数项级数习题课完整版
江苏大数学分析-第十二章 数项级数习题课
同的敛散性.
1n
1n 1
答：不能，例如
与
，前者收敛，后者发散，但却有
n
n n
1n 1
lim
n
n 1.
n
n
1
n
注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不
一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数
， cn n
， an 0 ，
n
an 收敛，
假如还有条件 bn 0 ，则 an 发散，这由比较原则得到.
8．设
un
为正项级数，且 un1 un
1 ，则级数
un 收敛吗？
1
答：不一定，例如
1 满足 un1 n 1 n 1 ，但
1
发散，因此一定要强调
第十二章 数项级数习题课
一 概念叙述
1． un 收敛于 S 部分和数列Sn 收敛于 S lim Sn S n n1
2． un 收敛的柯西准则 0, N 0, m, n N , 有 um1 um2 un ．
3． un 发散的柯西准则 0 N ， m0 ( N ) ， p0 ，有
2.级数 un ， vn ， un vn 的敛散性有何联系？
答：1）若 un 与 vn 都收敛，则 un vn 收敛，且 un vn un vn ；
2）若 un 与 vn 中有一个收敛有一个发散，则 un vn 发散；
3）若 un 与 vn 都发散，则 un vn 可能收敛可能发散．
例如，
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-数项级数(圣才出品)
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第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
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也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
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（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
微积分B(1)第11次习题课(数项级数)题目
n=2
（9） ∑ a1
n =1 ∞ n =1
ln n
( a > 0)
；
（10） ∑ n sin (n
∞ n=1
∞
2 p
n + 1)
p
( p > 0)
；
n （11） ∑ (1 − p ln ) ； n
n
（12） ∑ ln(1n!) ；
n=2
2 2
（13）1 + a + ab + a b + a b
2
+ a 3b 2 + ⋯ + a n b n + a n +1b n + ⋯
∞
1
n =1
∞
∞
n
n =1
n →∞
n
2 n −1
2n
n =1
∞
∞
n →∞
n
n =1
an
n =1
an
∞
n =1
an
．正项级数判敛 （1） ∑ n n+ 2−n1− 1 ； n （3） ∑ ln ； n 1× 3 1× 3 × 5 1× 3 × 5 × 7 （5） 1 + + + +⋯； 1 1 × 4 1 × 4 × 7 1 × 4 × 7 × 10 n （7） ∑ (ln ； n)
∞ ∞
6
n
n
n n +1
n
n =1
n =1
∞
∞
n →∞
n
n
n −1
n
n =1
n =1
∞
n
α
n
n
n =1
数项级数敛散性习题课
limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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6
例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
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3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
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例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
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4
例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
级数习题课
= e x , x ∈ ( −∞ , + ∞ ) ;
<4> ln(1 + x) = ∑ (−1)n
n =1
1 n +1 x , n +1
x ∈ (−1,1]
<5> − ln(1 − x) = ∑
1 n +1 x , n =1 n + 1
∞
x ∈ [−1,1)
通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出 S ( x) . 5.将函数展为幂级数—Taylor 级数
n =1 n =1 ∞ ∞
4.幂级数的收敛域 D 与和函数 S ( x) 的求法 (1)关键在于求 ∑ a n x n ( ∑ a n ( x − x0 ) n )的收敛半径 R
n =0 n =0 ∞ ∞
a n +1 当其“不缺无限多项”时,使用公式:若 lim n →∞ an R= 1
= ρ 或 lim n an = ρ ,则
n =1 n =1
∞
∞
注: 运用比较法的关键在于: 1 事先估计待审级数的敛散性（当 n → ∞ 时 ,若 u n = o
()
1 n
,则 ∑ un 一般是收敛的,否则可能发散）; 2 找到敛散性
n =1
∞
已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或 p − 级数). (3) 比值法与根值法
u n +1 若 lim n→∞ un
S (±l ) =
f (0 + 0) + f (2l − 0) ⎞ f (−l + 0) + f (l − 0) ⎛ , ⎜ S (0) = S (2l ) = ⎟. 2 2 ⎝ ⎠
(2)正弦级数与余弦级数
数学分析数项级数课后习题答案
A 一、不定积分部分1.设()f x 具有可微的反函数()1fx -。
设()F x 是()f x 的一个原函数。
试证明()()()111f x dx xf x F f x C ---⎡⎤=-+⎣⎦⎰。
证 在公式右端对x 求导，我们有()(){}()()()()()()()()1111111111.df x df x d xf x F f x C f x x f f x dx dx dx df x df x f x x x f x dx dx----------⎡⎤⎡⎤-+=+-⎣⎦⎣⎦=+-=2. 设()f x 定义在(),a b 上，a c b <<，且有()()()()()()()()1212;;lim ,lim x cx cF x f x a x c F x f x c x b F x A F x B -+→→''=<<=<<==，若()f x 在x c =处连续，试证明()f x 在(),a b 上存在原函数。
证 作函数()F x 如下：()()()12,,,,,.F x a x c F x A x c F x B A c x b <<⎧⎪==⎨⎪-+<<⎩则()F x 在x c =处连续，由()f x 在x c =处连续知，()()lim lim x cx cF x F x -+→→=，故根据导函数的特征，即知()()F c f c '=。
因而()F x 是()f x 在(),a b 上的原函数。
3. 试证明下列命题：（1）（函数方程）设()f x 是(),-∞+∞上的可微函数，且满足()()()2,f x y f x f y xy x y +=++∈(),-∞+∞，则()()20f x x f x '=+；（2）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且()()0f a f b ==。
【精品】第9章 数项级数练习
第9章数项级数§1数项级数的收敛性一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项(一般项,第n 项),前n 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为∑n u .2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时,) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn .级数收敛; 当1||>q 时,, =n S 级数发散;当1=q 时,+∞→+=1n S n ,) (∞→n ,级数发散;当1-=q 时,()n n S )1(121-+=,) (∞→n ,级数发散. 综上,几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛,且和为q-11(注意n 从0开始).例2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.例3讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n ,) (∞→n .⇒n S →2,) (∞→n .因此,该级数收敛. 例4讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+,) (∞→n .级数发散.3. 级数与数列的关系: ⑴设∑nu对应部分和数列{n S },则∑nu收敛⇔{n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4.级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu,其中⎰+=1n nn f u .无穷积分可化为级数;⑵对每个级数,定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n ,易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f .即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二级数收敛的充要条件——Cauchy 准则：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1(Cauchy 准则)∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论(级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒0lim =∞→n n u .例5证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛. 证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =,则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注:应用Cauchy 准则时，应设法把式|∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证)证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .即得+∞→n S ，) (∞→n .)注:此例为0→n u 但级数发散的例子.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3若级数∑nu收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)例8考查级数∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?§3正项级数一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:n n S u , 0>↗;任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th1设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n .(证)正项级数敛散性的记法. 3. 正项级数判敛的比较原则: Th2设∑nu和∑nv是两个正项级数,且N n N >∃ , 时有n n v u ≤,则ⅰ>∑nv<∞+,⇒∑nu<∞+;ⅱ>∑nu=∞+,⇒∑nv=∞+.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命题)例1考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2设)1( 0π><<q q p .判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1(比较原则的极限形式)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ>当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散;ⅱ>当0=l 时,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+; ⅲ>当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+.(证)推论2设∑nu和∑nv是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若n u ～n v ,) (∞→n ，则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ;(n n -21～n 21);⑵∑∞=11sin n n ;⑶∑∞=+12) 11 ln(n n .二正项级数判敛法:1．比值法：亦称为D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th3设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ>若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ>若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+. 证ⅰ>不妨设1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立,有 , , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤-依次相乘⇒11-≤n n q u u ,即 11-≤n n q u u .由10<<q ,得∑<n q ∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ>可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论(比值法的极限形式)设∑n u 为正项级数,且q u u nn n =+∞→1lim .则ⅰ>当q <1⇒∑nu<∞+;ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+.(证)注:⑴倘用比值法判得∑nu=∞+,则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数,特别是n u 中含有因子!n 者. 例4判断级数()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此,当10<<x 时,∑+∞<;1>x 时,∑+∞=;1=x 时,级数成为∑n ,发散.例6判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+n n u u ，其敛散性不能确定.例如对级数∑n 1和∑21n,均有11<+nn u u ，但前者发散,后者收敛.2.根值法(Cauchy 判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0>l ,当0N n >时,ⅰ>若1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ>若1 ≥n n u ⇒∑nu=∞+.(此时有 , 0→/n u ) (∞→n .)(证) 推论(根值法的极限形式)设∑nu为正项级数,且l u nn n =∞→lim.则ⅰ>当1 <l 时⇒∑nu<∞+;ⅱ>当1 >l 时⇒∑nu=∞+.(证)注:根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法.(参阅[1]P 12)例7研究级数∑-+nn2) 1 (3的敛散性.解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 例8判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性.解前者通项不趋于零,后者用根值法判得其收敛. 3．积分判别法：Th5设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘.则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀且⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( .例9讨论-p 级数∑∞=11n pn的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减.积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛,10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/p n,级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10讨论下列级数的敛散性:⑴∑∞=2) ln ( 1n p n n ;⑵∑∞=3) ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .§4任意项级数一.交错级数:交错级数,Leibniz 型级数.Th1(Leibniz)Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有1 ||+≤n n u r . 证(证明部分和序列} {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限.为此先证明} {2n S 递增有界.))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S≥n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗;又1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- ,即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理,数列} {2n S 收敛.设)( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见,∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u .余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号,且1 ||+≤n n u r .例1判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性. 解当10≤<x 时,由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时,通项0→/,∑发散.二.绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛:以Leibniz 级数为例,先说明收敛⇒/绝对收敛.Th2(绝对收敛与收敛的关系)∑∞+< ||na, ⇒∑n a 收敛.证(用Cauchy 准则).注:一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛. 例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 2.绝对收敛级数可重排性: ⑴同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0, 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w则有ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数,且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ>n n n w v u +=||,n n n w v u -=. ⑵同号项级数的性质: Th3ⅰ>若∑||nu +∞<，则∑n v +∞<，∑n w +∞<.ⅱ>若∑nu条件收敛,则∑nv+∞=,∑n w +∞=.证ⅰ>由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤,ⅰ>成立. ⅱ>反设不真,即∑nv和∑nw中至少有一个收敛,不妨设∑nv+∞<.由n u =n v n w -,n w =n v n u -以及∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<,与∑n u 条件收敛矛盾.⑶绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念. Th4设∑'nu 是∑nu的一个更序.若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证ⅰ>若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<,且和相等. ⅱ>对于一般的n u ,∑nu =∑nv ∑-nw⇒∑'nu =∑'n v ∑'-n w . 正项级数∑'nv 和∑'nw 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序.由∑||nu+∞<,据Th1,∑nv和∑nw收敛.由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<,且有∑nv =∑'nv ,∑nw ∑nu =∑'nw ⇒∑n u =∑'nu . 由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?回答是肯定的. Th5(Riemann)若级数∑nu条件收敛,则对任意实数s (甚至是∞±),存在级数∑nu的更序∑'nu ,使得∑'nu =s .证以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本,对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律,有如下结果: ⅰ>若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变. ⅱ>设∑'n u 是的一个更序.若N ∈∃K ,使nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,则∑'nu 和∑nu共敛散,且收敛时和相等.三.级数乘积简介:1.级数乘积:级数乘积,Cauchy 积.见教材. 2．级数乘积的Cauchy 定理: Th6(Cauchy)设∑||nu+∞<,||∑n v +∞<,并设∑n u =U ,∑n v =V .则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为UV .(证略) 例3几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的.将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列,得到+++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n nn n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212.四.型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1(分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=.则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证注意到1--=i i i B B b ,有∑∑==-+-=m i mi i iiii b a B Ba b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a mm m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=babax a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba x a ba x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ba baxa x df dt t g dt t gb f )()()()(.可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰xadt t g )(,而差i i a a -+1相当于)(x df ,和式相当于积分.引理2(Abel)设i a 、i b 和i B 如引理 1.若i a 单调,又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证不妨设i a ↘.||1∑=m i i i b a ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a) ||2|| ( ||)(1111m m i mi i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1).i b 和i B 如引理1.则有||1∑=mi ii ba 1Ma ≤.(参引理2证明) Th7(Abel 判别法)设ⅰ>级数∑nb收敛,ⅱ>数列}{n a 单调有界.则级数∑nn ba 收敛.证(用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||,由∑nb收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时,对N ∈∀p ,有ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a ba p n n pn n k kk3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑nn b a 收敛.2.Dirichlet 判别法:Th8(Dirichlet)设ⅰ>级数∑nb的部分和有界,ⅱ>数列}{n a 单调趋于零.则级数∑nn ba 收敛. 证设∑==ni nn bB 1,则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀,有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N .此时就有εM a a M ba P n n pn n k kk6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑nn ba 收敛.取n a ↘0,∑nb ∑+-=1)1(n ,由Dirichlet 判别法,得交错级数∑+-n n a 1)1(收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出Abel 判别法.事实上,由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛,设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n nb a b a a)(,a a n -单调趋于零,n B 有界⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.例4设n a ↘0.证明级数∑nx ansin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时,级数∑kx cos 的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛.同理可得级数数∑nx a n sin 收敛.。
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
第十一章级数习题课29页PPT
级数
收敛 , 级数
发散 .
问级数 收敛,
8
P257 题5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2) n1(1)n1sinnn1 1;
(3) (1)nlnn1;
n1
n
提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数
lim (11)ne n n
R 1 , 即1 x1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un
(1
1 n
e
)n
n
(11)n1 e n
1 1 0(n )
因此级数在端点发散 , 故收敛域为 ( 1 , 1 ) . ee
13
解: 因 lim un1( x) lim
n un ( x )
∴原级数发散 .
发散,
(5) a n (a0,s0): 用比值判别法可知:
ns
n1
a1时收敛 ; a1时发散.
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
6
P257 题3. 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示: 因 ln i u m nln i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
1 收敛, 故
n1
n1
原级数绝对收敛 .
9
(3) (1)nlnn1
n1
n
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
n 1
ln
n1
n
n
无穷级数习题课
∞ 2 ∞a 收敛， （4）若 ∑an 收敛，则 ∑ n ） 绝对收敛） （绝对收敛） n n= 1 n= 1 ∞ ∞ ∞ 收敛， n发散， （5）若 ∑an 收敛， ∑b 发散，则 ∑(an ±b ) （发散） ） 发散） n n= 1 n= 1 n= 1
an 收敛且a ≠1时 若正项级数 ∑an收敛且an≠1时，则级数 ∑ 收敛） 1−an （收敛） n= 1 n= 1
n=1 n=1
判别下列级数的敛散性: 例2 .判别下列级数的敛散性 判别下列级数的敛散性
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 π ∞ sin n+1 (2) ∑ −1 n+1 n+1 ; ( )
n= 1
π
n+1 (3) ∑ −1 ln ( ) ; n n= 1
(− )n+ 1 1 1 n + ∞ (− ) 1 1 + ] ， un+1 = lim n+1 n+1 ∑[ lim 又如 n n n→ un n→ ∞ ∞ (− )n 1 1 n= 1 + n n − n (− )n n 1 + 同 (− )n n 乘 1 n+1 = − ，但该级数发散。 lim n+1 1 但该级数发散。 n n→ ∞ (− ) 1 1+ n
n= 1 ∞
n= 1+an 1
∞
（6）若 ∑an、∑b 都发散，则 ∑(an ±b ) ） n n都发散， n= 1 n= n= （可能发散也可能收敛） 1 可能发散也可能收敛） 1
∞ 1 1n 可能收敛也可能发散） （7）若 0 ≤ an < ，则 ∑(− ) an （可能收敛也可能发散） ） n n= 1 1 ∞ an = , ∑(−1 nan 收敛， ) 收敛， 例如 2n n= 1
微积分B(1)第11次习题课(数项级数)答案
．证明：级数 ∑ u 收敛的充分必要条件是： lim u 证：必要性：因为 lim S = lim ∑ a 存在，所以 lim u = lim( S − S ) = lim S − lim S = 0 ，且 lim S
∞
2
n
n =1
． = 0 ，且 ∑ (u
∞ n =1 2n
2 n −1
2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 n n
．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛 1) （1） ∑ (−n ； 解： p ≤ 0 时发散； 0 < p ≤1 时条件收敛； p > 1 时绝对收敛． （2） ∑ (1−+1)a ； 解： a > 1 时绝对收敛； −1 < a ≤1 时发散． n −1 1 （3） ∑ (−1) n ； +1 n n −1 1 1 2 解： n ，由于 Leibniz 形级数 = − +1 n n ( n + 1) n
n =1 ∞ n=2 ∞ n=2
（13）1 + a + ab + a b + a b + a b + ⋯ + a b + a b + ⋯ a, b > 0 ． 解：加括号成为级数 (1 + a) + (ab + a b) + (a b + a b ) + ⋯ + (a b + a b ) + ⋯ = (1 + a) + ab(1 + a ) + a b (1 + a ) + ⋯ + a b (1 + a) + ⋯ ， 这是几何级数，公比为 ab ，所以 ab < 1 时收敛，其它情形发散． 因为正项级数收敛当且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当 ab < 1 时收敛， 其它情形发散．
数项级数部分(201308)习题及解答
¥ 1 发散，则 å un 也发散； n=1 cn n=1 ¥ ¥ 1 ³a （ a > 0 为常数） ， 且 å 收敛， 则 å un n=1 cn n=1 ¥
也收敛。 20.求级数 å
x 1
k +2 的和。 k ! ( k 1)!+ (k + 2)! + + k =1
17. 已知 lim nun 存在,
n ¥
å n(un - un-1 ) 收敛,证明: å un
n=1 ¥ n=1 ¥ n=1 n=1
¥
¥
收敛.
18.设数列 {an } 是单调的，而且 å an 收敛，试证： å n(an - an +1 ) 收敛。 19.设有正实数数列 {un },{cn } ，试证明： （1）若对于所有的正整数 n 满足： cn un - cn +1un +1 £ 0 ，且 å
¥ æ1ö 1ö ÷ 收敛，而 å f æ ÷ 发散。 ç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç èn ø è nø n =1
24. 设 函 数 f (x ) 在 (-¥, +¥) 上 有 定 义 ， 在 x = 0 的 某 个 邻 域 内 有 一 阶 连 续 导 数 且
lim
x 0 ¥ f (x ) = a > 0 ，证明 å (-1)n f x n =1
当 a > 2 时， 取 b 使得 a > b > 2 ，则由于当 n 充分大时 ln(n !) ln n n n ln n ln n 1 ln n 1 < a = = a-1 = b -1 ⋅ a-b < b -1 na n na n n n n ¥ ¥ ln(n !) 1 收敛。 由 å b -1 收敛，故 å a n =1 n n =1 n 5.判别级数
函数序列与函数项级数习题课(一)
(1) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛，所以收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n收敛； n1 n
x
),
n1
⒊ un ( x)至少在一点x0处收敛,
n1
则 un ( x)在[a,b]上一致收敛，其和S'( x) C[a,b],
n1
且S'( x) g( x), 即有：
'
un
(
x)
un' (x)
n1
n1
逐项可导
典型例题
例1：求
n1
n x n nn x
收敛域
n xn
解：lim nn x
n
1
lim
n
1
x n
n
ex
nx
x 1
n x
n
收敛
n n1
n x
x 1,
n x n 发散
nnx
n1
例 判断 xn 1 x x2
1.
n0
和发散点集。
xn 的收敛点集
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时,级数发散.
收敛点集: (1,1);发散点集: (, 1] [1, ).
fn ( x), n 1，2, ...在I上连续，且{ fn( x)}在I上一致收敛 于f ( x),则f ( x)在I上连续.
定理4.2(函数项级数的和函数的连续性) 设级数
un ( x)在I上一致收敛于S( x), 且若un ( x) CI , 则