高中数学 渐开线与摆线 张涛
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3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、摆线
思考:
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记, 那么 当自行车在笔直的道路上行驶时, 白色印记会 画出什么样的曲线?
Leabharlann Baidu
3.5
3
2.5
2
1.5
1
M
φ
0.5
B C
2 3 4 5 6
-1
O D
-0.5 -1
1
A
-1.5
假设 B为圆心, 圆周上的定点为M , 开始时位于O处, 圆在直线上滚动时, 点M 绕圆心作圆周运动, 转过 角后, 圆与直线相切于点 A, 线段 OA的长等于弧 MA 的长, OA=r, 这就是圆周上的定点M 在圆B沿直线 滚动过程中满足的几何条件, 我们把点M 的轨迹叫 做平摆线, 简称摆线, 又叫旋轮线。
X=11 (cosφ + φ sin φ)
(φ为参数)
Y=11(sinφ -φ cosφ)
例2.当φ= 4 , 2 时,求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ Y=sinφ -φ cosφ
上的对应点A,B,并求出A,B的距离。
课堂小结
1、圆的渐开线,渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
内容
描述
知识点名称
渐开线与摆线
课程内容
1.了解圆的渐开线的参数方程。 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程。
教学设计
激趣导入:探究引入,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在 绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳 子与圆相切而动,看 能画出什么样的曲线。 知识新授:渐开线的定义及参数方程,摆线的定义及参数方程。 练习巩固:练习求渐开线的参数方程。 课堂小结:1、圆的渐开线,渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
我们取定直线为x轴, 定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点, 建立直角坐标系, 设圆的半径 为r , 设开始时定点M 在原点, 圆滚动了 角后与 x 轴相切于点 A, 圆心在点 B, 从点M 分别作AB, x 轴的垂线, 垂足分别为C, D, 设点 M 的坐标为 ( x, y )取为参数,根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin y DM AC AB CB r r cos 所以,摆线的参数方程为 x r ( sin ) { (为参数) y r (1 cos )
思考: 在摆线的参数方程(1)中,参数 的取值范围 是什么?一个拱的宽度与高度各是多少?
参数 的取值范围是[0, ) 一个拱的宽度是2 r , 高度是2r (其中r是滚动圆 的半径)
练习巩固: 例1.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。 解:因为基圆的直径为22mm,所以 基圆的半径为11mm,因此齿廓线的 渐开线的参数方程为:
渐开线与摆线
主讲教师:张涛
1、渐开线
设开始时绳子外端位于点A,当外端展开到点M 时,因为绳子对圆心角 的一段弧AB,展开后 成为切线BM,所以切线BM的长就是弧AB的长, 这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出 的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开 线的基圆。
M B
φ
O A
我们以基圆圆心O为原点, 直线OA为x轴, 建立 平面直角坐标系, 设基圆的半径为r, 绳子外端 M 的坐标为( x, y ), 显然, 点M 由角 唯一确定。 取 为参数, 则点 B的坐标为 (r cos , r sin ) 从而 BM ( x r cos , y r sin ), BM r
由于向量e1 (cos , sin )是与OB同方向的单 位向量,因而向量e2 (sin , cos )是与向量 BM 同方向的单位向量,所 以 BM (r ) e2 ( x r cos , y r sin ) (r )(sin , cos ) 解得{ x r (cos sin ) y r (sin cos ) (为参数)
这就是圆的渐开线的参 数方程。
思考: 在探究圆的渐开线的参 数方程的过程中用到 “向量e2 (sin , cos )与向量 BM有相同方向 ” 这一结论,你能说明这 个结论为什么成立吗
注意:
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
2、摆线
思考:
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记, 那么 当自行车在笔直的道路上行驶时, 白色印记会 画出什么样的曲线?
Leabharlann Baidu
3.5
3
2.5
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1.5
1
M
φ
0.5
B C
2 3 4 5 6
-1
O D
-0.5 -1
1
A
-1.5
假设 B为圆心, 圆周上的定点为M , 开始时位于O处, 圆在直线上滚动时, 点M 绕圆心作圆周运动, 转过 角后, 圆与直线相切于点 A, 线段 OA的长等于弧 MA 的长, OA=r, 这就是圆周上的定点M 在圆B沿直线 滚动过程中满足的几何条件, 我们把点M 的轨迹叫 做平摆线, 简称摆线, 又叫旋轮线。
X=11 (cosφ + φ sin φ)
(φ为参数)
Y=11(sinφ -φ cosφ)
例2.当φ= 4 , 2 时,求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ Y=sinφ -φ cosφ
上的对应点A,B,并求出A,B的距离。
课堂小结
1、圆的渐开线,渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
内容
描述
知识点名称
渐开线与摆线
课程内容
1.了解圆的渐开线的参数方程。 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程。
教学设计
激趣导入:探究引入,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在 绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳 子与圆相切而动,看 能画出什么样的曲线。 知识新授:渐开线的定义及参数方程,摆线的定义及参数方程。 练习巩固:练习求渐开线的参数方程。 课堂小结:1、圆的渐开线,渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
我们取定直线为x轴, 定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点, 建立直角坐标系, 设圆的半径 为r , 设开始时定点M 在原点, 圆滚动了 角后与 x 轴相切于点 A, 圆心在点 B, 从点M 分别作AB, x 轴的垂线, 垂足分别为C, D, 设点 M 的坐标为 ( x, y )取为参数,根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin y DM AC AB CB r r cos 所以,摆线的参数方程为 x r ( sin ) { (为参数) y r (1 cos )
思考: 在摆线的参数方程(1)中,参数 的取值范围 是什么?一个拱的宽度与高度各是多少?
参数 的取值范围是[0, ) 一个拱的宽度是2 r , 高度是2r (其中r是滚动圆 的半径)
练习巩固: 例1.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。 解:因为基圆的直径为22mm,所以 基圆的半径为11mm,因此齿廓线的 渐开线的参数方程为:
渐开线与摆线
主讲教师:张涛
1、渐开线
设开始时绳子外端位于点A,当外端展开到点M 时,因为绳子对圆心角 的一段弧AB,展开后 成为切线BM,所以切线BM的长就是弧AB的长, 这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出 的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开 线的基圆。
M B
φ
O A
我们以基圆圆心O为原点, 直线OA为x轴, 建立 平面直角坐标系, 设基圆的半径为r, 绳子外端 M 的坐标为( x, y ), 显然, 点M 由角 唯一确定。 取 为参数, 则点 B的坐标为 (r cos , r sin ) 从而 BM ( x r cos , y r sin ), BM r
由于向量e1 (cos , sin )是与OB同方向的单 位向量,因而向量e2 (sin , cos )是与向量 BM 同方向的单位向量,所 以 BM (r ) e2 ( x r cos , y r sin ) (r )(sin , cos ) 解得{ x r (cos sin ) y r (sin cos ) (为参数)
这就是圆的渐开线的参 数方程。
思考: 在探究圆的渐开线的参 数方程的过程中用到 “向量e2 (sin , cos )与向量 BM有相同方向 ” 这一结论,你能说明这 个结论为什么成立吗
注意:
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。