四渐开线与摆线

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4-4渐开线与摆线

曲齿
摆线应用
人字齿
摆线应用
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
摆线应用
斜齿
摆线应用
曲线齿
摆线应用
准双曲面齿轮
y
M O D
ϕC
A
B
E
设开始时定点M 在原点，圆滚动了ϕ角后与x轴相切于点A，圆心在点B。从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
x
探究新知
3、摆线的参数方程设点M 的坐标为( x, y ), 取ϕ为参数，根据点M 满足
的几何条件，有
x = OD = OA − DA = OA − MC = rϕ − r sinϕ,
y = DM = AC = AB − CB = r − r cos ϕ .
所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：
x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
探究新知
3、摆线的参数方程
M O y
ϕ
B
A
M O D
ϕC
A
B
E
x
摆线的参数方程为：摆线的参数方程为： x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
x = r (cos ϕ + ϕ sin ϕ ) 解得 (ϕ是参数)。 y = r (sin ϕ − ϕ cos ϕ )
y M B
2、渐开线的参数方程
这就是圆的渐开线的参数方程。这就是圆的渐开线的参数方程。圆的渐开线的参数方程
ϕ
O A
新知运用
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。这种齿形。设计加工这种齿轮，设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。

第二讲四渐开线与摆线

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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ，即 y＝3.
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
利用向量来建立摆线的参数方程．解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5．已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)，它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由于圆的半径是 6 ，所以可得摆线方程是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ，得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．

20-21版：四　渐开线与摆线（步步高）

(φ是参数) .
2 题型探究
PART TWO
一、圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
反思感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练1
已知圆的渐开线方程为
x＝cos
φsin
30°＋φsin
φsin
30°，
本课结束
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φ， φ
(φ 为参数). ∴基圆半径 r＝12.
当 φ＝π 时，x＝－12，y＝π2，∴A 的直角坐标为－12，π2.
二、平摆线
例 2 已知一个圆的参数方程为x＝3cos φ， (φ 为参数)，那么此圆的摆线参数方程 y＝3sin φ
中参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
已知一个圆的摆线的参数方程是
x＝3φ－3sin
φ， (φ为参数)，则该摆线
y＝3－3cos φ
一个拱的高度是__6__；一个拱的跨度为__6_π__.
解析当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
3 随堂演练
PART THREE
1.圆
第二讲参数方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理题型探究随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一渐开线
1.圆的渐开线的定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆. 2.圆的渐开线的参数方程设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是

第2讲-渐开线和摆线共27页

即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2，当
前
堂
自主导学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双基达标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当堂双
主
基
导学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂双基达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课堂互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动探究
B(π2，1)．
时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前自主导
|AB|＝
3＋ 6
课时作业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头

人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线

探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.

四、渐开线与摆线

记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动．点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN

2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时一个点的内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切，且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？

渐开线与摆线课件

由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,

人教版A版高中数学选修4-4渐开线与摆线

3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2＋y2＝1,
圆心 C1(0,0),半径 r＝1.
C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1 到直线 x－y＋
2＝0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点.
x＝cos θ (2)压缩后的参数方程分别为 C1′:y＝12sin θ
(φ 为参数)
的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线
x＝t， l:y＝t－a
消去参数 t 后得 y＝x－a.
椭圆
x＝3cos φ， C:y＝2sin φ
消去参数 φ 后得x92＋y42＝1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案:3
的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
解:(1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为
y＝2x－3;
ρ＝2 2sin(θ＋π4),即 ρ＝2(sin θ＋cos θ),两边同乘以 ρ 得 ρ2
的距离 d＝ 2 ＝ 2, 2
【名师点评】消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参.
变式训练
5.直线yx＝＝－1＋1－4t 3t (t 为参数)被曲线 ρ＝ 2cos(θ＋π4)所截的弦长为多少？

参数方程四渐开线与摆线课件

因此OM ＝OB＋ BM ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为 A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧 AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量OB＝(2α，2)，向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．来自又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
圆的摆线的参数方程 [例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端
系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的__渐__开__线___，相应的定圆叫做__基__圆__．__

高考数学平摆线和渐开线

§4 平摆线和渐开线
自主预习
讲练互动
课堂达标
1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.
课堂达标
题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
自主预习
讲练互动
课堂达标

2018年高中数学人教版选修4-4课件：渐开线与摆线

, .
是参数
方程 .
在机械工业中轮传递动力的齿轮磨损少安装方便用这种齿轮
, 广泛地使用齿 .由于渐开线齿形 , 传动平稳 , 制造
,因此大多数齿轮采 , 设计加工这种齿程.
轮 , 需要借助圆的渐开线方
欣赏在上述几何条件下 M 形成轨迹的过程 .
四
渐开线与摆线

图 2 17
根据动点满足的几何条我们以基圆圆心
件,
O 为原点 ,
直线 OA 为 x 轴 , 建立平面直角坐标系
图 2 18 .
r , 绳子外
设基圆的半径为端 M 的坐标为
x , y .显然
.
,
图 2 18
点 M 由角惟一确定
取为参数 , 则点 B 的坐标为从而 BM
O
M D

B C
A
x
图 2 20
设开始时定点于点 A , 圆心在点垂足分别是
M 在原点 , 圆滚动角后与 x 轴相切 B .从点 M 分别作 AB , x 轴的垂线 ,
C , D . 设点 M 的坐标为
,有
x , y , 取为参
数 , 根据点 M 满足的几何条件
x OD OA DA OA MC r r sin ,
MA 的长 , 即 OA
M 在圆 B 沿直线滚动过 .我们把点 M 的轨迹叫做 .
, 又叫
下面我们求摆线的参数方程 .
y
根据点 M 满足的几何条件 , 我们取直线为轴 , 定点 M 滚动时落在定直线上的一个位置为原点 , 建立直角坐标系 (图 2 20 ), 设圆的半径为 r. x

第2讲2.4渐开线与摆线

因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆线 . 也叫旋轮线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)，【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义，能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．

2014年人教A版选修4-4教案四渐开线与摆线

三、分层练习
1、当，时，求圆渐开线上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线与直线的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
教
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学难点Biblioteka 圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程与教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为（为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4

-6-
四渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
��
= =
csions��-��+��c��o��ss��i��n��,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四渐开线与摆线探究一
探究二
思维辨析
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
变式训练若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
�� = 5��-5sin��,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
-12-
四渐开线与摆线探究一
探究二
思维辨析
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