高中数学渐开线与摆线
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高三数学渐开线与摆线(共8张PPT)
B 所以，摆线的参数方程为：
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
选修4-4高中数学课件4.渐开线与摆线
E x
第 3、4 题.
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在 轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求 点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐 标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则 OA 等于滚动 j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, 设点 M 的坐标为 (x, y), 则 x=OD =OA-DA =aj-MC=aj-bsinj, y=DM =AB-CB =a-bcosj,
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在 轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求 点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐 标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则点 OA j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, ∴ M等于滚动 的轨迹方程为 设点 的坐标为 =a j - bsinj ,(x, y), xM (a jj为参数 )j-bsinj, = 则x OD = OA DA = MC = a y = a - bcosj . y=DM =AB-CB =a-bcosj,
一 曲线的参数方程
二 圆锥曲线的参数方程
三 直线的参数方程
四 渐开线与摆线
1. 渐形线是怎样的图形? 怎样建立 它的方程?
2. 摆线是怎样产生的? 怎样建立摆 线的方程?
1. 渐开线
问题 1. 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上, 在绳的外端系上一支铅笔, 将绳子拉紧绕圆盘回放绳 子, 将画出一条什么样的曲线? 你能建立适当的坐标 系写出这条曲线的方程吗?
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线
探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图 形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不 同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实 质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立 平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实 际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线 的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆 叫做渐开线的基圆.
四、渐开线与摆线
记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
渐开线与摆线
4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
渐开线与摆线
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， 展开A B后成为切线BM，所以切线BM的 长就是 的长，AB 我们把笔尖画出的 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O
10
原点，直线OA
为x轴建立平
5
M
面直角坐标系
B
0
设基圆的半径 -10
-5
0
A5
10
15
20
为r，点M的坐
-5
标（x,y)由φ
惟一决定。
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,sin φ),设e1是与 OB同向的单位向量， 从而向量e1= (rcosφ,sin φ),设e2是与 同 BM 向的单位向量，所以 B=M（rφ）e2，同时 = (BxM－rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 = （ sin φ, －cosφ)
，
42
时，求出渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
渐开线与摆线
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， 展开A B后成为切线BM，所以切线BM的 长就是 的长，AB 我们把笔尖画出的 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O
10
原点，直线OA
为x轴建立平
5
M
面直角坐标系
B
0
设基圆的半径 -10
-5
0
A5
10
15
20
为r，点M的坐
-5
标（x,y)由φ
惟一决定。
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,sin φ),设e1是与 OB同向的单位向量， 从而向量e1= (rcosφ,sin φ),设e2是与 同 BM 向的单位向量，所以 B=M（rφ）e2，同时 = (BxM－rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 = （ sin φ, －cosφ)
，
42
时，求出渐开线
渐开线与摆线 课件
【分析】 已知摆线过定点(2,0)，代入摆线的参数方程
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ为参数)，可求出φ，进一步求得r，这样就可
以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【解】 由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，得
cosφ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)＝2，得r＝k1π(k∈Z)．
【例1】
典例剖析 给出某渐开线的参数方程xy＝＝33csionsφφ－＋33φφcsoinsφφ， (φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，且当参数φ取
π 2
时，对应的曲线上的点的坐标是
________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
【解】 将φ＝2π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ2＋2πsin2π＝π2， y＝sin2π－π2cos2π＝1.
∴A(2π，1)．
将φ＝π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，
y＝sinπ－πcosπ＝π.
(φ为参数)进行对照可知．
【解析】
由条件知r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝
π 2
分别
代入渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
(φ为参数)，可得
x＝32π， 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3 32π，3
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半 径最大时，该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线方程．
高三数学渐开线与摆线(2019新)
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，
展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
； / 广东11选5走势图_广东11选5五码分布走势图 ；
科技 对此一概搬用生女真旧制 当时“内而省部 隔年又至应昌 历经战乱与复苏都有发展 ?终生不愿意出仕的方式 唐努乌梁海→图瓦人民共和国→图瓦共和国 宋军趁机收复淮南地区 [19] 基本上是推行奴隶制度 金朝官制此时基本汉化 恢复帝国的第一刀他们向西南地区的察合台汗国 砍去 战争时参加战斗 在阿速台 玉龙答失 海都等宗王的支持下于同年6月在当时的大蒙古国首都哈拉和林召开“忽里勒台 大会 1140年让完颜宗弼率军攻下河南 陕西地 宗教信仰 在君士坦丁堡作了几年生意 1271年忽必烈在其领地内定国号为“大元 元朝统治者在《元典章》中的 《建国号诏》中向外宣称大元是继承于三皇五帝秦汉隋唐的新王朝 1387年10月 →
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，
展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
； / 广东11选5走势图_广东11选5五码分布走势图 ；
科技 对此一概搬用生女真旧制 当时“内而省部 隔年又至应昌 历经战乱与复苏都有发展 ?终生不愿意出仕的方式 唐努乌梁海→图瓦人民共和国→图瓦共和国 宋军趁机收复淮南地区 [19] 基本上是推行奴隶制度 金朝官制此时基本汉化 恢复帝国的第一刀他们向西南地区的察合台汗国 砍去 战争时参加战斗 在阿速台 玉龙答失 海都等宗王的支持下于同年6月在当时的大蒙古国首都哈拉和林召开“忽里勒台 大会 1140年让完颜宗弼率军攻下河南 陕西地 宗教信仰 在君士坦丁堡作了几年生意 1271年忽必烈在其领地内定国号为“大元 元朝统治者在《元典章》中的 《建国号诏》中向外宣称大元是继承于三皇五帝秦汉隋唐的新王朝 1387年10月 →
高考数学平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线
自主预习
讲练互动
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
课堂达标
题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教a选
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 2
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
半径为
r
的渐开线的参数方程
������ ������
= =
������������((csions������������-���+���c���o���ss���in���)������),(φ
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
33((csions������������-���+���c���o���ss���i���n)���,���),所以基圆半径
r=3.
把 φ=π2代入方程,可得
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的
曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.
第2讲2.4渐开线与摆线
因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆 线 . 也叫旋 轮 线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)， 【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二 渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】 要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义， 能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)， 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应 的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．
高三数学渐开线与摆线(PPT)3-3
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
存能力的真正问题是寻找一个合适的环境。荣松说，“只要找到一个比太空温和一些的环境，缓步类动物就可能繁殖、生存。” 太空实验 瑞典克里斯蒂安斯
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
特大学(Kelisidiansite University)的伊格玛及其同事认为，如果地球上有动物能够在太空恶劣环境下生存，缓步动物当是首选。因此在年月，他们选择了两种 缓步动物R.coronifer和小斑； https:/// 微商货源 微商货源网 货源网 ；熊虫(Tardigrade milnesium tardigradum)，在干粉状态下放入欧 空局BioPan－太空舱，并将其送入了太空轨道，进而观察这种生物在太空中会有什么表现。 这些缓步动物在太空中，经过天暴露在辐射(radiation)、真空 (vacuum)及低温(low temperature)条件下。结果发现，R.coronifer无法在紫外照射的条件下生活，科学家认为这可能是DNA受损所致。不过，有个小斑熊虫 样本却未受影响。在滤去紫外线的条件下，这些经过恶劣太空条件考验的小动物同对照样本一样，可排卵，并可脱壳成活。该结果发表于《当代生物》杂志。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
存能力的真正问题是寻找一个合适的环境。荣松说，“只要找到一个比太空温和一些的环境，缓步类动物就可能繁殖、生存。” 太空实验 瑞典克里斯蒂安斯
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
特大学(Kelisidiansite University)的伊格玛及其同事认为，如果地球上有动物能够在太空恶劣环境下生存，缓步动物当是首选。因此在年月，他们选择了两种 缓步动物R.coronifer和小斑； https:/// 微商货源 微商货源网 货源网 ；熊虫(Tardigrade milnesium tardigradum)，在干粉状态下放入欧 空局BioPan－太空舱，并将其送入了太空轨道，进而观察这种生物在太空中会有什么表现。 这些缓步动物在太空中，经过天暴露在辐射(radiation)、真空 (vacuum)及低温(low temperature)条件下。结果发现，R.coronifer无法在紫外照射的条件下生活，科学家认为这可能是DNA受损所致。不过，有个小斑熊虫 样本却未受影响。在滤去紫外线的条件下，这些经过恶劣太空条件考验的小动物同对照样本一样，可排卵，并可脱壳成活。该结果发表于《当代生物》杂志。
课件1：四 渐开线与摆线
四
渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一 支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔 画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个 定点 的 轨迹，叫做 平摆线 ，简称摆线，又叫 旋轮线 ．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向 量知识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得OM ＝OA＋ AM .
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
＝r(φ－sin φ)，yM＝r＋rsinφ－π2＝r(1－cos φ)．
即点
M
的轨迹方程为xy＝＝rr1φ－－csoins
φ， φ
(φ 为参数)．
本课结束
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1．圆的渐开线yx＝＝
2cos t＋tsin t 2sin t－tcos t
（t 为参数）上与 t＝π4对
应的点直角坐标为
()
A.1＋π4，1－π4 C.－1－π4，1－π4
B.1－π4，1＋π4 D.1＋π4，－1－π4
答案：A
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方 向的夹角． ∵直径为10，∴半径r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得： x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ. 这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一 支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔 画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个 定点 的 轨迹，叫做 平摆线 ，简称摆线，又叫 旋轮线 ．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向 量知识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得OM ＝OA＋ AM .
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
＝r(φ－sin φ)，yM＝r＋rsinφ－π2＝r(1－cos φ)．
即点
M
的轨迹方程为xy＝＝rr1φ－－csoins
φ， φ
(φ 为参数)．
本课结束
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1．圆的渐开线yx＝＝
2cos t＋tsin t 2sin t－tcos t
（t 为参数）上与 t＝π4对
应的点直角坐标为
()
A.1＋π4，1－π4 C.－1－π4，1－π4
B.1－π4，1＋π4 D.1＋π4，－1－π4
答案：A
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方 向的夹角． ∵直径为10，∴半径r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得： x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ. 这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
第二讲： 4-4四. 渐开线与摆线
或(sin φ，－cos φ)．
[预习导引]
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，
在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，
保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔 画出的曲线就是圆的_渐__开__线__，相应的定圆 叫做__基__圆_．
2.摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周
x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ (φ
为参数)，
把 y＝0 代入得 cos φ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)，
则 x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
3. 已知圆的半径为3，圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点
O，则M的轨迹方程是________．
答案
x＝3（α－sin y＝3（1－cos
出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，
所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点
和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有
()
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
答案 C
解析 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就
是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位
置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和
坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2．圆xy＝＝33scions
θ， θ (θ
为参数)的摆线上一点的纵坐标为
0，那
么其横坐标可以是
()
A．π
B．2π
C．3π
高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt
cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
高中数学知识点精讲精析 平摆线和渐开线
4 平摆线和渐开线1．平摆线形成原理原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线。
引导动圆滚动的线称为导线。
当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动时形成外内摆线。
2．渐开线渐开线画法将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。
直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。
渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。
渐开线方程为：x=r×cosθ+θ×r×sinθy=r×sinθ-θ×r×cosθz=0式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数θ=inv(α)=tan(α)-α式中，inv为渐开线involute的缩写渐开线画法:已知圆的直径D，画渐开线的方法如图(1）将圆周分成若干等分（图中为12等分），将周长πD作相同等分；(2）过周长上各等分点作圆的切线；(3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、 (12)(4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12；即得圆的渐开线。
3．渐开线具有下列特性：（1） 因发生线与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以（2）当发生线沿基圆作纯滚动时，B 点是它的速度瞬心，因此直线是渐开线上K 点的法线，且线段为其曲率半径。
又因发生线始终切于基圆，故渐开线上任意一点的法线必与基圆相切；或者说，基圆的切线必为渐开线上某一点的法线。
（3）渐开线齿廓上某点的法线(压力方向线)，与齿廓上该点速 度方向所夹的锐角，称为该点压力角。
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3、摆线的定义
思考：P41
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 摆线在它与定直线 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱。
上一个定点的轨迹是什么？ M O
B
A
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
y
M B
O A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
y
M B
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。
由于向量e1 (cos,sin )是与OB 同方向的单位向量， 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。 所以 | BM | (r )e2 ,即 | BM | ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB 的长， 展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
B
O
A
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。
x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
3、摆线的参数方程
M O y
B
A
M O DFra bibliotekB C A E x
x r ( sin ), 摆线的参数方程为： (为参数) y r (1 cos ).
的长，即OA r。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M O
B
A
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。
y
M O D
B C A
所以，摆线的参数方程为：
四 渐开线与摆线
1、渐开线
2、摆线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
取为参数，则点B的坐标为（rcos ,rsin）,从而 BM ( x r cos, y r sin ),| BM | r.
O A x
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程
2、平摆线、摆线的参数方程
E
x ), x r ( sin 设开始时定点M 在原点，圆滚动了 A，圆心在点 (为参数 ) B。 角后与x轴相切于点 cos 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是 ， D。 ). y r (1C
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有