初中数学分式的加减法(1)
八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
初中分式运算技巧及易错点解析
初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。
2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。
注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。
3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。
二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。
一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。
例如，a⁻²=1/a²。
2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。
如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。
3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。
这就涉及到通分的问题。
如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。
4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。
如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。
5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。
通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。
在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。
另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。
数学131《分式的加减法》教案(北师大版八年级下)
第四课时●课题§3.3.1 分式的加减法（一）●教学目标（一）教学知识点1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.（二）能力训练要求1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.（三）情感与价值观要求1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.●教学重点1.同分母的分式加减法.2.简单的异分母的分式加减法.●教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.●教学方法启发与探究相结合●教具准备投影片四张：第一张：提出问题，（记作§3.3.1 A）;第二张：想一想，做一做，（记作§3.3.1 B）；第三张：想一想，（记作§3.3.1 C）;第四张：议一议，（记作§3.3.1 D）;第五张：例1，记作（§3.3.1 E）；第六张：补充练习，（记作§3.3.1 F）.●教学过程Ⅰ.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片 §3.3.1 A ）问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km ，其中第一条是平路，第二条有1 km 的上坡路、2 km 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间? （2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［生］问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h . （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h .但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出. ［生］如果要比较（v 1+v 32）与v23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a ,b . 如果a －b ＞0，则a ＞b ; 如果a －b =0,则a =b ； 如果a －b ＜0,则a ＜b .［师］这位同学想得方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.［生］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？ ［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题） 我们再来看一下问题二.［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需a 33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时.［生］a 3000,a 1000是分式，a 3000－a1000是分式的加减法. ［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法. Ⅱ.讲授新课 1.同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§3.3.1 B ） 想一想（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？ （2）你认为分母相同的分式应该如何加减？ 做一做 （1）a 1+a2=____________. （2）22-x x －24-x =____________.（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________. ［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如134+133－1317=131734-+=－1310. 我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减. ［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题. ［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3; ［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ;［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x=12+-x x . ［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程.［生］第（1）小题是正确的.第（2）小题没有把结果化简.应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2.［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.［生］第（3）小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）.［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体.［生］老师，是我做错了.第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x=1312+-++-+x x x x=1+x x ［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步. 通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：c a ±c b =cb a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）. 前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试. ［生］a 3000－a 1000=a 10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a2000个小时. 2.简单的异分母的分式相加减 ［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法.出示投影片（§3.3.1 C ） 想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算. ［生 ］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法［生 ］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.［师 ］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.（出示投影片 §3.3.1 D ）小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+a a a ⋅4 =2412a a +24a a =2413a a =a413. 小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a 41=a 412+a 41=a413. 你对这两种做法有何评论？与同伴交流.［生 ］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：61+41.如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125.［生 ］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母.例如a 3+a41，a 和4a 的最简公分母是4a .下面我们再来看几个例子. 出示投影片（§3.3.1 E ） ［例1］计算： （1）a 3+a a 515-;（2）12-x +xx --11 ［生］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成.［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.［例1］中的第（1）题，一个分母是a ,另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a3化成a 553⨯=a515即可. 解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515-=a a 5)15(15-+=a a 5=51;［生］我们组也已完成了第（2）题.两个分式相加，一个分式的分母是x －1,另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把xx --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x.所以第（2）题的解法如下： （2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起. ［生］问题一可以出来结果啦.（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v35h. （2）小丽走第一条路所用的时间为v23h. 作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61h. Ⅲ.应用、升华 1.随堂练习第1题 计算：（1）x b 3－x b ; （2）a 1+a 21;（3）b a a -－ab a-解：（1）x b 3－x b =x b b -3=x b2;（2）a 1+a 21=a 22+a 21=a 212+=a 23;（3）b a a -－a b a -=b a a -－b a a--=b a a a ---)(=ba a -2.2.补充练习（出示投影片§3.3.1 F ）计算：m n n m -+2+n m n -－m n n-2.解：m n n m -+2+m n n --－m n n -2=mn n n n m ---+2)(2=m n n m --=mn m n ---)(=－1 Ⅵ.课时小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大.［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误.［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法. …… Ⅴ.课后作业习题3.4第1、2、3题. Ⅵ.活动与探究 已知x +y 1=z +x 1=1,求y +z1的值. ［过程］已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程x +y 1=1,z +x1=1，由这两个方程把y 、z 都用x 表示后，再求代数式的值.［结果］由x +y 1=1,得y =x-11, 由z +x 1=1,得z =x x 1-. 所以y +z 1=x -11+1-x x =11--x +1-x x =11--x x =1.●板书设计§3.3.1 分式的加减法（一）分数的加减法 分式的加减法同分母 分母不变，分子相加减 分母不变，分子相加减. 异分母转化为同分母转化为同分母做一做：（学生板演） （1）a 1+a2（2）22-x x －24-x（3）12++x x －11+-x x +12+-x x ［例1］计算：（1）a 3+a a 515- （2）12-x +xx --11注意：1°分数线的括号作用，突出分子是整体. 2°计算结果要化成最简形式.。
分式的加减法(一)
第五章分式与分式方程3．分式的加减法（一）课时安排说明：本节内容一共安排了三课时。
第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算。
第二节课则阐述异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用，第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用。
这样安排，给学生一个简单到复杂的认识过程，有了第一节的铺垫，使学生对分式加减法的掌握并不觉得难，且本节对于第三章分式的学习有着至关重要的作用，是后面根据实际生活问题列出分式方程，并求出正确答案的基本功，教学时必须踏踏实实，。
一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。
由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由n10在0<nn时的值的情况去猜测0>时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。
二、教学任务分析同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。
因此，本节课的教学目标定位为：1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业第一环节 情景引入活动内容 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-125127 猜一猜=+a a 21 =-x x 12 =+bb 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。
八年级下册数学分式的加减法
八年级下册数学分式的加减法摘要：一、分式的基本概念1.分式的定义2.分式的组成部分3.分式的基本性质二、分式的加减法1.分式加法的规则2.分式减法的规则3.分式加减混合运算的顺序三、分式的加减法实际应用1.实际问题中的分式加减法2.利用分式的加减法解决实际问题正文：一、分式的基本概念分式是数学中一种常见的表达形式，它由分子和分母组成，用斜杠“/”表示。
分式的定义是：如果A 和B 是两个整式，并且B 不等于零，那么我们用A 除以B 所得到的商A/B 就叫做分式。
分式的组成部分包括分子、分母和分数线，其中分子和分母都是整式，分数线表示分式的开始和结束。
分式的基本性质有：分子和分母同时乘以或除以一个非零数，分式的值不变；分子和分母同时加上或减去一个相同的数，分式的值不变。
二、分式的加减法分式的加减法是数学中常见的运算，其规则如下：1.分式加法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的和就是(A+C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相加，分母保持不变。
2.分式减法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的差就是(A-C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相减，分母保持不变。
3.分式加减混合运算的顺序：在没有括号的情况下，先进行乘除运算，再进行加减运算。
如果有括号，先进行括号内的运算。
三、分式的加减法实际应用分式的加减法在实际问题中有很多应用，例如在物理、化学、地理等学科中，常常需要用分式的加减法来解决问题。
例如，在化学中，可能会遇到需要将两种物质的摩尔质量相加或相减的问题，这时候就需要用到分式的加减法。
在解决实际问题时，我们需要先将问题抽象成数学模型，然后根据问题中给出的条件，选择合适的数学方法，包括分式的加减法，来解决问题。
以上就是八年级下册数学分式的加减法的内容。
分式的加减法是数学中重要的基本概念和基本运算，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
5.3分式的加减法(1)
2
能力提升
1、计算
b 2a c bc a bc ba c bc a
能力提升
课堂小结
1、同分母分式的加减法的法则 2、分式运算的结果通常要化成最简分式或整式. 3、学会类比的数学方法.
课后作业
见学案 必做：A组；选做：B组
第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法（1）
授课 毛小富
温故知新
1.同分母分数加减法的法则是什么？ 如 : ? 5 5 1 2 ? 2.你认为 a a 3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减， 分母不变,分子相加减.
1
2
【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减，
x2 4 (2) ? x2 x2
☆注意： 1.分子是多项式时要添括号. 2.分式加减计算的结果必须是最简分式或整式.
合作探究
下面的两个计算有什么共同特征？
x y + =？ 1 x y yx a 1 2a =？ 2 a 1 1 a
2
如何才能使分母转化为相同的分母？
训练内化
a b (1) a b a b 1 1 （ 2） 2 (a b) (b a ) 2 2a a b a 2b （ 3） 2a b b 2a 2a b
训练内化
3、先化简，再求值：
x 2x x ( ) ，其中x= 7 1 x 3 x 3 x 3
分母不变,分子相加减. 同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
认识法则
【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,分子相加减.
把这一法则用符号表示为：
初中数学知识点精讲精析 分式的加减法
3·3分式的加减法1．通分定义：分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CB AC B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.1. 将下列分式通分【解析】（），，1323542232a b c ab ab c - 最简公分母是12232a b c ∴=⋅⋅=32362618122222222232a b bc a b bc bc a b c【解析】2.通分：（1）x y 2,23y x ,xy41； （2）y x -5,2)(3x y -; （3）31+x ,31-x ; （4）412-a ,21-a 分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积.【解析】（1）三个分母的公分母为12 xy 2，则 c ab c ac ab ac ac a b c 343441232323232=⋅⋅=-=-⋅⋅=-545343151222322334232ab cab a b c a b a b a b c （），，221222222ab a b a b a b a ab b --+++() a b a b a b 22-=+-()()a ab b a b 2222++=+()∴+-最简公分母是：()()a b a b 22∴-=+-+-⋅+-=-+-2222223322ab a bab a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ()()()()()()()()1222222222()()()()()()a b a b a b a b a ab b a b a b -=+-⋅+=+++⋅-a b a ab ba b a b a b a b a a b ab b a b a b +++=+-+⋅-=--++⋅-222223223222()()()()()()x y 2=22626y x y ⋅⋅=23126xy y ; 23y x =x y x x 4342⋅⋅=22124xyx ; xy 41=y xy y 3431⋅⋅=2123xyy （2）因为（y －x ）2=（x －y ）2，所以两个分母的公分母为（x －y ）2. y x -5=))(()(5y x y x y x ---=2)()(5y x y x --; 2)(3x y -=2)(3y x -. （3）两个分母的公分母为（x +3）（x －3）=x 2－9. 31+x =)3)(3(3-+-x x x =932--x x ; 31-x =)3)(3(3-++x x x =932++x x . （4）因为a 2－4=（a +2）（a －2）,所以两个分母的公分母为a 2－4. 412-a =412-a ; 21-a =)2)(2(2+-+a a a =422-+a a .3. 计算（）12222a b ab a b ab +--=+--a b a b ab 222()=+-+a b a b ab 222=22b ab4. 计算【解析】【解析】【解析】=1a （）222m n n m n m n m n m +-+---=+-----m n n m n n m m n m 22=+---m n n m n m 22=--n m n m =1（）1562334xy xz xyz -+原式＝1012812912108912z xyz y xyz xyz z y xyz -+=-+（）24124122x x x x -+++-原式＝x x x x x ()()()()+-++--2212212=+--++-=+---+-=-+-222222222242226222x x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()（）322a b a b a b +---原式＝a b a b a b 22+--+()=+--+--a b a b a b a b a b 22()()5.【解析】解一：解二：=+---=+-+-=-a b a b a ba b a b a bb a b 2222222222()（）12132922a a a a a a -+-÷--原式＝a a a a a a a ()()()-+-⨯+--213332=-++-=--+-=-+-=---=-+-123212321322222a a a a a a a a a a a a ()（）222()b a ab a b aba b ab -+-÷-原式＝[()()]b a a b a b b a a b ab -+-÷-=---⨯-=--⨯-=-+--⨯-=-+-[()()]()()()()b ab a b a ab a b ab a bb a ab a b ab a ba b a b ab a b ab a ba b a b 2222原式＝[()()]b a a b a b b a ab a b -+-⨯-=---⨯-[()()]b a a b a b a b ab a b解：解一：解二：=-⋅---⋅-=---=--=-+--=-+-b a a b ab a b a b a b ab a bb a b a a b b a a b a b a b a b a b a b ()()()()()()()()22222222（）3111112()()---a a 原式=-----()()11111222a a a a a a =---⋅-=--⋅+-=-+11111111222a a a aa a a a a a a ()()（）4111122()()x a x a -÷-原式=-÷-()()a a x x a x a ax x ax 222222=-÷-=+-⋅-=+a x a xa x ax a x a x a x ax a x a x ax 222222()()原式=+-÷-[()()]()111111x a x a x a =+=+=+11x aa ax x axa x ax6.. 【解析】由题意得：7.甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？已知与互为相反数，求：的值。
3.3分式的加减法(1)
山东大学附属中学八年级下数学学案第三章分式
3．3 分式的加减法（1）
【教师预设问题】
1.如何确定最简公分母？
2.在进行分式的加减运算过程中要注意哪些问题？
3.运算的结果有什么要求？
【学生问题】
1.如何验证所确定的公分母是不是最简公分母？
2.通分时所有情况都取最简公分母吗？
3.做题时需要先写出“最简公分母是…”吗？
4.“对于分母较复杂的题又如何通分？
【教师预设问题与学生问题融合】
学生问题1与预设问题1相似；学生问题2与预设问题2,3相似；学生问题74可与预设问题3建立起联系。
【课堂疑问】。
第1套人教初中数学八上 15.2.2 分式的加减课件 【通用,最新经典教案】
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
b
A.
a b
b a
÷
a-b
=( A
a
a-b
B.
b
).
a-b
a
C.
a+b
a
D.
一
二
1.分式的加减法
x+2y
y
2x
+ − ;
y-x
x-y
y-x
x
3
(2)先化简,再求值: −
-1,其中
x-1
(x-1)(x+2)
【例 1】 (1)化简:
2
x=-3.
关闭
x+2y
y
2x x+2y-y-2x y-x
(1)原式=
(3)底数是多项式,应把
x+y 看作一个整体当底数.
(1)a3·a2·a=a3+2+1=a6;
(2)(-x)2·x5=x2·x5=x2+5=x7;
(3)(x+y)2·(x+y)3=(x+y)2+3=(x+y)5.
[初中数学]+分式的加减法(同步课件)+八年级数学上册同步精品课堂(京改版)
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2
2
a 2ab b
b
a-b
5.化简
的结果是________.
2
2
a b
ba
当堂检测
6.已知两个式子： A
4
x
2
4
，B
1
x
1
2
其中x≠±2，则A与B的关系是( C )
A．相等
B．互为倒数
C．互为相反数
D．A大于B
2
x
，
当堂检测
m 2n
n
2m
3
12
15
7.计算：
（）
1
；(2)
D.
x
x－2
当堂检测
3.分式
2a +2 a 1
化简后的结果是 ( B )
2
a 1 1 a
a +1
A. a 1
a +3
B. a 1
a
C. a 1
2
a +3
D. a 2 1
y
y
3
3-8y
,
,
2y
2
2
2
4.分式 y -2y y -4 2y 4y 的最简公分母为__________.
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母分式相加减的法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：
b c bc
a a
a
讲授新课
典例精析
【例1】计算：
5x 3 y
2x
2
2
2
x y
x y2
分式的加减法运算
分式的加减法运算分式是数学中的一种表示形式，常用于表示部分与整体之间的关系或比例关系。
在分式中，有时需要进行加减法运算，以求得分式的和或差。
下面将介绍分式的加减法运算方法，并给出一些例子进行解析。
一、同分母当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如：计算3/4 + 1/4由于两个分式的分母相同，因此可以直接对分子进行加法运算，得到4/4。
答：3/4 + 1/4 = 4/4同样的道理，对于两个分式进行减法运算也是一样的。
例如：计算5/6 - 1/6由于两个分式的分母相同，因此可以直接对分子进行减法运算，得到4/6。
答：5/6 - 1/6 = 4/6二、异分母当两个分式的分母不同时，需要进行分母的通分操作，再进行加减法运算。
1. 分母为相同因数的情况如果两个分式的分母可以通过相同的因数相乘得到，那么可以直接进行通分操作，再进行加减法运算。
例如：计算1/3 + 1/6由于3和6可以通过乘以2得到相同的分母，所以先将两个分式的分母进行通分，得到2/6 + 1/6。
然后可以对分子进行加法运算，得到3/6，再约分得到1/2。
答：1/3 + 1/6 = 1/2同样的方法，可以进行异分母分式的减法运算。
例如：计算5/8 - 1/12由于8和12可以通过乘以3得到相同的分母，所以先将两个分式的分母进行通分，得到15/24 - 2/24。
然后可以对分子进行减法运算，得到13/24。
答：5/8 - 1/12 = 13/242. 分母为互质的情况如果两个分式的分母不能通过相同的因数相乘得到相同分母，那么需要使用辗转相除法来得到最小公倍数，并进行通分操作。
例如：计算2/5 + 3/7由于5和7互质，没有相同的因数，所以需要找到最小公倍数。
7和5的最小公倍数为35，所以可以将两个分式的分母进行通分，得到14/35 + 15/35。
然后可以对分子进行加法运算，得到29/35，再约分得到 5/7。
答：2/5 + 3/7 = 5/7同样的方法，可以进行异分母分式的减法运算。
第五章第03讲 分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。
初中数学分式的加减知识点
If one day I have money or I am completely out of money, I will start wandering.整合汇编简单易用（页眉可删）初中数学分式的加减知识点分式加减法法则（rule of addition and subtraction of fraction）是分式的运算法则之一。
下面是初中数学分式的加减知识点，快来看看吧！初中数学知识点总结：分式的加减法则以下是对分式的加减知识点的总结学习，同学们认真记录笔记。
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：b（a）±b（c）＝b（a±c）法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：b（a）±d（c）＝bd（ad）±bd（bc）＝bd （ad±bc）注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰；（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
希望上面对分式的加减知识点的总结内容，同学们都能很好的掌握，并在考试中取得理想的成绩。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的`数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面；②两条数轴；③互相垂直；④原点重合。
三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向。
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
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分式的加减法(一)
教学目标
(一)知识与技能目标
1、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力．
2、引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力．
（二）过程与方法目标
经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
（三）情感与价值目标
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力
教学重点和难点
1．重点：分式的加减运算．
2．难点：异分母的分式加减法运算．
教学方法：启发式、分组讨论．
第一课时
教学过程
1、情境引入：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路，2km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h ,在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
12 ()
3
h v v
+
（2）她走哪条路花费时间少？少用多长时间？
123 ()
32
h v v v
+-
想一想
2、解读探究 同分母分数如何加减？（学生举例）你认为
12a a
+应该等于什么？ 猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ 同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减
做一做
（1）24()22
x x x +=--_____________ （2）213()111
x x x x x x +---+=+++_______________ 想一想
（3） 异分母分数如何加减？（学生举例）
（4） 你认为异分母的分式应该如何加减？比如314a a
+应该怎样计算？ 议一议
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。
小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。
小明：22231341213134444444a a a a a a a a a a a a a a a
+=+=+== 小亮：3134112113444444a a a a a a a ⨯+=+=+= 你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
例1 计算
（1）3155a a a -+； （2）2111x x x
-+-- 解略。
随堂练习P74
3、课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？
作业P74
教学反思：。