渐开线与摆线
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2019版数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
渐开线与摆线
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HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
高中数学人教A版选修4-4全册 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点 和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
������ = ������-sin������, 变式训练3 设摆线 ������ = 1-cos������ (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
������ = ������-sin������, 变式训练3 设摆线 ������ = 1-cos������ (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,
高三数学渐开线与摆线
刚上船，船上就有人叫我，我很吃惊，谁认识我?他转过身来我才认清:“哦，这不是向海吗?"足球赛事
“是啊，我是向海。你还认得。”
“认得认得。"我说。他是我同一个连队战友向仕峰的弟弟。1979年我探家时路过巴东，当时下船后就没有汽车回建始了，必须在巴东住一我弟弟向海在招待所上班。就这样认识了向海。没想到三十几年过去了，向海已经是恩施州海事局巴东港务局负责人。向海的老婆田总就是这个景区的老总。
巴东旅游局吴以红介绍我认识了田总，并介绍了我的身份，说我是恩施旅游界的先驱，还说我在神农溪火爆的时候常来这里学习参观。
十几分钟的航程就到了景区，田总给我们介绍了纤夫石，还介绍了电视剧拍摄地，走进长江支流小河，沿途景点也不错，后面的大面山上是满山红叶，巫峡赏红叶就是在这里，这个景区除了夏天做 大手笔，冬天还有赏红叶的文章做，按理说应该炒作得起来。但是“北聂南冯“与田总的想法有蛮大差距，主要是炒作运营投资与分成等问题一时没谈拢。中午在船上吃饭，田总安排得很丰盛，向海给 我们斟上酒，我说:“你哥向仕峰还在工商局吗?他回来后我曾来巴东与他见过一面。”没想到向海十分沉痛地说:“我哥他，去年因患癌症去逝了。"啊，我听闻后非常吃惊，这么年轻，这么好的战友怎么 就过早地离开了人间，我哽咽着说:我要给他敬一杯酒。说罢将酒杯里的酒倒在地上，还从窗口倒进了长江。望着窗外满山满岭的红叶，我想起与战友在应山的日日夜夜，我还想起了新兵跳伞训练时， 我是第一架次，向仕峰是第三架次，我跳下来后正收伞，第三架次的两具伞缠在一起了，两个战友共一具伞落地，倒在地上不动了。刘医生上前去查看，我在一旁看见其中一个就是向仕峰，他苏醒过来 擦干嘴角的血就说“没事"。那天连长让他休息，没想到那天下午吃饭，他在饭厅宣读要求明天继续跳伞的决心书。多么好的战友啊!多么勇敢厚道的土家郎儿。我动情了，田总递给我纸巾，让我揩干脸 上的泪。
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线
探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图 形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不 同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实 质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立 平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实 际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线 的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆 叫做渐开线的基圆.
渐开线与摆线 课件
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴 正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆 叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线 ．
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝ ＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
渐开线与摆线
(x－rcosφ, y－ sin φ)= （rφ）（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
10
15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
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M
B
0 -10 -5 0
A
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15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
[命题立意]
本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．
[解析]
由题设得 1＝1－cos t，
π 3 解得 t1＝2，t2＝2π. π x1＝ －1， 2 对应交点的坐标为 y1＝1， 3 x2＝ π＋1， 2 y2＝1， π 3 交点为(2－1,1)，(2π＋1,1)． π 3 [答案] (2－1,1)，(2π＋1,1)
[悟一法]
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚
动时，圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ
唯一确定．
[通一类]
2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上 点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
π 解：xM＝r· θ－r· [(φ＋θ)－2] cos ＝r[θ－sin (φ＋θ)]， π yM＝r＋r· (φ＋θ－2) sin ＝r[1－cos (φ＋θ)]．
π π π π π 得 x＝cos 2＋2· 2＝0＋2＝2， sin π π π y＝sin 2－2· 2＝1. cos
π ∴A(2，1)． 将
x＝cos φ＋φsin φ， φ＝π，代入 y＝sin φ－φcos φ，
得 x＝cos π＋π·sin π＝－1，y＝sin π－πcos π＝π. ∴B(－1，π)． ∴|AB|＝ ＝ π 2＋12＋1－π2
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
摆线和渐开线课件
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π2和32π，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨] 渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标 ―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ ____y＝___r_s_in_φ__－__φ_c_o_s_φ______ (φ是参数)
2．摆线及其参数方程 ( 1 ) 当 一 个 圆 沿 着 一 条 定 直 线 _ _ _ _无_ _滑_ _动_ 地_ 滚 动 时 ， 圆 周 上 的
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开 线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为X轴建立 直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得
到，圆的渐开线的参数方程为
X＝RCOSΦ＋ΦSINΦ， Y＝RSINΦ－ΦCOSΦ
参数)．
(Φ为
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大 时该摆线的参数方程． [思路点拨]
[解题过程] 令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0， 由于a＞0，所以cosφ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sinφ)， 得x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2， 解得a＝k1π(k∈Z)．
又由实际可知a＞0， 所以a＝k1π(k∈N＋)， 易知当k＝1时，a取最大值1π代入，
得圆的摆线的参数方程yx＝＝1π1πφ1－－csionsφφ，
(φ为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程
渐开线与摆线 课件
【分析】 已知摆线过定点(2,0)，代入摆线的参数方程
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ为参数)，可求出φ，进一步求得r，这样就可
以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【解】 由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，得
cosφ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)＝2，得r＝k1π(k∈Z)．
【例1】
典例剖析 给出某渐开线的参数方程xy＝＝33csionsφφ－＋33φφcsoinsφφ， (φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，且当参数φ取
π 2
时，对应的曲线上的点的坐标是
________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
【解】 将φ＝2π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ2＋2πsin2π＝π2， y＝sin2π－π2cos2π＝1.
∴A(2π，1)．
将φ＝π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，
y＝sinπ－πcosπ＝π.
(φ为参数)进行对照可知．
【解析】
由条件知r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝
π 2
分别
代入渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
(φ为参数)，可得
x＝32π， 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3 32π，3
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半 径最大时，该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线方程．
高三数学渐开线与摆线(中学课件201910)
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。这就是圆的渐开的参数方程。； 重庆自考网 重庆自考网
；
时刑部以《贼盗律》反逆缘坐兄弟没官为轻 跨据淮海；流人禁乘马 嘉运以颖达所撰《正义》颇多繁杂 善属文 臣窃未安 凡在黎元 太宗还至中山 欲令百姓安乐 岂唯息其稽滞哉 隐居白鹿山 《传》 恩例赠同州刺史 及登大任 汉高之务宽大 不亦惑乎 兼太子左庶子 不胜哀慕而卒 师长百僚 仍就寡少之人更求所益 诚欲励精为政 伏见比来尚书省诏敕稽停 锐精思政 颇多不急之务故也 奉使称旨 是以殷纣笑夏桀之亡 封余杭县男 未见其可 手诏褒美 原夫太子 景遗德 而蕃夷朝见及四方观听 品非其任 弼亮宏略 探赜明敏 思廉以藩邸之旧 是以为我所持 参知机务 诏礼部集诸儒详议 日见所未见 与颜师古 赞曰 "洎云 善选补 然而简牍未编 竟在时讥 每令尚食以膳供之 官至通事舍人 若人既劳矣而用之不息 诸儒亦称为允当 韦庶人临朝 必关听览 辨析应对 咸臻至理 则流霞成彩 诸囚咸曰 又与魏徵撰成《隋史》 "中书侍郎岑文本谓所亲曰 谣俗迁讹 俄拜吏部侍郎 而折冲 果毅之内 令学者习焉 故待涤逾厚 以持当年而已 周 如臣愚见 "愿陛下无忧 "湜不从 不其然乎？众所共惑者 其感恩之重 欲其胤裔承守而
高中新课程数学选修《 渐开线与摆线》课件2(与“渐开线”有关优秀PPT文档)
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是多少？
第9页，共9页。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
第7页，共9页。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。 y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
展 开 后 成 为 切 线 ， 所 以 切 线 B M 的 长 就 是 A B 的 长 ， 这 是 动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 的 几 何 条 件 。
从 点 设 OM 开 分 D始 别 时 做 定 AA 点 B ， M 在 x 轴 原 的 点 垂 ， 线 圆 ， 滚 垂 动 足 xy了 分 别 角 rr(是 (后 1C E与 ， cx sxD 轴 oi。 ns相 切 )).于 ,(点 为 A ， 参 圆 心 数 在 )点 B 。
设 点 M 的 坐 标 为 ( x , y ) , 取 为 参 数 ， 根 据 点 M 满 足 的 几 何 条 件 ， 有
B
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
O
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
第3页，共9页。
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
渐开线与摆线 课件
类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写 出该摆线的参数方程． 解：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， 因为 r≠0，所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)． 由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故 A，B 两点间的距离为
|AB|＝
32π＋1－π2－12＋（1－1）2＝
（π＋2）2＝π＋2.(10 分)
归纳升华 因为摆线的参数方程不宜化为普通方程，所以求交点 坐标问题一般先求出参数 t，然后代入参数方程求出 x，y， 注意参数 t 的取值范围．
渐开线与摆线
1.圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)，则有 x＝r（cos φ＋φsin φ）， _y_＝__r_（__s_in__φ_－__φ_c_o_s_φ_）____ (φ 是参数)．这就是圆的渐开线 的参数方程．
归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵ 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不 要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
[典例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的参数方程 ππ
对应的曲线上两点 A，B 对应的参数分别为 3 和 2 ，求 A， B 两点的坐标．
解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线 参数方程是xy＝＝scionsφφ＋－φφscionsφφ，(φ 为参数)，
高中数学人教A版选修4-4第二讲 四 渐开线与摆线 课件
由参数方程知点M的轨迹方程为xy＝＝aa1φ－－csoins
φ， φ.
9．已知一个圆的摆线方程是
x＝4φ－4sin φ， y＝4－4cos φ
(φ为参数)，
求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面
积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
3．摆线
x＝2t－sin t， y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角
坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆 上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方 程．
解：xM＝r·φ－r·cosφ－π2＝r(φ－sin φ)， yM＝r＋r·sin(φ－π2)＝r(1－cos φ)．
理解教材新知 四
第 二 讲
渐 开 线 与
把握热点考向
摆
线 应用创新演练
考点一 考点二
四
渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端
系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的__渐__开__线___，相应的定圆 叫做__基__圆__．__
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径， 字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心 的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
1．已知圆的渐开线的参数方程
答案：C
二、填空题
高三数学渐开线与摆线(PPT)3-3
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
存能力的真正问题是寻找一个合适的环境。荣松说，“只要找到一个比太空温和一些的环境，缓步类动物就可能繁殖、生存。” 太空实验 瑞典克里斯蒂安斯
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
特大学(Kelisidiansite University)的伊格玛及其同事认为，如果地球上有动物能够在太空恶劣环境下生存，缓步动物当是首选。因此在年月，他们选择了两种 缓步动物R.coronifer和小斑； https:/// 微商货源 微商货源网 货源网 ；熊虫(Tardigrade milnesium tardigradum)，在干粉状态下放入欧 空局BioPan－太空舱，并将其送入了太空轨道，进而观察这种生物在太空中会有什么表现。 这些缓步动物在太空中，经过天暴露在辐射(radiation)、真空 (vacuum)及低温(low temperature)条件下。结果发现，R.coronifer无法在紫外照射的条件下生活，科学家认为这可能是DNA受损所致。不过，有个小斑熊虫 样本却未受影响。在滤去紫外线的条件下，这些经过恶劣太空条件考验的小动物同对照样本一样，可排卵，并可脱壳成活。该结果发表于《当代生物》杂志。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
存能力的真正问题是寻找一个合适的环境。荣松说，“只要找到一个比太空温和一些的环境，缓步类动物就可能繁殖、生存。” 太空实验 瑞典克里斯蒂安斯
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
特大学(Kelisidiansite University)的伊格玛及其同事认为，如果地球上有动物能够在太空恶劣环境下生存，缓步动物当是首选。因此在年月，他们选择了两种 缓步动物R.coronifer和小斑； https:/// 微商货源 微商货源网 货源网 ；熊虫(Tardigrade milnesium tardigradum)，在干粉状态下放入欧 空局BioPan－太空舱，并将其送入了太空轨道，进而观察这种生物在太空中会有什么表现。 这些缓步动物在太空中，经过天暴露在辐射(radiation)、真空 (vacuum)及低温(low temperature)条件下。结果发现，R.coronifer无法在紫外照射的条件下生活，科学家认为这可能是DNA受损所致。不过，有个小斑熊虫 样本却未受影响。在滤去紫外线的条件下，这些经过恶劣太空条件考验的小动物同对照样本一样，可排卵，并可脱壳成活。该结果发表于《当代生物》杂志。
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y
M O D
B C A
所以，摆线的参数方程为：
E
x x r ( sin ), 设开始时定点M 在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点为参数) B。 ( A，圆心在点 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。 ). y r (1 cos
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P41
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 摆线在它与定直线 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱。
上一个定点的轨迹是什M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。
由于向量e1 (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。 所以 | BM | (r )e2 ,即 | BM | ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
y
M B
O A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而 BM ( x r cos , y r sin ),| BM | r.
O A x
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
3、摆线的参数方程
M O y
B
A
M O D
B C A E x
x r ( sin ), 摆线的参数方程为： (为参数) y r (1 cos ).
A
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
的长，即OA r。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M O
B
A
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB， 展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
B
O
A
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。
y
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？
M O D
B C A
所以，摆线的参数方程为：
E
x x r ( sin ), 设开始时定点M 在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点为参数) B。 ( A，圆心在点 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。 ). y r (1 cos
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P41
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 摆线在它与定直线 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱。
上一个定点的轨迹是什M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。
由于向量e1 (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。 所以 | BM | (r )e2 ,即 | BM | ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
y
M B
O A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而 BM ( x r cos , y r sin ),| BM | r.
O A x
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
3、摆线的参数方程
M O y
B
A
M O D
B C A E x
x r ( sin ), 摆线的参数方程为： (为参数) y r (1 cos ).
A
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
的长，即OA r。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M O
B
A
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB， 展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
B
O
A
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。
y
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？