第三节 晶列和晶面指数
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Solid State Physics
§1.3晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 二、 晶面和密勒指数 （lattice planes and Miller indices ） 本节思路：介绍晶列、晶面的概念以及它们的表示。
1 1 1 cos(a1 , n ) : cos(a2 , n ) : cos(a3 , n ) : : r s t
（1.3.2）
所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的 余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说 明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。
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晶向指数
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Solid State Physics
二、 晶面和密勒指数（lattice planes and Miller indices ）
1 晶面和晶面族 (lattice planes and the family)
间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶 面； 晶面族--而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同 晶面—布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、
晶列的特点：晶列上的格点 具有一定的周期性。 晶列族——如果一平行 直线族把格点包括无遗，且 每一直线上都布有格点，则 称这些直线为同一族晶列。 一族晶列的特征：取向相 同，晶列上格点的周期相同。
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同一格子可以 形成方位不同 的晶列，晶列 的取向称为晶 向（crystal direction）。
所以有
a1 cos(a1 , n) h1d a2 cos(a2 , n) h2d
a3 cos(a3 , n) h3d
用天然长度之后
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) h1 : h2 : h3
（1.3.3）
AF [101] BH [ 111] AC [110] ……
E
H F
G
可以看出，AB，AD，AE，BA， DA, EA六个晶向，其晶向指数的差 异完全来自基矢方向的选择。由于 对称性，它们在物理上是完全等价 的，可以统一用<100>表示。 类似地，用<110>表示与［110］ 等价的12个面对角线晶向；用 <111>表示与［111］等价的体对角 线晶向。
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设第一晶面某一个格点的格矢为
Rl l1a1 l2a2 l3a3
其中 l1 , l2 , l3 为整数。将格矢代入方程（1.3.1），有
l1 cos(a1 , n) l2 cos(a2 , n) l3 cos(a3 , n) d
n
d 的晶面的方程式为
X n d
其中
（1.3.1）
为整数； X 是晶面上任一点的位置矢量。
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设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为
ra1 , sa2 , 和ta3
将l’1，l’2，l’3 化为互质的整数l1，l2，l3，
记作［ l1 l2 l3 ］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数(crystal array indices)。遇到负数，负号记在数的上方。
不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。
等价的方向用< l1l2l3 >表示。
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C D B A
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简单立方晶格的晶向标志 立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
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整数 h1, h2 , h3 也是互质的 在方程（1.3.1）中取
1 cos(a1 , n ) d h1
1 cos(a2 , n ) d h2
1
，得第一晶面满足的方程组：
（1.3.4）
1 cos(a3 , n ) d h3
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取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
令 h mh ', h mh ', h mh ' 1 1 2 2 3 3
h1 ', h2 ', h3 '
为互质整数，这样式（1.3.6）可以写为
m(l1h '1 l2h '2 l3h '3 ) 1
（1.3.7）
在式（1.3.7）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以
Solid State Physics
可以证明，r、s、t 必为有理数
a 因为在该族晶面中有三个晶面必过 1 , a2 , a3
的端点
所对应的格点。 设 a1 , a2 , a3 的端点上的格点分别在离原点的距离为
h1d , h2 d和h3d 的晶面上，这里 h1, h2 , h3
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为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢
a1 , a2 , a3
为坐标轴，并取 a1 , a2 , a3 为沿着三个坐标轴的天然长度。
设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为 则在这族晶面中，离开原点的距离为
都是整数
按照（1.3.1）式，对这三个晶面分别有
a1 n h1d
其中 n
a2 n h2d
a3 n h3d
是这族晶面公共法线的单位矢量
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同一个格子，两组不同的晶面族
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Lattice Planes and Miller Indices
Imagine representing a crystal structure on a grid (lattice) which is a 3D array of points (lattice points). Can imagine dividing the grid into sets of “planes” in different orientations
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二、 晶面和密勒指数
（lattice planes and Miller indices ）
2 晶面指数和密勒指数 (indices of lattice planes and Miller indices ) ▲ 晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数(indices of lattice plane )。 要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系 中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴 上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两 种标志方法。 (1) 固体物理学原胞 (2) 结晶学原胞
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如图所示为立方晶格的一些晶向： AB [100] BA [ 100] AD [010] DA [0 10]
AE [001] FB [00 1] AG [111] EA [00 1]
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2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
Rl ' l1 ' a1 l2 ' a2 l3 ' a3
的总体，称为晶面族。
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晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
ห้องสมุดไป่ตู้
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§1.3 晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 1 晶列和晶向 (crystal array and crystal direction) 晶列(crystal array ) --由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看 成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。
即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三 个整数之比。
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比较（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t 分别是两 个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律： 任一晶面的截距 r、s、t 必是一组有理数。
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
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简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
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由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到
（1.3.5）
l1h1 l2h2 l3h3 1 （1.3.6）
如果 h1 , h2 , h3 不是互质数，而是有公因子m，m 一定是大于1的整数。
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简单立方晶格的晶向标志 —— 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的 —— 表示为
100 110 111
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晶向指数
依次代入（1.3.1）式就得到
ra1 cos(a1 , n) d
sa2 cos(a2 , n) d
ta3 cos(a3 , n) d
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取 a1 , a2 , a3 为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得
§1.3晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 二、 晶面和密勒指数 （lattice planes and Miller indices ） 本节思路：介绍晶列、晶面的概念以及它们的表示。
1 1 1 cos(a1 , n ) : cos(a2 , n ) : cos(a3 , n ) : : r s t
（1.3.2）
所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的 余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说 明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。
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晶向指数
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二、 晶面和密勒指数（lattice planes and Miller indices ）
1 晶面和晶面族 (lattice planes and the family)
间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶 面； 晶面族--而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同 晶面—布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、
晶列的特点：晶列上的格点 具有一定的周期性。 晶列族——如果一平行 直线族把格点包括无遗，且 每一直线上都布有格点，则 称这些直线为同一族晶列。 一族晶列的特征：取向相 同，晶列上格点的周期相同。
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同一格子可以 形成方位不同 的晶列，晶列 的取向称为晶 向（crystal direction）。
所以有
a1 cos(a1 , n) h1d a2 cos(a2 , n) h2d
a3 cos(a3 , n) h3d
用天然长度之后
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) h1 : h2 : h3
（1.3.3）
AF [101] BH [ 111] AC [110] ……
E
H F
G
可以看出，AB，AD，AE，BA， DA, EA六个晶向，其晶向指数的差 异完全来自基矢方向的选择。由于 对称性，它们在物理上是完全等价 的，可以统一用<100>表示。 类似地，用<110>表示与［110］ 等价的12个面对角线晶向；用 <111>表示与［111］等价的体对角 线晶向。
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设第一晶面某一个格点的格矢为
Rl l1a1 l2a2 l3a3
其中 l1 , l2 , l3 为整数。将格矢代入方程（1.3.1），有
l1 cos(a1 , n) l2 cos(a2 , n) l3 cos(a3 , n) d
n
d 的晶面的方程式为
X n d
其中
（1.3.1）
为整数； X 是晶面上任一点的位置矢量。
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设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为
ra1 , sa2 , 和ta3
将l’1，l’2，l’3 化为互质的整数l1，l2，l3，
记作［ l1 l2 l3 ］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数(crystal array indices)。遇到负数，负号记在数的上方。
不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。
等价的方向用< l1l2l3 >表示。
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简单立方晶格的晶向标志 立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
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整数 h1, h2 , h3 也是互质的 在方程（1.3.1）中取
1 cos(a1 , n ) d h1
1 cos(a2 , n ) d h2
1
，得第一晶面满足的方程组：
（1.3.4）
1 cos(a3 , n ) d h3
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取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
令 h mh ', h mh ', h mh ' 1 1 2 2 3 3
h1 ', h2 ', h3 '
为互质整数，这样式（1.3.6）可以写为
m(l1h '1 l2h '2 l3h '3 ) 1
（1.3.7）
在式（1.3.7）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以
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可以证明，r、s、t 必为有理数
a 因为在该族晶面中有三个晶面必过 1 , a2 , a3
的端点
所对应的格点。 设 a1 , a2 , a3 的端点上的格点分别在离原点的距离为
h1d , h2 d和h3d 的晶面上，这里 h1, h2 , h3
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为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢
a1 , a2 , a3
为坐标轴，并取 a1 , a2 , a3 为沿着三个坐标轴的天然长度。
设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为 则在这族晶面中，离开原点的距离为
都是整数
按照（1.3.1）式，对这三个晶面分别有
a1 n h1d
其中 n
a2 n h2d
a3 n h3d
是这族晶面公共法线的单位矢量
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同一个格子，两组不同的晶面族
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Lattice Planes and Miller Indices
Imagine representing a crystal structure on a grid (lattice) which is a 3D array of points (lattice points). Can imagine dividing the grid into sets of “planes” in different orientations
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二、 晶面和密勒指数
（lattice planes and Miller indices ）
2 晶面指数和密勒指数 (indices of lattice planes and Miller indices ) ▲ 晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数(indices of lattice plane )。 要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系 中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴 上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两 种标志方法。 (1) 固体物理学原胞 (2) 结晶学原胞
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如图所示为立方晶格的一些晶向： AB [100] BA [ 100] AD [010] DA [0 10]
AE [001] FB [00 1] AG [111] EA [00 1]
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2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
Rl ' l1 ' a1 l2 ' a2 l3 ' a3
的总体，称为晶面族。
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晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
ห้องสมุดไป่ตู้
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§1.3 晶列和晶面指数 (crystal array and Miller indices)
一、 晶列和晶向指数 (crystal array and direction indices) 1 晶列和晶向 (crystal array and crystal direction) 晶列(crystal array ) --由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看 成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。
即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三 个整数之比。
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比较（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t 分别是两 个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律： 任一晶面的截距 r、s、t 必是一组有理数。
简单立方晶格的晶向标志
面对角线OB的晶向 —— 面对角线晶向共有12个
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简单立方晶格的晶向标志
体对角线OC的晶向 —— 体对角线晶向共有8个
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由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到
（1.3.5）
l1h1 l2h2 l3h3 1 （1.3.6）
如果 h1 , h2 , h3 不是互质数，而是有公因子m，m 一定是大于1的整数。
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简单立方晶格的晶向标志 —— 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的 —— 表示为
100 110 111
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晶向指数
依次代入（1.3.1）式就得到
ra1 cos(a1 , n) d
sa2 cos(a2 , n) d
ta3 cos(a3 , n) d
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取 a1 , a2 , a3 为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得