渐开线与摆线ppt

动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A， ， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB 的长， 展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B

O
A
渐开线
M
B
一圈半
y
两圈
M
M
M N
2

N
x
一圈
N
半圈
2:1时 一个点的 内摆线
4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O. 设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
与小圆圆弧 AM 相等． 则大圆圆弧 AM 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1， 以切点 A 在劣弧 MB 记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ. 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM 的长为 l2＝2θ×1＝θ，即 l1＝l2， 大圆圆弧 AM 1 2
y
C
B
M
A
O
D
x
P44 内摆线（星形线） 4:1
小
结：
1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
2. 平摆线、摆线的参数方程.
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
上的对应点A,B,并求出A，B的距离.
x (cos sin ) 解：把 , 代入渐开线 ， 2 2 y (sin cos )
3
3 , 1) ， 求得 A、B 两点坐标分别为（ ,1 ）和 ( 2 2

所以根据两点间距离公式可得：
M O D

B C A E x
设点 M 的坐标为( x， y )取 为参数，根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin，

所以，摆线的参数方程为：
y DM AC AB CB r r cos .
x r ( sin ) ( 为参数). y r (1 cos )
225 解：根据题意可知，基圆半径为 r ，故参数方程为 2
225 x (cos sin ) 2 y 225 (sin cos ) 2
， （ 为参数） 。
2.当
3
2 , 2
时，求出渐开线
x cos sin , (是参数) y sin cos
φ
O A
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2、渐开线的参数方程 根据动点满足的几何条件:
BM AB
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴， 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为(x,y). 显然，点M由角惟一确定.
O B y
M

A x
由于向量 e (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 1 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。
渐开线的应用： 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力. 由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动 平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助 圆的渐开线方程。
思
考：
在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到 “向量e2 (sin ， cos )与向量 BM有相同方向” 这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗?
3 2 | AB | ( ) (1 1)2 2 1 2 ． 2 2
3.有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一 点M，与轮子中心的距离是b(b<a),求点M的轨迹方程.
y
M

B B C x
O
D
A
４.一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切. 当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M(开始 时在点A)的轨迹的参数方程.
e1 e2 (cos ， sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0. e1 e2 ，即: BM // e2 .
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2. 摆线 思考：
BM ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
从而 BM ( x r cos ， y r sin ) ， | BM | r .
取 为参数，则点Hale Waihona Puke Baidu的坐标为( r cos ， r sin )，
思考
[2011· 江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条 固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁 的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
所以BM (r )e2 ,即
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
这就是圆的渐开线的参数方程。
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圆的渐开线的参数方程 :
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
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因此, 摆线的参数方程是
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
思
考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r (其中 r 是滚动圆的半径).
与 AM 的长相等，故点 M1 与点 M′重合， ∴小圆的两段圆弧 AM 1
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
四、渐开线与摆线
杜贤中
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1. 渐开线
探 究：P40 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样？能否求出它的轨 迹方程？
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1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是：当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上一个定点的轨迹是什么？
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如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时， 点 M 绕圆 心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 的长，即 OA=r. 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
y
摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。
B M
O D

A
C
E
x
我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点，建立直角坐标系，
从点M 分别作AB，x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
y
设圆的半径为r， 设开始时定点M 在原点， 圆滚动了 角后与x轴相 切于点A，圆心在点B，