第2章§4平摆线和渐开线

2.4平摆线和渐开线(北师大版)

π π
π
1
3π
= cos + sin = +
,
π
3 3
3
2
6
当 φ= 时,
3
π π
π
3 π
= sin - cos = - ,
3 3
3
2 6
1
3π 3 π
所以点 A 的坐标为 +
, - ;
2
6
2 6
π π
π
π

=
cos
+
sin
=
,
π
2 2
2
2
当 φ= 时,
π π
π
2
= sin - cos = 1,
D.
(为参数)
= 4(-cos)
).
答案:C
-16-
§4 平摆线和渐开线
1
2
3
4
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
5
3面积为81π的圆的平摆线的参数方程为
.
解析:因为 S=81π,所以 r=9.
= 9(-sin),
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型三
= 2-2sin,
【变式训练 3】已知一个圆的平摆线方程是
= 2-2cos
为参数 , 求该圆的周长, 并写出平摆线上最高点的坐标.
解:由平摆线方程可知,圆的半径为2,则圆的周长为4π,当φ=π时,y
有最大值4,平摆线具有周期性,周期为2π,故平摆线上最高点的坐标

2.4 渐开线与摆线课件(人教A选修4-4)(2)

3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)
(1)圆的渐开线方程：
．
(2)摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
．
[小问题·大思维]
1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)．
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．

[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答
本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线

渐开线与摆线课件

[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆． 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
向量OB＝(2α，2)，向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，

因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得

高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线课件北师大选修4_4

点(2,0)代入参数方程求出r的表达式,根据表达式求出r的最大值,再
确定对应的平摆线的参数方程即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：令y=0,可得r(1-cos α)=0,由于r>0,
即得cos α=1,所以α=2kπ(k∈Z).
代入x=r(α-sin α),得x=r(2kπ-sin 2kπ).
又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2, 因为 r 表示圆的半径,故 r>0,故 r=��1π(k∈N+). 则当 k=1 时,r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为
一二
名师点拨1.摆线的特征圆的摆线每一拱的宽度等于圆的周长,拱高等于圆的直径(摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫作一个拱). 2.圆的平摆线的参数方程中参数的几何意义根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的字母r是指圆的半径,参数α是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切点的半径的夹角.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.
�� = ��(��-sin��), 为 �� = ��(1-cos��) (-∞<α<∞).
一二
3.平摆线的性质当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M, 得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为 2r .
探究一
探究二
探究三

第2章4 平摆线和渐开线

§4平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1. 那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，点B 的坐标为(－1，π).即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎨⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)， ∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.。

2.4 渐开线与摆线课件(人教A选修4-4)

3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向
返回
1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆
叫做基圆．
2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．返回
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，向量 OB ＝(2α，2)，向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)．即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧

摆线和渐开线课件

圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π2和32π，求A，B两点间的距离．
[思路点拨] 渐开线的参数方程 ―代参―入数→ A，B两点的坐标 ―距公―离式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ ____y＝___r_s_in_φ__－__φ_c_o_s_φ______ (φ是参数)
2．摆线及其参数方程 ( 1 ) 当一个圆沿着一条定直线 _ _ _ _无_ _滑_ _动_ 地_ 滚动时，圆周上的
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为X轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得
到，圆的渐开线的参数方程为
X＝RCOSΦ＋ΦSINΦ， Y＝RSINΦ－ΦCOSΦ
参数)．
(Φ为
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程． [思路点拨]
[解题过程] 令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0，由于a＞0，所以cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝a(φ－sinφ)，得x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)．又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，解得a＝k1π(k∈Z)．
又由实际可知a＞0，所以a＝k1π(k∈N＋)，易知当k＝1时，a取最大值1π代入，
得圆的摆线的参数方程yx＝＝1π1πφ1－－csionsφφ，
(φ为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程

平摆线和渐开线

自主预习讲练互动课堂达标
︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
自主预习
讲练互动
课堂达标
令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ），所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
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高考数学平摆线和渐开线

§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.
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题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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2017年高中数学第2讲参数方程第4节摆线和渐开线课件北师大选修

预习学案
国际自盟场地自行车世界杯赛，于2010 年1月22日在北京开赛，有来自50多个国家 (地区)自行车协会和商业队的400余人参加．如果在自行车的轮子上喷上白色印记，让它在笔直的道路上行驶．这个白色印记会留下怎样的轨迹曲线？
1．渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离线头的轨迹就叫做圆的渐圆周开_________ ，保持线与圆相切，_______ 定圆叫做渐开线的________ 基圆．开线，相应的_______ (2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
2 2 2π 2π 2 2π ＝ 2 － 8 ，由此可得对应的坐标为＋，－ . 2 8 2 8
答案：
2

2 2π 2 2π ＋，－ 2 8 2 8
4 ．已知一个圆的摆线过一定点 (1,0) ，请写出摆线的参数方程的表达式 (φ为参数)可知，只需求出其中的r，也
又由实际可知a＞0， 1 所以a＝kπ(k∈N＋)， 1 易知当k＝1时，a取最大值π代入， 1 x＝πφ－sinφ，得圆的摆线的参数方程 y＝11－cosφ π
(φ为参数)
[规律方法]
根据圆的摆线的参数方程 (Φ为参数)，可知只需求出其中的半径R.
， X＝RΦ－SINΦ 1 －COSΦ Y＝R
解析：
也有渐开线
A．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆，正方形
B 两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此得到的图形也不相同 C．同A项解析
D．对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，
画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同

高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4

-6-
四渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
��
= =
csions��-��+��c��o��ss��i��n��,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四渐开线与摆线探究一
探究二
思维辨析
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
变式训练若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
�� = 5��-5sin��,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
-12-
四渐开线与摆线探究一
探究二
思维辨析
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE

高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt

cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与向量有相同的方向〞这一结论，你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐开线．在自然界里有许多渐开线的例子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心展的角开长ABφ后就〔成是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M，的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫渐开线的基圆。

高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4

π
5．圆的渐开线 y＝ 2（sint－tcost）
(t 为参数)上与 t＝ 4
对应的点的直角坐标为________．
第26页
ππ 答案 (1＋ 4 ，1－ 4 )
π
ππ π
π
解析 t＝ 4 时 x＝ 2(cos 4 ＋ 4 sin 4 )＝1＋ 4 ，
ππ π
π
y＝ 2(sin 4 － 4 cos 4 )＝1－ 4 .
复习课件
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
2021/4/17
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
§4 平摆线和渐开线
第2页
知识探究
第3页
1.平摆线 (1)平摆线的定义：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，又叫旋轮线．
线的拱高为________．
答案 4 解析圆的半径 r＝2，所以拱高 2r＝4.
第24页
4．已知圆的半径为 3，圆心在原点，动点的初时位置在 x 轴
正半轴上，则圆的渐开线方程为________．
x＝3（cosφ＋φsinφ），
答案
(φ 为参数)
y＝3（sinφ－φcosφ）
第25页
x＝ 2（cost＋tsint），
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.
第10页
所以 r＝2k1π. 又 r>0.所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 所以，所求平摆线的参数方程是 x＝2k1π（φ－sinφ）， y＝2k1π（1－cosφ） (φ 为参数)(其中 k∈N＋)．
第11页

高中数学第二章参数方程 4 平摆线和渐开线学案北师大版选修44

§4 平摆线和渐开线[对应学生用书P35][自主学习]1．平摆线 (1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足为Q .因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝SM ＝r α.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝SM －MQ ＝r α－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r－cos α(－∞<α<＋∞)．2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M ，它的初始位置记作A ，绳子离开圆盘的位置记作B ，随着绳子逐渐展开，动点B 从点A 出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于B ；(Ⅱ)MB 的长度与B 在圆周上走过的弧长相等，即MB ＝AB .图(2) 图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r ，则动点M 的初始位置A 的坐标为(r,0)，设动点M 的坐标为(x ，y )，φ是以OA 为始边、OB 为终边的正角，令φ为参数，此时AB 的弧长为r φ.作ME ⊥Ox ，BC ⊥Ox ，垂足分别为E ，C ；作MD ⊥BC ，垂足为D ，则∠MBD ＝∠AOB ＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r os φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(其中φ是参数)．[合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O ，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr ，拱高等于圆的直径2r .其中r 为滚动圆的半径．[对应学生用书P35][例1]数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)和渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos α)＝0，由于r >0，即得cos α＝1，所以α＝2k π (k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，而φ＝α得x ＝r (2k π－sin2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πα－sin α，y＝1π－cos α(α为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r ＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)．这就是所求的圆的渐开线的参数方程.[例2] ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线参数方程的应用，解答此题需要根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)，确定出r ，α的值，再求y 的最值及对称轴即可．[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)，即α＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤α≤2π)的对称轴为x ＝8π.1．根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点P 相对于圆心的张角．如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．2．根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数α是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．答案：4 (2π，4)[对应学生用书P36]一、选择题1.如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为( )A.π3 B.2π3C.4π3D ．π解析：选B 由圆的渐开线的形成过程知 |BM |＝AB ＝π3×2＝2π3.2. 平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)B ．(3π＋2,2)C ．(π－2,2)或(3π＋2,2)D ．(π－3,5)解析：选C 由y ＝2得2＝2(1－cos α)，∴cos α＝0. ∵0≤α≤2π，∴α＝π2或3π2.∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－sin 3π2＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3．已知平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数φ的值是( )A ．πB ．2πC ．4πD ．3π解析：选B 因⎩⎪⎨⎪⎧α－sin α＝4π， ①－cos α＝0. ②由②得cos α＝1.∴α＝2k π(k ∈Z )．代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )，即2k π＝2π(k ∈Z )，所以取k ＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.4．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．答案：(π，2)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)8．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rα－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos αy ＝r α－sin α(α为参数)三、解答题9．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．11．有一个直径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 与轮子中心连线的中点P 的轨迹方程．解：x M ＝a (φ－sin φ)，y M ＝a (1－cos φ)．设轮子中心为C ，则x c ＝a φ，y c ＝a . 而P 是CM 中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝12a φ－sin φ，yP＝12a－cos φ(φ为参数)．。

高中数学知识点精讲精析平摆线和渐开线

4 平摆线和渐开线1．平摆线形成原理原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线。

引导动圆滚动的线称为导线。

当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动时形成外内摆线。

2．渐开线渐开线画法将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。

直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。

渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。

渐开线方程为：x=r×cosθ+θ×r×sinθy=r×sinθ-θ×r×cosθz=0式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数θ=inv(α)=tan(α)-α式中，inv为渐开线involute的缩写渐开线画法:已知圆的直径D，画渐开线的方法如图(1）将圆周分成若干等分（图中为12等分），将周长πD作相同等分；(2）过周长上各等分点作圆的切线；(3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、 (12)(4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12；即得圆的渐开线。

3．渐开线具有下列特性：（1）因发生线与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以（2）当发生线沿基圆作纯滚动时，B 点是它的速度瞬心，因此直线是渐开线上K 点的法线，且线段为其曲率半径。

又因发生线始终切于基圆，故渐开线上任意一点的法线必与基圆相切；或者说，基圆的切线必为渐开线上某一点的法线。

（3）渐开线齿廓上某点的法线(压力方向线)，与齿廓上该点速度方向所夹的锐角，称为该点压力角。