四渐开线与摆线

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第二讲四渐开线与摆线

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解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ，即 y＝3.
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利用向量来建立摆线的参数方程．解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
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4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5．已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
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解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)，它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由于圆的半径是 6 ，所以可得摆线方程是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ，得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．

20-21版：四　渐开线与摆线（步步高）

(φ是参数) .
2 题型探究
PART TWO
一、圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
反思感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练1
已知圆的渐开线方程为
x＝cos
φsin
30°＋φsin
φsin
30°，
本课结束
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φ， φ
(φ 为参数). ∴基圆半径 r＝12.
当 φ＝π 时，x＝－12，y＝π2，∴A 的直角坐标为－12，π2.
二、平摆线
例 2 已知一个圆的参数方程为x＝3cos φ， (φ 为参数)，那么此圆的摆线参数方程 y＝3sin φ
中参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
已知一个圆的摆线的参数方程是
x＝3φ－3sin
φ， (φ为参数)，则该摆线
y＝3－3cos φ
一个拱的高度是__6__；一个拱的跨度为__6_π__.
解析当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
3 随堂演练
PART THREE
1.圆
第二讲参数方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理题型探究随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一渐开线
1.圆的渐开线的定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆. 2.圆的渐开线的参数方程设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是

人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线

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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6

第2讲-渐开线和摆线共27页

即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2，当
前
堂
自主导学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双基达标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当堂双
主
基
导学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂双基达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课堂互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动探究
B(π2，1)．
时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前自主导
|AB|＝
3＋ 6
课时作业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头

人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线

探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.

四、渐开线与摆线

记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动．点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN

2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时一个点的内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切，且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？

2018年高中数学人教版选修4-4课件：渐开线与摆线

, .
是参数
方程 .
在机械工业中轮传递动力的齿轮磨损少安装方便用这种齿轮
, 广泛地使用齿 .由于渐开线齿形 , 传动平稳 , 制造
,因此大多数齿轮采 , 设计加工这种齿程.
轮 , 需要借助圆的渐开线方
欣赏在上述几何条件下 M 形成轨迹的过程 .
四
渐开线与摆线

图 2 17
根据动点满足的几何条我们以基圆圆心
件,
O 为原点 ,
直线 OA 为 x 轴 , 建立平面直角坐标系
图 2 18 .
r , 绳子外
设基圆的半径为端 M 的坐标为
x , y .显然
.
,
图 2 18
点 M 由角惟一确定
取为参数 , 则点 B 的坐标为从而 BM
O
M D

B C
A
x
图 2 20
设开始时定点于点 A , 圆心在点垂足分别是
M 在原点 , 圆滚动角后与 x 轴相切 B .从点 M 分别作 AB , x 轴的垂线 ,
C , D . 设点 M 的坐标为
,有
x , y , 取为参
数 , 根据点 M 满足的几何条件
x OD OA DA OA MC r r sin ,
MA 的长 , 即 OA
M 在圆 B 沿直线滚动过 .我们把点 M 的轨迹叫做 .
, 又叫
下面我们求摆线的参数方程 .
y
根据点 M 满足的几何条件 , 我们取直线为轴 , 定点 M 滚动时落在定直线上的一个位置为原点 , 建立直角坐标系 (图 2 20 ), 设圆的半径为 r. x

4渐开线与摆线

四渐开线与摆线
探究新知一
1、渐开线的定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
探究：
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长，
y B C
M

O D
A
E
x
设开始时定点M 在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点A，圆心在点B。
从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有
y B C A E
M

O D
x OD OA DA OA MC r r sin , y DM AC AB CB r r cos .
探究新知二
3、摆线的定义思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 M O

B
这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。
M
B

O
A
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。显然,点M由角唯一确定。

高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教a选

探究一
探究二
思维辨析
变式训练 2
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
半径为
r
的渐开线的参数方程
��
= =
��((csions��-��+��c��o��ss��in��)��),(φ
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
��
= =
33((csions��-��+��c��o��ss��i��n)��,��),所以基圆半径
r=3.
把 φ=π2代入方程,可得
为
.

答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
��
= =
40(��-sin��), 40(1-cos��) (φ
铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的
曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.

高中数学选修4-4：渐开线与摆线(解析版)

渐开线与摆线（解析版）知识梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) (其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数) 分层训练第一层1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④答案C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ答案.C3．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案．C4.半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数) 5．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)第二层6．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案．Cm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．答案.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数)8．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为_______________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．答案.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 答案80 m9．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．答案．(63，0)和(－63，0)10．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．答案．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1， y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1. 将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)．故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2.第三层11．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标．答案解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)．将φ＝π3代入得 x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋3π6，33－π6. 当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1. 14．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．答案：分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)． 13．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．答案．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2，∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π，∴φ＝π2或φ＝3π2. 当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2. ∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．答案．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π.又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．总结1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义．4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【课后习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝a φ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cos φ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－b sinφ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2。

2014年人教A版选修4-4教案四渐开线与摆线

三、分层练习
1、当，时，求圆渐开线上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线与直线的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
教
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学难点Biblioteka 圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程与教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为（为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

课件1：四渐开线与摆线

四
渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆． 2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得OM ＝OA＋ AM .
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
＝r(φ－sin φ)，yM＝r＋rsinφ－π2＝r(1－cos φ)．
即点
M
的轨迹方程为xy＝＝rr1φ－－csoins
φ， φ
(φ 为参数)．
本课结束
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1．圆的渐开线yx＝＝
2cos t＋tsin t 2sin t－tcos t
（t 为参数）上与 t＝π4对
应的点直角坐标为
()
A.1＋π4，1－π4 C.－1－π4，1－π4
B.1－π4，1＋π4 D.1＋π4，－1－π4
答案：A
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得： x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ. 这就是所求的圆的渐开线的参数方程.