渐开线与摆线ppt

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摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。
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我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径 为r，设开始时定点M 在原点，圆滚动了 角后与 x轴相切于点A，圆心在点B，从点M 分别作AB， x 轴的垂线，垂足分别为C，D，设点 M 的坐标为 ( x， y )取 为参数，根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin ， y DM AC AB CB r r cos .所以， x r ( sin ) 摆线的参数方程为： y r (1 cos )
x＝rφ－sin (3)根据圆的摆线的参数方程 y＝r1－cos
φ， (φ 为参数)，可知只需求出其 φ
中的半径 r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是 由圆的半径唯一确定的．
阅读提高
如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内 壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直 径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的 一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
运动所张开的角度大小．
例题+变式 摆线
变式 2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的 半径最大时该摆线的参数方程．
解析：由摆线的图形知，圆的半径最大时，定点(2,0)就是(2πr,0)(如图所示)
1 ∴2πr＝2，∴r＝ . π
x＝1φ－sin φ， π 代入，得圆的摆线的参数方程 1 y ＝ 1－cos φ π
AB
→ → → → → → ∴OP＝OF＋FP＝OB＋BF＋FP
π ＝(rcos φ，rsin φ)＋rφcosφ－2， π rφsinφ－2
＋(acos φ，asin φ) ＝((r＋a)cos φ＋rφsin φ，(r＋a)sin φ－rφcos φ) ＝(x，y)．
(φ 为参数)．
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解 [ 例 3] 如图，一个宽为 a 的矩形木条沿着半
径为r的定圆无滑动地滚动，试求木条外缘 上某点P的轨迹方程．
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
[解析] 以定圆圆心 O 为原点，O、F、P 共线时所在直线为 x 轴，建立如图所示的 直角坐标系，设 P 点的坐标为(x，y)，取∠AOB＝φ 为参数， ∵|BF|＝l ¼ ＝rφ，
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.

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圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程:
由于向量 e1 (cos ,sin )是与 OB同方向的单 位向量，因而向量 e2 (sin , cos )是与向量 BM 同方向的单位向量，所以 BM (r ) e2 ( x r cos , y r sin ) (r )(sin , cos ) 解得{ x r (cos sin ) y r (sin cos ) ( 为参数)
重难点突破
重点：渐开线与摆线的基本概念和参数方程. 难点：渐开线与摆线及其方程的灵活运用.
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1. 渐开线
探 究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆 盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子 拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那 么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎 样？能否求出它的轨迹方程？
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例题+变式 摆线
→ 动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM＝(x，y)
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， 这就是所求摆线的参数方程 α.
方法总结
1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的 字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点
该摆线的参数方程．
[解析] 令 r(1－cos φ)＝0，可得 cos φ＝1.
所以 φ＝2kπ(k∈Z)，代入得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1， 1 所以 r＝2kπ.又由题意可知，r 是圆的半径，故 r＞0. 所以应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N*.
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
M B

O A
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根据动点满足的几何条件:
BM AB
我们以基圆圆心O为原点， 直线OA为x轴，建立平面直
B
M
φ
O A
角坐标系(图).设基圆的半径
为r，绳子外端M的坐标为
(x,y).显然，点M由角惟一
确定.
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我们以基圆圆心O为原点， 直线OA为x轴， 建立 平面直角坐标系， 设基圆的半径为r， 绳子外端 M 的坐标为( x, y )， 显然， 点M 由角 唯一确定。 取 为参数， 则点 B的坐标为 (r cos , r sin ) 从而 BM ( x r cos , y r sin ), BM r
1 中，令 x＝2 得 sin θ＝ ， 2
∴cos θ＝
3 3 或 cos θ＝－ ， 2 2
∴y＝4－2 3或 y＝4＋2 3，故点 B 的坐标为(2,4－2 3)或(2,4＋2 3)． ∴|AB|＝ 2π－22＋4± 2 3－42＝ 2 π－12＋3＝2 π2－2π＋4.
例题+变式 摆线
例题+变式 圆的渐开线
变式
x＝4cos φ＋φsin φ， 1．已知渐开线 y＝4sin φ－φcos φ
π 上的点 A 对应 φ＝ ， 2
x＝41－sin θ， y＝41－cos θ
与直线 x＝2 相交于点 B，求 A，B 两点间的距离．
x＝4cos φ＋φsin φ， x＝2π， π 解析：将 φ＝ 代入 得 ∴A(2π，4)． 2 y ＝ 4 sin φ － φ cos φ ， y ＝ 4 ， x＝41－sin θ， 在 y＝41－cos θ
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答wenku.baidu.com不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．

这就是圆的渐开线的参数方程。
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渐开线的应用：
在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动 力.由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传 动平稳，制造安装较为方便，因此大多 数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿 轮，需要借助圆的渐开线方程。
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思考
ur uu r Q e1 e 2 (cos ， sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0. ur uu r uuuu r uu r e1 e 2 ，即 : BM // e 2 .
¼ 是半径为 2 的1圆周长，长度为 π； FG ¼ 是半径为 3 的1圆周长， 旋转可得 EF 4 4
长度为 是 5π.
3π ¼ 1 ；GH 是半径为 4 的 圆周长，长度为 2π.所以，曲线 AEFGH 的长 2 4
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
易错警示
[典例 ] 已知一个圆的摆线过一定点 (1,0)，请写出
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
变式 3.如图所示，ABCD 是边长为 1 的正方形， 曲线 AEFGH„叫作“正方形的渐开线”，其 中 AE，EF，FG，GH，„的圆心依次按 B， C，D，A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是多少？
1 π AE 是半径为 1 的 圆周长，长度为 ，继续 解析：根据渐开线的定义可知， ¼ 4 2
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
所以所求的点 P 轨迹的参数方程为
x＝r＋acos φ＋rφsin φ， y＝r＋asin φ－rφcos φ
(φ 为参数)．
方法总结
用向量法建立运动轨迹的参数方程的思路和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． → (4)用向量运算得到OM的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
例题+变式 圆的渐开线
[例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A， π 3π B 对应的参数分别是 和 ，求 A，B 两点间的距离． 2 2
例题+变式 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
3π 3π x＝cos 3π＋3π· sin ＝－ ， 2 2 2 2 3π 当 φ＝ 时， 2 3π 3π 3π y ＝ sin － · cos ＝－1， 2 2 2
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2. 摆线 思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记， 那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印 记会画出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆 沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个 定点的轨迹是什么？
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如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时，点 M 绕圆 心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 ¼ 的长，即 OA=r. 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
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3π ∴B－ 2 ，－1 .
∴|AB|＝
π 3π 2 2 2 ＋ 2 ＋1＋1 ＝2
π2＋1.
方法总结
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M相对于圆心的张角； 另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．

( 为参数 ).
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因 此 ,摆 线 的 参 数 方 程 是
x r ( sin ) , ( 是 参 数 ) y r (1 cos )
思考
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是 2 r，高度是 2 r (其中 r 是滚动圆的半径 ).