第一章牛顿力学的基本定律

第一章 牛顿力学的基本定律（1） 直线坐标系r xi yj zkr xi yj zk a r xi yj zkυυ=++==++===++（2） 平面极坐标系r r 2r r re re r e a (r r )e (r 2r )e θθυθθθθ==+=-++（3） 自然坐标系t2t n e v a e e υυυρ==+（4） 柱坐标系2t n z v a e e e e ze ρθυρυρρθ=+=++〈析〉 上述矢量顺序分别为：r k t n b z i,j,k;e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e .θρθ矢量微分：r k r k r k k k de e e e dt de e e e dt de e e 0dtθθθθθθθθ=⨯==⨯=-=⨯=（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序2 牛顿定律惯性定律的矢量表述22d r ma m F dt==（1） 直角坐标系中x y z F mxF myF mz⎧=⎪=⎨⎪=⎩ （2） 极挫标系中2r kF m(r r )F m(r 2r )F 0θθθθ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩ （3） 自然坐标系中2n b F m F m F 0τυυρ=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩3 质点运动的基本定理 几个量的定义：动量 P m υ=角动量 L r m r P υ=⨯=⨯冲量 21I P P =-力矩 M r F =⨯冲量矩 21t 21t H I I Mdt =-=⎰动能 21T m 2υ=（1） 动量定理 dPF dt=ˆe方向上动量守恒：dPˆˆe F e 0dt ==（2） 动量矩定理 dLM dt=（3） 动能定理 d dTF m dt dtυυυ==4机戒能守恒定理 T+V=E〈析〉势函数V: V V V dV dx dy dz F dr x y z∂∂∂=++=-∂∂∂ V V V F (i j k)x y z∂∂∂=-++∂∂∂稳定平衡下的势函数：()0x x x dV 0dx==;()02x x x dV 0dx=>此时势能处极小处m V且能量满足M mV E 00E V E <<⎧⎪<∞⎨⎪<∞⎩质点再平衡点附近振动质点逃逸-质点逃逸+【解题演示】1 细杆OL 绕固定点O 以匀角速率ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，O 点与钢丝间的垂直距离为d ，如图所示。

求小环的速度υ和加速度a。

解：依几何关系知：x d tan θ=又因为：222d d x xi i i cos dωυωθ+===故：22222(d x )x a 2xx i i d d ωυω+=== 2 椭圆规尺AB 的两端点分别沿相互垂直的直线O χ与Oy 滑动，已知B 端以匀速c 运动，如图所示。

求椭圆规尺上M 点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。

解：依题知：B y (b d)cos θ=+且：B yC (b d)sin θθ=-=-+ 得：C*(b d)sin θθ=+又因M 点位置：M M x bsin ,y dcos θθ==故有：M M M xi |y j b cos i d sin j υθθθθ=+=-代入（*）式得：M bccot dc i j b d b dθυ=-++即：υ=2M M222bc bc a i i (b d)sin (b d)sin θυθθ==-=++1 一半径为r 的圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动，如图所示。

求圆盘边上任意一点M 的速度υ和加速度a（以O 、M 点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。

解：设O 点坐标为（0Rt x ,R ω+）。

则M 点坐标为（0Rt x Rsin ,R R cos ωθθ+++）故：M M M xi y j (R R cos )i R υωωθ=+=+-222M M a R sin i R cos j R (sin i cos j)υωθωθωθθ==--=-+2 一半径为r 的圆盘以匀角深度ω在一半经为R 的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M 点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。

解：依题知：r rR rR rθωϕ=-=---且O 点处：k r e cos()e sin()e θθϕθϕ=---则：M O O OMR rr r r r (R r)e re [(R r)cos()r]e (R r)sin()e θθϕθϕ'=+=-+=--+---M M r rr r r ()sin()e [(R r)cos()r]e (R r)()cos()e (R r)sin()e r sin()e r [1cos()]e θθθυϕθθϕθϕθϕθθϕθθϕωθϕωθϕ==--+--+----+--=--+--(){}r rr r 2r a r ()cos()e r sin()e r ()sin()e r [1cos()]e r cos()e r sin()e r e r r R r cos()e r sin()e R r θθθθυωϕθθϕωθθϕωϕθθϕωθθϕωϕθϕωϕθϕωθωθϕθϕ==----------=----=---+-⎡⎤⎣⎦-3 已知某质点的运动规律为：y=bt,at θ=,a 和b 都是非零常数。

（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度υ和加速度a。

解：()b 1y r sin bt aθθ===得：r br csc e a θθ=()r 2b a sin a cos b 2r e ae a sin a sin θθθθθυθθ-==+ ()r b1cot e e sin θθθθθ=-+⎡⎤⎣⎦ 4 已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr 和µθ，这里μ和λ是常数。

求出质点的加速度矢量a. 解：由题知：r re e θυλμθ=+且：r r,r λθμθ== 故：r ra re r e e e θθυλλθμθμθθ==++-()r r e (r )e θλμθθλμθ=-++222r (r )e ()e rrθμθμλμθλ=-++5 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。

证明：设速度为e τυυ=。

则：22n n d a e e e dt τυυυρρ=+=由于e τ 与n e为正交矢量。

即得证。

8一质点沿心脏线r (1cos )κθ=+以恒定速率v 运动，求出质点的速度υ和加速度a.解：设()()r r re r e sin e 1cos re θθυθθκθθκθ=+=-++且有：()()222[sin ][1cos r]θκθθκθυ-++= 解得：2cos 2υθθκ=得：()rsin sin ,r cos 22θθθκθυθυ=-=-= 则：r (sin e cos e )22θθθυυ=-+r r 11a cos e sin e sin e cos e 222222θθθθθθυθυθυθυθυ==---- 2r 3(e tan e )42θυθκ=-- 9已知质点按 t r e ,t αθβ==运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。

解：（1）极坐标系下：由t r e ,t αθβ==得：t re ,ααθβ== 且设：r re r e θυθ=+则：r re r e τθυθ==+得：r e τθ=+n r e θ=+2r ra re re (r r )e r e θθυθθθθ==+++-22t t r (r )e e 2e e ααθαβαβ=-+则：径向与横向的分量分别为22t (r )e ααβ-，t 2e ααβ。

10质点以恒定速率C 沿一旋轮线运动，旋轮线方程为x R(sin ),y R(1cos )θθθ=+=-+。

证明质点在y 方向做等加速运动。

解：依题意：222222222C xy R (1cos )R sin θθθθ=+=++ 得：C 2R cos2θθ=则：2y a y R(cos sin )θθθθ==+ 22231sin sin C cos 22()4R cos cos 22θθθθθ=+ 222222cos sin sin C 222()4Rcos cos 22θθθθθ-=+2C 4R=11 一质点沿着抛物线2y 2px =运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k 倍。

若此质点从正焦弦的一端点p (,p)2以速率u 出发，求质点到达正焦弦的另一端点p (,p)2-时的速率υ。

解：建立自然坐标系有：2n d a e e dt τυυρ=+且：2d ds ds d 2k 2k 2k 2k ds dt dt dt dt d υυυυθυρρθ=-=-=-=-d 2kd υθυ=-积分得：2k ue θυ-= （代入0u υ=） 又因为：2y 2px =在p (,p)2点处斜率：p211px 2dy k 1dx======在p (,p)2-点处斜率：p222px 2dy k 1dx======-故：21arc tan k arc tan k 2πθ=-=即：k ue πυ-=12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。

证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。

解：设空气阻力为f ，且小球初速为υ，质量为没，则有：上升时间：1t fg mυ=+ 上升高度：2h f2(g )m υ=+下落时间：20t υ==得：12t 1t ==< 即得证。

13 质量为m 的质点自离地面h 高度处下落。

若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C ，试讨论此质点下落过程中的运动状况。

解：设加速度为a ，速率为υ，则：2ma mg C m υυ=-= 得：2d dt C g mυυ=-积分并代入t 0=时0υ=有：υ=-a 0υ==>3a8ge e(1e0-=+-<知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。

14 将一质量为m 的质点以初速度0υ与水平线成α角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的mk 倍，这里k 是常数。

试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为α角度时所需时间。

解：依牛顿第二运动定律有：,x x y y m mk m mg mk υυυυ=-=-- 积分并代入初始条件：0t =时：0000sin ,cos xy υυθυυθ==解得：00cos ,(sin )kt kt x y g ge e kkυυθυυθ--==+-当再次夹角为α时：tan yxυαυ=-可解出：02sin 1ln(1)k t k gυθ=+15 一质量为m 的质点用一长度为l 的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为32m 。