2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)

[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
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[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑 动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程， 可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定
点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
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1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
x＝4cos θ＋θsin 因此有 y＝4sinபைடு நூலகம்θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
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x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
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4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点
O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
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BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
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[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
AM 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M 0 ＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
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OA ＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ， AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得 OM ＝ OA ＋ AM . ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又 OM ＝(x，y)，
答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
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x＝ 1． 圆的渐开线 y＝
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4