最优化模型的建立步骤
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
最优化及最优化方法讲稿
其中 x x 1 ,x 2 , x n T R n
最优化问题分类
经典优化问题（静态优化问题）和现代优化问 题（动态优化问题）
1、经典优化问题（静态优化问题）
根据数学模型中有无约束函数分为有约束的最优化问 题和无约束的最优化问题；
或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再 剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的 方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架 下形成的。
0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许 多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都 可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规 划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种 非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致 力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分 枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如 求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
随机规划是处理数据带有随机性的一类数学规划，它与 确定性数学规划最大的不同在于其系数中引进了随机变 量，这使得随机规划比起确定性数学规划更适合于用。
随机规划的求解方法
随机规划的求解方法大致分两种。 第一种是转化法，即将随机规划转化成各自的确定性等
最优化的发展简史
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世 纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所 创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实 值函数的最大值和最小值的方法，后来又出现 Lagrange乘数法。以后又进一步讨论具有未知 函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的 最优化方法可以称为古典最优化方法。
整数规划与组合最优化的关系
整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域 是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足 一定标准的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划 的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问 题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险 队问题（组合学的覆盖问题）、送货问题等。因此整数 规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程 设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、 系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。
简单的优化模型
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。
最优化模型(第五讲)
数学建模讲义主讲人:穆学文西安电子科技大学数学系Email:xdmuxuewen@ 最优化模型---最优化方法的概念参考书目1. 陈宝林。
最优化理论与算法。
清华大学出版社.2. 谢金星，薛毅。
优化建模与lindo/lingo优化软件. 清华大学出版社. 背景知识基本概念及其应用最优化问题举例最优化方法的概念优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点常用的数学软件§1背景知识•运筹学理论的一部分•最早起源于中国古代¾公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》¾孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论¾运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
这千古名句也可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖。
•国外起源与发展¾1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题，引进了Pareto最优的概念。
¾1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家，进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意的效果。
他们把自己从事的这种工作命名为“Operational Research”(背景知识（续）Operational Research(运筹学，或直译为作战研究)。
¾1939年，苏联的Л.В.Канторович总结了他对生产组织的研究，写了《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线性规划应用于工业生产问题的经典著作¾1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便迅速形成为一个独立的分支。
并逐级发展起来。
¾英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部，1953年11月起改名为学会）。
¾二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时筹学方法也向政府和业等部门扩展背景知识（续）运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。
多目标最优化模型
缺点
计算复杂度高
求解速度慢
难以找到全局最优 解
对初始解依赖性强
多目标最优化模 型的发展趋势
算法改进
进化算法：如遗传算法、粒子群算法等，在多目标优化问题中表现出色，能够找到多个非支配解。
机器学习算法：如深度学习、强化学习等，在处理大规模、高维度多目标优化问题时具有优势，能 够自动学习和优化目标函数。
金融投资
风险管理：多目标最 优化模型用于确定最 优投资组合，降低风 险并最大化收益。
资产配置：模型用于 分配资产，以实现多 个目标，例如最大化 收益和最小化风险。
投资决策：模型帮助 投资者在多个投资机 会中选择最优方案， 以实现多个目标。
绩效评估：模型用于评 估投资组合的绩效，以 便投资者了解其投资组 合是否达到预期目标。
混合算法：将多种算法进行融合，形成新的优化算法，以适应不同类型和规模的多目标优化问题。
代理模型：利用代理模型来近似替代真实的目标函数，从而加速多目标优化问题的求解过程。
应用拓展
人工智能领域的应用
金融领域的应用
物流领域的应用
医疗领域的应用
未来研究方向
算法改进：研究更高效的求解多目标最优化问题的算法 应用拓展：将多目标最优化模型应用于更多领域，如机器学习、数据挖掘等 理论深化：深入研究多目标最优化理论，提高模型的可解释性和可靠性 混合方法：结合多种优化方法，提高多目标最优化模型的性能和适用范围
资源分配
电力调度：多目标最优化模型用于协调不同区域的电力需求和供应，实现电力资源的 合理分配。
金融投资：多目标最优化模型用于确定投资组合，以最小风险实现最大收益，优化金 融资源分配。
最优化问题数学模型
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建随着共享单车的兴起，共享单车投放点布局与投放量的问题也日益受到关注。
合理的投放点布局和投放量可以有效提高共享单车的利用率，减少共享单车的堆积和损坏现象，从而降低运营成本，提高用户体验。
构建共享单车投放点布局与投放量的最优化模型成为了一个迫切需要解决的问题。
在构建共享单车投放点布局与投放量的最优化模型时，首先需要考虑的是投放点的布局问题。
一个好的投放点布局应该满足以下几个条件：1. 覆盖范围广：投放点分布应该覆盖城市中人口密集的地区、商业区、学校、公园等热点区域；2. 方便取车和停车：投放点应该位于通行方便的地点，方便用户取车和停车；3. 交通便利：投放点附近应有公交车站、地铁站、停车场等交通设施，方便用户选择不同的出行方式。
投放量的问题也需要考虑。
合理的投放量应该满足以下几个条件：1. 应对需求：根据不同地区、不同时间段的需求变化情况，合理分配共享单车的投放量；2. 保持平衡：避免某些投放点的单车过剩或者不足的情况，保持共享单车的整体平衡；3. 节约成本：在满足需求的前提下，尽可能减少共享单车的投放量，降低运营成本。
为了解决这个问题，我们可以借助数学模型和优化算法来构建共享单车投放点布局与投放量的最优化模型。
具体来说，我们可以考虑以下几个步骤来构建模型：1. 确定决策变量：我们需要确定决策变量，即需要优化的变量。
在共享单车投放点布局与投放量的最优化模型中，决策变量可以是投放点的位置和投放量。
我们可以用坐标来表示投放点的位置，用数量来表示投放量。
2. 建立约束条件：接下来，我们需要建立约束条件，即对决策变量的限制条件。
在共享单车投放点布局与投放量的最优化模型中，约束条件可以包括覆盖范围、交通便利性、需求分配等方面的限制。
我们可以要求投放点的分布不能过于密集或者过于稀疏，要求投放点附近必须有公交车站或者地铁站，要求投放点的单车数量不能超过用户需求的最大值等。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
ppt4-最优化模型
【条件设置】 总成本必须是最小值； 月末库存 = 月初库存 + 本月生产量 – 需求量 月初库存 = 上月末库存 储存成本是每月末库存量之和与单位储存成本 之乘积； 各种生产方式每月的产量必须大于等于0； 每月的库存量不能小于0； 各种生产方式的月生产量不能大于其月生产能 力。
【例】 某移动通讯公司准备在一城市建立发射塔，该 城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各 地区的覆盖情况和费用如单元格区域 C2:G7 所示 （其中：1表示能覆盖该区域）。 （ 1 ）假设在每个位置都建塔，计算每个地区被 覆盖的次数和建塔总费用。 （ 2 ）用规划求解工具求解最优建塔位置（必须 确给保覆盖所有地区）和总费用的最小值。【发 射塔规划】
200
销地3 6 5
产地A 产地B
【例】 某农场主拥有两个农场，分别有 80 和 100 亩耕 地。他可用两个农场的全部耕地来种植玉米和小 麦。根据高层需求，他今年的生产指标是玉米 20000千克和小麦50000千克。两个农场的产量及 成本如下所示。该农场主应如何合理安排种植面 积。 【规划求解1】
P103
1、最优化问题分类 ▲根据有无约束条件可以分为： 有约束条件的最优化问题 即在资源限定的情况下求解最佳目标。 无约束条件的最优化问题 即在资源无限的情况下求解最佳目标。 ▲根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的 形式可分为： 线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是线性的。 非线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是非线性的。
最优化模型
在生产、经营和管理中，经常遇到求最大值和 最小值的问题，如经济订货量等，这些都属于最 优化问题。 最优化问题是运筹学的一个重要分支，根据其 形式又分为： 数学规划 动态规划 网络规划
一、最优化问题概述 最优化问题就是在给定的条件下寻找最佳方案 的问题。最佳的含义包括两个方面： 在资源给定时寻找最好的目标 在目标确定下使用最少的资源
建立数学模型的方法步骤
建立数学模型的方法步骤第一步：明确问题和目标在建立数学模型之前，我们首先要明确问题的本质和我们的目标。
问题可以是实际生活中的各种各样的情况，例如商业决策、物理过程、社会现象等。
目标可以是预测结果、优化决策、揭示规律等。
第二步：收集数据第三步：确定变量和参数变量是数学模型中的未知数，它们的取值会随着问题的不同而变化。
参数是数学模型中的已知量，它们的取值是固定的。
在建立数学模型之前，我们需要明确问题中的变量和参数，并给予它们合适的符号表示。
第四步：建立数学关系第五步：选择合适的数学方法根据问题的特点和数学关系的形式，选择合适的数学方法来求解模型。
常用的数学方法包括线性代数、微积分、最优化方法、概率统计等。
需要根据具体情况灵活运用。
第六步：验证和调整模型在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和调整，以确保它的合理性和准确性。
这可以通过与实验数据对比、观察模型的行为等方法来实现。
如果模型与实际情况不符，我们需要对模型进行修正。
第七步：模型应用和分析当模型验证通过后，我们可以应用模型来解决实际问题。
通过计算和分析模型的输出结果，我们可以得出结论、为决策提供支持、揭示问题的本质等。
第八步：模型解释和沟通最后，我们需要对模型的结果进行解释和沟通。
这意味着我们需要用通俗易懂的语言和方法向非专业人士解释模型的意义和结果。
这有助于模型的应用和建议能够得到各方的认可和接受。
建立数学模型是一个复杂而有挑战性的过程，需要综合运用数学知识、问题分析能力、数据分析技巧等。
此外，每个具体问题都有其特殊性，需要根据具体情况进行调整和改进。
因此，在建立数学模型的过程中，灵活性和创造性也是非常重要的。
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建一、问题提出在城市中，共享单车的投放点是非常重要的。
一个好的共享单车投放点布局不仅能够提高共享单车的使用率，还能够减少交通拥堵和环境污染。
对共享单车投放点的布局和投放量进行最优化是非常必要的。
而要进行最优化，就需要建立一个合理的模型，来描述共享单车投放点布局与投放量之间的关系。
二、相关工作在相关领域中，已经有一些关于共享单车投放点布局和投放量最优化模型的研究。
这些研究主要包括对共享单车使用情况的分析和预测、共享单车投放点布局的空间分布模型、共享单车投放点运营模型等。
在实际应用中，这些模型往往很难完全满足现实的需求。
需要进一步研究建立一个更加综合且更加精确的共享单车投放点布局与投放量的最优化模型。
三、建模过程1. 数据采集：我们需要收集相关的数据，包括城市的道路网络、人口分布、出行需求等。
这些数据将有助于我们分析共享单车的使用情况和预测未来的需求。
2. 模型选择：接下来，我们需要选择合适的模型来描述共享单车投放点布局与投放量之间的关系。
一般来说，可以选择基于图论的模型、基于统计学的模型、基于机器学习的模型等。
3. 参数估计：然后，我们需要对模型中的参数进行估计。
这涉及到对数据的处理和分析，以及对模型的拟合和调整。
4. 模型优化：我们需要将模型进行优化，以求得最优的共享单车投放点布局和投放量。
这需要结合城市的实际情况和政策要求，考虑到多种因素的影响。
四、模型验证在建立完模型之后，我们需要对模型进行验证。
主要包括对模型的拟合程度、模型的预测效果、模型的稳定性等方面的验证。
只有经过充分的验证，我们才能确保模型的有效性和可靠性。
五、结论与展望通过建模与验证的过程，我们可以得到一个较为合理的共享单车投放点布局与投放量的最优化模型。
这将有助于城市管理者和交通规划者更好地制定共享单车的投放策略，提高共享单车的使用效率和满意度，促进城市交通的发展和改善。
需要指出的是，共享单车投放点布局与投放量的最优化模型是一个复杂的问题，涉及到多个因素的影响。
数学建模 最优化方法建模及实现
max Z 400 x1 900 x2 500 x3 200 x4 40 x1 75 x2 30 x3 15 x4 800 300 x 400 x 200 x 100 x 2000 1 2 3 4 s.t. 40 x1 75 x2 500 x1 3, x2 2, 5 x3 10, 5 x4 10
实际问题中的优化模型maxminx决策变量fx目标函数x0约束条件数学规划线性规划lp二次规划qp非线性规划nlp纯整数规划pip混合整数规划mip整数规划ip01整数规划一般整数规划连续规划优化模型的分类线性规划问题的求解在理论上有单纯形法在实际建模中常用以下解法
实验07 最优化方法建模及实现
实验目的
优化模型的分类
实际问题中 Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T 的优化模型 s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m x~决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)~目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0~约束条件
例3： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加 工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900， 三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车 床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。 问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求， 又使加工费用最低？
1、了解最优化问题的基本内容。
2、掌握线性规划及非线性规划建模及其MATLAB实现。 3、基于最优化方法建模及实现、论文写作。
实验内容
1、基础知识、例子。
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建共享单车作为城市绿色出行方式的一种重要形式，受到人们的广泛欢迎。
在城市中推广共享单车，除了要考虑单车的投放量外，还需要合理地布局单车的投放点，以满足用户的需求，提高单车的使用率。
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型成为了城市规划和运营管理中的重要研究课题。
一、问题背景和意义二、相关研究现状针对共享单车投放点布局和投放量的优化问题，已经有不少研究成果。
一些学者从实地调研和数据分析的角度，提出了一些共享单车投放点布局的策略，比如基于出行需求热点的布局策略、基于区域人口密度的布局策略等。
另一些学者则通过建立基于运输网络和站点容量的最优化模型，对共享单车的投放量和投放点进行了优化设计。
这些研究对共享单车的运营管理和城市规划提供了重要的理论参考和实践指导，但是在实际操作中，仍然存在很多问题亟待解决，比如如何充分考虑用户的出行需求，如何考虑单车的调度成本等等。
三、模型的建立针对共享单车投放点布局与投放量的最优化问题，我们可以建立如下的数学模型。
假设有n个投放点和m个单车，其中每个投放点的需求量和容量为d_i和c_i，每辆单车的调度成本为C。
我们的目标是找到最优的投放点布局和单车投放量，使得用户的出行需求得到满足的尽量减小单车的调度成本。
1.模型假设(1) 假设用户的出行需求服从某个概率分布，比如泊松分布或者正态分布。
(2)假设每个投放点的需求量和容量是已知的，且满足需求量小于容量。
(3) 假设所有投放点之间的距离是已知的，且满足对称性和三角不等式。
(1) 建立共享单车的需求预测模型，通过历史数据分析和统计方法，预测每个投放点的出行需求。
(2) 建立共享单车的调度成本模型，考虑单车的调度距离和调度频率，最小化单车的调度成本。
(3) 建立共享单车的最优化模型，以最小化用户的等待时间和单车的调度成本为目标，通过整数规划或者非线性规划的方法，求解最优的投放点布局和单车投放量。
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建
共享单车投放点布局与投放量的最优化模型构建1. 引言1.1 研究背景。
在当今社会，共享单车已经成为人们出行的便利工具之一。
随着共享单车数量的增加，投放点布局的合理性和投放量的优化问题变得日益突出。
在实际运营中，投放点的布局是否科学合理、投放量是否能够满足用户需求是影响共享单车运营效率的关键因素。
研究背景部分将重点探讨共享单车投放点布局与投放量的最优化问题。
目前，大多数共享单车企业在投放点选址和投放量决策上主要依靠经验和试错，缺乏科学的决策支持。
开展相关研究并构建相应的优化模型具有重要意义。
通过研究投放点布局与投放量的最优化模型，可以为共享单车企业提供科学的决策参考，提高运营效率，降低运营成本，提升用户体验。
这也有助于更好地理解共享单车运营的机理和规律，推动共享经济的发展，促进城市可持续发展。
研究共享单车投放点布局与投放量的最优化模型具有重要的理论和实际意义。
1.2 研究意义通过优化共享单车投放点布局，可以有效提高共享单车系统的服务水平。
合理的投放点布局能够使用户更方便地找到共享单车、减少用户等待时间，提高用户的出行满意度。
优化布局还能够降低系统运营成本，减少共享单车投放与回收的空驶率，提高共享单车的使用效率。
通过优化共享单车投放量，可以有效提高共享单车系统的利用率和经济性。
合理的投放量可以使共享单车系统在高峰时段有足够的单车供应，满足用户需求；在低峰时段又能够减少系统资源浪费。
通过调整投放量还可以实现共享单车系统的收益最大化，提高系统的经济效益。
研究共享单车投放点布局与投放量的最优化模型，不仅可以优化共享单车系统的运营效率和服务质量，还可以降低系统的运营成本和资源浪费。
这对于改善城市居民的出行体验，提升城市交通运输系统的智能化水平具有重要意义。
通过构建有效的优化模型来指导共享单车系统的投放点布局和投放量管理，将能够为城市交通运输领域的发展提供有益的参考和借鉴。
1.3 研究目的研究目的是通过构建共享单车投放点布局与投放量的最优化模型，实现对城市共享单车系统的优化管理。
多目标最优化模型
第六章最优化数学模型§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念1. 2最优化问题分类1. 3最优化问题数学模型§ 2经典最优化方法2. 1无约束条件极值2. 2等式约束条件极值2. 3不等式约束条件极值§ 3线性规划3. 1线性规划3. 2整数规划§ 4最优化问题数值算法4. 1直接搜索法4. 2梯度法4. 3罚函数法§ 5多目标优化问题5. 1多目标优化问题5. 2单目标化解法5. 3多重优化解法5. 4目标关联函数解法5. 5投资收益风险问题第八早最优化冋题数学模§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为X1,X2, ,X n ；我们常常也用X =（X1,X2，…，X n）表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时, 这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 g j (X)=o, i =1,2- ,m 不等式约束条件hj(X) _o,i =12…,r 或 h j (X)乞 0,i =1,2,…,r注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不 等式约束条件h(X) 0或h(X)：：：0。
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤可以分为以下几个步骤：
1. 指定目标函数：首先需要明确最优化问题的目标函数，即要优化的量。
这个函数通常是与实际问题相关的一些指标，例如成本、收益、效率等等。
2. 确定决策变量：在确定目标函数后，需要确定决策变量，即可以控制或调整的参数或变量。
这些变量的取值可以影响目标函数的值，因此需要选择最优的取值。
3. 建立约束条件：除了目标函数和决策变量外，还需要考虑一些约束条件。
这些约束条件通常是实际问题的限制条件，例如资源限制、技术限制、法规限制等等。
4. 建立数学模型：将目标函数、决策变量和约束条件用数学语言表达出来，建立数学模型。
这个模型通常是一个优化问题的数学表示形式，可以使用线性规划、非线性规划、整数规划等方法进行求解。
5. 求解最优解：根据建立的数学模型，使用相应的优化方法求解最优解。
这个最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
6. 验证和分析：最后需要对求解结果进行验证和分析，看看是否符合实际需求，是否满足实际约束条件等等。
如果结果不满足要求，需要重新调整模型或重新选择优化方法进行求解。
以上是最优化问题的数学建模步骤，通过这些步骤可以将实际问题转化为数学问题，并使用数学方法进行求解，得到最优的决策方案。
个 体 决 策
第三，有助于人们从不完全的情报中获 取重要的变化信息；
第四，有助于人们形成决心，作出果断 而大胆的选择。
个体决策的局限性主要体现在两个方面： 一方面表现在个体决策所需的社会条件难以 充分具备，其具体表现是社会难以找到杰出 的个体决策者，那些具备条件的个人又不一 定能成为掌握权力的个人决策者；另一方面 表现在决策者受到个人的经验、知识和能力 的限制。
二、个体决策和知觉的关系
组织中的个体都要作出决策。个体的决策 成为组织行为中非常重要的一部分。但是组织 中的个体如何决策，他们最终作出的选择质量 如何，在很大程度上受到知觉的影响。
决策是对于问题的反应，由于事件的当前 状态与期望状态之间存在着差距，因而要求个 体考虑几种不同的活动进程。
另外，任何一个决策都需要对信息进行解 释与评估。我们的资料一般都来自于多种渠道。 需要对它们进行过渡、加工和解释。
组织行为学
个体决策
一、个体决策的概述
个体决策是指决策机构的主要领导成员 通过个人决定的方式，按照个人的判断力、 知识、经验和意志所作出的决策。个体决策 一般用于日常工作中程序化的决策和管理者 职责范围内的事情的决策。
个体决策是组织决策本身的一部分。个 体决策主要靠个人的价值观、知识、经验以 及个人所掌握的情报信息去进行决策。在一 个组织内，个体决策所涉及到的主要问题是， 个人是否愿意对组织作出贡献，贡献个人努 力的程度如何？这种决策行为决策着个人是 否是、或者是否继续是该组织的贡献者。
个体决策具有一定的合理性和局限性。
个体决策具有合理性，是因为它具有简便、 迅速、责任明确的特点。科学意义上的个体 决策，是领导者在集中多数人的正确意见， 经过反复思考后作出的，它并不意味着不负 责任的独断专行。个体决策有如下优点：
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
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（二）规划模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有
一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
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规划模型的一般意义
（一）规划模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f(x) x(x1,x2,x3,..xn .), 在约束条件 hi(x)0,i1,2,..m ..,
和 g i(x ) 0 (g i(x ) 0 )i ,1 ,2 ,.p ...,
❖ 1.第6周周六：规划模型、案例及软件求解（王义康） ❖ 2.第7周周六：统计回归模型及软件求解（刘学艺） ❖ 3.第8周周日：微分方程模型及软件求解（尚绪凤） ❖ 4.第10周周六：多元统计模型及软件求解（沈进东） ❖ 5.第11周周日：排队论模型及蒙特卡洛模拟（柴中林） ❖ 6.第12周周六：网络优化模型及案例分析（赵承业）
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上机地点：求中502，503；主要提供给没有 电脑的同学使用，并请自备U盘，有电脑的同学也可 选择到机房或在宿舍里自行完成，我们需要的是过 程，更重要的是实效，因此请每个人都自觉完成。
机房开放时间：每周周六下午、晚上；周 日全天；上午：8：30～11：30 下午1：30～16：30， 晚：18：00～21：00
历届竞赛赛题基本解法
97A零件的参数设计 97B截断切割的最优排列 98A一类投资组合问题 98B灾情巡视的最佳路线 99A自动化车床管理 99B钻井布局 00A DNA序列分类 00B钢管订购和运输
非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论 模式识别、Fisher判别、人工神经网络 组合优化、运输问题
个人电脑需要安装的软件：matlab, lingo, spss等,其中word里要把公式编辑器装上，或装上 mathtype;
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2010 计量数模QQ群：94504719，请大家加 入；其中群共享里可以下载到每次课的课件；另外 有问题也可以在里面询问，讨论，这是一个大家共 同探讨心声的地方。
2010年7月中旬 cumcm集训第一 阶段（3 weeks）
2010年8月下旬 cumcm集训第二
阶段（15d）
2010年9月中旬 cumcm华山论剑
2010年11月 mcm&icm集训
第一阶段
2011年1月 mcm&icm集训
第二阶段
2011年2月 mcm&icm 武林大会
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本次提高班的具体安排
提高班将在5月底结束，根据个人意愿、提 高班表现、校赛成绩等择优选拔120人左右进入暑假 全国大学生数学建模竞赛集训队，根据集训效果再 选拔约100人左右参加全国比赛，本部组队25支左右， 其中现科单独组队5～8支。
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我们的数模之旅。。。
2010年 4月启
程
2010年5月底 jlmcm小试牛刀
如何来分配有限资源，从而达到人们期 望目标的优化分配数学模型. 它在数学建模中 处于中心的地位. 这类问题一般可以归结为数 学规划模型.规划模型的应用极其广泛，其作用 已为越来越多的人所重视.
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一
类数学模型. 从92-09年全国大学生数模竞赛试 题的解题方法统赛赛题基本解法
01A血管三维重建 01B 工交车调度问题 02A车灯线光源的优化 02B彩票问题 03A SARS的传播 03B 露天矿生产的车辆安排 04A奥运会临时超市网点设计 04B电力市场的输电阻塞管理
曲线拟合、曲面重建 多目标规划 非线性规划 单目标决策 微分方程、差分方程 整数规划、运输问题 统计分析、数据处理、优化 数据拟合、优化
第二届中国计量学院数学建模竞赛（5.24～ 5.31）
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历届竞赛赛题基本解法
赛题 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94B锁具装箱问题 95A飞行管理问题 95B 天 车 与 冶 炼 炉 的 作 业 调 度96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机
解法 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
下的最大值或最小值，其中
x f (x)
决策变量 目标函数
x
可行精域品课件
m oim r nu ( af( x x )x ) s.t. h i(x )0 ,i 1 ,2 ,.m ...,
g i(x ) 0 (g i(x ) 0 )i ,1 ,2 ,.p ...,
s. t. subjetcot “受约束于”之
历届竞赛赛题基本解法
05A 长江水质的评价和预测 05B DVD在线租赁 06A 出版社的资源配置 06B 艾滋病疗法评价及疗效预测 07A 中国人口增长预测问题 07B 乘公交，看奥运问题
08A 数码相机定位问题 08B 高等教育学费标准探讨
聚类、模糊评判 主成分分析、多目标决策
多目标规划
线性规划、多目标规划 回归 线性规划
微分方程、差分方程
图论、0-1 规划、动态规划
几何、优化 多元回归、多目标优化
规划模型、案例及软件 求解
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一、引言 二、线性规划模型及软件求解 三、整数规划模型 四、0-1规划模型 五、几种常用的线性规划模型 六、多目标规划模型 七、二次规划（暑假） 八、非线性规划模型（暑假）
精品课件
一、引言
华丽的数模之旅开始了
2011/6
精品课件
集训班概况及相关要求
本次数学建模集训班（2011年全国大学生数 学建模竞赛预备班）共有来自全校13个分院328位同 学报名，经过数学建模教练组的认真审查遴选，共 有232名同学进入提高班学习。
提高班将分两个班进行，其中提高班1班，将 采用上午上课，下午上机练习；提高班2采用下午上课， 晚上上机练习方式进行，每周末提高课结束后将会有 适当的练习留给大家，请大家务必在次周周三晚21点 前上交作业电子版，作业提交邮箱，提高班1： jlmcm1@; 提高班2：jlmcm2@，作业以 附件形式提交，文件名：XXX第X次作业