四渐开线与摆线

x y
? ?
r(? ? sin ? r(1? cos?
), ).
(?
为参数)
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数
?
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么 ？
小结 作业 P42：习题2.4
线段OA的长等于MA的长，即OA ? r?。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M
?B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M ?C
所以，摆线的参数方程为：
从点设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂???动足xy了分???别角rr(是(后?1C与?E?，xcs轴xDoi。ns相??切))于., (点? 为A，参圆心数在)点B。
设点M的坐标为(x, y),取? 为参数，根据点M 满足的几何条件，有
x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ? ,
y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos? .
3、摆线的参数方程
M
?B
OA y
B
M ?C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：?? ?
3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是： 当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动地拱滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
?B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
?
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
? 显然，点M由角 唯一确定。
四 渐开线与摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点 A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角? 的一段弧AB，
B
取? 为参数，则点 B的坐标为（ rcos? ,rsin ?）,从而
?
BM ? (x ? r cos ? , y ? r sin ? ),| BM |? r? .
O
A
x
由于向量 e1 ? (cos ? ,sin ? )是与OB同方向的单位向量，
因而向量 e2 ? (sin ? , ? cos ? )是与向量 BM同方向的单位向量。
y
?x
? ?
y
? ?
r(cos? r (sin ?
?? ??
sin ? cos?
) )
(?
是参数)。ห้องสมุดไป่ตู้
M
B
?
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
2、摆线
所以 | BM |? (r? )e2 ,即
| BM |? (x ? r cos? , y ? r sin ? ) ? r? (sin ? , ? cos? )
解得
?x
? ?
y
? ?
r(cos? r(sin ?
?? ??
sin ? cos?
)
(?
)
是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程