第一章牛顿力学的基本定律

第一章 牛顿力学的基本定律

（1） 直线坐标系

r xi yj zk

r xi yj zk a r xi yj zk

υυ=++==++===++

（2） 平面极坐标系

r r 2r r re re r e a (r r )e (r 2r )e θθ

υθθθθ==+=-++

（3） 自然坐标系

t

2t n e v a e e υυυ

ρ

==+

（4） 柱坐标系

2t n z v a e e e e ze ρθυ

ρ

υρρθ=+=++

〈析〉 上述矢量顺序分别为：r k t n b z i,j,k;e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e .θρθ

矢量微分：r k r k r k k k de e e e dt de e e e dt de e e 0dt

θ

θθθθθθθ=⨯==⨯=-=⨯=

（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序

2 牛顿定律

惯性定律的矢量表述

22d r ma m F dt

==

（1） 直角坐标系中

x y z F mx

F my

F mz

⎧=⎪

=⎨⎪=⎩ （2） 极挫标系中

2r k

F m(r r )F m(r 2r )F 0θθθθ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩ （3） 自然坐标系中

2n b F m F m F 0

τυ

υρ=⎧⎪

⎪

=⎨⎪

⎪=⎩

3 质点运动的基本定理 几个量的定义：

动量 P m υ=

角动量 L r m r P υ=⨯=⨯

冲量 21I P P =-

力矩 M r F =⨯

冲量矩 21

t 21t H I I Mdt =-=⎰

动能 21T m 2

υ=

（1） 动量定理 dP

F dt

=

ˆe

方向上动量守恒：dP

ˆˆe F e 0dt ==

（2） 动量矩定理 dL

M dt

=

（3） 动能定理 d dT

F m dt dt

υυυ==

4机戒能守恒定理 T+V=E

〈析〉势函数V: V V V dV dx dy dz F dr x y z

∂∂∂=

++=-∂∂∂ V V V F (i j k)x y z

∂∂∂=-++∂∂∂

稳定平衡下的势函数：

()0

x x x dV 0dx

==;

()0

2x x x dV 0dx

=>

此时势能处极小处m V

且能量满足M m

V E 00E V E <<⎧⎪

<∞⎨⎪<∞⎩质点再平衡点附近振动质点逃逸-质点逃逸+

【解题演示】

1 细杆OL 绕固定点O 以匀角速率ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，O 点与钢丝间的垂直距离为d ，如图所示。求小环的速度υ

和加速度a

。

解：依几何关系知：x d tan θ=

又因为：222

d d x xi i i cos d

ωυωθ+===

故：2222

2(d x )x a 2xx i i d d ωυω+=== 2 椭圆规尺AB 的两端点分别沿相互垂直的直线O χ与Oy 滑动，已知B 端以匀速c 运动，如图所示。求椭圆规尺上M 点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。 解：依题知：B y (b d)cos θ=+

且：B y

C (b d)sin θθ=-=-+ 得：C

*(b d)sin θθ

=

+

又因M 点位置：M M x bsin ,y dcos θθ==

故有：M M M x

i |y j b cos i d sin j υθθθθ=+=-

代入（*）式得：M bccot dc i j b d b d

θυ=

-++

即：υ=

2

M M

222bc bc a i i (b d)sin (b d)sin θυθθ

==-=++

1 一半径为r 的圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动，如图所示。求

圆盘边上任意一点M 的速度υ

和加速度a

（以O 、M 点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。

解：设O 点坐标为（0Rt x ,R ω+）。则M 点坐标为

（0Rt x Rsin ,R R cos ωθθ+++）

故：M M M x

i y j (R R cos )i R υωωθ=+=+-

222M M a R sin i R cos j R (sin i cos j)υωθωθωθθ==--=-+

2 一半径为r 的圆盘以匀角深度ω在一半经为R 的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M 点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。

解：依题知：r r

R r

R r

θωϕ

=-=-

--

且O 点处：k r e cos()e sin()e θθϕθϕ=---

则：