大学概率论习题五详解

正文：

概率论习题五详解

1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有

()2

εεDX

EX X P ≤

≥-

证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则

()()∑≥

-==≥-ε

εEX x i

i x X P

EX X P ()i

EX x i p EX x i ∑≥

--≤εε2

2

()i

i

i p EX x ∑

-≤2

2ε=2

εDX

2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切

比雪夫不等式证明：

()12

16≤

≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E

()1,cov ==DXDY Y X ρ

()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D

()()()()()12

1

6662=

-≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率

不超过0.01？

解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得

01.004.05.05.004.05.02≤⨯⨯≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025

.02

=⨯≥n

即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。

4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？

解 (1)由切比雪夫不等式 ()

2

1ε

εDX

EX X P -

≥<- ()0>ε

又 ()()()101090709070

≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P

=()75.0100

25

11080=-≥≤-X P

即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%

(2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成

绩为∑==n i i X n X 11，又8011==∑=n

i i EX n X E , n

DX n X D 251==

则由切比雪夫不等式可得：()()

n

n n X P X P 1

525

1

158085752-=⨯-≥≤-=≤≤

要使上述要求不低于90%，只需9.01

≥-n

n ，解得10≥n ，即有10个以上的学生参加考试，就

可以达到要求。

5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数()01.0,800~B X ，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。

解 ()()i i i i C X P X P -=∑

-

=≤-=>8008002

99.001.01212

在二项分布表（附表1）中不能查出。8=np ，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X 近似

~()92.7,8N ,

()()()9834

.0132.2132.292.781212=Φ=⎪

⎭⎫

⎝⎛-≤--≈≤-=>X P X P X P

6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X 超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

解 (1)以i X ()400...2,1=i 表示第i 个学生来参加会议的家长数，则i X 的分布律为:

所以1.1=i EX ，=i DX ， 而∑==

400

1

i i

X

X

由中心极限定理知：()76,440~N X 近似

()()1257.0147.11450=Φ-≈>X P

(2)以Y 表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则()8.0,400~B Y

由中心极限定理知：()64,320~N Y 近似

则()()9938.05.2340=Φ≈≤Y P

7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？

解 设i X 为射手第i 次射击的得分，则有

且∑==

100

1

i i

X

X ， 15.9=i EX ，95.842

=EX ，2275.1=DX

由中心极限定理得：

()0008.0159.312275.110091595019501001=Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-Φ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑=i i X P

8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？

解 依题意，10000件产品中不合格品数()005.0,10000~B X ，由50=np ，()51>-p n ，故可用二项分布的正态近似，所求概率为

()()()9977.08355.2005.0150507070=Φ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ≈≤X P 9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100

只合格品的概率不小于0.95？

解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X ，则有()99.0,~n B X ，该题要求n ，使得下述概率不等式成立。

()95.0100≥≥X P 或()05.0100<

利用二项分布的正态近似，可得：()645.105.00099.099.0100-Φ=<⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φn n

因此，n n 0099.0645.199.0100-<- 解得，19.103>n

这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。

（B ）

1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。

解：依题意，可建立如下概率不等式

()

95.01.0≥<-'P P P

其中P 是这实际的次品率，如抽取n 个产品则次品的频率n

x x x P n

...21++='，由中心极限

定理，P '近似服从正态分布：

()()()()n n P P P N /P 1P ,0N ~P P /1,--'-或

从而有 ()975.0295

.0111.0=+≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ΦP P n 查表可得 ：

()

96.111.0≥-P P n

或()P P n -≥16.19

由于P 未知，只得放大抽检量，用1/2代替 ()P P -1 ，可得：8.9≥n

96≥n ，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于

0.95。

2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率α．

解 记n ν——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则n ν服从二项分布，参数为n =200，