第三节 晶列和晶面指数
合集下载
3、 晶列、晶面指数、倒格空间.
由于晶格的对称性，晶体在这六个晶向方向上的性质是完全等效 的，通常写成<100>。 同理，沿立方体对角线的晶向共有8个， 统称这些晶向时，写成<111>。 面对角线的晶向共有12个，只注明其 中一个的晶向指数，写成<110>。
第6页
2、晶面和晶面族
§1.4 晶列 晶面指数
定义: 布喇菲格子的格点还可以看成分布在一系列平面
第 16 页
例：
§1.4 晶列 晶面指数
晶面ABC沿单胞基矢方向的截距分别为 4a,b和c，系数倒数比为1/4：1：1＝1：4：
4，因而其密勒指数即为 (144) 。
晶面A’B’C’D’的截距为2a,4b与∞c，
因而其密勒指数为 (210) ；
晶面EFG的密勒指数则应为 (263)
第 17 页
§1.4 晶列 晶面指数
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
§1.4 晶列 晶面指数
第 20 页
§1.4 晶列 晶面指数
ABAB......
六方密堆积结构与单胞示意
第 21 页
§1.4 晶列 晶面指数
六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
第 22 页
晶体中一些晶面的密勒指数
密勒指数简单的晶面如（100）、 （010）之类，它们面上的原子聚集的 密度较大，而晶面间的距离也较大。
第6页
2、晶面和晶面族
§1.4 晶列 晶面指数
定义: 布喇菲格子的格点还可以看成分布在一系列平面
第 16 页
例：
§1.4 晶列 晶面指数
晶面ABC沿单胞基矢方向的截距分别为 4a,b和c，系数倒数比为1/4：1：1＝1：4：
4，因而其密勒指数即为 (144) 。
晶面A’B’C’D’的截距为2a,4b与∞c，
因而其密勒指数为 (210) ；
晶面EFG的密勒指数则应为 (263)
第 17 页
§1.4 晶列 晶面指数
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
§1.4 晶列 晶面指数
第 20 页
§1.4 晶列 晶面指数
ABAB......
六方密堆积结构与单胞示意
第 21 页
§1.4 晶列 晶面指数
六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
第 22 页
晶体中一些晶面的密勒指数
密勒指数简单的晶面如（100）、 （010）之类，它们面上的原子聚集的 密度较大，而晶面间的距离也较大。
复习-晶面与晶向指数
?晶面族?包含所有格点的一组互相平行的格点称晶面族同一晶面族包含所有格点的组互相平行的格点称晶面族同中的各晶面都具有相同的平面点阵且晶面是等距的
晶列
◦ 通过任意两个格点的直线称晶列。
晶列族
◦ 包含所有格点的一组互相平行的晶列。
晶向
◦ 晶列或晶列族的方向称为晶向。
ห้องสมุดไป่ตู้
等效晶向
◦ 性质完全相同的晶向，<u v w>
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组 相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上 原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归 并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联 系的若干组等效晶面的总和。
轴矢系统中的晶面指数就是Miller指数。 Miller指数是互质的。 国际通用的是Miller指数。
晶面
◦ 过任意三个不共线的格点所组成的平面称晶面，晶面上包含 无限多个周期排列的格点，形成平面点阵。
晶面族
◦ 包含所有格点的一组互相平行的格点称晶面族，同一晶面族 中的各晶面都具有相同的平面点阵，且晶面是等距的。
等效晶面{u v w}
晶面指数标定步骤如下：
◦ 1)点阵中设定参考坐标系，方法与确定晶向指数时相同； ◦ 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值； ◦ 3)取各截距的倒数； ◦ 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶向指数
◦ 具体表示晶向的一组数
晶向指数的确定步骤如下：
晶列
◦ 通过任意两个格点的直线称晶列。
晶列族
◦ 包含所有格点的一组互相平行的晶列。
晶向
◦ 晶列或晶列族的方向称为晶向。
ห้องสมุดไป่ตู้
等效晶向
◦ 性质完全相同的晶向，<u v w>
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组 相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上 原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归 并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联 系的若干组等效晶面的总和。
轴矢系统中的晶面指数就是Miller指数。 Miller指数是互质的。 国际通用的是Miller指数。
晶面
◦ 过任意三个不共线的格点所组成的平面称晶面，晶面上包含 无限多个周期排列的格点，形成平面点阵。
晶面族
◦ 包含所有格点的一组互相平行的格点称晶面族，同一晶面族 中的各晶面都具有相同的平面点阵，且晶面是等距的。
等效晶面{u v w}
晶面指数标定步骤如下：
◦ 1)点阵中设定参考坐标系，方法与确定晶向指数时相同； ◦ 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值； ◦ 3)取各截距的倒数； ◦ 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶向指数
◦ 具体表示晶向的一组数
晶向指数的确定步骤如下：
《晶列和晶面指数》课件
透射电子显微镜法
通过透射电子显微镜观察晶 体和晶面的结构。
干涉显微镜法
通过干涉显微镜测量晶体和 晶面的参数。
晶列和晶面的实际应用
1
药物研发
2
分析晶体结构以进行药物晶型的选择。
3
材料科学
研究晶体结构以优化材料性能。
能源领域
优化晶体结构以提高能源转换效率。
结论和总结
晶列和晶面指数是研究晶体结构和性质的重要工具，广泛应用于材料科学、 药物研发和能源领域等。
《晶列和晶面指数》PPT 课件
晶体和晶面的定义
பைடு நூலகம்
晶列指数和晶面指数的定义
1 晶列指数
晶列指数用来描述晶体内原子排列的规则性。
2 晶面指数
晶面指数表示晶体表面所处位置的标识。
晶列和晶面的表示方法
晶列 晶面
方向和摆放顺序的指数 截距和晶面位置的指数
晶列和晶面的求解方法
X射线衍射法
利用X射线衍射实验测量晶体 和晶面的参数。
固体物理1-3晶向、晶面
② 求截距：求出晶面与三个晶轴的截距; ③ 取倒数：取以上截距的倒数;
④ 化整并加圆括号：将以上三数值简化为互质的整 数比，将所得指数括以圆括号，即 (hkl)。如果 截距为负值，则将负号标注在相应指数的上方。
晶面指数确定了晶面的位向和间距。
晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它 的方向余弦来表示。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{111} (111), (1- 1--1) (1- 11), (111- )
(11-1), (1-11- )
(1-1-1), (11-1- )
c
(11-1) (111) (1-11)
b a
面间距相同的晶面族, 其面上的格点的分布相同, 称为同族晶面族 { h k l }
说明
若晶面和某一坐标轴平行，截距为 ，相应
c
b a
(3). 截矩系数可正可负,当晶面在基矢标轴的正方向 时,截矩系数为正,反之为负
c b a
(4). 晶面族(h1 h2 h3) 将基矢 a1 a2 a3 分别截成 |h1| |h2| |h3| 等份 (5). 晶面族(h1 h2 h3) 中距离原点最近的晶面在基
矢 a1 a2 a3 的截矩系数分a3 别为1/h1 1/h2 1/h3
E A
c
b
Oa
C
D B
例1：如图在立方体中， a i,b j,c k D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i , OE i j k,
E
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
1-3 第一章 晶体的结构(晶列、晶向、晶面)
2
简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
C 立方边OA：[100] 面对角线OB：[110] k B O A O j i
−−
体对角线OC：[111]
−
[111]
−
[111]
[111]
OA、OB、OC的等效晶列？
[111]
[0 OA：[100], [ 1 00], [010]， 1 0], [001], [00 1 ] →<100 >
• 如果某族晶面与某一基矢轴没有相交 • 截距是无限大
u = 2, v = 2, w = ∞
• 现在
1 1 1 1 1 1 : : = : : = 1:1: 0 u v w 2 2 ∞
• 密勒指数为
(hkl ) = (110)
8
立方结构常用的Miller指数 指数 立方结构常用的
• 简立方 • 体心立方 • 面心立方
14
A4
4
A3 3 A2
A1 A 1
2
12
滑移反映面（反演加平移） 滑移反映面（反演加平移）
• 镜象反映后，再沿平行于 镜象反映后， 该面的方向平移T/n的距 该面的方向平移 的距 离。T是该方向上的周期 是该方向上的周期 矢量， 矢量，n=2或4，原子重 或 ， 合。
13
小结
• 晶列，晶向 晶列， • 晶面，密勒指数 晶面， • 晶体对称操作
1
• • • • •
任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 同族晶列上的格点具有相同的周期性 [01] 所有的格点都在一族晶列上 在一平面中， 在一平面中，相邻晶列间距相等 a1 晶向：晶列的方向。怎么表示？ 晶向：晶列的方向。怎么表示？ a
简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
C 立方边OA：[100] 面对角线OB：[110] k B O A O j i
−−
体对角线OC：[111]
−
[111]
−
[111]
[111]
OA、OB、OC的等效晶列？
[111]
[0 OA：[100], [ 1 00], [010]， 1 0], [001], [00 1 ] →<100 >
• 如果某族晶面与某一基矢轴没有相交 • 截距是无限大
u = 2, v = 2, w = ∞
• 现在
1 1 1 1 1 1 : : = : : = 1:1: 0 u v w 2 2 ∞
• 密勒指数为
(hkl ) = (110)
8
立方结构常用的Miller指数 指数 立方结构常用的
• 简立方 • 体心立方 • 面心立方
14
A4
4
A3 3 A2
A1 A 1
2
12
滑移反映面（反演加平移） 滑移反映面（反演加平移）
• 镜象反映后，再沿平行于 镜象反映后， 该面的方向平移T/n的距 该面的方向平移 的距 离。T是该方向上的周期 是该方向上的周期 矢量， 矢量，n=2或4，原子重 或 ， 合。
13
小结
• 晶列，晶向 晶列， • 晶面，密勒指数 晶面， • 晶体对称操作
1
• • • • •
任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 同族晶列上的格点具有相同的周期性 [01] 所有的格点都在一族晶列上 在一平面中， 在一平面中，相邻晶列间距相等 a1 晶向：晶列的方向。怎么表示？ 晶向：晶列的方向。怎么表示？ a
3晶列晶面指数倒格空间解读
这族晶
面中，离开
原点的距离 等于μ d的晶
面的方程式 第一章 晶体的结构 为
第8页
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： ra1、sa2、ta3,依次代入上 式就得到：
ra1 cos (a1 , n ) d sa 2 cos (a 2 , n ) d ta3 cos (a3 , n ) d
得：
( 2)
取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位，
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 1 1 : : (3) r s t
第一章 晶体的结构
第9页
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
简立方的倒格子在其所处的空间（倒空间）也是简立方。
从倒格子定义式可知，倒格子只由正格子原胞基矢确定，而与具体正
格子空间中的晶体结构究竟是布喇菲格子还是复式格子无关。 如一复式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成，则其倒格子也就
是此布喇菲格子的倒格子。
第一章 晶体的结构
第 24 页
普遍而言，正空间中的点阵与其倒易点阵属于同一
晶列族
第一章 晶体的结构
第1页
2、标示晶列的方法： 固体物理学原胞基矢表示： 取晶列上的某个原子或格点为原点O 同一列上的另一个原子A的位置矢量可
A
表示为（任一格矢）
Rl = l1a1+l2a2+l3a3
若l 1 l 2 l 3 是互质整数，则［l1 l2 l3］ 表征了晶列的方向，称为晶向指数。
因而其密勒指数为
(210)
；
晶面EFG的密勒指数则应为 ( 263)
图解羟基磷灰石晶列和晶面指数
二、晶向 原子沿晶向到最近邻为
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
l3 ( l1 、l2 、 为互质整数）
晶向记为 [l1，l2，l3 ] [l1，l2，l3 ] 称为晶向指数。
2
固体物理
固体物理学
简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
立方边OA：[100] 面对角线OB：[110]
固体物理
固体物理学
§1.3 晶列和晶面指数
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶列
晶列 ：相互平行的直线系。
1
固体物理
晶列的特点
固体物理学
（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。
（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。 （3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一 族平行的晶列与之对应。 （4 ）有无限多族平行晶列。
固体物理
固体物理学
16
固体物理
固体物理学
17
固体物理
固体物理学
晶向四指数的解析求法：
先求出待求晶向在三轴系a1 , a2 , c下的指数U，V， W，然后通过解析求出四指数u,v,t,w,
由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：
u a1 + v a2 + t a3 + w c = U a1 + V a 2 + W c (1) 又有： a1 + a2 =－ a3 (2) 又由等价性条件： u + v = － t (3) 解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
说明
六角晶系的四指数表示 以上三指数表示晶向、晶面原则上适用于任
何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：
1.4 晶列和晶面指数
晶向的标志
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a1 , a2 , a3 —— 沿晶向到最近的一个格点的位矢 l1a1 l 2 a 2 l 3 a 3
l1 , l2 , l3 —— 一组整数
晶列指数 [l1 l 2 l 3 ] 晶胞 —— 有类似的晶列指数 带轴 ——一些特殊晶列
密勒指数 —— 标记这个晶面系 —— 以晶胞的基矢为参 考，所得出的晶列指数和晶 面的密勒指数，有着重要的 意义
(h k l )
(100) (110)
(111)
立方晶格的几种主要晶面标记
(100) 面等效的晶面数分别为：3个 表示为 {100} (110) 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 {110} (111) 面等效的晶面数分别为：4个 表示为 {111}
将其截距的倒数约化为互质的整数：
1 1 1 : : h1 : h2 : h3 r s t
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
a1 a 2 a3 , , h1 h2 h3
a1 a 2 a 3 , , —— 同族中其它晶面的截距是 的整数倍 h1 h2 h3
(h1h2 h3 ) h1 , h2 , h3/15
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a1 , a2 , a3
为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
设 某晶面在 a1 , a2 , a3 方向上的截距为 r, s, t
RA 3a1 a2 a3
RA 2a1 3a2
晶列指数 [311]
晶列指数 [230]
晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布喇菲格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
晶向、晶面和它们的标志
[001]
[010]
[100]
[010] [001]
[100]
向为等效晶向，写成<100>。
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 /
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111] /
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
(hkl)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
C B I
G
a
O
E
H
F
/
例3:
在立方晶系中画出(210)、 (121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b1Leabharlann c 1CE
B D A
a
c
G
O a E H DIHG 2 1
F
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
§1-2 晶棱和晶面指数这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。
再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。
同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。
此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。
晶棱的取向也简称晶向。
只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。
取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。
例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1的方向为[110]。
同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。
三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。
同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。
晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。
现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。
晶列
§1.3 晶列 晶面指数
01_03 晶向 晶面和它们的标志
晶体的晶列 ——布喇菲格子的格 点可以看成分列在一 系列相互平行的直线 系上，这些直线系称 为晶列。
晶向 ——同一个格子可以形成不同的晶列，每一个晶 列定义了一个方向，称为晶向。
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
晶体的晶列
—— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
密勒指数 —— 标记这个晶面系
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
——
格缺陷容易在这里形成和扩展。
• （4）{111}双层密排面结合牢固，表明这样的晶面能量
低。由于这个原因，在晶体生长中有一种使晶体表面为
{111}晶面的趋势。
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
立方晶格的几种主要晶面标记
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
01_03 晶向 晶面和它们的标志
晶体的晶列 ——布喇菲格子的格 点可以看成分列在一 系列相互平行的直线 系上，这些直线系称 为晶列。
晶向 ——同一个格子可以形成不同的晶列，每一个晶 列定义了一个方向，称为晶向。
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
晶体的晶列
—— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
密勒指数 —— 标记这个晶面系
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
——
格缺陷容易在这里形成和扩展。
• （4）{111}双层密排面结合牢固，表明这样的晶面能量
低。由于这个原因，在晶体生长中有一种使晶体表面为
{111}晶面的趋势。
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
立方晶格的几种主要晶面标记
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
1.3晶面和晶向解析
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
AD的晶列指数为: [212] 注意:
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
如图取一格点为顶点，原胞的三 个基矢 a1 , a 2 , a 3 为坐标系的三个轴， A3
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面 A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶 面族相邻晶面间的距离，为整数， 该晶面法线方向的单位矢量用 示，则晶面A1A2A3的方程为：
l1 1, l2 2, l3 1
[ l1 , l2 , l3]晶列上格点的周期= ?
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R m a nb p c
a , b , c 为布拉维原胞基矢
E
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
h1 : h2 : h3
《晶列和晶面指数》课件
晶面指数的意义
晶面指数可以用来描述晶体中晶面的性质，如晶面间距、晶面取向等。 通过研究不同晶面指数的晶面，可以了解晶体在不同方向上的结构和性 质。
晶列和晶面指数的关系
晶列与晶面指数的关系
晶列与晶面指数之间存在一定的关系。同一方向的晶列对应于不同的晶面指数，而同一晶面指数也可能对应于不同方 向的晶列。因此，了解晶列和晶面指数之间的关系对于理解晶体结构和性质非常重要。
01
晶面指数定义
晶面指数是指用来描述晶体中某一晶面的标量，通常用三个互质的整数
（h、k、l）表示。每个整数对应一个方向的晶列。
02 03
晶面指数的确定
通过晶体学中的X射线衍射技术或电子显微镜等手段，可以确定晶体中 某一晶面的晶面指数。通过对晶体进行衍射实验，可以获得衍射斑点的 位置和强度信息，从而确定晶面指数。
晶面指数的物理意义对于材料科学和物理学等领域的研究具有重要意义。通过对 晶面指数的研究和分析，可以深入了解晶体中原子或分子的相互作用和运动规律 ，从而为新材料的开发和现有材料的优化提供理论支持和实践指导。
04
晶列和晶面指数的应用
在晶体结构分析中的应用
确定晶体结构
通过晶列和晶面指数，可以确定晶体的内部结构，了解原子或分 子的排列方式。
案例分析
通过具体案例分析，展示如何运用晶列和晶面指数解决实际问题，如 晶体结构解析、材料性能预测等。
使用建议
根据使用者的反馈和经验，提出针对ppt课件的使用建议，以提高学 习效果和应用能力。
展望
技术发展
跨学科应用
实践应用展望
教学改进
探讨当前晶体学领域的技术发 展趋势，如新型晶体结构分析 方法、高精度计算模拟等，为 进一步研究晶列和晶面指数提 供新的思路和方向。
晶面指数可以用来描述晶体中晶面的性质，如晶面间距、晶面取向等。 通过研究不同晶面指数的晶面，可以了解晶体在不同方向上的结构和性 质。
晶列和晶面指数的关系
晶列与晶面指数的关系
晶列与晶面指数之间存在一定的关系。同一方向的晶列对应于不同的晶面指数，而同一晶面指数也可能对应于不同方 向的晶列。因此，了解晶列和晶面指数之间的关系对于理解晶体结构和性质非常重要。
01
晶面指数定义
晶面指数是指用来描述晶体中某一晶面的标量，通常用三个互质的整数
（h、k、l）表示。每个整数对应一个方向的晶列。
02 03
晶面指数的确定
通过晶体学中的X射线衍射技术或电子显微镜等手段，可以确定晶体中 某一晶面的晶面指数。通过对晶体进行衍射实验，可以获得衍射斑点的 位置和强度信息，从而确定晶面指数。
晶面指数的物理意义对于材料科学和物理学等领域的研究具有重要意义。通过对 晶面指数的研究和分析，可以深入了解晶体中原子或分子的相互作用和运动规律 ，从而为新材料的开发和现有材料的优化提供理论支持和实践指导。
04
晶列和晶面指数的应用
在晶体结构分析中的应用
确定晶体结构
通过晶列和晶面指数，可以确定晶体的内部结构，了解原子或分 子的排列方式。
案例分析
通过具体案例分析，展示如何运用晶列和晶面指数解决实际问题，如 晶体结构解析、材料性能预测等。
使用建议
根据使用者的反馈和经验，提出针对ppt课件的使用建议，以提高学 习效果和应用能力。
展望
技术发展
跨学科应用
实践应用展望
教学改进
探讨当前晶体学领域的技术发 展趋势，如新型晶体结构分析 方法、高精度计算模拟等，为 进一步研究晶列和晶面指数提 供新的思路和方向。
固体物理1-3晶向、晶面
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B
第三节 晶列和晶面指数
Solid State Physics
2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
R l ' l1 ' a 1 l 2 ' a 2 l 3 ' a 3
用111表示与111等价的体对角physicsnorthwestuniversitysolidstatephysics简单立方晶格的晶向标志立方边oa的晶向立方边共有6个不同的晶向departmentphysicsnorthwestuniversitysolidstatephysics简单立方晶格的晶向标志面对角线ob的晶向面对角线晶向共有12个departmentphysicsnorthwestuniversitysolidstatephysics体对角线oc的晶向简单立方晶格的晶向标志departmentphysicsnorthwestuniversitysolidstatephysics表示为departmentphysicsnorthwestuniversitysolidstatephysics晶向指数晶向指数departmentphysicsnorthwestuniversitysolidstatephysics晶面和密勒指数晶面和密勒指数latticeplanesmillerindiceslatticeplanesmillerindices晶面和晶面族晶面和晶面族latticeplanesfamilylatticeplanesfamily晶面晶面布布拉菲格子的格点也可以看成分列在相互平行拉菲格子的格点也可以看成分列在相互平行间距相等的平面上而无遗漏这些包含格点的平面称为间距相等的平面上而无遗漏这些包含格点的平面称为晶晶面面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
晶列的特点：晶列上的格点 具有一定的周期性。 晶列族——如果一平行 直线族把格点包括无遗，且 每一直线上都布有格点，则 称这些直线为同一族晶列。 一族晶列的特征：取向相 同，晶列上格点的周期相同。
School of Physics, Northwest University
同一格子可以 形成方位不同 的晶列，晶列 的取向称为晶 向（crystal direction）。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢
a1 , a2 , a3
为坐标轴，并取 a1 , a2 , a3 为沿着三个坐标轴的天然长度。
设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为 则在这族晶面中，离开原点的距离为
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
依次代入（1.3.1）式就得到
ra1 cos(a1 , n) d
sa2 cos(a2 , n) d
ta3 cos(a3 , n) d
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
取 a1 , a2 , a3 为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得
即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三 个整数之比。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
比较（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t 分别是两 个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律： 任一晶面的截距 r、s、t 必是一组有理数。
Solid State Physics
2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
Rl ' l1 ' a1 l2 ' a2 l3 ' a3
晶向指数
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
二、 晶面和密勒指数（lattice planes and Miller indices ）
1 晶面和晶面族 (lattice planes and the family)
间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶 面； 晶面族--而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同 晶面—布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、
Solid State Physics
可以证明，r、s、t 必为有理数
a 因为在该族晶面中有三个晶面必过 1 , a2 , a3
的端点
所对应的格点。 设 a1 , a2 , a3 的端点上的格点分别在离原点的距离为
h1d , h2 d和h3d 的晶面上，这里 h1, h2 , h3
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
§1.3 晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 1 晶列和晶向 (crystal array and crystal direction) 晶列(crystal array ) --由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看 成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。
整数 h1, h2 , h3 也是互质的 在方程（1.3.1）中取
1 cos(a1 , n ) d h1
1 cos(a2 , n ) d h2
1
，得第一晶面满足的方程组：
（1.3.4）
1 cos(a3 , n ) d h3
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
同一个格子，两组不同的晶面族
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
Lattice Planes and Miller Indices
Imagine representing a crystal structure on a grid (lattice) which is a 3D array of points (lattice points). Can imagine dividing the grid into sets of “planes” in different orientations
令 h mh ', h mh ', h mh ' 1 1 2 2 3 3
h1 ', h2 ', h3 '
为互质整数，这样式（1.3.6）可以写为
m(l1h '1 l2h '2 l3h '3 ) 1
（1.3.7）
在式（1.3.7）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以
School of Physics, Northwest University
Байду номын сангаас
Solid State Physics
二、 晶面和密勒指数
（lattice planes and Miller indices ）
2 晶面指数和密勒指数 (indices of lattice planes and Miller indices ) ▲ 晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数(indices of lattice plane )。 要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系 中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴 上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两 种标志方法。 (1) 固体物理学原胞 (2) 结晶学原胞
所以有
a1 cos(a1 , n) h1d a2 cos(a2 , n) h2d
a3 cos(a3 , n) h3d
用天然长度之后
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) h1 : h2 : h3
（1.3.3）
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
School of Physics, Northwest University
C D B A
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志 立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到
（1.3.5）
l1h1 l2h2 l3h3 1 （1.3.6）
如果 h1 , h2 , h3 不是互质数，而是有公因子m，m 一定是大于1的整数。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
1 1 1 cos(a1 , n ) : cos(a2 , n ) : cos(a3 , n ) : : r s t
（1.3.2）
所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的 余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说 明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。
School of Physics, Northwest University
都是整数
按照（1.3.1）式，对这三个晶面分别有
a1 n h1d
其中 n
a2 n h2d
a3 n h3d
是这族晶面公共法线的单位矢量
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
将l’1，l’2，l’3 化为互质的整数l1，l2，l3，
记作［ l1 l2 l3 ］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数(crystal array indices)。遇到负数，负号记在数的上方。
不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。
等价的方向用< l1l2l3 >表示。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
如图所示为立方晶格的一些晶向： AB [100] BA [ 100] AD [010] DA [0 10]
School of Physics, Northwest University
同一格子可以 形成方位不同 的晶列，晶列 的取向称为晶 向（crystal direction）。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢
a1 , a2 , a3
为坐标轴，并取 a1 , a2 , a3 为沿着三个坐标轴的天然长度。
设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为 则在这族晶面中，离开原点的距离为
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
依次代入（1.3.1）式就得到
ra1 cos(a1 , n) d
sa2 cos(a2 , n) d
ta3 cos(a3 , n) d
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
取 a1 , a2 , a3 为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得
即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三 个整数之比。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
比较（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t 分别是两 个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律： 任一晶面的截距 r、s、t 必是一组有理数。
Solid State Physics
2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
Rl ' l1 ' a1 l2 ' a2 l3 ' a3
晶向指数
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
二、 晶面和密勒指数（lattice planes and Miller indices ）
1 晶面和晶面族 (lattice planes and the family)
间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶 面； 晶面族--而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同 晶面—布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、
Solid State Physics
可以证明，r、s、t 必为有理数
a 因为在该族晶面中有三个晶面必过 1 , a2 , a3
的端点
所对应的格点。 设 a1 , a2 , a3 的端点上的格点分别在离原点的距离为
h1d , h2 d和h3d 的晶面上，这里 h1, h2 , h3
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
§1.3 晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 1 晶列和晶向 (crystal array and crystal direction) 晶列(crystal array ) --由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看 成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。
整数 h1, h2 , h3 也是互质的 在方程（1.3.1）中取
1 cos(a1 , n ) d h1
1 cos(a2 , n ) d h2
1
，得第一晶面满足的方程组：
（1.3.4）
1 cos(a3 , n ) d h3
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
同一个格子，两组不同的晶面族
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
Lattice Planes and Miller Indices
Imagine representing a crystal structure on a grid (lattice) which is a 3D array of points (lattice points). Can imagine dividing the grid into sets of “planes” in different orientations
令 h mh ', h mh ', h mh ' 1 1 2 2 3 3
h1 ', h2 ', h3 '
为互质整数，这样式（1.3.6）可以写为
m(l1h '1 l2h '2 l3h '3 ) 1
（1.3.7）
在式（1.3.7）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以
School of Physics, Northwest University
Байду номын сангаас
Solid State Physics
二、 晶面和密勒指数
（lattice planes and Miller indices ）
2 晶面指数和密勒指数 (indices of lattice planes and Miller indices ) ▲ 晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数(indices of lattice plane )。 要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系 中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴 上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两 种标志方法。 (1) 固体物理学原胞 (2) 结晶学原胞
所以有
a1 cos(a1 , n) h1d a2 cos(a2 , n) h2d
a3 cos(a3 , n) h3d
用天然长度之后
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) h1 : h2 : h3
（1.3.3）
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
School of Physics, Northwest University
C D B A
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志 立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到
（1.3.5）
l1h1 l2h2 l3h3 1 （1.3.6）
如果 h1 , h2 , h3 不是互质数，而是有公因子m，m 一定是大于1的整数。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
1 1 1 cos(a1 , n ) : cos(a2 , n ) : cos(a3 , n ) : : r s t
（1.3.2）
所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的 余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说 明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。
School of Physics, Northwest University
都是整数
按照（1.3.1）式，对这三个晶面分别有
a1 n h1d
其中 n
a2 n h2d
a3 n h3d
是这族晶面公共法线的单位矢量
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
将l’1，l’2，l’3 化为互质的整数l1，l2，l3，
记作［ l1 l2 l3 ］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数(crystal array indices)。遇到负数，负号记在数的上方。
不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。
等价的方向用< l1l2l3 >表示。
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
如图所示为立方晶格的一些晶向： AB [100] BA [ 100] AD [010] DA [0 10]