2021年高一下学期期中复习：第三章不等式单元综合测试

2021年高一下学期期中复习：第三章不等式单元综合测试

一、填空题(每小题5分，共70分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( )

2．已知m ，n ∈R ＋，且m ＋n ＝2，则mn 有最大值( )

3．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则N 与M 的大小关系 ( ) 4．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1

y

的最小值为( )

5．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧

x －y ＋1≥0

x ＋y ≥0

x ≤0

，则z ＝3x ＋2y 的 最小值是( )

6．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，1

3

)，则a －b 等于( )

7．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当

住第n 层楼时，环境不满意度为8

n

，则此人应选( )

8．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<

π2

时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒

成立，则实数m 的取值范围是( )

9．不等式x －x 2>0的解集是________．

10．x≥0，y≥0，x＋y≤4所围成的平面区域的周长是________．

11．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．

12．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在区间上恒成立，则实数a的取值范围为________．

13．已知则不等式≤5的解集是．

14．已知a＞0，b＞0，且，则的最大值是．

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共90分)

15．(本小题14分)已知a>0，试比较a与1

a

的大小．

16．(本小题14分)已知a、b、c为不等正数，且abc＝1.求证：a＋b＋c

<1

a ＋

1

b

＋

1

c

.

17、(本小题15分)已知实数x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比

数列，求(a1＋a2)2

b

1

b

2

的取值范围（）

18、(本小题15分)设集合A、B分别是函数y＝

1

x2＋2x－8

与函数y＝lg(6＋

x－x2)的定义域，C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}．若A∩B⊆C，则实数a的取值范围

（）．

19．(本小题16分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？

20、(本小题16分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．

图3

第三章不等式单元综合测试答案

1、x ≤0或x ≥2.

2、mn ≤(

m ＋n 2

)2＝1. 3、解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a

－1)(a －3)＝a 2

≥0，所以M ≥N . 4、解析：1x ＋1

y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝

1

3

(

2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－3

2

2时取等号．

5解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，

A (0,1)，

B (－1

2，12

)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y 的最小值是1.

6、解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－1

6，∴b ＝－2，

∴a －b ＝－10.

7、解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8

n

≥42，当且

仅当n ＝8n ，即n ＝22≈3时，n ＋8

n

取得最小值．

8、解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <1

1－sin θ

.∵θ∈上恒成

立，只要a ≤0.

13．； 14． 15、解：a －1

a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)

a

.

因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，

(a －1)(a ＋1)

a

＝0，有a ＝1a ；当0

.

综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0

a

.

16、解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝

1

bc

＋

1

ca

＋

1ab

<

1

b ＋

1c 2＋1

c ＋

1a 2＋1

a ＋

1

b 2＝1a ＋1b ＋1c

.故原不等式成立． 方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝

bc ＋ca

2

＋

ca ＋ab 2

＋

ab ＋bc 2

>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立．

17．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0.