第4章总体参数估计讲解
参数估计课件
点估计
点估计
（概念要点）
1. 从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计 量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
▪ 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值 就是一个点估计
• 2. 点估计没有给出估计值接近总体未 知参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
1.96
0.15 9
21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平 均长度在21.302～21.498 mm之间
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
【例】某大学从该 校学生中随机抽取 100 人 ， 调 查 到 他 们平均每天参加体 育 锻 炼 的 时 间 为 26 分 钟 。 试 以 95 ％ 的 置信水平估计该大 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 时间（已知总体方 差为36小时）。
总体1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
所有可能样本 的X1-X2
1 1
2 2
计算每一对样本 的X1-X2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
1 2
抽样分布
两个总体均值之差的估计
(12、22 已知)
• 1.
假定条件
▪ 两个样本是独立的随机样本
▪ 两个总体都服从正态分布
n(1- p )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
pˆ Z 2
pˆ (1 pˆ ) n
样本。在对其进行访 问 时 ， 有 140 人 说 他 们离开该企业是由于
0.7 1.96 0.7(1 0.7) 200
同管理人员不能融洽
0.636,0.764
第四讲参数估计PPT课件
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
第四章 参数估计
x
n
总体标准差，若 未知，可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(２ 未知)
例：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得 每袋重量（单位：克）分别为789，780，794， 762，802，813，770，785，810，806，要 求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋 重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95，Ｚ/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.824～ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是：90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知 ▪ 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(２ 已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时，抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为 ，方差为 s2的正态分布，
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n
第4章参数估计统计决策法214
• 原理：
将待估参数视为具有某种先验分布的随机变量，通过学习 样本的观察，将先验分布转换为后验概率，并以此来修正
参数的估计值。
模式识别，第四章
31
Bayes估计
• 实现过程
• 将待估参数
布 p ( )
P(θ)
视为随机变量，并由先验知识得到粗略分
θ
模式识别，第四章
32
Bayes估计
•
n个学习样本， p( X / ) 为已知函数形式的类概率密度， 待估，且知 记为 X ( j ) {X1 , X 2 ,, X n }，j为类别。
p ( )
0
n
模式识别，第四章
34
Bayes估计
( j) p ( X / ) p( ) ( j) p( / X ) p( X ( j ) )
p( X ( j ) / ) 表示在参数为
的条件下，n个样本 X ( j ) 出现的
概率。
p ( )为待估随机参数的先验概率分布。
得：
1 ( X k ) 0 k 1
n
模式识别，第四章
25
最大似然估计法
即：
(X
k 1
n
k
) 0
可得θ=μ的最佳估计值为：
1 n Xk n k 1
最佳估计值
即最佳均值向量是n个学习样本的重心（算数平均）。
模式识别，第四章
26
最大似然估计法
• 例三:设
2
模式识别，第四章
29
最大似然估计法
• 基于最大似然估计法的分类器设计
• 确定样本类概率密度函数形式 p( X / ) • 确定待估参数 • 根据学习样本，用最大似然估计法估计概率密度函数的
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
第4章总体参数估计讲解
◎第4章参数估计※一、单一总体的参数估计※●（一）估计的含义●估计：人人都做过。
如：✓上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？✓当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？✓推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？◎估计量：用来估计总体参数的样本统计量。
如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。
●估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征：（1）、无偏性。
样本估计量的期望值应等于总体参数。
无系统偏差。
（2）、有效性。
与离散度相联系。
在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。
（3）、一致性。
随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。
（4）、充分性。
估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。
※估计的类型包括：1、 点估计：只有一个取值。
就是总体平均数μ的点估计值。
2、区间估计：给出取值范围（值域）。
见PPT▲两种估计类型哪一种更科学？※ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，还可以给予一个“可信程度”。
例如：销售经理想估计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计是50—56万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。
显然后者的可信程度大于前者。
那么，50—56万美元之间的范围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。
另外，合同规定总体标准差为6克。
如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总体平均数的最佳估计量：250克。
但这是远远不够的，在许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是多少？”“总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？”“ 这个估计值的可靠程度是多少？”〖1〗由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，σ=6〖2〗抽样平均误差：8485.0506===n x σσ〖3〗若用250克这个估计值估计总体平均数，其平均误差为0.8485。
第4章参数估计和假设检验
第4章参数估计和假设检验第四章参数估计与假设检验掌握参数估计和假设检验的基本思想是正确理解和应⽤其他统计推断⽅法的基础，后⾯将要学习的⽅差分析、⾮参数检验、回归分析、时间序列等统计推断⽅法都是在此基础上展开的。
需要特别指出的是，所有的统计推断都要以随机样本为基础。
如果样本是⾮随机的，统计推断⽅法就不适⽤了。
由于相关知识在先修课程中已经学习过，本章主要在回顾相关知识的基础上，补充讲解必要样本容量的计算、p值、参数估计和假设检验⽅法的软件操作和结果分析等内容。
本章的主要内容包括：（1）参数估计的基本思想和软件实现。
（2）简单随机抽样情况下样本容量的计算。
（3）假设检验的基本原理。
（4）假设检验中的p值。
（5）⼏种常⽤假设检验的软件实现。
第⼀节参数估计⼀、参数估计的基本概念参数估计是指利⽤样本信息对总体数字特征作出的估计。
例如，我们可以通过估计⼀部分产品的合格率对整批产品的合格率作出估计，通过调查⼀个样本的⼈⼝数来对全国的⼈⼝数作出估计，等等。
参数估计可以分为点估计和区间估计。
点估计是指根据样本数据给出的总体未知参数的⼀个估计值。
对总体参数进⾏估计的⽅法可以有多种，例如矩估计法、极⼤似然估计法等，得到的估计量（样本统计量）并不是唯⼀的。
例如我们可以使⽤样本均值对总体均值作出估计，也可以使⽤样本中位数对总体均值进⾏估计。
因此，在参数估计中我们需要对估计量的好坏作出评价，这就涉及到估计量的评价准则问题。
常⽤的估计量评价准则包括⽆偏性、有效性、⼀致性等。
⽆偏性是指估计量的数学期望与总体参数的真实值相等；有效性的含义是，在两个⽆偏估计量中⽅差较⼩的估计量较为有效，⽅差越⼩越有效；⼀致性是指随着样本容量的增⼤，估计量的取值应该越来越接近总体参数。
样本的随机性决定了估计结果的随机性。
由于每⼀个点估计值都来⾃于⼀个随机样本，所以总体参数真值刚好等于⼀个具体估计值的可能性极⼩。
区间估计的⽅法则以概率论为基础，在点估计的基础上给出了⼀个置信区间，并给出了这⼀区间包含总体真值的概率，⽐点估计提供了更多的信息。
第四章参数估计解读
2、一致性： 3、有效性：
2019/1/1
D(1 ) D(2 )[能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
位居民,发现其中女性有20人,问该社区女性的人数?
解 : 抽出者为女性的样本成数 :
m 20 P 0 .4 n 50
用P 0.4作为总体成数 P的估计值,
因些该社区的女性人数 : 500 0.4 200(人)
2019/1/1 7
三、求点估计值的标准
1、无偏性：
E (x) n 2 2 2 ˆ2 ˆ E ( S ) , S (样本修正方差) S n-1
2019/1/1
1
4、简单随机样本：由一组相互独立且服从同一
种分布形态的随机变量所构成的样本，包括两
种情况:
(1)重复抽样(有回置的抽样) : 平均误差SE x
n
(2)不重复抽样(无回置的抽样):SE x
2
n (1 ) n N
2
2019/1/1
5、统计量
(1)统计量是指用来反映样本有关特征的量数(指标). (2)假设有n个随机变量x1,x2……xn:
2 (x -x) i i 1 n
n-1 总体方差 2的点估计值
样本方差S
2
1 或S [ xi 2 n-1
2
( xi ) 2 n
]
假设在n次观测中, A类出现m次: m 样本成数P (事件A出现的概率)作为总体成数P的点估计值 n
生物统计课件：总体参数的估计
准确度和精度关系
ˆ <θ <θ ˆ ) → max P(θ 1 2 ˆ → min ˆ − θ θ 1 2
例. 一个人的年龄
置信区间的求法
• 求什么参数的置信区间?置信水平？ • 寻找未知参数的一个良好估计 • 寻找一个待估参数和估计量的函数， 要求其分布为已知 • P(θ ˆ <θ <θ ˆ ) = 1−α ⇒ θ ≤ θ ≤ θ
常用的标准
•
无偏性 • 有效性 • 一致性
无偏性
估计量是随机变量，对于不同的样本 值会得到不同的估计值. 我们希望估计值在未知参数真值附近 摆动，而它的期望值等于未知参数的 真值.
ˆ 为 θ 的点估计量. 定义:设 θ 为未知参数, θ
如果
ˆ) = θ E (θ
ˆ 为 θ 的无偏估计量. 则称 θ
2
S S P( X − tα (n − 1) < µ < X + t α (n − 1)) = 1 − α n 2 n 2 S S Interval : ( X − tα (n − 1) , X + t α (n − 1)) n 2 n 2
例.药品重量X~N(μ, σ2) n=6: 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51 求μ的置信度为95%的置信区间.
无偏性-没有系统性的偏差
ˆ) = θ E (θ
这种偏差随机地在0的周围波动，对 同一 统计 问题大 量重 复 使用 不会产 生系统偏差 .
例. 如果X1, …, Xn来自总体X, 其均值为μ. 证明：样本的加权均数 无偏估计.
∑c X
i =1 i
n
为μ的
i
其中ci是不全为0的实数, 并且
第四章参数的最小二乘法估计讲解
第四章 最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。
测值落入),(dx x x i i +的概率。
dx v P i i ii )2exp(2122σπσ-=根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为n i ii ni i dx v P P )]()(21exp[)2(12∑-∏=∏=σπσ 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即∑=iii Min v 22σ权因子：22o i i w σσ=即权因子i w ∝21iσ，则2[]i i wvv wv Min ==∑再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑ 即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。
《统计学》第4章 参数估计
与总体参数之间的偏差。然而，由于可靠性由抽样标准误差决定，一个
具体的点估计值无法给出可靠性的度量。此外，总体参数的真值未知，
我们也无法得到点估计值与总体参数之间的偏差大小。这个问题可以通
过区间估计来解决。
第四章 参数估计
《统计学》
17
4.2 区间估计
求得的መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计值，相应的估计量
መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计量。
第七章 参数估计
《统计学》
14
4.2 点估计与区间估计
极大似然估计(MLE) 的一般步骤如下：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度函数)；
平表示所有区间中有95% 的区间包含总体参数真值，因此A 队的估计结果
中有5% 的区间(1 个) 未包含总体平均身高的真值。同理，90% 的置信水
平表示所有区间中有90% 的区间包含总体参数真值，因此B 队的估计结果
中有10% 的区间(2 个) 未包含总体平均身高的真值。由该例也可以看到，
尽管总体参数的真值是固定的，但基于样本构造的置信区间会随着样本的
计方法，其实质是根据样本观测值发生的可能性达到最大这一原则来选
取未知参数的估计量，理论依据就是概率最大的事件最可能出现。
设X1, X2 , … , Xn是从总体X中抽取的一个样本，样本的联合密度函数(连续
型) 或联合概率函数(离散型) 为
ෑ ( , ) 。
=1
第七章 参数估计
《统计学》
13
区间估计(Interval estimate) 指在点估计的基础上，给出总体参数
第4章 参数估计与T检验
8
SPSS 统 计 分 析
§第4章 参数估计与T检验
三种检验情况
SPSS 统 计 分 析
H0:u=u0;H<u0(左侧检验) H0:u<=u0;H1:u>u0(右侧检验)
SPSS 统 计 分 析
1.5 1.0 .5 0.0 -1.0 -1.5
Sig. .879
*. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction
Normal Q-Q Plot of GROUP1
.8
Detrended Normal Q-Q Plot of GROUP1
.6
.4
.2
0.0
-.2
-.4 24 26 28 30 32 34 36 38 40
24
26
28
30
32
34
36
38
40
Observed Value
Observed Value
16
§第4章 参数估计与T检验
由于显著概率（Sig.）大于5%，故变量数据呈正态分布的假设成立。 同时，由正态概率图(Normal Q-Q Plot of group1)看出：所有的数值点都 接近于正态分布的趋势线，表示接近于正态分布。还有，从离散正态 图(Detrended Normal Q-Q Plot of group1)来看，数值点随机地落在中间 横线周围，因此不能拒绝正态分布。 同理知group2也呈正态分布。 第2步 独立性检验 打开Crosstabs对话框：Analyze|Descriptive Statistics|Crosstabs如下图所 示。并将两个变量分别输入到Row(s)和Column(s)中。单击“Statistics”按 钮，打开“Crosstabs:Statistics”对话框，在其中选择“Chi-square”并回到 “Crosstabs”中单击“OK”运行即可，运行结果如后所示。
统计学第4章 参数估计
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
抽样分布
中，样本 P(ˆ)
均值、比 率、方差
无偏
有偏
分别是总
A
B
体均值、
比率、方
差的无偏
估4计- 2量3
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。 它是区间估计的可靠概率。
显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概 率。
4 - 20
统计学§4.2 点估计的评价标准
STATISTICS
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
4 - 21
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
统计学 定义 STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的
估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
统计学
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度
比较小
4 - 24
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
统计学
有效性
STATISTICS
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2, , X n )
统计学 第四章 参数估计
由样本数量特征得到关于总体的数量特征 统计推断(statistical 的过程就叫做统计推断 的过程就叫做统计推断 inference)。 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 数估计(parameter estimation)，另一个 数估计 另一个 假设检验 。 是假设检验(hypothesis testing)。
ˆ P(θ )
无偏 有偏
A
B
θ
ˆ θ
估计量的无偏性直观意义
θ =µ
•
•
•
• •
• • • •
•
2、有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 有效性： 量，有更小标准差的估计量更有效 。
ˆ P(θ )
ˆ θ1 的抽样分布
B A
ˆ θ2 的抽样分布
θ
ˆ θ
பைடு நூலகம்
3、一致性(consistency)
置信区间与置信度
1. 用一个具体的样本 所构造的区间是一 个特定的区间， 个特定的区间，我 们无法知道这个样 本所产生的区间是 否包含总体参数的 真值 2. 我们只能是希望这 个区间是大量包含 总体参数真值的区 间中的一个， 间中的一个，但它 也可能是少数几个 不包含参数真值的 区间中的一个
均值的抽样分布
总体均值的区间估计(例题分析)
25, 95% 解 ： 已 知 Ｘ ~N(µ ， 102) ， n=25, 1-α = 95% ， zα/2=1.96。根据样本数据计算得： x =105.36 96。 总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为 σ 10 x ± zα 2 = 105.36 ±1.96× n 25 = 105.36 ± 3.92
第4节正态总体参数的区间估计
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2
n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
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◎第4章参数估计※一、单一总体的参数估计※●（一）估计的含义●估计：人人都做过。
如：✓上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？✓当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？✓推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？◎估计量：用来估计总体参数的样本统计量。
如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。
●估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征：（1）、无偏性。
样本估计量的期望值应等于总体参数。
无系统偏差。
（2）、有效性。
与离散度相联系。
在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。
（3）、一致性。
随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。
（4）、充分性。
估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。
※估计的类型包括：1、 点估计：只有一个取值。
就是总体平均数μ的点估计值。
2、区间估计：给出取值范围（值域）。
见PPT▲两种估计类型哪一种更科学？※ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，还可以给予一个“可信程度”。
例如：销售经理想估计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计是50—56万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。
显然后者的可信程度大于前者。
那么，50—56万美元之间的范围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。
另外，合同规定总体标准差为6克。
如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总体平均数的最佳估计量：250克。
但这是远远不够的，在许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是多少？”“总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？”“ 这个估计值的可靠程度是多少？”〖1〗由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，σ=6〖2〗抽样平均误差：8485.0506===n x σσ〖3〗若用250克这个估计值估计总体平均数，其平均误差为0.8485。
〖4〗若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平均重量是250±0.8485克之间。
〖5〗总体平均数在250±0.8485克之间的可信度为68.3%。
总体平均数在250±2×0.8485克之间的可信度为95.5%。
总体平均数在250±3×0.8485克之间的可信度为99.7%。
●（二）区间估计中几个常用概念1、置信度（置信系数）：它是指与一个估计区间相联系的概率，它表示该区间将包括总体参数的可能程度。
用1-α表示。
置信度越大，估计区间内所包含总体参数的可信度越高。
（68.3%、95.45%、99.7%都是置信度）2、置信区间：与一个“置信度”相联系的估计值（如250±2x σ）※250±2x σ：表示有95.45%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。
※※250±3x σ：表示有99.73%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。
※3、置信限：与置信区间相联系的界限，包括上限和下限。
如上题中下限：250-x σ，上限：250+x σ▲思考题：置信度与置信区间有何关系？ （三）总体平均数的区间估计 1、大样本条件下的区间估计●（1）、总体标准差σ已知条件下，对总体平均数的区间估计▲案例1：在【引例】中：食品进出口公司出口一批花生制品，管理人员抽取50包为样本，其平均数为250克。
合同规定总体标准差为6克。
问：（1）如果置信区间为：250±2xσ、250±1.96xσ，总体参数这一范围的把握程度有多大？（2）若用90%的置信系数，则该批食品平均重量是多少？解：（1）a 、250±2×0.8485，与z=2对应的置信度是：0.4772×2=95.44%；b 、250±1.96×0.8485，与z=1.96对应的置信度是：0.4750×2=95%。
（2与90%对应的Z 值是，Z=(1.64+1.65)/2=1.645，置信区间：250±1.645*0.8485，即该批食品的平均重量在248.6—251.396克之间的把握程度是90%。
●课堂练习教材P144，1、2▲案例2：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存2年的茶叶，出库之前要进行一次检验。
检验数据如下；样本容量为64包，样本平均数为每包2公斤，入库记录表明总体标准差为0.2公斤。
经理要求在95%的可信度下，估计一下这批茶叶的平均重量在多大范围内？答：这批茶叶平均重量在1.951—2.049公斤，其可信程度为95%。
●（2）、总体标准差σ未知条件下的区间估计※总体标准差σ未知条件下，一般用样本标准差S代替总体标准差σ。
▲案例：某项抽样调查中获得如下资料： N可以视为无限总体，n=81，样本平均数为500，样本标准差为90，求：总体平均数可信度为90%的置信区间。
答：此项调查中，总体平均数的可信度为90%的置信区间是在483.55—516.45之间。
▲习题1：一次等级考试，因急于评估试题质量，教师先随机抽取36份试卷批改，平均分是72分，标准差13.2分，系主任要求在90%的可信度下，对全体考生的平均成绩做一个区间估计。
解：分▲习题2：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取30箱为样本，平均重量为20公斤，标准差为3公斤。
求：（1）置信度为95%时，这批烟草的平均重量；（2）置信度为80%时，这批烟草的平均重量。
解：（1（2）◆ 课后作业：教材P145，32、小样本条件下的区间估计●使用t 分布的条件：当样本容量n ＜30，且总体标准差σ未知时，用样本标准差S 代替总体标准差σ。
▲例1：从大学一年级学生中随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。
试评估一下大学一年级学生阅读能力的总体平均分数。
要求置信度分别是95%和99%。
解：步骤：（1）计算样本平均数：（2（3（4）确认自由度：df=12-1=11，误差概率：α=1-0.95=0.05/2=0.025，查表，t=2.201（5）估计总体平均数置信区间：解释：有95%的把握程度说大学一年级学生阅读能力平均分数在27.311—32.523分之间。
当α=1-0.99=0.01/2=0.005，查表，t=3.105829.917-3.1058×1.184=26.24；29.917+3.1058×1.184=33.59。
▲习题2：一批出口商品出库之前从中抽取14箱，其平均重量为40.5公斤，标准差0.5公斤。
主管人员要求在98%的置信系数下，对这批商品的平均重量做个区间估计。
信系数为98%时，这批商品的平均重量是40.146—40.584公斤。
▲习题3：某公司共有技术开发和中层管理人员600名，公司十分关心他们的身体健康现状，责成有关部门进行了一次睡眠状况抽样调查，获得资料如下表：（单位：小时）员工每周睡眠员工每周睡眠员工每周睡眠员工每周睡眠序号时间序号时间序号时间序号时间1 50 6 48 11 54 16 502 40 7 47 12 56 17 513 30 8 45 13 50 18 474 38 9 43 14 48 19 485 42 10 47 15 48 20 54试以95%的置信系数对600名技术开发和中层管理人员平均每周的睡眠状况作一个区间估计。
●课堂练习：教材P145，4、5※小样本比例的区间估计可参照平均数的区间估计。
不同条件下总体平均数的区间估（P140）◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●（四）、总体比率的区间估计※中心极限定理证明：P不接近0或1，且n很大时，其抽样分布趋近于正态分布。
比例抽样分布的平均误差为：π是总体比率；P 是样本比率。
若π未知，可用P 。
▲案例1：为适应清理整顿要求，某地审计局要对本地公司进行查账，主管负责人估计查账对象中有40%的人会响应这一要求，如果向一个包括45个单位的随机样本寄去要求查账的通知单，审计局希望通过这一样本估计一下置信度为95%时，包含总体实际比例的区间有多大。
解：▲习题1：某西部人才咨询部门收到大批申请去西部工作的信函，人力资源管理部门想了解被录用的比例，从中抽取500人，发现只有76人被录用。
现要求使用95%的可信度，对总体比例做一个区间估计。
▲习题2：某私营企业为提高业务人员的业务能力，在拟订一项培训计划之前，对一个由300名员工组成的随机样本进行测试，结果发现参加测试人员中只有75人达到要求。
主管人员要求在置信度为99%的条件下，作一个区间估计。
▲习题3：为了研究我国真丝制品的销路，在纽约举办的我国纺织品展销会上，对1000名成人进行了抽样调查，其中有600人我国的喜欢真丝制品。
试以95%的置信系数确定纽约市民成人喜欢真丝制品的比率的置信区间。
●课堂练习：教材P145，6、7（1）※二、两个总体的参数估计※（一）什么是来自两个总体的独立样本？▲案例：假定某零售集团公司有两个连锁超市：一个位于市中心闹市区，另一个位于市郊的居民小区。
销售经理发现，在其中一个超市畅销的W商品在另一超市却可能滞销。
销售经理认为出现这种情况的原因，主要在于这两个地区的消费者群体的自身差异。
例如包括消费者群体的可支配收入差异、受教育程度差异、年龄差异、以及工作性质等方面的差异。
因此，销售经理想估计一下两个超市的消费者群体的平均可支配收入差异有多大。
设总体A：为位于市郊居民小区的消费者群体；设总体B：为位于市中心闹市区的消费者群体；μA＝总体A的平均数（指市郊居民小区消费者群体的人均可支配收入）μB＝总体B的平均数（指市中心闹市区消费者群体的人均可支配收入）于是，这两个不同总体的平均数之差可以表示为：μA－μB为了估计这两个不同总体的平均数之差μA－μB，现在从总体A中抽取一个简单随机样本n1，从总体B中抽取另一个简单随机样本n2。
由于这两个简单随机样本都是独立抽取的，因此我们称其为“独立简单随机样本”，简称“独立样本”。
由两个独立样本分别计算出两个样本平均数为：x1：n1名市郊居民小区消费者群体的人均可支配收入x2：n2名市中心闹市区消费者群体的人均可支配收入因为1x是μA的点估计值，2x是μB的点估计值，因此，两个总体平均数之差的点估计值表示为：x1－x2假定根据上述两个独立随机样本计算的有关数据如下表：连锁超市随机样本个数人均可支配收入样本标准差市郊居民小区A 市中心闹市区B 6481x1＝2100元x2＝1800元S1＝950元S2＝780元将上述数据代入公式求得两个总体平均可支配收入之差的一个点估计值为：x1－x2＝2100－1800 = 300（元）◆（二）两个总体均值之差的估计：独立样本▲1、x1－x2抽样分布的性质与区间估计在上例中，两个总体平均可支配收入之差为300元是唯一的吗？显然不是，是随机的。