第4章 参数估计

要求:(1)计算这一比值95%的置 信区间;
(2)得出上述结论时作了什么假 设;
(3)能否以95%的置信水平说明 新酵素的产出率提高了。
已知: x x 1.268, s 0.228 n
1 95%
1求 :
解 :由 95%知Z 1.96
2


: x
第四章
参 数估计
4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 两个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量
101.0 103.0 102.0
107.5
95.0 108.8
123.5 102.0 101.6
95.4
97.8 108.6
102.8 101.5
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据

Z
2

S n


1.268

1.96

0.228 36

1.194,1.342
（2）假设36批的样本是随机的。
（3）（1.194,1.342)>1,说明新酵素 的产出率提高了。
P109~5.7

: x

Z
2

s n

450 1.96
已知 : n 400, x 20000, s 6000
1 95%,(大样本) 求:
解 :由1 95%知z 1.96
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
参数估计的方法
估计方法
点估计
区间估计
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
– 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 – 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
第一节
参数估计的一般问题
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比率、样本方差等
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 ˆ 表示

n

P

x



n


Z


1


2

Px Z

2


n


x Z
2



1
n
即 : 给定置信度1 就有 : 总体均值的置信区间为:

: x Z

2


n



x

Z
2


n
,x Z
2


n

52 100

439.808,460.192
N : 2199040 ,2300960
习题7： 某汽车轮胎厂欲估计 其轮胎的平均行驶里程，由于轮胎 行驶里程受汽车型号、行驶的路面 以及汽车前后轮位置等影响，因此 使用了大样本 n 400 进行随机配置， 试验结果 x 20000 公里，标准差为 6000公里。要求估计总体均值的置 信区间，置信系数为95%。
P110~5.9

: x
Z
2


n



21.8

1.96

0.3 5

21.55,22.05
（二）大样本 1、方差已知
重复抽样
:

x

Z
2


n

不重复抽样 : x Z

2


n

N N
n 1

2、方差未知
重复抽样 : x Z

2
S n

不重复抽样 : x Z

2
S n
N N

n 1

【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32
已知 : x x 14.8 15.3 15.1 15
n
6
0.05
由1 0.95知Z Z 0.025 1.96
2
求:
解 : : x
Z
2


n


15

1.96

0.05 6

14.96,15.04
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
习题6： 某药厂在生产过程中改换了一 种新的酵素，测定了36批的产出率与理论 产出率的比值：
1.28 1.31 1.48 1.10 0.99 1.25 1.22 1.65 1.40 0.95 1.25 1.32 1.23 1.43 1.24 1.73 1.35 1.31 0.92 1.10 1.05 1.39 1.16 1.19 1.41 0.98 0.82 1.22 0.91 1.26 1.32 1.71 1.29 1.17 1.74 1.51
x 35, S 4.5,1 95.45%
求 : 1E 2
解:由1 95.45%知Z 2
2
1E Z
2
S n
N n N 1
2 4.5 1000 100 100 1000 1
0.86件
2 : x E 35 0.86 34.14,35.86
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
影响区间宽度的因素
1.总体数据的离散程度，用 来测度
2. 3.
样本容量， x 置信水平 (1

-

n)，影响
z
的大小
评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于 被估计的总体参数
P(ˆ)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
据计算得：
x 39.5 s 7.77
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
参数估计（parameter estimation) 就是在抽样及抽样分布的基础上，
根据样本统计量来推断我们所关心 的总体参数。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比率、方差
非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着
广泛的应用。所谓统计推断就是由样本观察值去了解总体， 它是统计学的基本任务之一。若根据经验或某种理论我们能 在推断之前就对总体作一些假设，则这些假设无疑有助于提 高统计推断的效率。这种情况下的统计方法称为参数统计。 如果我们所知很少，以致于在推断之前不能对总体作任何假 设，或仅能作一些非常一般性(例如连续分布、对称分布等) 的假设，这时如果仍然使用参数统计方法，其统计推断的结 果显然是不可信的，甚至有可能是错的。在对总体的分布不 作假设或仅作非常一般性假设条件下的统计方法称为非参数 统计。
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值
的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参 数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
x
/2
1–
/2
x
x
为显著性水平 1 则称为置信度。
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
无偏
有偏
A
B

ˆ
有效性
(efficiency)