一元二次根与系数关系PPT

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②、∵△＝（2a) －4(a－1) = 4a2－4a +4 = 4a2 －4a +1 + 3 = (2a －1) 2 + 3 ≥3
∴方程有两个不相等的 实数根。
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③、∵ △＝（－m)2－4×1×(m2 /2 + m + 3/2) = m2 －2m2 －4m －6 = －m2 －4m －6 = －(m 2+4m +4) －2 = －(m +2)2－2≤－2＜0 ∴△＜0
3、巩固与应用：
（1）、不解方程，判别下列关于 x 的一元二 次方程根的情况。
①、mx2 ﹣ 2x ﹣ 3m = 0
②、x2 + 2ax ﹣ 1 = 0 ③、x2﹣ mx + m2/2 + m + 3/2 = 0
解：① ∵ △ ＝（－2）－ 4m×(－3m) = 4 + 12m 2 又根据题意有m≠0,m 2 >0 ∴ 4 + 12m2≥4 ∴ 方程有两个不相等的实数根。
（3）、①、若方程( x －1)( x2 + 8x －3) = 0 的三根分别为 x 1 、x 2 、x 3， 求 x1 x 2 + x 2 x 3 + x3 x 1 的值。
②、已知方程 x2 + 3x －5 = 0的两根是 2 2 x 、 x + 1 x ，求 2 1 x 的值 2
③、若方程 x 2 －2x －3 = 0的两 2 根分别是 x 1 、x 2，求代数式 x 1 + 2 x 2 －2x 1－2x 2 的值。
解法二：∵ X 2－2X－3 = 0
1 1 2 x －2x －3 = 0 2 2 2 ∴x2－2x =3 , x －2x =3 1 1 2 2 ∴x2+ x 2 －2x 1 －2x2 =(x 2－2x ) +( x 2 1 2 1 1 2 －x )= 3 + 3 = 6 2
由根的定义得：x 2－2x －3 = 0
点评：不解方程，求关于一元二次方程的 两个实数根x 1 , x 2 的对称式的值时，方 法是先将式子化成只有x 1+ x2 、x1 x 2 的形 式，然后利用根与系数的关系的关系代入 求值。 要注意以下几个公式：
①、x2 1+
2 x2
= ( x1 + x2 ) 2－2 x1 x 2
2 2
②、1/x1+ 1/x 2 = ( x1 + x 2)/x 1 x 2 ③、( x1 － x 2) = ( x 1+ x 2 ) －4x1 x 2
－5
2 2 ∴ x2 + x = ( x + x ) 1 2 1 2 － 2x1 x2 = (－3)2－2×(－5) = 19
③、解法一：∵ x 2－2x －3 =0
= －3
由根与系数的关系得：x 1+ x 2= 2 , x 1x 2
2 2 2 ∴ x 1 + x 2 －2x 1 －2x 2= ( x 1+ x 2) －2 x1 x2 － பைடு நூலகம்( x 1+ x 2) = 22－2×(－3) －2×2 =6
（2）、求证：关于 x 的方程 x2 －( k +2)x + 2k －1= 0有两个不相等的实数根。
∴△= [－( k + 2)]2－4×1×(2k －1)
∴方程有两个不相等的实数根。
点评：证明方程有怎样的根，一般先求出判别式，然后 将其配方，与完全平方公式建立联系，从而应用完全平 方公式的非负数的性质来确定“△”的符号。
推论2：以两个数 x 1 、x 2 为根的一元二 次方程（二次项系数为1）是x2－(x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 一元 二次方程的构造公式
（3）、在数学生活中的应 用：
①、已知一根求另一根及未知系数；
②、已知两根求作一个方程；
③、不解方程求与两根有关的 代数式的值； ④、已知两个数的和与积，求 这两个数；
解：①、∵( x －1)( x 2 + 8x －3) = 0
∴ x －1 = 0 或 x 2+8x －3 = 0 由根与系数的关系得：x1 = 1 , －8 , x 2 x 3 = －3 x 2+ x 3 =
∴x1 x2 + x2 x 3 +x3 x 1 = x 1( x2 + x 3 ) + x2 x3 = 1×(－8) －3 = －11 ②、∵ x2 + 3x －5 = 0 ∴ x 1+ x 2 = －3 , x1 x 2 =
如果ax + bx +c =0(a ≠0)的 两个根是 x 1 、x 2 那 么x 1 + x2 = －b/a ,x 1x2= c/a
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（2）、根与系数关系定理 的推论：
推论1：如果方程 x2+ px +q = 0 的两 个根为 x1 、 x 2 , 那么x1 + x 2 = －p , x 1 x 2= q ,
(4)、已知关于x的方程 k 2 x 2+( 2k +1)x + 1 = 0有两个不相等的实数根 x 1 、x2 ①、求 k的取值范围
②、是否存在实数k ,使方程的两个实数 根互为相反数？如果存在，求出k
的取值。如果不存在，请说明理由。
(5)、已知方程 x2 + ( 2m －2)x + 2m + 1 = 0有两个正根，求m的取 值范围 (6)、己知关于 x 的方程 ( k －2)x 2 － 2( k －1)x +( k + 1) ,且k≤3
∴此方程无实数根。
点评：对于字母系数的一元二次方 程，要判别其方程的情况，先求出 判别式的代数式，然后进行整理， 一般化成完全平方式或完全平方式 加上一个常数的形式。既 m 2 + n的 形式，最后判断出判别式的符号， 确定方程的根的情况 。但是，在运 用配方时，要注意符号。
证明：∵x 2－( k + 2)x + 2k －1 = 0 = k2 －4k +8 = ( k －2)2+4≥4 ∴△>0
“一元二次方程根 的判别式和根与系 数的关系”
aX² + bx + c = 0
1、一元二次方程根的判 别式：
（1）、一元二次方程根的判别式：把 b － 4ac做一元二次 方程a2 x +bx+c = 0的判别式，常用“△”来表示。
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（2）、判别式定理：
①、△﹥0
②、△＝0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根 方程有实数根
（3）、实际应用：
的① 情、 况不 。解 方 程 判 定 方 程 根
定② 根、 的根 取据 值系 范数 围的 。性 质 关 系 确
证③ 明、 题解 。决 与 根 有 关 的
2、一元二次方程与系数的关
系：
（1）、一元二次程的根与系数的关系（韦 达定理）：