3 建立数学模型方法和步骤

数学模型（0349）
测试分析将研究对象视为一个“黑箱” 系统，内部机理无法直接寻求，可以测量 系统的输入输出数据，并以此为基础运用 统计分析方法，按照事先确定的准则在某 一类模型中选出一个与数据拟合得最好的 模型。这种方法称为系统辨识。将这两种 方法结合起来也是常用的建模方法，即用 机理分析建立模型的结构，用系统辨识确 定模型的参数。
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当由于各种限制利用已有知识难以对 研究对象作出有效的推理和判断时，凭借 相似、类比、猜测、外推等思维方式及不 完整、不连续、不严密的，带启发性的直 觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是 人类创造性思维的特点之一，也是人脑比 按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明 之处。
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1.6 数学模型的特点 和建模能力的培养
我们已经看到建模是利用数学工具解 决实际问题的重要手段。数学模型有许多 优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知 识、经验和各方面的能力，同时应注意掌 握分寸。下面归纳出数学模型的若干特点：
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模型的逼真性和可行性 一般说来总 是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一 个非常逼真的模型在数学上常常是难于处 理的，因而不容易达到通过建模对现实对 象进行分析、预报、决策或者控制的目的， 即实用上不可行。
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模型的局限性 这里有几方面的Leabharlann Baidu义。 第一，由数学模型得到的结论虽然具 有通用性和精确性，但是因为模型是现实 对象简化、理想化的产物，所以一旦将模 型的结论应用于实际问题，就回到了现实 世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑， 于是结论的通用性和精确性只是相对的和 近似的。
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第二，由于人们认识能力和科学技术 包括数学本身发展水平的限制，还有不少 实际问题很难得到有着实用价值的数学模 型。
第三，还有些领域中的问题今天尚未 发展到用建模方法寻求数量规律的阶段。
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在详细分析了建立数学模型的全过程 的数学模型的特点以后，我们看到用建模 方法解决实际问题，首先是用数学语言表 述问题即构造模型，其次才是用数学工具 求解构成的模型。用数学语言表述问题， 包括模型假设、模型构造等，除了要有广 博的知识（包括数学知识和各种实际知识） 和足够的经验之外，特别需要丰富的想象 力和敏锐的洞察力。
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建立数学模型的方法和步骤
一般说来建立数学模型的方法大体上 可分为两大类，一类是机理分析方法，一 类是测试分析方法。
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机理分析是根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系，找出反映内部机理的规 律，建立的模型常有明确的物理或现实意 义。1.2~1.4节的示例都属于机理分析方法。
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模型的强健性 模型的结构和参数常常 是由对象的信息如观测数据确定的，而观 测数据是允许有误差的。一个好的模型应 该具有下述意义的强健性：当观测数据 （或其他信息）有微小改变时，模型结构 和参数只有微小变化，并且一般也应导致 模型求解的结果有微小变化。
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模型的可转移性 模型是现实对象抽象 化、理想化的产物，它不为对象的所属领 域所独有，可以转移到另外的领域。在生 态、经济、社会等领域内建模就常常借用 物理领域中的模型。模型的这种性质显示 了它的应用的极端广泛性。
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类比方法和理想化方法是建模中常用 的方法，它们的运用与想象力、洞察力有 密切关系。
类比法注意到研究对象与已熟悉的另 一对象具有某些共性，比较二者相似之处 以获得对研究对象的新认识。选择什么对 象进行类比，比较哪些相似的属性，在一 定程度上是靠想象进行的。将交通流与水 流比来建立交通流模型是这方面的例子。
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通常，作假设的依据，一是出于对问 题内在规律的认识，二是来自对数据或现 象的分析，也可以是二者的综合。作假设 时既要运用与问题相关的物理、化学、生 物、经济等方面的知识，又要充分发挥想 象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的 主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因 素，尽量将问题线性化、均匀化。经验在 这里也常起重要作用。
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1.7 数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类， 下面介绍常用的几种。
1．按照模型的应用领域分。如人口 模型、交通模型、环境模型、生态模型、 城镇规划模型、水资源模型、再生资源利 用模型、污染模型。范畴更大一些则形成 许多边缘学科如生物数学、医学数学、地 质数学、数量经济学、数学社会学等。
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理想化方法是从观察和经验中通过想 象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其 升华到理想状态，以期更本质地揭示对象 的固有规律。在一定条件下把物体看着质 点，把实际位置看作数学上的点、线等都 是理想化的结果。
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建模过程是一种创造性思维过程，除 了想象、洞察、判断这些属于形象思维、 逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往 往也起着不可忽视的作用。直觉是人们对 新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。 灵感指在人们有意识或下意识思考过程中 迸发出来的猜测、思路或判断。二者都具 有突发性，且思维者本人往往说不清它的 来路和道理。
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模型的非预制性 虽然已经发展了许 多应用广泛的模型，但是实际问题是各种 各样、变化万千的，不可能要求把各种模 型做成预制品供你在建模时使用。模型的 这种非预制性使得建模本身常常是事先没 有答案的问题。在建立新的模型的过程中 甚至会伴随着新的数学方法或数学概念产 生。
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模型检验 把数学上分析的结果翻译回 到实际问题，并用实际的现象、数据与之 比较，检验模型的合理性和适用性。这一 步对于建模的成败是非常重要的，要以严 肃认真的态度来对待。模型检验的结果如 果不符合或者部分不符合实际，问题通常 出在模型假设上，应该修改、补充假设， 重新建模。有些模型要经过几次反复，不 断完善，直到检验结果获得某种程度上的 满意。
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另一方面，越逼真的模型常常越复杂， 即使数学上能处理，这样的模型应用时所 需要的“费用”也相当高，而高“费用” 不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。 所以建模时往往需要在模型的逼真性与可 行性，“费用”与“效益”之间作出折衷 和抉择。
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模型的渐进性 稍微复杂一些的实际 问题的建模通常不可能一次成功，要经过 上一节描述的建模过程的反复迭代，包括 由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来 越满意的模型。在科学发展过程中随着人 们认识和实践能力的提高，各门学科中的 数学模型也存在着一个不断完善或者推陈 出新的过程。
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可以看出，用上面的哪一类方法建 模主要是根据我们对研究对象的了解程 度和建模目的决定的。如果掌握了机理 方面的一定知识，模型也要求具有反映 内部特性的物理意义，那么应该以机理 分析方法为主。当然，若需要模型参数 的具体数值，还可以用系统辨识或其他 统计方法得到。
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想象力指人们在原有知识的基础上， 将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、 重新组合、加工处理，创造出新的形象， 是一种形象思维活动。洞察力指人们在充 分占有资料的基础上，经过初步分析能迅 速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问 题的层次，对可以用哪些方法解决面临的 问题，以及不同方法的优劣作出判断。
如果对象的内部机理基本上不掌握， 模型也不用于分析内部特性，譬如仅用来 作输出预报，则可以系统辨识方法为主。 系统辨识是一门专门学科，需要一定的控 制理论和随机过程方面的知识。以下所谓 建模方法只指机理分析。
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建模要经过哪些步骤并没有一定的 模式，通常与实际问题的性质、建模的目 的等有关，从1.2~1.4节的几个例子也可 以看出这点。下面给出建模的一般步骤， 如下图所示。
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模型假设 根据对象的特征和建模的 目的，对问题进行必要的、合理的简化， 用精确的语言作出假设，可以说是建模的 关键一步。一般地说，一个实际问题不经 过简化假设，就很难翻译成数学问题，即 使可能，也很难求解。不同的简化假设会 得到不同的模型。
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假设作得不合理或过份简单，会导 致模型失败或部分失败，于是应该修改 和补充假设；假设作得过分详细，试图 把复杂对象的各方面因素都考虑进去， 可能使你很难甚至无法继续下一步的工 作。
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模型求解 可以采用解方程、画 图形、证明定理、逻辑运算、数值计 算等各种传统的和近代的数学方法， 特别是计算机技术。
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模型分析 对模型解答进行数学上的 分析，有时要根据问题的性质分析变量间 的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得 结果给出数学上的预报，有时则可能要给 出数学上的最优决策或控制。不论哪种情 况还常常需要进行误差分析、模型对数据 的稳定性或灵敏性分析等。
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模型构成 根据所作的假设分析对象的 因果关系，利用对象的内在规律和适当的 数学工具，构造各个量（常量和变量）之 间的等式（或不等式）关系或其他数学结 构。这里除需要一些相关学科的专门知识 外，还常常需要较广阔的应用数学方面的 知识，以开拓思路。
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当然不能要求对数学学科门门精通， 而是要知道这些学科能解决哪一类问题以 及大体上怎样解决。相似类比法，即根据 不同对象的某些相似性，借用已知领域的 数学模型，也是构造模型的一种方法。建 模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简 单的数学工具，因为你建立的模型总是希 望能有更多的人了解和使用，而不是只供 少数专家欣赏。
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模型应用 应用的方式自然取决 于问题的性质和建模的目的，这方面 的内容不是本书讨论的范围。
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应当指出，并不是所有建模过 程都要经过这些步骤，有时各步骤 之间的界限也不那么分明。建模时 不应拘泥于形式上的按部就班，本 书的建模实例就采取了灵活的表达 方式。
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2．按照建立模型的数学方法分。如 初等数学模型、几何模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、规划论模型等。
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按第一种方法分类的数学模型教科书 中，着重于某一专门领域中用不同方法建 立模型，而按第二种方法分类的书里，是 用属于不同领域的现成的数学模型来解释 某种数学技巧的应用。在本书中我们要兼 顾这两个方面，重点放在如何应用读者已 具备的基本数学知识在各个不同领域中建 模。
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模型准备 模型检验 模型应用
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
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模型准备 首先要了解问题实际背景， 明确建模的目的，搜集建模必需的各种信 息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征， 由此初步确定用哪一类模型，总之是做好 建模的准备工作。情况明才能方法对，这 一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从 事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手 资料。
模型的条理性 从建模的角度考虑问题 可以促使人们对现实对象的分析更全面、 更深入、更具条理性，这样即使建立的模 型由于种种原因尚未达到实用的程度，对 问题的研究也是有利的。
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模型的技艺性 建模的方法与其他一些 数学方法如方程解法、规划解法等是根本 不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建 模准则和技巧。有人说，建模目前与其说 是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺 性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、 判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起 的作用往往比一些具体的数学知识更大。
前面说过，建模可以看成一门艺术。艺术在 某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的。一 名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教， 更需要亲身的实践。类似地，掌握建模这门艺术， 培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人 做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题 目。后者是更为重要的。为了这个目的本书采用 实例研究方法。一方面给出在各个应用领域不同 数学方法建模的大量实例，另一方面通过习题提 供若干实际题目让读者自己练习。