第4章 参数估计
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
较小的样本容量
A
ˆ
充分性
充分利用信息
5.2 一个总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
-分位点的概念：
Z
P z z 1 , z 与1 一一对应.
2
2
如 : P z 1 0.6826 P z 2 0.9545
已知 : x x 14.8 15.3 15.1 15
n
6
0.05
由1 0.95知Z Z 0.025 1.96
2
求:
解 : : x
Z
2
n
15
1.96
0.05 6
14.96,15.04
之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
区间估计 (interval estimate)
区间估计就是根据样本估计量以一定可 靠程度推断总体参数所在的区间范围。
P L U 1
L ,U 分别称为置信下限和置信上限， 通称为置信限。
置信下限
置信上限
区间估计的图示
x z 2 x
x
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 区间包含总体参数真值的次数所占的比率 称为置信水平
x 35, S 4.5,1 95.45%
求 : 1E 2
解:由1 95.45%知Z 2
2
1E Z
2
S n
N n N 1
2 4.5 1000 100 100 1000 1
0.86件
2 : x E 35 0.86 34.14,35.86
无偏
有偏
A
B
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量 的值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ) 较大的样本容量 B
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量
101.0 103.0 102.0
107.5
95.0 108.8
123.5 102.0 101.6
95.4
97.8 108.6
102.8 101.5
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据
1
2
2
z
0
z
2
2
1
68.26% 80% 90% 95% 95.45% 99%
99.73%
Z
2
1 1.28 1.645 1.96 2 2.58
3
一、总体均值的区间估计
（一）正态总体、方差已知
（大、小)样本
X ~ N , 2
x
~
N
,
2
n
Z
x
样本数据计算得：
x 105.36
: x z 2
n
105.36
1.96
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
例题6：某企业从长期实践得知， 其产品直径X是一随机变量，服从标 准差为0.05的正态分布。从某日产品 中随机抽取6个，测得其直径分别为 14.8, 15.3, 15.1, 15, 14.7, 15.1 (单位: 厘米)。在0.95的置信度下,试求该产 品直径的均值的置信区间。
例题7: 某企业生产某种产品的工 人有1000人，某日采用非重复抽样 抽 取100人调查他们的当日产量，样本 人均产量为35件，产量的样本标准差 为4.5件,试以95.45%的置信度估计平 均产量的抽样极限误差和置信区间。
已知: N 1000, n 100 30
n 10% 5% N
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
参数估计的方法
估计方法
点估计
区间估计
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
– 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 – 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节
参数估计的一般问题
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比率、样本方差等
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 ˆ 表示
抽样极限(允许)误差：
n 5% N
: x
Z
2
n
E Z
2
n
n 5% N
: x
Z
2
n
N N
n 1
E
Z
2
n
Nn N 1
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产
量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分 析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中 随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品 重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计 该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
要求:(1)计算这一比值95%的置 信区间;
(2)得出上述结论时作了什么假 设;
(3)能否以95%的置信水平说明 新酵素的产出率提高了。
已知: x x 1.268, s 0.228 n
1 95%
1求 :
解 :由 95%知Z 1.96
2
: x
习题6： 某药厂在生产过程中改换了一 种新的酵素，测定了36批的产出率与理论 产出率的比值：
1.28 1.31 1.48 1.10 0.99 1.25 1.22 1.65 1.40 0.95 1.25 1.32 1.23 1.43 1.24 1.73 1.35 1.31 0.92 1.10 1.05 1.39 1.16 1.19 1.41 0.98 0.82 1.22 0.91 1.26 1.32 1.71 1.29 1.17 1.74 1.51
已知 : n 400, x 20000, s 6000
1 95%,(大样本) 求:
解 :由1 95%知z 1.96
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
据计算得：
x 39.5 s 7.77
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
52 100
439.808,460.192
N : 2199040 ,2300960
习题7： 某汽车轮胎厂欲估计 其轮胎的平均行驶里程，由于轮胎 行驶里程受汽车型号、行驶的路面 以及汽车前后轮位置等影响，因此 使用了大样本 n 400 进行随机配置， 试验结果 x 20000 公里，标准差为 6000公里。要求估计总体均值的置 信区间，置信系数为95%。
第四章
参 数估计
4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 两个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
Z
2
S n
1.268
1.96
0.228 36
1.194,1.342
（2）假设36批的样本是随机的。
（3）（1.194,1.342)>1,说明新酵素 的产出率提高了。
P109~5.7
: x
Z
2
s n
450 1.96
2
S n
不重复抽样 : x Z
2
S n
N N
n 1
【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32
P110~5.9
: x
Z
2
n
21.8
1.96
0.3 5
21.55,22.05
（二）大样本 1、方差已知
重复抽样
:
x
Z
2
n
不重复抽样 : x Z
2
n
N N
n 1
2、方差未知
重复抽样 : x Z
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
影响区间宽度的因素
1.总体数据的离散程度，用 来测度
2. 3.
样本容量， x 置信水平 (1
-
n)，影响
z
的大小
评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于 被估计的总体参数
P(ˆ)
n
P
x
n
Z
1
2
Px Z
2
n
x Z
2
1
n
即 : 给定置信度1 就有 : 总体均值的置信区间为:
: x Z
2
n
x
Z
2
n
,x Z
2
n
参数估计（parameter estimation) 就是在抽样及抽样分布的基础上，
根据样本统计量来推断我们所关心 的总体参数。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比率、方差
非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着
广泛的应用。所谓统计推断就是由样本观察值去了解总体， 它是统计学的基本任务之一。若根据经验或某种理论我们能 在推断之前就对总体作一些假设，则这些假设无疑有助于提 高统计推断的效率。这种情况下的统计方法称为参数统计。 如果我们所知很少，以致于在推断之前不能对总体作任何假 设，或仅能作一些非常一般性(例如连续分布、对称分布等) 的假设，这时如果仍然使用参数统计方法，其统计推断的结 果显然是不可信的，甚至有可能是错的。在对总体的分布不 作假设或仅作非常一般性假设条件下的统计方法称为非参数 统计。
为显著性水平 1 则称为置信度。
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值
的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参 数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
x
/2
1–
/2
x
x
A
ˆ
充分性
充分利用信息
5.2 一个总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
-分位点的概念：
Z
P z z 1 , z 与1 一一对应.
2
2
如 : P z 1 0.6826 P z 2 0.9545
已知 : x x 14.8 15.3 15.1 15
n
6
0.05
由1 0.95知Z Z 0.025 1.96
2
求:
解 : : x
Z
2
n
15
1.96
0.05 6
14.96,15.04
之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
区间估计 (interval estimate)
区间估计就是根据样本估计量以一定可 靠程度推断总体参数所在的区间范围。
P L U 1
L ,U 分别称为置信下限和置信上限， 通称为置信限。
置信下限
置信上限
区间估计的图示
x z 2 x
x
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 区间包含总体参数真值的次数所占的比率 称为置信水平
x 35, S 4.5,1 95.45%
求 : 1E 2
解:由1 95.45%知Z 2
2
1E Z
2
S n
N n N 1
2 4.5 1000 100 100 1000 1
0.86件
2 : x E 35 0.86 34.14,35.86
无偏
有偏
A
B
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量 的值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ) 较大的样本容量 B
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量
101.0 103.0 102.0
107.5
95.0 108.8
123.5 102.0 101.6
95.4
97.8 108.6
102.8 101.5
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据
1
2
2
z
0
z
2
2
1
68.26% 80% 90% 95% 95.45% 99%
99.73%
Z
2
1 1.28 1.645 1.96 2 2.58
3
一、总体均值的区间估计
（一）正态总体、方差已知
（大、小)样本
X ~ N , 2
x
~
N
,
2
n
Z
x
样本数据计算得：
x 105.36
: x z 2
n
105.36
1.96
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
例题6：某企业从长期实践得知， 其产品直径X是一随机变量，服从标 准差为0.05的正态分布。从某日产品 中随机抽取6个，测得其直径分别为 14.8, 15.3, 15.1, 15, 14.7, 15.1 (单位: 厘米)。在0.95的置信度下,试求该产 品直径的均值的置信区间。
例题7: 某企业生产某种产品的工 人有1000人，某日采用非重复抽样 抽 取100人调查他们的当日产量，样本 人均产量为35件，产量的样本标准差 为4.5件,试以95.45%的置信度估计平 均产量的抽样极限误差和置信区间。
已知: N 1000, n 100 30
n 10% 5% N
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
参数估计的方法
估计方法
点估计
区间估计
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
– 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 – 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节
参数估计的一般问题
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比率、样本方差等
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 ˆ 表示
抽样极限(允许)误差：
n 5% N
: x
Z
2
n
E Z
2
n
n 5% N
: x
Z
2
n
N N
n 1
E
Z
2
n
Nn N 1
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产
量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分 析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中 随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品 重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计 该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
要求:(1)计算这一比值95%的置 信区间;
(2)得出上述结论时作了什么假 设;
(3)能否以95%的置信水平说明 新酵素的产出率提高了。
已知: x x 1.268, s 0.228 n
1 95%
1求 :
解 :由 95%知Z 1.96
2
: x
习题6： 某药厂在生产过程中改换了一 种新的酵素，测定了36批的产出率与理论 产出率的比值：
1.28 1.31 1.48 1.10 0.99 1.25 1.22 1.65 1.40 0.95 1.25 1.32 1.23 1.43 1.24 1.73 1.35 1.31 0.92 1.10 1.05 1.39 1.16 1.19 1.41 0.98 0.82 1.22 0.91 1.26 1.32 1.71 1.29 1.17 1.74 1.51
已知 : n 400, x 20000, s 6000
1 95%,(大样本) 求:
解 :由1 95%知z 1.96
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
据计算得：
x 39.5 s 7.77
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
52 100
439.808,460.192
N : 2199040 ,2300960
习题7： 某汽车轮胎厂欲估计 其轮胎的平均行驶里程，由于轮胎 行驶里程受汽车型号、行驶的路面 以及汽车前后轮位置等影响，因此 使用了大样本 n 400 进行随机配置， 试验结果 x 20000 公里，标准差为 6000公里。要求估计总体均值的置 信区间，置信系数为95%。
第四章
参 数估计
4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 两个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
Z
2
S n
1.268
1.96
0.228 36
1.194,1.342
（2）假设36批的样本是随机的。
（3）（1.194,1.342)>1,说明新酵素 的产出率提高了。
P109~5.7
: x
Z
2
s n
450 1.96
2
S n
不重复抽样 : x Z
2
S n
N N
n 1
【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32
P110~5.9
: x
Z
2
n
21.8
1.96
0.3 5
21.55,22.05
（二）大样本 1、方差已知
重复抽样
:
x
Z
2
n
不重复抽样 : x Z
2
n
N N
n 1
2、方差未知
重复抽样 : x Z
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
影响区间宽度的因素
1.总体数据的离散程度，用 来测度
2. 3.
样本容量， x 置信水平 (1
-
n)，影响
z
的大小
评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于 被估计的总体参数
P(ˆ)
n
P
x
n
Z
1
2
Px Z
2
n
x Z
2
1
n
即 : 给定置信度1 就有 : 总体均值的置信区间为:
: x Z
2
n
x
Z
2
n
,x Z
2
n
参数估计（parameter estimation) 就是在抽样及抽样分布的基础上，
根据样本统计量来推断我们所关心 的总体参数。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比率、方差
非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着
广泛的应用。所谓统计推断就是由样本观察值去了解总体， 它是统计学的基本任务之一。若根据经验或某种理论我们能 在推断之前就对总体作一些假设，则这些假设无疑有助于提 高统计推断的效率。这种情况下的统计方法称为参数统计。 如果我们所知很少，以致于在推断之前不能对总体作任何假 设，或仅能作一些非常一般性(例如连续分布、对称分布等) 的假设，这时如果仍然使用参数统计方法，其统计推断的结 果显然是不可信的，甚至有可能是错的。在对总体的分布不 作假设或仅作非常一般性假设条件下的统计方法称为非参数 统计。
为显著性水平 1 则称为置信度。
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值
的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参 数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
x
/2
1–
/2
x
x