份） 因为BD、BC在一条直线上，△ABD、△ABC 的顶点重合，所以△ABD、△ADC等BD:S△ADC=1+2=3（份） 1+2+3=6（份） 所以△ABE 的面积： 60÷6=10（cm2）
总结
三角形底相等，面积的倍数关系等于高的倍数关系 三角形高相等，面积的倍数关系等于底的倍数关系 一组平行线间，等底的三角形面积相等 借助辅助线构造等高模型
谢谢!
练习4
如图：在△ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，△ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部 分的面积是多少平方厘米？
练习4
如图：在△ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，△ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部 分的面积是多少平方厘米？
等高模型
Part 1.长方形
例题1
如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中 四个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9 平方厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。
例题1
如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中四 个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9平方 厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。