2017年高考数学理试题分类汇编：极坐标与参数方程

2017年高考数学理试题分类汇编：极坐标与参数方程
1. (2017年北京卷理) （11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），
则|AP |的最小值为___________.
【答案】1
【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=⇒-+-= ，所以min ||||211AP AC r =-=-= 2. (2017年江苏卷) [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为
22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
C.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=
，设2(2,)P s ，
则点P 到直线l
的的距离22d ==
易知当s =
min 5d ==. 3. ( 2017年全国Ⅲ卷文) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy 中，直线1l 与参数方程为2,,x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.
【解析】< >文 【解析】由已知得121:(2),:(2)l y k x l y x k
=-=+， 2
y k x ∴=- ，2(+2)x y x y -∴=， ……………………..3 即2
24x y -=，即22
144x y -=. (5)
将3:0l x y +=代入（1）22
4x y -=中，
所以22(x 40x --+-=，
解得,22
x y ==-，…………………………….8 所以M
在直角坐标系下的坐标为(
,22-
由ρ=
ρ=所以M
的极径为ρ=
…………………………………..10 （11）(2017年天津卷理)在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.
【答案】2
【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314
d =
< ，所以有两个交点 4. (2017年新课标Ⅲ卷理) [选修44：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
（1）学……科网写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ
，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
（1）直线1l 的普通方程为(2)y k x =-
直线2l 的普通方程为2x ky =-+
消去k 得 224x y -=，
即C 的普通方程为224x y -=.
（2）3l
化为普通方程为x y +=
联立224
x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 得
22
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴222182544
x y ρ=+=+= ∴3l 与C 的交点M
5. (2017年新课标Ⅰ文) [选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）
若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l
a .
解：（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=. 由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525
-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
d =. 当4a ≥-时，d
=8a =； 当4a <-时，d
=16a =-. 综上，8a =或16a =-.、
6. ( 2017年新课标Ⅱ文) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

曲线C 1的极坐标方程为错误!未找到引用源。

（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16⋅OM OP =，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π23
（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。

【解析】
（1）设P 的极坐标为（错误!未找到引用源。

）（错误!未找到引用源。

＞0），M 的极坐标为错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）由题设知
|OP|=错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
由错误!未找到引用源。

|OP|=16得错误!未找到引用源。

的极坐标方程错误!未找到引用源。

因此错误!未找到引用源。

的直角坐标方程为错误!未找到引用源。

.
（2）设点B 的极坐标为错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）.由题设知|OA|=2，错误!未找到引用源。

，于是△OAB 面积
当错误!未找到引用源。

时，学|科网S 取得最大值错误!未找到引用源。

.
所以△OAB 面积的最大值为错误!未找到引用源。

.
7. ( 2017年新课标Ⅱ卷理).[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
【解析】
)
0(cos 416|||2>==⋅ρθρ的极坐标方程为得由｜C OP OM ())0(422
22≠=+-x y x C 的直角坐标方程为因此
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B ραρ,由题设知 cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=sin 24cos sin 33
2sin 2
32
23
B S OA AOB
ρπααπα∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤+
当=-12π
α时，S 取得最大值2+3
所以△OAB 面积的最大值为2+3。