渐开线与摆线ppt
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高中新课程数学选修《 渐开线与摆线》课件2(与“渐开线”有关文档共9张)
设 在基机圆械直的 工线半 业径 中上为 ，的广r，泛绳一地子个使外用端位齿M轮置的传坐为递标动为原力（点。x，，y）建。 立直角坐标系。
设圆的半径为r。
y 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
显然，点M由角 唯一确定。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
第1页，共9页。
1、渐开线
第2页，共9页。
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
第7页，共9页。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。 B
M
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 显然，点M由角 唯一确定。
显然，点M由角 唯一确定。 因此大多数齿轮采用这种齿形。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
O
A
x
渐开线的应用： 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
渐开线与摆线ppt
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
|AM|＝ 0 ＝4θ AM 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知
识，得 OA ＝(4cos θ，4sin θ)，
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得 OM ＝ OA ＋ AM
5 2 4π －π＋2.
本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几 年的高考题中还未出现过.2012 年惠州模拟以填空题的形式对 圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题． [考题印证]
x＝t－sin t (2012· 惠州模拟)摆线 y＝1－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝1 的交点的直角坐标为________．
[悟一法] 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角
函数的性质有类似的地方．
[通一类]
x＝cos φ＋φsin φ π 3． φ＝2、 时， 当 π 求出渐开线 上对应的点 A、 y＝sin φ－φcos φ
B，并求出 A、B 间的距离．
x＝cos φ＋φsin φ， π 解：将 φ＝2代入 y＝sin φ－φcos φ，
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
[悟一法] 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归
结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线 的参数方程．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)
(1)圆的渐开线方程：
．
(2)摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
．
[小问题·大思维]
1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)．
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答
本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数 据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
高三数学渐开线与摆线(共8张PPT)
B 所以，摆线的参数方程为：
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
返回
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
渐开线与摆线 课件
解析：令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r>0， 所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，解得 r＝k1π(k∈Z)．
又由实际意义 r>0，所以 r＝k1π(k∈N*)， 所以 k＝1 时，r 取得最大值为1π.此时摆线的参数方程为
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，由圆的半径
唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为 3，欲求 φ＝π2时对应的坐标，只需把 φ
＝π2代入曲线的参数方程可得 x＝32π，y＝3，所以参数 φ 取π2时，对应的曲线上点的坐
标是32π，3.
考点二 摆线
假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的 切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过 φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA 的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M 绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动 地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆 沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M 的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参 数是非常自然的．
位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
(φ 为参数)．
•考点一 渐开线
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步 骤
(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的 坐标； (2)取定运动中产生的某一角度为参数； (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达 式； (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程．
渐开线与摆线 课件
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴 正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆 叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线 ．
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝ ＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
渐开线与摆线 课件
【分析】 已知摆线过定点(2,0)，代入摆线的参数方程
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ为参数)，可求出φ，进一步求得r，这样就可
以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【解】 由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，得
cosφ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)＝2，得r＝k1π(k∈Z)．
【例1】
典例剖析 给出某渐开线的参数方程xy＝＝33csionsφφ－＋33φφcsoinsφφ， (φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，且当参数φ取
π 2
时，对应的曲线上的点的坐标是
________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
【解】 将φ＝2π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ2＋2πsin2π＝π2， y＝sin2π－π2cos2π＝1.
∴A(2π，1)．
将φ＝π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，
y＝sinπ－πcosπ＝π.
(φ为参数)进行对照可知．
【解析】
由条件知r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝
π 2
分别
代入渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
(φ为参数)，可得
x＝32π， 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3 32π，3
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半 径最大时，该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线方程．
渐开线与摆线 课件
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
参数方程
复习课
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个的变点数Mt的(x 函，数y)都xy＝＝在fgt这t，，条①并曲且线对上于，t的那每么一个方允程许组值①，就由方叫程做组这①条所曲确线定 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
渐开线与摆线 课件
类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写 出该摆线的参数方程． 解：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， 因为 r≠0，所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)． 由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故 A，B 两点间的距离为
|AB|＝
32π＋1－π2－12＋（1－1）2＝
（π＋2）2＝π＋2.(10 分)
归纳升华 因为摆线的参数方程不宜化为普通方程，所以求交点 坐标问题一般先求出参数 t，然后代入参数方程求出 x，y， 注意参数 t 的取值范围．
渐开线与摆线
1.圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)，则有 x＝r（cos φ＋φsin φ）， _y_＝__r_（__s_in__φ_－__φ_c_o_s_φ_）____ (φ 是参数)．这就是圆的渐开线 的参数方程．
归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵ 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不 要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
[典例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的参数方程 ππ
对应的曲线上两点 A，B 对应的参数分别为 3 和 2 ，求 A， B 两点的坐标．
解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线 参数方程是xy＝＝scionsφφ＋－φφscionsφφ，(φ 为参数)，
高中数学课件《渐开线与摆线》28页PPT
高中数学课件《渐开线与摆 线》
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
Байду номын сангаас
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法] 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归
结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线 的参数方程．
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 的长 AM 相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)．
向量 OB ＝(2α，2)，
向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
[命题立意]
本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．
[解析]
由题设得 1＝1－cos t，
π 3 解得 t1＝2，t2＝2π. π x1＝ －1， 2 对应交点的坐标为 y1＝1， 3 x2＝ π＋1， 2 y2＝1， π 3 交点为(2－1,1)，(2π＋1,1)． π 3 [答案] (2－1,1)，(2π＋1,1)
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt
cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
0
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
返回
[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
返回
[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
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动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A， ， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB 的长， 展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
A
渐开线
M
B
上的对应点A,B,并求出A，B的距离.
x (cos sin ) 解：把 , 代入渐开线 ， 2 2 y (sin cos )
3
3 , 1) ， 求得 A、B 两点坐标分别为（ ,1 ）和 ( 2 2
所以根据两点间距离公式可得：
与 AM 的长相等，故点 M1 与点 M′重合， ∴小圆的两段圆弧 AM 1
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
y
C
B
M
A
O
D
x
P44 内摆线（星形线） 4:1
小
结：
1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
2. 平摆线、摆线的参数方程.
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是：当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上一个定点的轨迹是什么？
讲授新课
如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时， 点 M 绕圆 心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 的长，即 OA=r. 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
一圈半
y
两圈
M
M
M N
2
N
x
一圈
N
半圈
2:1时 一个点的 内摆线
4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O. 设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
与小圆圆弧 AM 相等． 则大圆圆弧 AM 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1， 以切点 A 在劣弧 MB 记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ. 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM 的长为 l2＝2θ×1＝θ，即 l1＝l2， 大圆圆弧 AM 1 2
e1 e2 (cos ， sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0. e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线 思考：
φ
O A
讲授新课
2、渐开线的参数方程 根据动点满足的几何条件:
BM AB
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴， 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为(x,y). 显然，点M由角惟一确定.
O B y
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A x
由于向量 e (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 1 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。
BM ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
从而 BM ( x r cos ， y r sin ) ， | BM | r .
取 为参数，则点B的坐标为( r cos ， r sin )，
讲授新课
因此, 摆线的参数方程是
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
思
考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r (其中 r 是滚动圆的半径).
思考
[2011· 江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条 固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁 的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
M O D
B C A E x
设点 M 的坐标为( x， y )取 为参数，根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin，
所以，摆线的参数方程为：
y DM AC AB CB r r cos .
x r ( sin ) ( 为参数). y r (1 cos )
225 解：根据题意可知，基圆半径为 r ，故参数方程为 2
225 x (cos sin ) 2 y 225 (sin cos ) 2
， （ 为参数） 。
2.当
3
2 , 2
时，求出渐开线
x cos sin , (是参数) y sin cos
所以BM (r )e2 ,即
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
这就是圆的渐开线的参数方程。
讲授新课
圆的渐开线的参数方程 :
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
3 2 | AB | ( ) (1 1)2 2 1 2 ． 2 2
3.有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一 点M，与轮子中心的距离是b(b<a),求点M的轨迹方程.
y
M
B B C x
O
D
A
４.一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切. 当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M(开始 时在点A)的轨迹的参数方程.
四、渐开线与摆线
杜贤中
讲授新课
1. 渐开线
探 究：P40 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样？能否求出它的轨 迹方程？
讲授新课
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
渐开线的应用： 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力. 由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动 平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助 圆的渐开线方程。
思
考：
在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到 “向量e2 (sin ， cos )与向量 BM有相同方向” 这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗?
y
摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。
B M
O D
A
C
E
x
我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点，建立直角坐标系，
从点M 分别作AB，x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
y
设圆的半径为r， 设开始时定点M 在原点， 圆滚动了 角后与x轴相 切于点A，圆心在点B，