一元二次根与系数关系PPT
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一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
《一元二次方程根与系数的关系》PPT 图文
我幸，今生在最美的时光遇见了你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
可惜，世间不是所有的缘份都来得刚刚 好，在 合适的 季节里 你我相 遇相逢 。就如 徐志摩 遇到林 徵因， 写下“ 轻轻的 我走了 ，正如 我轻轻 的来； 我轻轻 的招手 ，作别 西天的 云彩… …”一 首再别 康桥道 出无尽 的思念 ，却因 是一场 三角之 恋，不 得不放 手。还 有张爱 玲遇见 文人汉 奸胡兰 成，在 信里写 道：“ 在你面 前我变 得很低 很低， 低到尘 埃里。 但我的 心里是 喜欢的 ，从尘 埃里开 出花来 。”
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0
22.2.5一元二次方程根与系数的关系 课件 华东师大版数学九年级上册
b
4
c
x1 x2 ，x1 x2 1.
a
3
a
4
4
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ( 1) 1 .
3
3
2
x2 x1 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
34
（2）
x1 x2 p，
x1 x2 q.
证明：利用公式法求方程的两根 x =
x1 =
p p 2 4q
2
x2 =
-p
q
知识要点1
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p，
x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
c
b
x1 + x2 = ， x1 • x2 .
a
a
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例讲解
例1
利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
(2)
3x2
+ 7x - 9 = 0；
(3) 5x – 1 = 4x2.
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
16
∴ x1 = .
4
c
x1 x2 ，x1 x2 1.
a
3
a
4
4
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ( 1) 1 .
3
3
2
x2 x1 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
34
（2）
x1 x2 p，
x1 x2 q.
证明：利用公式法求方程的两根 x =
x1 =
p p 2 4q
2
x2 =
-p
q
知识要点1
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p，
x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
c
b
x1 + x2 = ， x1 • x2 .
a
a
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例讲解
例1
利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
(2)
3x2
+ 7x - 9 = 0；
(3) 5x – 1 = 4x2.
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
16
∴ x1 = .
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》课件(共14张PPT)
解：(1)由题意知Δm≥≠00即8mm≠≥00，∴m>0
(2)|x1－x2|＝1，即(x1－x2)2＝1，也就是(x1＋x2)2－4x1x2＝1，
m－2
m－2
而 x1＋x2＝2，x1x2＝ m ，∴22－4× m ＝1，解得 m＝8，而
8>0，∴m 的值为 8
16．(易错题)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋ m2＋5＝0的两实根．
(2)若 x1，x2 满足等式 x1x2－x1－x2＋1＝0，求 m 的值．
解：∵x1＋x2＝5，x1·x2＝6－m，∴x1x2－x1－x2＋1＝x1x2－(x1＋ x2)＋1＝6－m－5＋1＝0，∴m＝2
15．(2014·鄂州)一元二次方程 mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求 m 的范围． (2)设方程两实根为 x1，x2，且|x1－x2|＝1，求 m 的值．
5．设 x1，x2 是方程 2x2－6x＋3＝0 的两个根，利用根与系数的关系 求： (1)(x1＋x12)(x2＋x11)；
解：(x1＋x12)(x2＋x11)＝x1x2＋x11x2＋2，由题意知 x1＋x2＝3，x1x2 ＝32，∴原式＝32＋23＋2＝265
(2)(x1－x2)2. 解：(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，∴原式＝32－4×32＝3
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两 边的边长，求这个三角形的周长．
解： (1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝ 2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∴m2＋5－2(m＋1)＝27，解得m1＝6， m2＝－4，又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，m≥2， ∴m的值为6
《一元二次方程根与系数的关系》PPT
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
问题2 求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
讲授新课
一 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
问题1：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 • x2系数 有什么规律？
方程
x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
21 3
2
-1 3
2
-3
14
5
4
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
x1 x2 p x1 x2 q
方程
9 x2 6x 1 0 3 x2 4x 1 0
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
那么x1 + x2= -
b a
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前提条 件为b2-4ac≥0
类型一 直接运用根与系数的关系
典例精析
例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0; (2)3x2 7x 9 0; (3)5x 1 4x2.
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
问题2 求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
讲授新课
一 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
问题1：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 • x2系数 有什么规律？
方程
x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
21 3
2
-1 3
2
-3
14
5
4
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
x1 x2 p x1 x2 q
方程
9 x2 6x 1 0 3 x2 4x 1 0
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
那么x1 + x2= -
b a
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前提条 件为b2-4ac≥0
类型一 直接运用根与系数的关系
典例精析
例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0; (2)3x2 7x 9 0; (3)5x 1 4x2.
一元二次方程根与系数的关系省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
2 x1x2 3
x1x2 0
x1 x
⑴不是一般式旳要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知有关x旳方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程旳两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程旳两根互为倒数.
1、已知方程3x2－19x+m=0旳一种根是1， 求它旳另一种根及m旳值。
解：设方程旳另一种根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0旳两个根，求(x1+1)(x2+1) 旳值.
解：由根与系数旳关系,得
由根与系数旳关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0旳两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见旳求值:
解法一：设方程旳另一种根为x2. 由根与系数旳关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0旳一种根是2 , 求它旳另一种根及k旳值。
解法二：设方程旳另一种根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
x1x2 0
x1 x
⑴不是一般式旳要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知有关x旳方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程旳两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程旳两根互为倒数.
1、已知方程3x2－19x+m=0旳一种根是1， 求它旳另一种根及m旳值。
解：设方程旳另一种根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0旳两个根，求(x1+1)(x2+1) 旳值.
解：由根与系数旳关系,得
由根与系数旳关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0旳两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见旳求值:
解法一：设方程旳另一种根为x2. 由根与系数旳关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0旳一种根是2 , 求它旳另一种根及k旳值。
解法二：设方程旳另一种根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
湘教版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系课件
求方程的解或系数
谢谢！
知1－导
(2) 方程x2－5x＋6=0的两个根分别为x1=______， x2 =______，
得x2－5x＋6=(x－____)(x－____).
知1－讲
对于方程 a x2＋b x＋c＝0 ( a≠0 )，当≥0时，该方程的根
识点
与它的系数之间有什么关系呢
?
解：当≥0时，设a x2＋b x＋c＝0( a≠0) 的两个根为x1， x2，
与系数还有什么关系呢 ?
知1－导
知识点
1 一元二次方程根与系数的关系
(1) 先解方程，再填表：
方程
x2 -2x=0
x1
x2
0
2
x1+x2
x1 ·x2
x2 +3x-4=0
x2 -5x-6=0
由上表猜测：若方程 x2＋bx＋c =0的两根分别为x1，
x2，则：x1＋x2＝______，x1 ·x2＝_______；
则 a x2＋b x＋c ＝ a ( x－x1 ) ( x－x2 )
＝a [x2－(x1＋x2) x ＋ x1x2]，
b
c
a ( x x )，
a
a
b
c
于是 x 2 x =x 2 ( x1 + x2 ) x x1 x2 .
a
a
又 a x2＋b x＋c＝
2
知1－讲
根据七年级上册教科书 2.5 节关于两个多项式相等
＝－ .
∴x1＋x2＝ ＝
a
2
a
2
2
知1－讲
总 结
求一元二次方程两根之和或两根之积时，要把
方程化成一元二次方程的一般情势， 先确定方程有
谢谢！
知1－导
(2) 方程x2－5x＋6=0的两个根分别为x1=______， x2 =______，
得x2－5x＋6=(x－____)(x－____).
知1－讲
对于方程 a x2＋b x＋c＝0 ( a≠0 )，当≥0时，该方程的根
识点
与它的系数之间有什么关系呢
?
解：当≥0时，设a x2＋b x＋c＝0( a≠0) 的两个根为x1， x2，
与系数还有什么关系呢 ?
知1－导
知识点
1 一元二次方程根与系数的关系
(1) 先解方程，再填表：
方程
x2 -2x=0
x1
x2
0
2
x1+x2
x1 ·x2
x2 +3x-4=0
x2 -5x-6=0
由上表猜测：若方程 x2＋bx＋c =0的两根分别为x1，
x2，则：x1＋x2＝______，x1 ·x2＝_______；
则 a x2＋b x＋c ＝ a ( x－x1 ) ( x－x2 )
＝a [x2－(x1＋x2) x ＋ x1x2]，
b
c
a ( x x )，
a
a
b
c
于是 x 2 x =x 2 ( x1 + x2 ) x x1 x2 .
a
a
又 a x2＋b x＋c＝
2
知1－讲
根据七年级上册教科书 2.5 节关于两个多项式相等
＝－ .
∴x1＋x2＝ ＝
a
2
a
2
2
知1－讲
总 结
求一元二次方程两根之和或两根之积时，要把
方程化成一元二次方程的一般情势， 先确定方程有
一元二次方程根与系数的关系课件
3. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
∴x1 =
1×
16 . 3
x1
=
c a
16 . 3
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求
下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1);
解:根据根与系数的关系得：
q=__-2__ .
3.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
(1)x1+x2=__4__ ; (3) x12 x22 __1_4__;
(2)x1·x2=__1___; (4) (x1 x2 )2 __1_2__.
4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
一、一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
x1
+
x2
=
b a
x1
x2
c a
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
二、常见的求值应用
1. 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 =(x1-x2 )2 +2x1x2;
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0.
课件-一元二次方程根与系数的关系ppt.ppt
两根为
x1, x2
,则,
x1x2ba,x1x2
c a
Байду номын сангаас
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例1.不解方程，求方程3x2+2x-9=0的两根 (1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？
归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一元二次方程根与系数的关系 (1).当二次项系数为 1的时候 关于x的方程 x2+px+q=0 两根为x1,x2(p,q为常数).
则：x1+x2= -p , x1x2= q
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
方程
1.
x2-2x=0
2. x2+3x-4=0
3. x2-5x+6=0
4. x2+2x-48=0
5. x2+5x-24=0
x1 x2 x1+x2 x1x2 0220 1 -4 -3 -4 2356 -8 6 -2 -48 -8 3 -5 -24
2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件-高一上学期数学人教B版必修第一册
大家一定牢记本节课的学习目标哦！！
1、从函数观点看一元二次方程．
2、会结合一元二次函数的图像，判
断一元二次方程实根的存在性及实根
的个数，了解函数的零点与方程根的
关系．
让我们一起打开知识的大门！！！Байду номын сангаас
一、一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 {- t, t} ;②当t=0时,解集为{0};③
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范围是(-∞,2).
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
本 课 结 束
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解 (1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
则
b1
b2
x1=-a ,x2=-a .
1
2
二、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下
关系:
(1)x1+x2=
b
-a
c
a
.
(2)x1x2=
;
一起来个小
例题吧！
1、从函数观点看一元二次方程．
2、会结合一元二次函数的图像，判
断一元二次方程实根的存在性及实根
的个数，了解函数的零点与方程根的
关系．
让我们一起打开知识的大门！！！Байду номын сангаас
一、一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 {- t, t} ;②当t=0时,解集为{0};③
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范围是(-∞,2).
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
本 课 结 束
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解 (1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
则
b1
b2
x1=-a ,x2=-a .
1
2
二、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下
关系:
(1)x1+x2=
b
-a
c
a
.
(2)x1x2=
;
一起来个小
例题吧！
24.3 一元二次方程根与系数的关系课件(共16张PPT)
解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，Δ=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
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解法二：∵ X 2－2X－3 = 0
1 1 2 x －2x －3 = 0 2 2 2 ∴x2－2x =3 , x －2x =3 1 1 2 2 ∴x2+ x 2 －2x 1 －2x2 =(x 2－2x ) +( x 2 1 2 1 1 2 －x )= 3 + 3 = 6 2
由根的定义得：x 2－2x －3 = 0
2
②、∵△＝（2a) －4(a－1) = 4a2－4a +4 = 4a2 －4a +1 + 3 = (2a －1) 2 + 3 ≥3
∴方程有两个不相等的 实数根。
2
③、∵ △＝（－m)2－4×1×(m2 /2 + m + 3/2) = m2 －2m2 －4m －6 = －m2 －4m －6 = －(m 2+4m +4) －2 = －(m +2)2－2≤－2＜0 ∴△＜0
3、巩固与应用：
（1）、不解方程，判别下列关于 x 的一元二 次方程根的情况。
①、mx2 ﹣ 2x ﹣ 3m = 0
②、x2 + 2ax ﹣ 1 = 0 ③、x2﹣ mx + m2/2 + m + 3/2 = 0
解：① ∵ △ ＝（－2）－ 4m×(－3m) = 4 + 12m 2 又根据题意有m≠0,m 2 >0 ∴ 4 + 12m2≥4 ∴ 方程有两个不相等的实数根。
∴此方程无实数根。
点评：对于字母系数的一元二次方 程，要判别其方程的情况，先求出 判别式的代数式，然后进行整理， 一般化成完全平方式或完全平方式 加上一个常数的形式。既 m 2 + n的 形式，最后判断出判别式的符号， 确定方程的根的情况 。但是，在运 用配方时，要注意符号。
证明：∵x 2－( k + 2)x + 2k －1 = 0 = k2 －4k +8 = ( k －2)2+4≥4 ∴△>0
解：①、∵( x －1)( x 2 + 8x －3) = 0
∴ x －1 = 0 或 x 2+8x －3 = 0 由根与系数的关系得：x1 = 1 , －8 , x 2 x 3 = －3 x 2+ x 3 =
∴x1 x2 + x2 x 3 +x3 x 1 = x 1( x2 + x 3 ) + x2 x3 = 1×(－8) －3 = －11 ②、∵ x2 + 3x －5 = 0 ∴ x 1+ x 2 = －3 , x1 x 2 =
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根 方程有实数根
（3）、实际应用：
的① 情、 况不 。解 方 程 判 定 方 程 根
定② 根、 的根 取据 值系 范数 围的 。性 质 关 系 确
证③ 明、 题解 。决 与 根 有 关 的
2、一元二次方程与系数的关
系：
（1）、一元二次程的根与系数的关系（韦 达定理）：
如果ax + bx +c =0(a ≠0)的 两个根是 x 1 、x 2 那 么x 1 + x2 = －b/a ,x 1x2= c/a
2
（2）、根与系数关系定理 的推论：
推论1：如果方程 x2+ px +q = 0 的两 个根为 x1 、 x 2 , 那么x1 + x 2 = －p , x 1 x 2= q ,
（2）、求证：关于 x 的方程 x2 －( k +2)x + 2k －1= 0有两个不相等的实数根。
∴△= [－( k + 2)]2－4×1×(2k －1)
∴方程有两个不相等的实数根。
点评：证明方程有怎样的根，一般先求出判别式，然后 将其配方，与完全平方公式建立联系，从而应用完全平 方公式的非负数的性质来确定“△”的符号。
（3）、①、若方程( x －1)( x2 + 8x －3) = 0 的三根分别为 x 1 、x 2 、x 3， 求 x1 x 2 + x 2 x 3 + x3Байду номын сангаасx 1 的值。
②、已知方程 x2 + 3x －5 = 0的两根是 2 2 x 、 x + 1 x ，求 2 1 x 的值 2
③、若方程 x 2 －2x －3 = 0的两 2 根分别是 x 1 、x 2，求代数式 x 1 + 2 x 2 －2x 1－2x 2 的值。
点评：不解方程，求关于一元二次方程的 两个实数根x 1 , x 2 的对称式的值时，方 法是先将式子化成只有x 1+ x2 、x1 x 2 的形 式，然后利用根与系数的关系的关系代入 求值。 要注意以下几个公式：
①、x2 1+
2 x2
= ( x1 + x2 ) 2－2 x1 x 2
2 2
②、1/x1+ 1/x 2 = ( x1 + x 2)/x 1 x 2 ③、( x1 － x 2) = ( x 1+ x 2 ) －4x1 x 2
(4)、已知关于x的方程 k 2 x 2+( 2k +1)x + 1 = 0有两个不相等的实数根 x 1 、x2 ①、求 k的取值范围
②、是否存在实数k ,使方程的两个实数 根互为相反数？如果存在，求出k
的取值。如果不存在，请说明理由。
(5)、已知方程 x2 + ( 2m －2)x + 2m + 1 = 0有两个正根，求m的取 值范围 (6)、己知关于 x 的方程 ( k －2)x 2 － 2( k －1)x +( k + 1) ,且k≤3
“一元二次方程根 的判别式和根与系 数的关系”
aX² + bx + c = 0
1、一元二次方程根的判 别式：
（1）、一元二次方程根的判别式：把 b － 4ac做一元二次 方程a2 x +bx+c = 0的判别式，常用“△”来表示。
2
（2）、判别式定理：
①、△﹥0
②、△＝0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
－5
2 2 ∴ x2 + x = ( x + x ) 1 2 1 2 － 2x1 x2 = (－3)2－2×(－5) = 19
③、解法一：∵ x 2－2x －3 =0
= －3
由根与系数的关系得：x 1+ x 2= 2 , x 1x 2
2 2 2 ∴ x 1 + x 2 －2x 1 －2x 2= ( x 1+ x 2) －2 x1 x2 － 2( x 1+ x 2) = 22－2×(－3) －2×2 =6
推论2：以两个数 x 1 、x 2 为根的一元二 次方程（二次项系数为1）是x2－(x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 一元 二次方程的构造公式
（3）、在数学生活中的应 用：
①、已知一根求另一根及未知系数；
②、已知两根求作一个方程；
③、不解方程求与两根有关的 代数式的值； ④、已知两个数的和与积，求 这两个数；
1 1 2 x －2x －3 = 0 2 2 2 ∴x2－2x =3 , x －2x =3 1 1 2 2 ∴x2+ x 2 －2x 1 －2x2 =(x 2－2x ) +( x 2 1 2 1 1 2 －x )= 3 + 3 = 6 2
由根的定义得：x 2－2x －3 = 0
2
②、∵△＝（2a) －4(a－1) = 4a2－4a +4 = 4a2 －4a +1 + 3 = (2a －1) 2 + 3 ≥3
∴方程有两个不相等的 实数根。
2
③、∵ △＝（－m)2－4×1×(m2 /2 + m + 3/2) = m2 －2m2 －4m －6 = －m2 －4m －6 = －(m 2+4m +4) －2 = －(m +2)2－2≤－2＜0 ∴△＜0
3、巩固与应用：
（1）、不解方程，判别下列关于 x 的一元二 次方程根的情况。
①、mx2 ﹣ 2x ﹣ 3m = 0
②、x2 + 2ax ﹣ 1 = 0 ③、x2﹣ mx + m2/2 + m + 3/2 = 0
解：① ∵ △ ＝（－2）－ 4m×(－3m) = 4 + 12m 2 又根据题意有m≠0,m 2 >0 ∴ 4 + 12m2≥4 ∴ 方程有两个不相等的实数根。
∴此方程无实数根。
点评：对于字母系数的一元二次方 程，要判别其方程的情况，先求出 判别式的代数式，然后进行整理， 一般化成完全平方式或完全平方式 加上一个常数的形式。既 m 2 + n的 形式，最后判断出判别式的符号， 确定方程的根的情况 。但是，在运 用配方时，要注意符号。
证明：∵x 2－( k + 2)x + 2k －1 = 0 = k2 －4k +8 = ( k －2)2+4≥4 ∴△>0
解：①、∵( x －1)( x 2 + 8x －3) = 0
∴ x －1 = 0 或 x 2+8x －3 = 0 由根与系数的关系得：x1 = 1 , －8 , x 2 x 3 = －3 x 2+ x 3 =
∴x1 x2 + x2 x 3 +x3 x 1 = x 1( x2 + x 3 ) + x2 x3 = 1×(－8) －3 = －11 ②、∵ x2 + 3x －5 = 0 ∴ x 1+ x 2 = －3 , x1 x 2 =
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根 方程有实数根
（3）、实际应用：
的① 情、 况不 。解 方 程 判 定 方 程 根
定② 根、 的根 取据 值系 范数 围的 。性 质 关 系 确
证③ 明、 题解 。决 与 根 有 关 的
2、一元二次方程与系数的关
系：
（1）、一元二次程的根与系数的关系（韦 达定理）：
如果ax + bx +c =0(a ≠0)的 两个根是 x 1 、x 2 那 么x 1 + x2 = －b/a ,x 1x2= c/a
2
（2）、根与系数关系定理 的推论：
推论1：如果方程 x2+ px +q = 0 的两 个根为 x1 、 x 2 , 那么x1 + x 2 = －p , x 1 x 2= q ,
（2）、求证：关于 x 的方程 x2 －( k +2)x + 2k －1= 0有两个不相等的实数根。
∴△= [－( k + 2)]2－4×1×(2k －1)
∴方程有两个不相等的实数根。
点评：证明方程有怎样的根，一般先求出判别式，然后 将其配方，与完全平方公式建立联系，从而应用完全平 方公式的非负数的性质来确定“△”的符号。
（3）、①、若方程( x －1)( x2 + 8x －3) = 0 的三根分别为 x 1 、x 2 、x 3， 求 x1 x 2 + x 2 x 3 + x3Байду номын сангаасx 1 的值。
②、已知方程 x2 + 3x －5 = 0的两根是 2 2 x 、 x + 1 x ，求 2 1 x 的值 2
③、若方程 x 2 －2x －3 = 0的两 2 根分别是 x 1 、x 2，求代数式 x 1 + 2 x 2 －2x 1－2x 2 的值。
点评：不解方程，求关于一元二次方程的 两个实数根x 1 , x 2 的对称式的值时，方 法是先将式子化成只有x 1+ x2 、x1 x 2 的形 式，然后利用根与系数的关系的关系代入 求值。 要注意以下几个公式：
①、x2 1+
2 x2
= ( x1 + x2 ) 2－2 x1 x 2
2 2
②、1/x1+ 1/x 2 = ( x1 + x 2)/x 1 x 2 ③、( x1 － x 2) = ( x 1+ x 2 ) －4x1 x 2
(4)、已知关于x的方程 k 2 x 2+( 2k +1)x + 1 = 0有两个不相等的实数根 x 1 、x2 ①、求 k的取值范围
②、是否存在实数k ,使方程的两个实数 根互为相反数？如果存在，求出k
的取值。如果不存在，请说明理由。
(5)、已知方程 x2 + ( 2m －2)x + 2m + 1 = 0有两个正根，求m的取 值范围 (6)、己知关于 x 的方程 ( k －2)x 2 － 2( k －1)x +( k + 1) ,且k≤3
“一元二次方程根 的判别式和根与系 数的关系”
aX² + bx + c = 0
1、一元二次方程根的判 别式：
（1）、一元二次方程根的判别式：把 b － 4ac做一元二次 方程a2 x +bx+c = 0的判别式，常用“△”来表示。
2
（2）、判别式定理：
①、△﹥0
②、△＝0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
－5
2 2 ∴ x2 + x = ( x + x ) 1 2 1 2 － 2x1 x2 = (－3)2－2×(－5) = 19
③、解法一：∵ x 2－2x －3 =0
= －3
由根与系数的关系得：x 1+ x 2= 2 , x 1x 2
2 2 2 ∴ x 1 + x 2 －2x 1 －2x 2= ( x 1+ x 2) －2 x1 x2 － 2( x 1+ x 2) = 22－2×(－3) －2×2 =6
推论2：以两个数 x 1 、x 2 为根的一元二 次方程（二次项系数为1）是x2－(x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 一元 二次方程的构造公式
（3）、在数学生活中的应 用：
①、已知一根求另一根及未知系数；
②、已知两根求作一个方程；
③、不解方程求与两根有关的 代数式的值； ④、已知两个数的和与积，求 这两个数；